Козлов В.Н. Системный анализ и принятие решений
Подождите немного. Документ загружается.
ней. Для этого введем конечное вер ятностное пространство
(,,)
о
A
PΩ где
Ω
– множество элементарных событий,
A
– алгебра
, вероятностная мера. события
P –
Определение 1. Условной вероятностью события
B
при
ении события K с вероятностью
()PK (обо
осуществл зн ется
P(B/K
ача
)) принимается величина
()
(
)
(
)
/.PBK PKB PK=
(1)
В случае классического способа задания вер ятностей:
()
(
о
)
()
()
(
)
()
()
(
)
()
,, .
NK NKB NKB
PK PKB PBK
NN NK
== =
ΩΩ
(2)
и, следовательно, для вычисления вероятностей благоприятных и
неблагоприятных событий можно использовать свойства условных
вероятностей:
(
)
(
)
(
)
()()()
12 1 2
1, 0, 1, ,
.
PKK P K PBK B K
PB BK PBK PBK
=∅= =⊇
+= +
При это следует имет в вид соотношение:
(
м ь у
(
)
)
1.PBK PBK+=
Рассмотрим одель для вычисления вероятностей
неблагоприятных событий согласно известной формуле
полной
вероятности
. Предположим, что имеется некоторое разбиением
множеств
1
{ ,..., }
n
DK K
м
а
=
, ( ) 0, 1,...,
i
PK i n>= которое часто
называют также
полной группой несовместных событий когда
1
...
n
,
,
B
BK BK=++
, следовательно
()
()
.
n
PB PBK=∑
, и
1
i
i=
Однако
(
(3)
)
(
)
(
)
,
поэтому справедлива формула полной вероятности
iii
PBK PBK PK=
(4)
161
(
()
)
()
.
n
ii
PB PBK PK=∑ (5)
1
i=
В частности, поскольку
0()1
i
KP
<
<
, т справедливо едующее
равенство
()
о сл
(
)
(
)
(
)
(
)
.PB PBKPK PBKPK=+
(6)
Вероятностные модели (5
) могут использоваться для
вычи к
ные
нятии решений, приведены в табл.
3.3.
Формулы полной вероятности Формулы Байеса
сления вероятностей неблагоприятных событий B, огда
заданы условные вероятности P(B|K). Основ вероятностные
модели, используемые при при
Таблица 3.3. Вероятности сложных событий
(
)
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
0
1
4.
iii
n
ii
i
PBK PK
PB PBK PK
=
=
=
=∑
1
1. ...
2.
3.
n
n
i
i
BBK BK
PB PBK
PBK
=++
=∑
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
1
1.
3.
ii
ii
i
ii
n
ii
i
PPB PKB PB
PKB
PB
PBK PK
PBK P
=
=⋅
2.
iii
PBK PBK PK
PBK PK
=
=
K
=
=
∑
Пример 1.
Пусть имеется ситуация, в которой возможно M
исход ы еб пр ва
ется выборка бъема (n–2), и вс и
Пусть K – иятное испытание, а B – второе
неблагоприятное испытание. Тогда вероятность:
ов, из котор х m – н лаго иятных. Како вероятность
того, что на втором испытании будет неблагоприятный исход.
Предполагается, что исход первого испытания известен,
рассматрива о е сходы являются
равновозможными. Далее используется «урновая схема».
первое неблагопр
162
()
()
()
(
)
()
()
()
()
()
()
1
1
1
,
/
1
.
1
mm
PBK M M
m
PBK
PK m M M
PBK
MM
mM
M
PK
−
−
−
== =
−
= =
−
1−
Mm
m
−
m
PBK =
−
m
В соответствии с (7)
()
()
()
()
()
1
11
mmmMmm
P PBK PK
.
B PBKPK
−
M
Mm M M
−
+⋅=⋅+=
−−
у
= ⋅
.
Рассмотрим очередную вероятностную модель. Из
определения словной вероятности следует
(
)
(
)
(
)
.PKB PBKPK=
(7)
Эта формула как «формула умножения вероятностей»
бобщается п сли события о о индукции следующим образом: е
11
,...,
n
K
K
−
таковы, что
11
( ... )
n
PK K
−
, то
(
)
(
)
(
)
(
)
11211
... ... ... ,
nn
PK K PK PK K PK K K
−
=
1n
(8)
где
11
... ... .
nn
K
KK K= ∩∩
2. Формула Байеса. Важное место при определении
вероятности неблагоприятных исходов занимает
классическ я
формула Байеса
, существенно расширяющая возможность
вероятностного описания риска.
Пусть события K и B таковы, что P(K) > 0 и P(B) > 0. Тогда
вместе с (8) справедлива формула
P(KB) = P(K|B) P(B). (9)
а
Из равенств (7) и (9) можно получить формулу Байеса,
представляемую следующим равенством
163
(
)(| )
|)
()
PKPB K
PK B
PB
=
(10)
Если события
,...,
(
.
1 n
K
K
образуют разбиение множества , то из
Ω
(5) и (10) следует
теорема Байеса:
1
()(| )
(|)
()(| )
ii
i
n
ii
i
PK PB K
PK B
PK PB K
=
=
∑
. (11)
стических приложениях события вида
, часто называют
«гипотезами», а
В стати
11
,..., , ( ... )
nn
KK K K++ =Ω
()
i
P
K
–
гипотезыаприорной вероятностью
i
K
.
Определение 2. Условной вероятностью
)
(|
i
P
KB
называется
апостериорная вероятность гипотезы
i
K
после наступления
Рассмотрим пример применения формулы Байеса.
Пример 2. Пусть ситуация для принятия решения
харак а
события B.
теризуется наличием двух грегатов:
i
K
– н лагоприя ое
состояние первого агрегата с вероятн
еб тн
ью 1/2 и ост
2
K
–
неблагоприятное состояние второго агрегата с вероятностью 1/3 .
Прои ие одного из агрегатов. Ус в
в н
первый а
решения задачи построим
вероятностную модель. В
качес странства элементарных событий естественно ь
множ ство
зводиться испытан тановлено, что
результате испытания агрегат находится еблагоприятном
состоянии, тогда требуется найти вероятность того, что выбран
грегат.
Для
тве про взят
{
}
112 2
,, ,KH KБ KHKБΩ=
и проверки (
е ,описывающие все исходы
ра агрегатавыбо – выбран первый агрегат, и в
1
K
H
результате проверки установлено, что он находится в
неблагоприятном состоянии и т.д.). Вероятности
()P
ω
исходов
(
)
(
)
(
)
(
)
12
1
,
2
PK PK P==
1 2
11
,.
23
HK PHK= =
164
Этими условиями вероятности исходов определяются однозначно
(
)
(
)
(
)
(
)
112 2
11 1 1
,, ,.PKH PKБ PKH PKБ== ==
Тогд
44 63
а:
()
(
)
(
)
()
()
()
()
11
1
112
3
.
PK PHK
PKH
PK PHK PK
==
+
2
5
PHK
модели вычисления й
неблагоприятных событий в условиях, когда известны оценки
ущер приятн
Рассмотренные вероятносте
ба от неблаго ых событий
i
A
, позволяют вычислить
риск
)
1
(|
n
ii
i
R
AP K H
=
=
∑
, (12)
где вероятности неблагоприятных событий определяют
соответствующими вероятностными схемами (5), (8) или (11). Для
определени
)
я величин
(
ii
|
P
KB
из условия иска
ремальную задачу: вычислить
минимизации р
необходимо решить экст
1
) arg min { ( ) | ( ) ( ) ( , }.
n
iiiiii
i
( ), 1,...
R
K iAPKPKPKPKn
−+
=
=≤≤
∑
(13)
Привед
=
енные результаты иллюстрируют методы принятия
реше лей теории
вероя х и о
мо
и
ных величин предполагает наличие двух
харак
ний в рамках концепции риска на основе моде
тностей событий и и обобщений. Эт методы п зволяют
сформулировать комплекс необходимых делей для анализа
полного набора совокупности ситуаций, адекватных
рассматриваемым моделям процессов.
6.5. Принятие решений на основе минимизация риска и
моделей случайных велич н
Классификация моделей риска на основе моделей элементов
теории случай
теристик – распределений и моментов, приведенных в табл.
3.4. Прежде чем рассматривать содержательные задачи,
165
необходимо в виде функций случайных
величин.
Обращение к моде ям данного типа свя но тем, что ри к
является во многих практических задачах ствием ряда
дать описание моделей
л за с с
след
аргументов, учитываемых в рассматриваемых ранее моделях.
Рассматриваемые модели характеризуются наличием
детерминированной функциональной связи между случайными
Естественно, что возможны другие типы вероятностных
моделей, однако данный класс моделей охватывает широкий набор
ных задач.
1. Модели случайных величин. В табл. 3.4 приведены
законы распределения и некоторые моменты функций
непр ых .
аргументами.
приклад
ерывных случайн величин
Модель 1. Функция ()YX
ϕ
=
характеризует простейшую
схему, для которой имеются - с ределения, начальные
и цен
плотность
Использование
величины
ной Y не
виде
ра п
тральные моменты. моделей данного класса
позволяет вычислить оценку риска в виде вероятности
ичи ко рого зада :
величины риска в вероятности
(Py≥
оценку
)a превышения вел то нного значения
(Py y y
−
+
≤≤
вывода
координаты y из некоторого интервала
[, ]yy
−
+
.
Модель 2. Пусть
2
(, )yxx
1
ϕ
=
, причем вероятностное описание
выхода
y
возможно, если случайные величины
1
x
и
2
x
рассматривать как систему случайных величин, распределение
которой имеет вид
x 12
(, )
f
xx
.
Вычисление распределения случайной величины и ее
моме
()
y
Fy
нтов
_
y и []Dy позволяет выбрать различные модели риска и
параметры функции
12
(, )yxx
ϕ
=
из условия минимума по
критерию риска.
Модель 3. Пусть: ()YX
ϕ
= обобщает модель 2 на случай
нескольких слагаемых, причем аргумен (определяющие ты
1
,...,
n
X
X
166
Таблица 3.4. Распределения и моменты случайных величин
Вид
случайной
фу
оменты
нкции величин
Непрерывных величин
Распределения
непрерывных
М
()
1. Yx
ϕ
= –
(
монотонная);
1
,
()
x
;
x
YR
x
fx∼
∈
() () ()
yx
f
yf
⎣⎦
y y
ψψ
′
=⎡ ⎤
[]
() ()
[]
() ()
[]
() ()
[]
() ()
,
1, 2...
k
k
2
2
,
,,
x
yMY xfxdx
Y x f x y
;
k
k
D dx
mY x fxdx
M
Yxyfxdx
k
ϕ
−∞
∞
−∞
=∫ −
⎤
⎦
=
ϕ
ϕ
−∞
∞
−
−∞
∞
==∫
=∫⎡ ⎤
⎣⎦
ϕ
∞
−=∫
⎡⎤
⎣⎦
⎡
⎣
()
(
)
12
12 12
2. , ,
,,
x
Yxx
x
xfxx
ϕ
=
∼
(
)
(
)
12 2
,,
y
yx
D
F fxx∫
D
– область на
1
y dxdx=
Y
–
плотность
вероятностей
случайных
величин
y
[]
()
плоскости
12
x
x
⊗
для которой
Yy
−
<
() ()
yy
y
d
f
yFy=
d
[]
()
2
12
,DY x x
ϕ
−∞ −
∞∞
−∞ −∞
=∫∫ ×
⎡⎤
⎣⎦
()
12 12
12 12
,
,
x
YMY xxdxdx
fxxdxdx
ϕ
∞
==∫∫
×
∞∞
()
3. ,Yx
ϕ
=
()
1
,
...
n
xn
R
fxx
1
Yx∈
−
плотность
системы
,
n1
,...
x
x
,
ϕ
– взаимно-
однозначное
Отображение
(
)
(
)
()
()
11
11
1
1
1
1
,...,
...
...
............... ,
...
...
yn
n
n
n
nn
n
,..., ,
xn
f
yy Df
xx
yy
xx
D
yy
xx
yy
=
∂∂
∂∂
∂
==
∂
∂∂
∂∂
1
,...,
n
xx
x
x
определены
с помощью
1
,...,
n
yy
[]
()
()
[]
()
(
1
11
1
1
... ...
,..., ... ,
... ,...,
,...
k
kn
nnk
k
n
mY x x
)
1
, ...
nn
f
xxdxdxMY
xx Y
fx
ϕ
ϕ
∞∞
−∞ −∞
∞∞
−∞ −∞
⎡⎤
xdx dx
=
∫∫ ×
⎣⎦
×
=
⎡⎤⎤
=
∫∫ − ×
⎦⎣⎦
×
(
()
4. ,
,
x
y
)
Z
XY
xJx
Yfy
=+
∼
∼
() () ( )
() () ()
,
z
xy xy
zxy
xyz
f
zfxzxdxff
F Z f x f y dxdy
∞
−∞
+<
=∫ − ∗
=∫∫
-
f =
167
()
5.
,1,
iii
Y
xfxi
=
=∼
12
,xx−
() ( ) ()
2
12Y
f
y fyzfzdz
∞
=∫ +
-
−∞
()
1
6. ... ,
n
Yx
xfx
=++
∼
()
()
{
1
2
iyt
Y
j
fy
∞
−
=
×∏
}
(
,
j
n
x
ixt
ixt
e
Etdt
t e f
−∞
∫×
∏
=∫
-
x
j
jxj
() )
1
2
jj
xx
geE x dx
=
−∞
окончат стемы
случа величи одных характ гументов
оп мат жидани
ельную оценку риска) описываются плотностью си
йных
ределяются
н. На основе исх еристик ар
ематическое о е
_
Y и дисперсия D[]Y
задаются
системы
Необходимо обратить , что аргументы случайных
величин, определяющие характеристики риска,
распределением , (моделей 2 3) как
с личин
. Практически более распространен случай,
когда изве распределения отдельных аргументов. Этому
условию удовлетворяют следующие модели 4 и 5.
Модель 4. Эта модель позволяет характеризовать величину
риска плотностью
внимание
и
,1,...,
i
Xi n=
лучайных ве
стны
()
z
f
Z
свертки
случайной величины Z =X+Y, которая
вычисляется в виде
распределения *
x
y
f
f .
Модель 5. Хара отность распределения ктеризует пл ()
y
f
Y
разности
12
X
X− Y=
. Модель обобщает характеристики
распределений д кольк х случайных величин.
ь распределения суммы
ля суммы нес и
Плотност
()
y
f
Y
(*)
X
i
E
определяется с
по рактеристических функций , преобразования
Фурье для плотности каждого из слагаемых
мощью ха
j
X . При этом моменты
функций случайных величин методами теории вероятностей.
Существенное расширение класса вероятностных моделей
риска может быть достигнуто при рассмотрении моделей принятия
ре основе
детерминированных функций случайных
вел
частности, целочисленных аргументов. Некоторые
примеры делей дан ставлены в табл. 3.5.
шений на
ичин,
в
мо ного класса пред
168
Т Ра момен дискретных величин и функций
В й Распределения
дискретных величин
Моменты
Дискретных величин
аблица 3.5.
ид случайно
спределения и ты
функции
[
]
()
()
[]
()
()
(
)
12
1. , ,Yxx
ϕ
=
()
12
,
x
x – система
случайных
величин
-
1
,
j2
112 2
2
12
112 2
,;
,
j
ij
ij
uj
ij
j
YMY
xx
Px x x x
DY
xx y
Px x x x
ϕ
ϕ
==
=∑∑ ×
×= =
=
;
i
⎡
⎤
=
∑∑ − ×
⎣
⎦
×= =
12
,Yxx=+
i
x
2.
(
)
() ( )
12
Px x n
PmPn m
∞
+==
=∑ −
–
12
m=−∞
-
целочисленные,
()
iii
x
Px∼
1
3.
... ,
n
Y
x
x
=
=++
i
x
–
целочисленные,
()
iii
x
Pn∼
()
() ( )
1
11
...
. ,
n
k
Px x n
Pn P nk
n
+ = =
=∑
=
-
1
..
...
k
nn
+
++
В таблице приведены модели типа функционального
преоб
еских моделей риска,
ения
ого риска, мотивированные п
пример,
проч ы ливает ы и
Риск здесь можно охарактеризовать вероятностью превышения
разования (модель 1), модели в виде суммы целочисленных
двух (модель 2) и нескольких (модель 3) переменных. Приведенные
модели расширяют возможности аналитич
которые иллюстрируются далее примерами.
Рассмотрим содержательные примеры вычисл
техническ риложениями. Известно, что
установки и приборы имеют некоторые пределы (на
ности), прев шение которых обуслав в ход системы з
строя.
169
превышения предела
_
P
. Если X и
Y
– величины,
причем
случайные
X
характеризует нагрузку, а
Y
– несущую способность, то
для т сехнического ри ка справедливо соотношение
^
()
f
RPPxY
=
=>
. (1)
В случае известных плотностей
x
f
и
y
f
, соответственно, для
на й
н X и щую спос для
техн риск ени
грузки несущей способности и при стохастическо
езависимости
ического
Y дает несу обность, то
а справедливо соотнош е
^
()
f
RPPxY
=
=>
, (2)
что известных отностей распределений случайных
вели
в случае
чин
пл
x
f
и
y
f
, соответственно, для нагрузки несущей
способности и при стохастической независимости X и Y приводит к
равенству
()()
0
.
v
txY
R
P f x v f u du dv
=+∞
∧
−∞ −∞
⎡
⎤
==∫∫ +
⎢
⎥
⎣
⎦
(3)
Интеграл в квадратных скобках равенства (3) представляет
собой
плотность разности величин
X
и
Y
: )(
Y
X −
е
, что
соответствует модели 5 (см. табл. 3.4). Интегрировани плотности
вероятности в пределах от
до
0v
=
−
∞
ределяет ость
В случ нестационарных плотностей случайных величин
оп вероятн
(X–Y ) < 0.
ае
(,
x
)
и
(,)
Y
f
xt
f
xt
можно получить зависимость вероятности от
времени:
() ( ) ( )
0
.
v
11
0
txy
R
Pt f u vt f utdudv
=∞
∧
−∞
⎡
⎤
==∫∫ +
⎢
⎥
⎣
⎦
(4)
170