Козлов В.Н. Системный анализ и принятие решений

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, величину риска на этапе управления можно

оценить как меру превышения нагрузкой несущей способности.

ил ия конПерейдем к люстрации понят технико-э омического

риска, основываясь на условиях предыдущего примера.

Последствия при конкретной нагрузке

X и несущей способности

можно описать функцией

),(),( y

→ . Прежде всего,

рассмот , т.е. случай, рим критический случай при условии

когда несущая способность ниже уровня нагрузки. В этом случае

0),( =

при 0<

, а р тичес й случай X к и ки

можно оценить

простым утверждением:

1),(

. Однако реальные данные

показывают, что такая характеристика ситуации (0 или

(,XY

1) неточн

введем

а.

Поэтому детерминированную функцию

)

случайн

ых

величин, которая позво ко омический риск яет оценить э н

(предполагая стохастическую независим сть о

()( ()

э yx

)

x y y x dy

∞ +∞

=−∞ −∞

=∫ ∫

(5)

В равенстве (5) использовалось понят

f f dx

ие математического

ожидания функции случайных величин, в котором

детер ция

(

)

играет ь цены фрол ункции

минированная функ и

то п тн

, что соответствует модели 2, табл. 3.5. В силу независимости

Y вмес ло ости системы случайных величин

(

)

используется произведение плотностей

. Для заданного

значения

нагрузки ожи ие риска имеет

Математические модели экон ического риска переносятся на

случа

и, тственн

математическое дан вид

(6)

()()

dyyfy,xφR

∫

+∞

−∞=

ом

й описания нагрузки

и несущей способности

дискретными случайными величинам соотве о, с

распределениями, приведенными в табл. 3.6.

171

Таблица 3.6. Дискретные случайные величины и их вероятности

дискретные велич

Случайные

ины

Значения Вероятности

,...,

личины x и y задания, а ущерб характеризуется

функ

Пусть ве

цией

()

,, 1,

yai m

. Тогда экономический риск

определяется равенством, соответствующим математическому

ожид

ений на основе мет

ии

системн

ий в коне н

аф

я и тия решений.

Приведены типовые задачи - выделение лучшего объекта, линейное

упор угие подходы. Проведено исследован а

решения как преобразования исходной структуры в финальную

струк р

овн стр ре оч

приня

сл

от е н мация

ко д я п

ое

анию детерминированной функции дискретных случайных

величин:

ijЭ

PaR

∑∑

, что соответствует модели 1, табл. 3.6.

6.6. Принятие реш одов

комбинаторной аппроксимац

Принятие решений методами комбинаторной аппроксимации

основано на последовательном

преобразовании ого графа

или матрицы предпочтен ч ый граф или матрицу

. Это

преобразование осуществляется путем ряда промежуточных

операций. Исходный системный граф характеризует исходное

описание ситуации принятия решений. Конечный гр

характеризует ситуацию, конструктивную дл пр ня

ядочение и др ие процесс

ту у, оптимальным образом, аппроксимирующую исходную.

1. Ур и принятия решений, уктуры п дп тений и

алгоритмы.

Обычно задачи тия решений характеризуются

абой структурированностью, когда деформации поддаются лишь

д льные фрагменты общей поста овки. Исходная инфор

часто неполна и/или противоречива, пос льку л ее олучения

используются не только строгие объективные измерения или

формальные методы, но и экспертные оценки. Корректн

172

принятие решений в этом случае требует дополнительной

струк пополнения имеющейся инф и

устранения (хотя бы частично) противоречий. Тогда исходная

проб

р й, ом

ац ы

елях, определяющих

пред . В

соответ оженным в но выде ие

ур й:

–

уровн архитектуры интерактивных систем принятия

решений;

общая схема процесса принятия решений (генерация

альте

чки последовате ны щ

дчинена сист тия

решений выбирается одна из постановок:

1). Линейно

2). Выделение лу

3).

ур о е

качестве основной процедуры сравнивания и оценивания

используются парные сравнения и

теория бинарных отношений.

туризации проблемы, ормации

лема может быть аппроксимирована некоторой хорошо

структу ированной проблемо близко к исходной. В данн

разделе изучается классифик ия таких аппроксимаций, котор е

базируются на

теоретико-графовых мод

почтения или уровни (этапы) принятия решений

ствии с изл ыше, мож лить следующ

овни принятия решени

–

рнатив, их оценка и анализ);

–

цепо ль х аппроксимации имею ейся

структуры предпочтений.

Рассмотрим особенности уровней интерактивных систем

принятия ешений. На целевом уровне определяются цели,

которым по ема. На уровне постановок задач приня

е упорядочение альтернатив.

чшей альтернативы.

Выделение подмножества (упорядоченного или

неупорядоченного) лучших альтернатив.

4). Частичное упорядочение подмножества лучших альтернатив.

5). Упорядоченное разбиение альтернатив (стратификация,

групповое порядочение).

На овне процедур рассматриваются бщие проц дуры

принятия решений, процедуры обработки результатов измерений,

характеристик альтернатив, получения и обработки экспертных

оценок, организации диалога с лицом, принимающим решение. В

173

На уровне формальных моделей широко применяются

модели дискретной оптимизации и оптимизационные задачи на

граф

)

н , е

ах. Для описания степени превосходства одной альтернативы

над другой и возникающей структуры предпочтений используется

аппарат теории ориентированных графов. В этом случае задача

может ставиться как

задача аппроксимации построенной

структуры

наилучшим графом из заданного класса.

Для поясне ия вернемся к рассуждениям раздела,

посвященного методу системных (решающих матриц.

Совокупность оце ок отв чающая «условиям-вариантам»,

обрабатывается с помощью специальных алгоритмов. В результате

обработки принимается решение, приемлемое в определенном

смысле. В рассматриваемой ситуации согласно анализу оценок

строится

структура предпочтений - ориентированный граф

предпочтений

на основе парных сравнений. Если в процессе

парного сравнения выявляется факт превосходства объекта i над

объектом

, то в гра е проводится дуга з узла i в зел ф и у

, причем

превосходство понимается в смысле соотношения оценок.

В соответствии с оценками строится граф или матрица. На

дугах г

ния (превосходства) с весом .

вида

рафа можно отразить не только факт, но и степень

предпочте

Определение 1. Дополнительные ограничения на

симметричные элементы матриц

(

)

ы :

калибровками.

называются

лизованных структур

наторной оптимизации,

гут быть различными. На

не

может рассматриваться

Калибровки позволяют придать различный смысл

соотношениям между оценками. Далее можно перейти к

формализованным методам обработки структур предпочтений.

2. Методы обработки форма

предпочтений.

Примеры методов комби

основанных на теории графов, мо

классическом уров оптимизации на множестве объектов с

заданной структурной предпочтений

174

комплекс задач дискретной оптимизации. Это задачи о рюкзаке, о

а м

структур с учетом разрешимости

опти ц

и в ,

о м

ьтернатив при

прин и

е г как

базовые

аппр

ю структуру, определяет

конкретное решение задачи принятия решений. Поэтому для

данной схемы принятия решений необходимо выделить

основные

этапы алгоритма

назн чениях, об опти альной упаковке и другие. Важную роль

имеет аппроксимация

миза ионных проблем в условиях ограничений. Решение задач

этого класса должно обеспечиваться адекватным программным

обеспечением. Описание ранее формализованные модели могут

также допускать принятие решений на основе известных

оптимизац онных методов – вет ей и границ динамического

программирования и других.

Рассматриваемые понятия концептуально касаются общей

схемы принятия решений в определенных структурах

предпочтения. При этом для эффективного оценивания или

сравнения альтернатив целесообразно ввести понятие базовых

структур.

Базовые графовые структуры представления данных и

их пре бразования фор ируются следующим образом. Выбор

типовых структур графов связан с оцениванием ал

ятии решений с процессом обработки данных.

Преобразовани рафов предпочтений рассматривается задача

выявления и устранения противоречий (которые обычно выступают

в форме контуров), формирование упорядочения вершин, наиболее

близко отв чающих исходному графу, выявление подмножества

наиболее предпочтительных вершин (альтернатив). В некоторых

случаях целесообразно преобразование исходного орграфа с

последующим распределением вершин по слоям или с выделением

наиболее предпочтительных вершин.

Предположим, что

исходная структура предпочтений

задана орграфом G самого общего вида. Далее вводятся

оксимирующие структуры

. Переход от структуры

предпочтений к некоторой б зовой структуре определенного

класса, аппроксимирующей исходну

175

1). В аппроксимирующей ст

й структу

этапа аппроксимации на основе выбранного пути.

4). Ф эта ели

взаимосвязь р н

ику

преоб

й . аз г

а л е

емых дуг; 9). Добавление вершины с

дугам

по

рассмотреть описание структур предпочтений. Структуру

ыбор типа финальной руктуры.

2). Определение пути достижения финально ры.

3). Определение

ормализация пов и определение мод .

Можно установить задач принятия ешений

основе исходных и аппроксимирующих структур

. Динам

разования можно отметить стрелками и штрихами.

Направление стрелок указывает возможные пути аппроксимации, а

штрихам отмечаются случаи, когда преобразованиям подвергается

не вся структура, а лишь некоторые ее подграфы. Можно получить

классификацию финальных структур.

Анализ схемы позволяет выделить возможные

типы

структурных преобразований.

Можно установить количество

уровне аппроксимации Для преобр ований рафов можно

использовать следующие

базовые операции: 1). Удаление дуг; 2).

Добавление дуг; 3). Переориентация (и версия) дуг; 4). Удаление

вершин с дугами; 5). Замена некоторого подграфа одной вершиной

(стягивание, склеив ние вершин); 6). Уда ени вершин с заменой

исключаемых дуг; 7). Удаление некоторого подграфа; 8). Удаление

подграфа с заменой исключа

и; 10). Добавление некоторого подграфа; 11). Замена

некоторой вершины дграфом.

Описанны выше преобразования графов носят графический

характер и определяются

критериями близости и текущей

структурой графа

. При этом помимо отмеченного варианта

принятия решений целесообразно использовать формализованные

модели принятия решений, основанные на

матрицах парных

сравнений

3. Формализованные модели принятия решений. Выше

анализировались

три уровня принятия решений: целевой,

постановочный и процедурный. Далее рассматриваются задачи

уровня формализованных моделей. Для этой цели необходимо

176

предпочтений, возникающую на множестве объектов (например,

оценок к чества, риска т. д.) в результате парных сравнений,

можно описать матрицами парных сравнений или графом. Эти

описания в определенном смысле экви

а и

валентны.

. ь о

ли

Определение 2 Пуст задано мн жество объектов

{}

x,...,xx

которые сравниваются попарно с точки зрения

предпочтительности, важности и других характеристик.

Матрицей парных сравнений будем называть матрицу

(

)

RaA

∈=

, содержащую качестве э ементов

результаты

сравнений элементов с номерами

в л

множества

(

)

,...,x,...,x,...,xx

, причем здесь отражается

жестве).

ва одного

чтений.

п в

возникающее

бинарное отношение предпочтения (безразличия на мно

Если парное сравнение выявляет лишь факт превосходст

объекта над другим, то множеству можно однозначно поставить

граф, в частности граф простой структуры предпо

Определение 3. Если множеству

соответствует орграф,

будем называть ориентированный граф (орграф)

графом простой

структуры

()

ν,G v , ричем: 1). Множество ершин v

соответствует объектам множества

(

)

nji

x,...,x,...,x,...,xx

; 2). Дуга

из вершины

в вершину

проводится, если объект

превосходит объект

, т.е.

xx >

. Если результат

сравнен

отраж

ия

ает также степен (силу, интенсивность и .п.) превосходства,

то во вводимом орграфе G некото ая дуга звешена элементом

Такой граф есть

граф предпочтения.

Симметричные элементы матрицы

(

)

=∈

парных

сравнений

должны быть равными, если соответствующие

объекты (

) равноценны (

x~x

). Если же

xx >

, то

aa > .

На элементы матрицы

накладываются дополнительные

калибровочные ограничения, связывающие попарно

177

симметричные элементы

. Калибровочные соотношения

расширяют варианты описания соотношений между элементами

множ

ества. Ряд калибровок дан в табл. 3.7.

Таблиц 3.7. Калибровочные соотношения

Наименование калибровки Соотношение между элементами

1. Прос

,, :ij i j

тая структура

∀

≠

, ;

1/ 2,

ij j i

axx

1, ;

⎪

⎨

⎪

⎩

∼

⎧

⎪

2. Турнирная калибровка

,: 0,

ij ij ji

ij a aa c

∀

≥=

3. Степенная калибровк

,: 0, 1

ij ij

ij a a

∀

≥=

4. Кососимметричная

калибровка

,:ij

∀

ij ji

a а

5. Вероятностная калибровка

,:ij

∀

01,

a+ 1

Рассмотрим конкретное содержание отдельных вариантов

калибровок. В первом случае нтерпре ция соответствует

осходству. В случае турнирной калибровки:

–

число очко набранных игроком

во е сл встречах с

и та

простому прев

в, вс х учаях

игроком

, –

c const=

количество встреч. В варианте степенной

калибровки

объект

превосходит в парном сравнении объект

. Для кососимметричной калибровки характерно, что объект

превосходит в парном сравнении объект

на величин

ве

Наконец, в

вероятностной калибровке личина

предполагает

вероятность од тва

над

. При фиксации превосх

калибровочных соотношений (см. табл. 3.7) переход от матрицы

178

парных сравнений

к орграфу

G(,)Vv

взаимно-однозн

пр т ий в и г ода

ть иям

универсальности Под корректностью

лу

ебираемых вариантов.

ых моделей

ци а к

первы

ля я . На жеств

ачный.

Модели иня ия решен рамках оп санно о подх

должны удовлетворя услов корректности, адекватности,

полноты и . понимается

математическая и формально-логическая непротиворечивость.

Адекватность традиционно определяет соответствие оригина .

Полнота характеризуется спектром пер

4. Стандартные типы формализованн . В рамках

аппроксима и н лассе структур необходимо ввести стандартные

понятия. Одно из х понятий –

понятие метрики, которое

обычно яв етс обобщением понятия расстояния мно е

структур введем метрику

(

)

x и рассмотрим задачу поиска

«наилучшей аппроксиманты»

()

ρ →

, (1)

где

– аппроксимируемая структура, а

y,ρ

y,x

∈

min

∈

– множество

аппроксимирующих структур. Как правило, в подобных задачах

ис

пользуется

етрика «хемингового» типа:

() ( )

()

() ( )

∑

≠

−=

ijij

aaαA,Aρ

2121

, (2)

где и – элементы квадратных матриц

()

(1)

(2)

;

–

масштабный параметр.

ретизировать задачи определения

«наилучших аппроксимант», при этом модели согласования дают

воз следующими способами.

1).

Аппроксимация с максимальным сохранением исходной

стру анения дуг. Пусть исходная

предпочт а взвешенным орграфом

Далее можно конк

можность решить задачу

ктуры за счет сохр

ений задан

структура

(

)

,GVU= и

с арных сравнений

(

)

a . НазоAоответствующей матрицей п = вем

произвольную

структуру

(

)

согласованной (частично

179

совпадающей) с

(

)

,VU= , если веса дуг

структуры

()

, G

VU=

такие, что

(

)

(

)

,:,,\:0.

Lijij Lij

ij U Ue a ij U U e∀∈∩ = ∀∈ =

(3)

Тогда структура согласованная

(

)

, получается из

исходной структуры счет удаления произвольных дуг и

добавления дуг нулевого веса. При этом справедливо соотношение:

(

за

)

(

)

(

)

,,,,\

GL GL a ij U U

ρρ

≠

>= ∈

ij L

∑

, (4)

причем в (6.4) метрика понимается в смысле определения (2).

2).

Аппроксимация с минимальным рассогласованием в

смысле нек орого веса. ом аппр ксимации

необходимо решить задачу

от В эт учае о

сл

min .aa+→

∑∑

() ()

,\ , \

ij ij

ij U ij U U

∈∈

(5)

3). Неравномерная аппроксимация при учете

неравнозначност отдельных дуг. Введем дл произвольной пары

вершин

(

∈

)

,ij симметричную функцию расстояния

()

,dij вдоль

аппроксимирующей структуры, полагая, что при отсутствии

соответствующих дуг

()

,0dij

, а в противном случае:

а) в порядковых структурах величина

(

)

,dij равна длине

наибольшего ориентированного пути от

;

б) в слоистых структурах

(

)

,dij равно модулю разности

номеров страт, в которых находится

и j . Тогда модель дальних

связей можно записать в виде

(

)

(

)

adij

→

()

∑

LQ∈

(6)

ij U U∈∩

где

(

)

– произвольная монотонно возрастающая функция.

Аналогично обобщим (5) так, что

180