Куцый Н.Н. Теория автоматического управления. Лабораторный практикум

Подождите немного. Документ загружается.

Сложные элементы автоматических систем и сами автоматические систе-

мы состоят из некоторого числа соединенных между собой динамических зве-

ньев. Наиболее простыми и часто встречающимися соединениями являются по-

следовательное (рис. 1,а), параллельное (1,б) и соединение, называемое встреч-

но-параллельным или - охват звена

W p( )

обратной связью (рис. 1,в)

(

)

(

)

(

)

⊗

(

)

(

)

(

)

⊗

(p)

ос

(p)

б) в)

Рис.1.Типовые соединения динамических звеньев: а) последовательное; б)

параллельное; в) звено

)(pW

, охваченное обратной связью посредством звена

).(pW

При последовательном соединении выходная величина каждого из зве-

ньев, кроме последнего, служит входной величиной последующего звена. Эк-

вивалентная передаточная функция

)(pW

экв

последовательного соединения в

общем случае определяется по формуле

).()...()()( )1(

321

pWpWpWpW

экв

При параллельном соединении все звенья имеют одну и ту же входную величи-

ну, а их выходные величины суммируются. Передаточная функция параллель-

ного соединения n звеньев равна

).(...)()()( )2(

pWpWpWpW

nэкв

+++=

Соединение звеньев, представленное на рис. 1,в приводит к образованию

замкнутой системы и состоит из двух звеньев. Звено с передаточной функцией

)(pW

является прямой цепью передачи сигналов, а звено с передаточной

функцией

)(pW

ос

осуществляет обратную связь. Обратная связь это воздействие

выходной величины какого-то звена на его вход. Если это воздействие совпада-

ет по знаку с входной величиной, то обратная связь - положительная. В против-

ном случае обратная связь - отрицательная.

Передаточная функция замкнутой автоматической системы

)()(1

)(

)( )3(

pWpW

ос

зам

где знак "+" в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи и знак

"-" - положительной.

На практике наиболее употребительны жесткая

осос

и гибкая (диффе-

ренциальная)

pkpW

осос

)(

обратные связи.

Обратные связи изменяют свойства типовых динамических звеньев.

Проиллюстрируем это на примере интегрирующего звена с передаточной

функцией

исх

)(

при охвате его жесткой отрицательной обратной связью

осос

Передаточная функция замкнутой системы равна

)(

kkp

осос

зам

Полученное выражение

)(pW

зам

приведем к виду, принятому в теории авто-

матического управления, для чего разделим числитель и знаменатель

)(pW

зам

на

.kk

ос

Тем самым

)(

ос

зам

где

осос

Сравнивая передаточные функции

)(pW

зам

)(pW

исх

видим, что характер

)(pW

исх

после охвата его отрицательной обратной связью изменился, так как

передаточная функция

)(pW

зам

представляет собой инерционное звено первого

порядка.

При жесткой положительной обратной связи имеем

)(

−

kkp

ос

зам

Звено с такой передаточной функцией представляет собой неустойчивое

апериодическое звено первого порядка, т.е. и в этом случае характер звена из-

менился.

Отметим, что выводы об изменении характера исходного звена справедли-

вы при

∞<<

ос

Устойчивость (в широком смысле) - это свойство системы возвращаться в

некоторый или близкий к нему установившийся режим из начальных состоя-

ний.

Процесс регулирования определяется решением дифференциального урав-

нения как сумма двух решений - частного решения неоднородного уравнения с

правой частью и общего решения уравнения без правой части, т.е. с правой ча-

стью равной нулю

)( )4( ty

част

).()( tyt

общ

В случае y

част

constt

)(

, это будет установившееся значение. Первое слага-

емое (4) называют также вынужденным решением

y t

( )

, а второе слагаемое -

переходной составляющей

)(ty

. Тогда выражение (4) может быть записано в

виде

).()()( tytyty

пв

Система будет называться устойчивой, если с течением времени при

∞→

переходная составляющая будет стремиться к нулю:

.0)(

→

Найдем

эту составляющую, решив дифференциальное уравнение без правой части

.0... )5(

=++++

−

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое

уравнение

.0... )6(

=++++

−

apapapa

Так как в решении характеристического уравнения содержится n корней,

то переходная составляющая может быть записана в виде

,...)( )7(

tptp

CCCty



+++=

где

−

ppp ,...,,

корни характеристического уравнения;

−

CCC ,...,,

постоян-

ные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Корни характеристического уравнения определяются только видом левой

части дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования определя-

ются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма

переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходно-

го дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости

системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного

процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса).

то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части исходного

дифференциального уравнения и определяется только характеристическим

уравнением (6), а конкретно его корнями. Для затухания процесса необходимо

и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это

относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы

один корень характеристического уравнения будет иметь положительную ве-

щественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т.е. си-

стема окажется неустойчивой.

Можно показать, что необходимым (но не достаточным) условием устой-

чивости системы является положительность всех коэффициентов характери-

стического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициен-

тов система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчи-

вости системы. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения

положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных

исследований устойчивости не требуется.

Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для

уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчи-

вой при положительности всех коэффициентов характеристического уравне-

ния, в чем можно убедиться прямым нахождением корней характеристического

уравнения.

Покажем на примере влияние обратной связи на устойчивость. Пусть име-

ем звено с передаточной функцией

)(

Решив характеристическое

уравнение

,01

найдем его корни

−=

т.е. это звено является устой-

чивым.

Охватив его жесткой отрицательной связью с коэффициентом обратной

связи

ос

Имеем

)(

kkTp

осос

зам

где

осос

Характеристическое уравнение

)(pW

зам

имеет вид

и его корень

−=

т.е. при охвате инерционного звена жесткой отрицательной обратной

связью его устойчивость не нарушится.

Иное дело при охвате инерционного звена жесткой положительной обрат-

ной связью. Имеем

)(

−+

−

kkTp

осос

зам

где

осос

−

причем в зависимости от значения

ос

величина



может быть или меньше нуля, или больше нуля, т.е. корень характеристиче-

ского уравнения при

ос

будет

<−=

и система устойчива; при

ос

корень равен

>−=

и система неустойчива.

Если же

ос

, то имеем

зам

)(

, т.е. изменился характер переход-

ного процесса, т.к. это интегрирующее звено с корнем характеристического

уравнения

и тем самым система находится на границе устойчивости.

Охватим это же инерционное звено гибкой отрицательной связью

.pk

ос

Имеем

1)(1

)(

pkkT

pkkTp

pkk

ососос

зам

где

>+=

ос

kkTT

Характеристическое уравнение

)(pW

зам

в этом случае имеет вид

и его корень равен

−=

т.е. при охвате инерционного звена гибкой отрица-

тельной обратной связью устойчивость его не нарушится.

Охватим инерционное звено гибкой положительной обратной связью.

Имеем

1)(1

)(

+−

−+

−

pkkT

pkkTp

pkk

ососос

зам

где

ос

kkTT

−=

причем в зависимости от значения

ос

величина

может быть

или меньше, или больше нуля, т.е. корень характеристического уравнения при

ос

будет равен

<−=

и тем самым система устойчива; при

ос

корень равен

= − >



и система неустойчива.

Если же

ос

то имеем

,)( kpW

зам

то изменился характер переходного

процесса, т.к. это усилительное безынерционное звено.

2.ИССЛЕДОВАНИЕ

В лабораторной работе исследуется простейшая автоматическая система

структурная схема которой приведена на рис. 2.

⊗

(

)

o с

(

)

Рис. 2. Структурная схема исследуемой системы

Здесь

)(

- инерционное звено,

или

)(

TppT

- колебательное звено,

или

−

pTpT

pW )(

инерционное звено второго по-

рядка,

или

−

)(

консервативное звено,

−

)(pW

ос

передаточная функция звена обратной связи: в случае жесткой обрат-

ной связи

;)(

kpW

ос

в случае гибкой обратной связи при использовании идеального дифференциру-

ющего звена

.)(

2ос

pkpW

Варианты

№

Вид

W p

( )

k T

Вид обратной связи

Инерционное

1 1

Жесткая ОС

Колебательное

1 1 0,1

Жесткая ОС

Инерционное

звено второго

порядка

10 4

Жесткая ОС

Консервативное

1 1

Жесткая ОС

Инерционное

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Колебательное

звено

1 1 0,1

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Инерционное

звено второго

порядка

10 10 4

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

№

Вид

W p

( )

k T

Вид обратной связи

Консервативное

1 1

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Инерционное

1 10

Жесткая ОС

Колебательное

1 10 0,2

Жесткая ОС

Инерционное

звено второго

порядка

1 0,4

Жесткая ОС

Консервативное

1 10

Жесткая ОС

Инерционное

0,1 0,1

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Колебательное

0,1 0,1 0,2

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Инерционное

звено второго

порядка

0,1 2 1

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Консервативное

0,1 0,1

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Инерционное

0,1 10

Жесткая ОС

Колебательное

1 10 0,3

Жесткая ОС

Инерционное

звено второго

порядка

3 2

Жесткая ОС

Консервативное

1 1

Жесткая ОС

Инерционное

10 0,1

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Колебательное

2 1 0,3

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Инерционное

звено второго

порядка

10 5 2

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Консервативное

1 5

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Инерционное

5 1

Жесткая ОС

Колебательное

1 1 0,4

Жесткая ОС

Инерционное

звено второго

порядка

5 0,4 0,1

Жесткая ОС

Консервативное

1 2

Жесткая ОС

Инерционное

5 0,1

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

Колебательное

0,1 1 0,5

Гибкая ОС (идеальное

дифференцирование)

3. ЗАДАНИЕ

3.1.Исследование при жесткой обратной связи

3.1.1.Рассмотреть отрицательную обратную связь. Показать аналитиче-

ски, как изменяются характер и параметры звена W(p) в диапазоне возможного

изменения коэффициента обратной связи

∞<<

3.1.2.Рассмотреть отрицательную обратную связь. Вычислив корни ха-

рактеристического уравнения замкнутой автоматической системы исследовать

её устойчивость в диапазоне возможного изменения коэффициента обратной

связи

∞<<

3.1.3.Выводы предыдущих пунктов 3.1.1 и 3.1.2 проиллюстрировать пу-

тем моделирования.

3.1.4.Рассмотреть положительную обратную связь. Показать аналитиче-

ски, как изменяются характер и параметры звена W(p) в диапазоне возможного

изменения коэффициента обратной связи

∞<<

3.1.5.Рассмотреть положительную обратную связь. Вычислив корни ха-

рактеристического уравнения замкнутой автоматической системы исследовать

её устойчивость в диапазоне изменения коэффициента обратной связи

∞<<

3.1.6.Выводы предыдущих пунктов 3.1.4 и 3.1.5 проиллюстрировать пу-

тем моделирования.

3.2.Исследование при гибкой обратной связи при использовании идеаль-

ного дифференцирования

3.2.1.Рассмотреть отрицательную обратную связь. Показать аналитиче-

ски, как изменяются характер и параметры звена W(p)в диапазоне возможного

изменения коэффициента обратной связи

∞<<

3.2.2.Рассмотреть отрицательную обратную связь. Вычислив корни ха-

рактеристического уравнения замкнутой автоматической системы, исследовать

её устойчивость в диапазоне возможного коэффициента обратной связи

∞<<

3.2.3.Вывод предыдущих пунктов 3.2.1 и 3.2.2 проиллюстрировать путем

моделирования.

3.2.4.Рассмотреть положительную обратную связь. Показать аналитиче-

ски, как изменяются характер и параметры звена W(p) в диапазоне возможного

изменения коэффициента обратной связи

∞<<

3.2.5.Рассмотреть положительную обратную связь. Вычислив корни ха-

рактеристического уравнения замкнутой автоматической системы, исследовать

её устойчивость в диапазоне возможного изменения коэффициента обратной

связи

∞<<

3.2.6.Выводы предыдущих пунктов 3.2.4 и 3.2.5 проиллюстрировать пу-

тем моделирования.

4.СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

4.1.Структурная схема исследуемой автоматической системы с заданными

значениями параметров звена W(p).

4.2.Аналитические выражения с необходимыми пояснениями, показываю-

щие изменения параметров звена W(p) при охвате его обратной связью задан-

ного Вам вида:

жесткой отрицательной обратной связью;

гибкой отрицательной обратной связью;

4.3.Аналитические выражения, характеризующие процесс исследования и

его результаты замкнутой автоматической системы на устойчивость при охвате

звена W(p) обратной связью заданного Вам вида:

жесткой отрицательной обратной связью;

гибкой отрицательной обратной связью;

4.4.Аналитические выражения с необходимыми пояснениями, показываю-

щие изменения параметров звена W(p) при охвате его обратной связью задан-

ного Вам вида:

жесткой положительной связью;

гибкой положительной обратной связью;

4.5.Аналитические выражения, характеризующие процесс исследования и

его результаты замкнутой автоматической системы на устойчивость при охвате

звена W(p) обратной связью заданного Вам вида:

жесткой положительной обратной связью;

гибкой положительной обратной связью;

4.6.Соображения по выбору и выбранные значения шага интегрирования

∆t и величина интервала интегрирования L.

4.7.Листинг фрагмента программы, относящегося к моделированию иссле-

дуемой автоматической системы.

4.8.Графики переходных или весовых функций с необходимыми поясне-

ниями, позволяющими работать с графиками, т.е. последние должны иметь

масштабы, обозначения функций и т.п.

4.9.Доказательство изменения или характера заданного звена W(p), или

только его параметров при охвате его обратной связью. В основе доказатель-

ства должны быть полученные путем моделирования графики переходной или

весовой функций.

4.10.Текстовая часть отчета должна соответствовать ГОСТу 2.105-79, гра-

фики выполняются с учетом ГОСТа 2319-81, список использованной литерату-

ры осуществляется с учетом ГОСТа 7.1-81.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Покажите связь между собой передаточных функций разомкнутой и зам-

кнутой автоматической системы?

2.Как влияет на

consttyy

уст

∞→

)(lim

жесткая обратная связь и гибкая

обратная связь?

3.Характер затруднений, возникающий при практической реализации опе-

рации "чистого" дифференцирования.

4.Покажите причину (причины), исходя из которой об устойчивости авто-

матической системы можно судить по виду корней характеристического урав-

нения соответствующего дифференциального уравнения, с помощью которого

описываются процессы в автоматической системе, и ничего нельзя утверждать

об устойчивости автоматической системы, исходя из ее начальных условий.

5.Покажите, что необходимым (но не достаточным) условием устойчиво-

сти автоматической системы является положительность всех коэффициентов

характеристического уравнения, т.е. при положительности всех коэффициентов

система может быть устойчивой, но не исключена возможность неустойчиво-

сти автоматической системы; если же не все коэффициенты характеристиче-

ского уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких

дополнительных исследований не требуется.

6.Покажите, что для автоматических систем, имеющих характеристиче-

ское уравнение второго порядка необходимым и достаточным условием устой-

чивости является положительность всех коэффициентов характеристического

уравнения.

7.Покажите, как связаны между собой передаточные функции разомкну-

той системы, т.е.

)(pW

раз

и передаточная функция замкнутой системы по

ошибке, т.е.

)(

xзам

8.Покажите, как связаны между собой передаточные функции замкнутой

системы, т.е.

)(pW

зам

и передаточная функция замкнутой системы по ошибке,

т.е.

)(

xзам

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Цель работы - исследования, связанные с устойчивостью автоматических

систем

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Анализ устойчивости автоматических систем, - один из основных вопро-

сов, который необходимо исследовать для оценки работоспособности систем.

Устойчива система или нет можно установить, исследуя её свободное движе-

ние, т.е. поведение системы под влиянием ненулевых начальных условий.

Предположим, что к автоматической системе в течение некоторого проме-

жутка времени, кроме задающего воздействия, прикладывается и возмущение,

и в результате состояние автоматической системы в момент

характеризу-

ется значениями

)(),...,(),(

)(

000

−

yyy



управляемой переменной и её производ-

ных. Предположим далее, что в момент времени

возмущение снимается, т.е.

дальнейшее поведение системы определяется влиянием задающего воздействия

и начальными условиями

)(),...,(),(

)(

000

−

yyy



, причем эти два влияния в ли-

нейной системе независимы друг от друга.

Если свободная составляющая управляемой переменной, которая вызвана

ненулевыми начальными условиями, с течением времени стремится к нулю, то

такую систему называют устойчивой (асимптотически устойчивой).

Если свободная составляющая стремится к некоторому конечному значе-

нию или совершает гармонические колебания, амплитуда которых стремится к