Куцый Н.Н. Теория автоматического управления. Лабораторный практикум
Подождите немного. Документ загружается.
4.2.Изложение процесса исследования заданной автоматической системы
на устойчивость и результаты исследования.
4.3.Изложение процесса проверки выполнения (не выполнения) принципа
суперпозиции в заданной автоматической системе и результаты проверки.
4.4.Вычисление значения инте-
гральной оценки качества аналити-
ческим путем и сравнение со значе-
нием этой же интегральной оценки
качества, вычисленное путем моде-
лирования автоматической системы.
4.5.Доказательство того, что за-
данная автоматическая система об-
ладает астатизмом первого порядка,
но не обладает астатизмом второго,
третьего порядков.
4.6.Изложение процесса вычисления ошибки x(∞) и значения этой ошиб-
ки при g(t)=1(t) и g(t)=1(t)×t.
4.7. Доказательство того, что при g(t)=1(t)×t
2
ошибка x(∞) ≠ const.
4.8. Результаты моделирования заданной автоматической системы при
задающем воздействии g(t)=1(t); g(t)=1(t)×t; g(t)=1(t)×t
2
.
4.9. Изложение доказательства того, что в заданной автоматической систе-
ме характер переходного процесса зависит от точки приложения входного воз-
действия. В основе приложения должен лежать аналитический подход.
4.10. Результаты моделирования, подтверждающие доказательство преды-
дущего пункта 4.9.
4.11.Зависимости
∆
задзад
н
задзад
ст
k
k
k
k
t
k
k
t
k
k
1
1
1
1
’
1
1
р
1
1
, , ,
σ
;
,
3
3
∆
зад
ст
T
T
. , ,
3
3
3
3
’
3
3
р
задзад
н
зад
T
T
T
T
t
T
T
t
σ
4.12. Объяснения характера построенных зависимостей в предыдущем
пункте 4.11.
4.13.Текстовая часть отчета должна соответствовать ГОСТу 2.105-79; гра-
фики выполняются с учетом ГОСТа 2319-81; список использованной литерату-
ры представляется с учетом ГОСТа 7.1-81.
5.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.В этой лабораторной работе была вычислена интегральная оценка при
)(1)( ttg
=
∫
∞
=
0
2
.)( dttxI
0
4
8
12
16
20
24
1, 75 1,5 1,25 1 1,25 1,5 1,75
k
1
k
1зад
k
1
k
1зад
σ
%
51
Затем преподаватель попросил студента увеличить постоянную времени
3
T
в два раза. Как Вы думаете, какой из случаев возможен:
а) значение интегральной оценки возрастет;
б) значение интегральной оценки уменьшится;
в) значение интегральной оценки не изменится.
Приведите Ваши рассуждения. Естественно, такой громоздкий путь, как
составление точного аналитического выражения
)(
3
TII
=
исключается.
2.Задана структурная схема автоматической системы (рис. 6), у которой
.
)1)(1(
)(
21
++
=
TppT
k
pW
Определите значение
ос
k
, при котором автоматиче-
ская система приобретает астатизм первого порядка.
3.Задана структурная схема автоматической системы (рис. 7), у которой
.
)1)(1)(1(
)(
321
+++
=
pTTppT
k
pW
Определите значения коэффициента усиления
усилительного звена
у
k
, при котором автоматическая система приобретает
астатизм первого порядка.
g
⊗
(-)
W(p)
Kос
y
Рис. 6.
g
⊗
(-)
W(p)
Kу
y
Рис. 7.
4.Задана структурная схема автоматической системы (рис. 8), у которой
.
)1(
)(
1
+
=
Tpp
k
pW
Покажите, что для этой автоматической системы
)()( tAtg
=
интегральная квадратичная ошибка равна
.
1
)(
0
1
1
22
∫
∞
+==
k
TAdttxI
5. Задана структурная схема автоматической системы (рис. 9) у которой
,
)1(
)(
+
=
Tp
k
pW
а звено, обозначенное как
2
1
y
выполняет именно эту математи-
ческую операцию, т.е.
.
2
1
yy
=
Покажите, что представленная автоматическая
система нелинейная.
g
⊗
(-)
W(p)
k
1
y
x
Рис. 8.
g
⊗
(-)
W(p)
2
1
y
y
Рис. 9.
y
1
52
6.Для монотонных переходных процессов применяется интегральный
критерий качества вида
∫
∞
=
0
.)( dttxI
Покажите справедливость равенства
∫
∞
→
==
0
0
).(lim)(
p
pXdttxI
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВА-
НИЕМ
Цель работы - ознакомление с автоматическими системами с запаздыва-
нием; моделирование звена запаздывания; устойчивость автоматических си-
стем с запаздыванием; влияние запаздывание на качество переходных процес-
сов
1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В большинстве промышленных систем управления реакция на управляю-
щее воздействие возникает только через определенный промежуток времени
τ
после начала этого воздействия. Такое свойство называется чистым (транс-
портным) запаздыванием.
Покажем на примере суть запаздывания. Пусть система управления описы-
вается апериодическим звеном первого порядка, которому соответствует диф-
ференциальное уравнение
, )1( kuy
dt
dy
T
=+
а та же система управления, но с запаздыванием описывается уравнением
),( )2(
τ
−=+
tkuy
dt
dy
T
соответствующее апериодическому звену порядка с запаздыванием. Такого
вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом или
дифференциально-разностными уравнениями.
Введем обозначение
).()(
τ
−=
tutu
Тогда уравнение (2) запишется в обык-
новенном виде
. )3( uky
dt
dy
T
=+
53
Так, если входное воздействие
)(tu
изменяется скачком от нуля до едини-
цы (рис. 1), то изменение величины
),()(
τ
−=
tutu
стоящей в правой части
уравнения звена изобразится графиком (рис. 2), который изображается как ска-
чок, возникающий позже на время
.
τ
Используя переходную характеристику
инерционного звена применительно к уравнению (3), получаем изменение вы-
ходной величины
)(ty
в виде графика, изображенного на рис. 3. Это и будет
переходная характеристика инерционного звена с запаздыванием, у которого
"инерционное" свойство характеризуется постоянной времени
,T
а запаздыва-
ние – величиной
.
τ
Пусть передаточная функция разомкнутой автоматической системы с
запаздыванием
,
)(
)(
)()( )4(
ττ
pp
o
pD
pK
pWpW
−−
==
где
)( pK
и
−
)( pD
полиномы от
p
степени, соответственно
m
и
;n
−
)( pW
o
передаточная функция линейной части разомкнутой системы.
1
u
t
Рис. 1.
1
u
t
Рис. 2.
τ
k
y
t
Рис. 3.
τ
T
Характеристическое уравнение замкнутой системы
.0)()( )5(
=+
−
τ
p
pKpD
Это трансцендентное уравнение и оно имеет бесконечно большое число
корней. Поэтому для устойчивости систем первого и второго порядка недоста-
точно только положительности коэффициентов, а для систем более высокого
порядка неприемлемы более высокого порядка неприменимы критерии устой-
чивости Гурвица и Рауса.
Наиболее удобен критерий Найквиста и для его применения передаточ-
ную функцию разомкнутой системы следует иметь в виде (4). С этой целью со-
ответственно выбирают точку размыкания исследуемой системы.
В одноконтурной системе можно размыкать основную обратную связь
(рис. 4). В этом случае
.)()()( )6(
21
p
pWpWpW
τ
−
=
54
⊗
g
(-)
W p
1
( )
−
τ
p
y
W p
1
( )
Рис. 4.
≈
Если звено с запаздыванием находится в цепи местной обратной связи, то
автоматическую систему следует размыкать на выходе этой связи (рис. 5). То-
гда
.
)()()(1
)()(
)( )7(
321
201
p
pWpWpW
pWpW
pW
τ
−
+
=
⊗
g
(-)
)(
3
pW
y
)(
1
pW
Рис. 5.
−
τ
p
)(
2
pW
)(
01
pW
⊗
≈
Звено с запаздыванием может быть в параллельной ветви прямой цепи си-
стемы. На входе этой ветви и нужно размыкать систему (рис. 6.). При этом
.
)()()(1
)()()(
)( )8(
431
421
p
pWpWpW
pWpWpW
pW
τ
−
+
=
⊗
g
(-)
)(
4
pW
y
)(
1
pW
Рис. 6.
−
τ
p
)(
2
pW
)(
3
pW
⊗
≈
Передаточные функции
),( pW
которые определяются равенствами (6) -
(8), после подстановки передаточных функций отдельных участков системы
принимают вид (4).
55
Рассмотрим возможность применения критерия Найквиста для исследова-
ния устойчивости систем с запаздыванием. Запишем еще раз передаточную
функцию системы в разомкнутом состоянии
.)()(
τ
p
o
pWpW
−
=
Система без запаздывающего звена
0
→
τ
называется предельной систе-
мой. Ее передаточная функция в разомкнутом состоянии
).()( )9(
0
pWpW
oраз
=
→
τ
Частотные характеристики системы с запаздыванием и без него определя-
ются соответственно выражениями
))(()(
0
)()()()( )10(
ω τωϕω τωϕω τ
ωωωω
−−−
=⋅==
jjjj
AAjWjW
и
).()(
0
ωω
jWjW
=
Из выражения (10) следует, что для построения АФЧХ системы с запазды-
вание необходимо построить годограф системы без запаздывания (предельной
системы) и каждый вектор этой АФЧХ повернуть на угол
.
ω τ
При возрастании
ω
значение
ω τ
также возрастает и так как при больших значениях
ω
модуль
)(
0
ω
jW
обычно мал, то АФЧХ системы с запаздыванием закручивается вокруг
нуля . На рис. 7 цифрой 1 обозначена АФЧХ предельной системы; цифрой 2 –
АФЧХ системы с запаздыванием.
56
Допустим, что предельная система устойчива. Тогда согласно критерия
устойчивости Найквиста для устойчивых в разомкнутом состоянии систем,
АФЧХ не должна охватывать точку
., 01 j
−
Будем теперь увеличивать
τ
от нуля
и следить за деформацией АФЧХ, соответствующей
)(
0
ω
jW
. Может получить-
ся, что для некоторого значения
кр
ττ
=
при
кр
ωω
=
АФЧХ пройдет через точ-
ку
01 j,
−
. Если при
кр
ττ
<
АФЧХ разомкнутой системы не будет охватывать
точку (
01 j,
−
), а при
кр
ττ
>
АФЧХ эту точку охватывает, то это соответствует
тому, что при
кр
ττ
=
система находится на границе устойчивости.
Тем самым при возрастании
τ
точка (
01 j,
−
) оказывается внутри АФЧХ
разомкнутой системы и система станет неустойчивой.
Если продолжать увеличивать
τ
, то это в общем случае может привести к
тому, что АФЧХ разомкнутой системы изменясь, не будет охватывать точку (
01 j,
−
) и система вновь станет устойчивой. Дальнейшее увеличение
τ
вновь
может привести к неустойчивости. Значения
τ
, при которых АФЧХ разомкну-
той системы проходит через точку (
01 j,
−
), называют критическими. Эти кри-
тические значения
кр
τ
и частоты
кр
ω
определяются из уравнения
,)()( )( 111
1
==
−
кркр
j
кркрр
jWjW
ωτ
ωω
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
-2 -1 0 1 2 3
Im
Re
2
1
ω
1
τ
M
1
M
2
Рис. 7.
57
которое можно представить двумя уравнениями
,)()(mod)(mod )( 112
11
===
кркркрр
AjWjW
ωωω
.)(arg)(arg )(
кркркркрр
jWjW
τωωω
−=
1
13
Из выражения (13) следует, что критические значения
кр
τ
можно найти из
условия
, )(
кркр
кр
ω
γ
ω
ϕπ
τ
=
−
=
14
где
−−=
γωϕ
);(arg
кр
W
1
угол между вектором
)(
крр
jW
ω
и отрицательным
направлением действительной оси.
Значение
кр
τ
может быть определено графически. Для этого на комплекс-
ной плоскости
)(
ω
jW
проведем окружность единичного радиуса (рис. 8). Точ-
ки пересечения годографа
)(
ω
jW
1
с этой окружностью определяют частоты
пересечения
,, ,
21
кркр
ωω
а отношения углов
, ,
21
γγ
к значениям
, ,
21
кркр
ωω
- предельные времена запаздывания. В общем случае таких точек
может быть несколько.
-2 -1 0 1 2 3
Re
Im
ω
кр
Рис. 8.
Отметим, что если годограф
)(
ω
jW
1
целиком лежит в окружности единич-
ного радиуса, т.е. нет точек пересечения, то система устойчива при любом зна-
чении
τ
.
Пример. Автоматическая система состоит из инерционного звена с пере-
даточной функцией
1
1
1
+
=
Tp
k
pW )(
и звена запаздывания
τ
p
pW
−
=
)(
2
.
Требуется определить критическое время запаздывания
кр
τ
при
.1
1
>
k
Решение. Выражение для амплитудно-частотной характеристики инерци-
онного звена имеет вид
58
.)(
1
2
1
1
+
=
ω
ω
T
k
A
Приравняв его к единице и возведя обе части в квадрат имеем
.1
2
1
22
1
==
Tk
кр
ω
Отсюда
.
2
1
2
1
2
1
T
k
кр
−
=
ω
Зная
кр
ω
определим угол
ϕ
из выражения для инерционного звена
)()(arg
11
TarctgjW
кркр
ωωϕ
−=−=
и затем по формуле (14) вычислим кри-
тическое значение времени запаздыва-
ния. Годограф
)(
ω
jW
1
для данного слу-
чая показан на рис. 9, где
.
кр
кр
кр
кр
Tarctg
ω
ωπ
ω
ϕπ
τ
1
−
=
−
=
При
кр
ττ
<
система устойчива; при
кр
ττ
>
система неустойчива.
П р и м е р . Передаточная функция
разомкнутой системы представлена в
двух составляющих
))((
)(
11
21
2
1
++
=
pTpT
kpT
pW
и
.)(
p
e
pW
τ
−
=
2
Требуется определить значения времени запаздывания, при которых си-
стема устойчива.
Р еш е н и е . Для удобства изложения хода решения передаточную функ-
цию
)( pW
1
представим
.)()()(
11
2
2
1
12111
+
⋅
+
==
pT
pT
pT
k
pWpWpW
Тем самым, уравнение (12) для случая имеет вид
,)()()( 1
2111
=⋅=
кркркр
AAA
ωωω
где
1
k
Re
Im
-1
γ
ϕ
0
=
ω
ω
кр
Рис. 9.
59
. )( ,)(
11
22
2
2
12
22
1
11
+
=
+
=
кр
кр
кр
кр
кр
T
T
A
T
k
A
ω
ω
ω
ω
ω
После выполнения необходимых преобразований получим
,
2
2
1
2
2
21
2
1
1
−+
+
=
T
T
T
TT
k
кр
кр
ω
ω
или
.a
T
TT
k
T
T
кр
кр
±=
+
−±=−
2
2
21
2
1
2
1
1
ω
ω
Откуда
,
1
2
1
2
1
2
4
T
T
T
aa
кр
+++
=
ω
,
1
2
1
2
1
2
4
T
T
T
aa
кр
++−
=
ω
при этом
.
21
кркр
ωω
>
Таким образом, для рассматриваемого случая существуют две частоты
пересечения
1
кр
ω
и
,
2
кр
ω
которым соответствуют два различных угла
ϕ
.
)(
;
)(
212
21
2
2
2
211
21
2
1
1
1
1
TT
TT
arctg
TT
TT
arctg
кр
кр
кр
кр
+
−
=
+
−
=
ω
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
Из построений, представленных на рис. 10, следует, что
,0
1
>
ϕ
а
0
2
<
ϕ
и,
тем самым
.
2211
ϕπγϕπγ
−=<−=
Рассматривая последовательно увеличение
τ
от нуля до бесконечности на
основании уравнения
кркр
кр
ω
γ
ω
ϕπ
τ
=
−
=
60