Куцый Н.Н. Теория оптимального управления. Лабораторный практикум
Подождите немного. Документ загружается.
При движении по заданному направлению величина критерия оптимизации
может считаться функцией переменного параметра
,h
который характеризует
положение точки
q
на заданном направлении. Рассмотрим значения критерия
оптимизации при трех последовательных значениях
]3[],2[],1[: hhhh
(рис. 4).
Через три точки
]),1[(hI
]),2[(hI
])3[(hI
можно провести параболу
,])1[(])1[()(
ˆ
)20(
2
chhbhhahI
+−+−=
коэффициенты
cba ,,
которой определяются решением системы уравнений
])3[(])3[(
ˆ
]),2[(])2[(
ˆ
)21(
]),1[(])1[(
ˆ
hIhI
hIhI
hIhI
=
=
=
и равны
,
])1[]2[])(1[]3[])(2[]3[(
])2[]3[])(1[(])1[]3[])(2[(])1[]2[])(3[(
hhhhhh
hhhIhhhIhhhI
a
−−−
−+−−−
=
,
])1[]2[])(1[]3[])(2[]3[(
])1[]3[])(1[(]2[((])1[]2[])(1[(]3[((
22
hhhhhh
hhhIhIhhhIhI
b
−−−
−−−−−
=
]).1[(hIc
=
Эти уравнения позволяют найти значе-
ния величины шага
min
h
, при котором до-
стигается минимум
)(
ˆ
hI
.
2
)22(
1min
a
b
hh
−=
Полученное таким образом значение
min
h
применяется в качестве задаваемого следу-
ющего значения
].4[h
Так как минимум
)(
ˆ
hI
, вообще говоря не совпадает с мини-
мумом
)(hI
, то при определении следую-
щего значения
]5[h
используется новая аппроксимация для точек
]4[],3[],2[ hhh
и т.д.
Покажем особенности проведения параметрической оптимизации автома-
тической системы при использовании критерия (10), который представим в
виде
∫ ∫
∞ ∞
+=+=
0 0
222
32313
.))()(()23( dttxdttxIII
µ
11
I
h[1] h[2] h[3] h[4]
h
Î[h]
I[h]
Рис. 4 .
Каждое слагаемое этой суммы следует рассматривать как самостоятельный
критерий и исходя из этого подчеркнем, что нельзя ставить задачу одновремен-
ного достижения экстремума для двух или более критериев, зависящих от одно-
го или нескольких общих настраиваемых параметров
),)(( mjq
j
11
=
так как экс-
тремумы различных критериев не соответствуют одному и тому же значению
совокупности настраиваемых параметров. Поэтому значений настраиваемых
параметров, соответствующих экстремуму одновременно двух или более крите-
риев, в общем случае не существует. Можно ставить лишь задачу достижения
экстремума одного из критериев, но при этом накладывать дополнительные
условия на ограничения других критериев.
В лабораторной работе предлагается использование одного из двух вари-
антов проведения параметрической оптимизации для критерия вида (23).
В а р и ан т 1 . Вначале отыскиваются значения настраиваемых параметров
),)((
*
mjq
j
11
=
доставляющих экстремум составляющей, например
.
31
I
Затем
принимая вычисленные значения настраиваемых параметров
))((
*
mjq
j
11
=
за
начальные, организуем движение алгоритма параметрической оптимизации в
направлении экстремума второй составляющей, т.е. в рассматриваемом случае
.
32
I
Но при этом контролируется возрастание величины
31
I
относительно его
экстремального значения
.
*
31
I
При
),( ,
*
01
3131
>≥
αα
II
работа алгоритма пара-
метрической оптимизации прекращается и значения настраиваемых параметров
))(( mjq
jрез
11
=
принимаются за результата решения задачи о проведении пара-
метрической оптимизации при использовании критерия (23).
Организация работы алгоритма параметрической оптимизации при исполь-
зовании критерия
3
I
показана на рис. 5, на котором приведены следующие
обозначения: семейство кривых 1 соответствует линиям равного уровня состав-
ляющей
31
I
; семейство кривых 2 – линиям равного уровня для составляющей
32
I
; ломаная линия 3 отображает траекторию движения алгоритма параметри-
ческой оптимизации при вычислении значений настраиваемых параметров
*
21
*
11
, qq
, доставляющих минимум составляющей
31
I
; линия 4 – траектория дви-
жения алгоритма параметрической оптимизации в направлении значений на-
страиваемых параметров
, ,
*
22
*
12
qq
доставляющих минимум составляющей
32
I
;
−
резрез
qq
21
,
значения настраиваемых параметров, при которых
.
*
3131
II
α
≈
В а р и ан т 2. Интеграл (23) может быть представлен в виде
∫∫
∫∫
∞∞
∞∞
−+=
=−+=
0
22
1
2
0
2
1
0
2
1
2
0
2
13
).()(2))()((
)()(2))()((
tdxtxdttxtx
dttxtxdttxtxI
µµ
µµ
12
*
32
I
*
11
q
q
1
q
2
*
21
q
.
.
*
12
q
*
22
q
.
1
2
*
рез
q
1
*
рез
q
2
0
q
Рис. 5.
*
31
I
3
4
Так как в рассматриваемой автоматической системе
,0)(lim
=
∞→
tx
t
то
(24)
∫
∞
++=
0
22
1
22
13
).0())()(( xdttxtxI
µµ
Тем самым
),0(min
22
13
xI
µ
=
которому соответствует переходный процесс, определяемый уравнением
(25)
,0
2
1
=+
x
dt
dx
µ
при начальном условии
).0(x
Поэтому оптимальным по минимуму оценки
3
I
переходным процессом
служит экспонента вида
(26)
,)0()(
2
µ
t
xtx
−
=
которая получается в результате решения уравнения (25). Эту экспоненту мож-
но взять в качестве эталона, исходя из близости к которому определяются зна-
чения настраиваемых параметров
).)1(1(
*
mjq
j
=
Учитывая связь
)(tx
и
)(ty
в качестве эталона берется передаточная функ-
ция
(27)
,
1
)(
+
=
Tp
k
pW
эт
13
где
−
k
коэффициент передачи, определяемый величиной
);0(x
в рассматривае-
мом случае
1
=
k
, так как задающее воздействие настраиваемой автоматической
системы есть
);(1)( ttg
=
постоянная времени
.
2
µ
=
T
Тем самым алгоритм параметрической оптимизации вычисляет значения
настраиваемых параметров, исходя из достижения минимума критерия
∫
∞
−=
0
2
33
,))()(( dttytyI
эт
где
−
)(ty
эт
выходная координата эталона вида (27).
Как явствует из вышесказанного, при реализации алгоритма параметриче-
ской оптимизации необходимы значения каждой,
−
j
ой составляющей вектор-
градиента
,
)),((
j
q
txI
∂
∂
q
вычисление которой покажем в общем виде, для чего
запишем критерий оптимальности в таком виде
∫
∞
=
0
,)),(()28( dttxFI
q
где
−
F
функция, имеющая частные производные по каждому из настраивае-
мых параметров
).)1(1( mjq
j
=
Тем самым, выражение для
−
j
й составляющей вектор-градиента можно
представить в виде
.
),()),((
)29(
0
dt
q
tx
x
txF
q
I
jj
∫
∞
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
qq
Учитывая, что ошибка автоматической системы (рис.1) определяется как
),()(),(
qq
tytgtx
−=
,
то
).(
),(),(
t
q
ty
q
tx
j
jj
ξ
−=
∂
∂
−=
∂
∂
qq
Здесь
j
j
q
ty
t
∂
∂
=
),(
)(
q
ξ
называется функцией чувствительности, которая характе-
ризует влияние
−
j
го настраиваемого параметра, т.е. параметра
j
q
на выход-
ную координату объекта регулирования. Тем самым, при решении задачи пара-
метрической оптимизации перед применением градиентной процедуры необхо-
димо вычислить функции чувствительности
)(t
j
ξ
и так как ПИД-регулятор
имеет три настраиваемых параметра, то
.3,2,1
=
j
14
Покажем методику определения функций чувствительности для линейной
непрерывной автоматической системы, имеющей структурную схему (рис. 1).
Имеем
).,()(),(
qq
tupWty
об
=
Дифференцируя частным образом правую и левую части этого выражения
и учитывая независимость
)( pW
об
от настраиваемых параметров
),,,(
321
qqq
=
q
получим
,
),(
)()()30(
j
обj
q
tu
pWt
∂
∂
=
q
ξ
;3,2,1
=
j
т.е. функция чувствительности представляет собой выходную координату моде-
ли объекта регулирования с входной координатой
,
),(
j
q
tu
∂
∂
q
).3,2,1(
=
j
Принимая во внимание ПИД-закон регулирования (3), у которого
3,2,1
=
j
имеем для каждого из настраиваемых параметров:
при
1
=
j
;
)(
)()(
),(
13
1
211
1
ξ
ξ
ξ
pq
p
t
qtqtx
q
tu
−−−=
∂
∂
q
при
2
=
j
;
)(
)(
)(),(
23
2
221
2
ξ
ξ
ξ
pq
p
t
qtq
p
tx
q
tu
−−−=
∂
∂
q
при
3
=
j
,
)(
)()(
),(
33
3
231
2
ξ
ξ
ξ
pq
p
t
qtqtpx
q
tu
−−−=
∂
∂
q
где
−=
dt
d
p
оператор дифференцирования.
2.ИССЛЕДОВАНИЕ
В лабораторной работе исследуется алгоритм параметрической оптимиза-
ции автоматической системы регулирования со структурной схемой (рис.1).
Варианты
№
)( pW
об
об
k
об
T
ζ
1
об
T
2
об
T
об
τ
I
Тип алго-
ритма
1 4 1 1 3 0,3
1
I
1
2 4 1 1 3 0,3
1
I
2
3 4 1 1 3 0,3
1
I
3
4 4 1 1 3 0,3
2
I
1
15
5 4 1 1 3 0,3
2
I
2
6 4 1 1 3 0,3
2
I
3
7 4 1 1 3 0,3
3
I
(1)
1
8 4 1 1 3 0,3
3
I
(1)
2
9 4 1 1 3 0,3
3
I
(1)
3
10 5 1 1 0,75 0,1
1
I
1
11 5 1 1 0,75 0,1
1
I
2
12 5 1 1 0,75 0,1
1
I
3
13 5 1 1 0,75 0,1
2
I
1
14 5 1 1 0,75 0,1
2
I
2
15 5 1 1 0,75 0,1
2
I
3
16 5 1 1 0,75 0,1
3
I
(2)
1
17 5 1 1 0,75 0,1
3
I
(2)
2
18 5 1 1 0,75 0,1
3
I
(2)
3
19 6 1 1 0,1
1
I
1
20 6 1 1 0,1
1
I
2
21 6 1 1 0,1
1
I
3
22 6 1 1 0,1
2
I
1
23 6 1 1 0,1
2
I
2
24 6 1 1 0,1
2
I
3
25 6 1 1 0,1
3
I
(2)
1
26 6 1 1 0,1
3
I
(2)
2
27 6 1 1 0,1
3
I
(2)
3
28 7 1 1 3 0,3
1
I
1
29 7 1 1 3 0,3
1
I
2
30 7 1 1 3 0,3
1
I
3
31 7 1 1 3 0,3
2
I
1
32 7 1 1 3 0,3
2
I
2
33 7 1 1 3 0,3
2
I
3
34 7 1 1 3 0,3
3
I
(1)
1
35 7 1 1 3 0,3
3
I
(1)
2
36 7 1 1 3 0.3
3
I
(1)
3
Примечание.
)1(
3
I
означает применение 1-го варианта проведения пара-
метрической оптимизации для критерия
;
3
I
−
)2(
3
I
соответственно применение
2-го варианта проведения параметрической оптимизации для критерия
.
3
I
16
3.ЗАДАНИЕ
3.1.Дифференцируя частным образом по каждому из настраиваемых пара-
метров
,,,
321
qqq
получить выражения, позволяющие определять функции чув-
ствительности
).(),( ),(
321
ttt
ξξξ
3.2.Записать выражение для каждой из составляющих градиента
., ,
321
q
I
q
I
q
I
∂
∂
∂
∂
∂
∂
3.3.Подготовить к моделированию уравнения, описывающие процессы в
автоматической системы.
4.СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
4.1.Структурная схема автоматической системы с заданной передаточной
функцией объекта регулирования; с заданными значениями параметров; задан-
ный вид интегрального критерия оптимизации; вид алгоритма оптимизации.
4.2.Изложение выбранного метода моделирования применительно к задан-
ной автоматической системе регулирования.
4.3.Фрагмент листинга программы, относящийся к моделированию автома-
тической системы регулирования, алгоритма параметрической оптимизации.
4.4.Вывод выражений, позволяющих вычислить функции чувствительно-
сти
).(),( ),(
321
ttt
ξξξ
4.5.Алгоритм параметрической оптимизации, основанный на градиентной
итеративной процедуре.
4.6.Картины сходимости, позволяющие сделать выводы о работоспособно-
сти алгоритма параметрической оптимизации.
4.7.Зависимости
),2,1( ],[ ],[ ],[
321
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ll
q
I
l
q
I
l
q
I
с выводом о выполнении
необходимого условия оптимальности.
4.8.Зависимости
],[lI
позволяющие сделать выводы о работоспособности
алгоритма параметрической оптимизации.
4.9.Графики переходных процессов
)(th
в начальных и конечных точках
работы алгоритма параметрической оптимизации.
4.10.Текстовая часть отчета должна соответствовать ГОСТу 2.105-79, гра-
фики выполняются с учетом ГОСТа 2319-81, список использованной литерату-
ры осуществляется с учетом ГОСТа 7.1-81.
17
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИНЦИ-
ПА МАКСИМУМА
Цель работы - ознакомление с методикой синтеза оптимальных систем
регулирования с использованием средств вычислительной техники.
1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Покажем методику использования принципа максимума на конкретном
примере. Пусть поставлена задача о синтезе регулятора, обеспечивающего оп-
тимальное по быстродействию управление движением спутника вокруг центра
масс по одной из осей. Функциональная схема системы управления представле-
на на рис. 1.
Регулятор
Реактивные
двигатели
Спутник
зад
θ
µ
k
M
ν
Рис. 1.
(-)
θ
Момент инерции спутника
2
кгмJ 1980
=
. Исполнительными органами
управления являются реактивные двигатели с регулируемой тягой, развиваю-
щие максимальный момент
. 6,39 НмM
т
=
При оптимальном управлении найти
время, необходимое для перехода спутника в установившееся нулевое состоя-
ние, если в начальный момент времени его отклонение составляло 1°46', а угло-
вая скорость 28,65 градс
-1
. Возмущения отсутствуют. Задачу решить, используя
принцип максимума Л.С. Понтрягина.
Момент инерции - величина, которая характеризует распределение масс в
теле и которая является наряду с массой мерой инертности тела при непоступа-
тельном движении. Моментом инерции тела относительно, например оси
,z
(осевой момент инерции) называется величина, определяется равенством
∑
∞
=
=
1
2
i
iiz
rmJ
или
∫
=
V
iz
dVrJ ,
2
ρ
18
где
−
i
m
массы точек тела;
−
i
r
их расстояния от оси
;z
−
ρ
массовая плотность;
−
V
объем тела.
Величина
z
I
является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси
.z
Единица измерения -
.
2
мкг
⋅
Решение. Уравнения движения спутника заданы и при отсутствии возму-
щений имеют вид
).( ; )1(
2
2
ν
ν
MMM
dt
d
J
==
По условию задачи момент
M
должен быть сформирован так, чтобы спут-
ник переходил из любого отклоненного положения в нормально ориентирован-
ное за минимальное время.
Поскольку тяга реактивных исполнительных двигателей конечна, то управ-
ляющий момент
M
ограничен
.
тmax
MMM
=≤
Для решения задачи преобразуем уравнение (1), введя обозначения
. , ,
21
J
M
k
dt
d
xx
т
====
ν
ν
ν
Тогда уравнение (1) запишется в виде
, , )2(
2
2
1
µ
k
dt
dx
x
dt
dx
==
где
−
µ
нормированная функция управления, модуль которой
.1
≤
µ
Сформиру-
ем функцию
∑
=
Ψ=
n
i
ii
xxfH
1
21
).,,( )3(
µ
Для совокупности уравнений (2)
. )4(
221
µ
kxH
Ψ+Ψ=
Максимум этой функции с учетом ограничения на управляющий сигнал
µ
и обеспечивает оптимальность системы по быстродействию. Очевидно, что при
наложенных ограничениях максимум
H
имеет место, если управляющий сиг-
нал
µ
формируется исходя из алгоритма
. )5(
2
Ψ=
sign
µ
Таким образом, оптимальное по быстродействию управление будет осуще-
ствляться в том случае, если регулятор будет переключать исполнительное
устройство по релейному закону в соответствии со знаком вспомогательной
функции
.
2
Ψ
Для того чтобы найти
,
2
Ψ
запишем
19
Ψ−=
∂
∂
−=
Ψ
=
∂
∂
−=
Ψ
.
,0
)6(
1
2
2
1
1
x
H
dt
d
x
H
dt
d
Интегрируя эти уравнения, получим
, ,
12211
tCCC
+=Ψ=Ψ
где
−
21
,CC
постоянные интегрирования.
(См. приложение 1 к данной лабораторно1 работе).
Чтобы наглядно представить, как происходит переключение, изобразим
процесс движения на фазовой плоскости. Исключим из совокупности уравне-
ний (2)
.dt
При этом для
1
±=
µ
получим
+±=
±=
.
2
,
)7(
1
2
2
122
Ckx
x
kdxdxx
Этим уравнением соответствуют параболы, каждая из которых симметрич-
на относительно оси
.
1
ν
=
x
1
−=
µ
1
=
µ
ν
ν
Рис. 2.
Спутник придет и будет оставаться в исходном положении, если изобража-
ющая точка на фазовой плоскости попадет в начало координат
).0 ,0(
21
≡=≡=
dt
d
xx
ν
ν
Для этого при произвольном начальном отклонении
00
,
νν
изображающая точка
M
должна перейти в точку
D
(рис. 3), а затем уже
по линии переключения
−
AO
в начальную точку. Переход на траекторию
AO
достигается изменением знака управляющей функции
µ
с "-1" на "+1".
20