Козлов В.Н. Системный анализ и принятие решений

наиболее удачного распределения вариантов решения .

Подо егия соответств

P

i

E

бная страт ует расширенному минимаксному

критерию, причем в данной ситуации реализуется игровая

стратегия: состояния

j

F минимизируют критерий, а варианты

i

E

ег

максимизируют. Общая формулировка расширенного

минимальн еет вид:

000 00

(){() () ^(,) maxmin

j j i

q

p

о

ого критерия им

^

11

mn

i

ij

|

E

PEPEPEeP qP=∈

∑∑

, (18)

где векторы

P

q

определены в (17).

Таким образом, цель расширенного минимаксного критерия

нахождение наилучшего распределения вероятностей на множестве

вариантов

i

q e

==

=

и

E

, когда в ногократно воспользовавшейся ситуации

ничего неизвестно о вероятностных состояний

м

j

F , относительно

которых предполагается невыгодное расп

пр

иор

Критерий

ределение.

ин

прин

т б уч фа

идеями п. 6.1. В соответствии с п. 6.1 целесообразно

производные (обобщ 3.2

у

находится мума (С

кр С = 1 кр

Гурв инимаксный критерий (см. п. 6

2. Критерий -Лемана. основан на

ном критерии критерии Байеса-Лапласа, характеризуется

тем,

6.2. Производные критерии ятия решений

Данный класс критериев позволяет рассматривать зада

св

= 0)

итер

минимакс

чи

ести

и

ий

-

ятия решения с обобщенных позиций, причем обобщение

предполагае олее полный ет апр но известных кторов, а

также введение новых функциональных элементов. Следует иметь

в виду, что для интерпретации критериев можно воспользоваться

е ные) критерии в табл. .

1. Критерий Г рвица. Оценочная функция критерии Гурвица

между точками предельного опти

айнего пессимизма (С = 1). Характерно, что при

н

Ходжа

и

ица превращается в м .1).

что с помощью параметра

ν

выражает степень доверия к

используемому . При распределению вероятностей

1

ν

= критерий

151

Таблица 3.2. Производные критерии принятия решений

Тип

Критерия

Оценочная

функция

Множест

оптимальных вариантов решени

во

я

Критерий

Гурвица

()

max ,

in

1max

HW ir

i

ir

j

ij

j

ze

ec

ce

=

=+

+−

m

ij

e

{

()

000 0

max min 1 max 0 1

ii i

ij ij

j

ij

EEEEe

Ce c e c

=∈∧=

⎡⎤

=

+− ∧≤≤

⎢⎥

⎣⎦

Критерий

ax ,

H ir

i

ir ij j

ze

eeg

ν

Ходжа-

Лемана

,

()

1

m

1min

L

j

ij

j

e

ν

=

+−

01

υ

=∑ +

{

()

00 0

1

max 1 min

ii i

n

ij i ij

j

i

j

EEe

eg e

νν

=

∈∧=

⎡⎤

0

EE=

}

0 1

ν

=

∑+− ∧

⎢⎥

⎣⎦

≤≤

≤

Критерий

Гермейера

max ,

min

Gir

i

ir ij j

j

ze

eeq

=

{

}

000 0

max min

ii i ij ij

j

i

E

EE E e e e=∈∧= ∧

{

}

[]

Критерий

Байеса-

min

MM

ir

Z

e

=

==

12

0

000 0

1

max ,

1,..., m

o

n

ii i iji

I I

j

ij

EEEEe eq

Iii me

∩

=

=∈∧=∑

in ,

i

ij gan

j

e

ε

∈

⎧

⎫

⎪

≤=∈ ∧−

⎨

⎬

Лапласа

(миним

ксный)

00

max

ij

i

e

=

[]

{

2

1,..., max

ij

j

Iii m e

⎪

⎩⎭



а-

=∈ ∧ −

}

000

max min

ij ij ij i

j

ee e

ε

−≥−=

переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при 0

ν

=

– в минимаксный

критерий. Ситуация, в которой рекомендовано применение этого

критерия, характеризуется следующими условиями: вероятности

появления состояний

j

F неизвестны, но некоторые

пред

ориентирован на оценочные функции, отражающие величину

положения о распределениях вероятностей возможны;

принятое решение теоретически допускает бесконечно много

реализаций: при малых числах реализации допускается некоторый

риск.

3. Критерий Ю.Б. Гермейера. Данный критерий

152

потерь, т.е. на отрицательные значения всех

ij

e матрицы оценок, и

применяется в хозяйственных задачах и ориентирован на цены и

затраты. Смысл остальных параметров:

j

q – вероятность условия

j

F

Ю

, а

тся

решени , а также должны быть известны

ir

e

– мини ического ожи В критериимум математ

допускае

дания затрат.

.Б. Гермейера некоторый риск при принятии

я вероятности

j

q .

ерий Байеса пласа (минимаксный). Позволяет

лу тироваться к ситуации за счет введения составных

частей, логически унаследованных от других критериев (см. табл.

3.2). На первом этапе формирования критерия фиксируется опорное

зн

4. Крит -Ла

чше адап

ачение

mm

Z

, задаваемое минимаксным критерием. Затем задается

доп риск и определяется множество согласия устимый

0

доп

ξ

>

1

I

.

Величины

00

mi

iij

i

1

n , .

ij

eiI

ξξ

=

−∈

отери сравнении с

e

множ

2

I

.

характеризуют наиболее

во . После этого формируется

вы

зможные п в

ество

00ij

Множеству

12

II

∩

игрышное принадлежат

варианты решений, для которых в определенных состояниях могут

и ри по сравнению с состоянием, задаваемых

минимаксным критерием, однако в других состояниях имеется, по

ме е, прирост выигрыша.

6.3 принятия решений на основе минимизации риска и

алгебр событий

Рассмотренные в п. 6.1 и 6.2 методы принятия решений

ы с

з

о а

Числовые характеристики риска можно использовать при

меть поте

ньшей мер

. Методы

основались на обработке элементов матриц истемных оценок.

При этом отмечалось, что используемые критерии допускают

некоторый риск принятия неправильного или неэффективного

решения. В данном разделе и учаются методы и алгоритмы ЛПР

на основе явног определения и минимизации риск в рамках

аксиоматических вероятностно-статистических моделей.

153

формировании матрицы системных оценок для последующего

принятия решений на основе критериев, описанных в п. 3.1 и 3.2.

Следует и , ч ве ы

а

пр

т я В

ный смысл.

Общ

как пр ру

и его наступления. ос

меть в виду то рассматриваемые роятностн е модели

характеризуют некоторые подходы к принятию решений на основе

минимизации риска. Требования пр ктики являются

существенными для класса вероятностных моделей, однако

приводимые результаты позволяют получить первые навыки в

инятии решений на основе аксиоматических моделей.

1. Определение и минимизация риска. Решение задачи

основано на прос ейших модел х вероятностей событий. понятие

риска в приложениях вкладывается самый различ

им является то обстоятельство, что, это понятие связано с

неуверенностью, произойдет или не произойдет нежелательное

событие. Рассмотрим понятие риска с учетом содержания задачи

принятия решений. Учитывая необходимость количественных

оценок, можно использовать следующую формулировку:

величина

риска

определяется оизведение «величины события» на ме

возможност П ледствия

A

нежелательного

события или состояния может исываться и оцениваться

специфическими параметрами. изме ния этих

параметров пр этом весьм и ок – от эконом х параметров

до этнических ценностей. Вероятность является первой

возможности наступления события. ле овательно, риск

RA=

оп

Диапазон не

и а ш р ически

С д

. (1)

Источники риска исследуются при систематическом анализе.

строят аналогично дереву ественное описание

риска

ы

а

q

Вспомогательным средством является дерево ошибок, которое

решений. Колич

может определяться с помощью теоретико-вероятностного

подхода и соответствующих моделей. При анализе и построении

вероятностных моделей риска (на основе анализа алгебр событий)

можно охв тить множество S возможных неблагоприятных

154

элементарных событий.

Определение 1. События

}

1

{ ,..., ,...,

in

SSS S

=

(2)

называются элементарными событиями, если они отражают весь

комплекс исходных неблагоприятных событий, определяющих

риск.

Введем нятие бытия, определяемого основе

элементарных со ытий

Определение 2. Событием

по со на

б .

K

будем называть очетания

элементарных событий (сочетания отличаются хотя

с

бы одним

событием).

Определение 3. Множество всех возможных сочетаний

K

будем азывать

булеаном S - множеств м всех .

В состав события

н о подмножеств

K

целесообразно включить само множество

S

и пустое множество

∅

(пу тое множество соответствует

отсутствию неблагоприятных событий).

Определенное подмножест о

с

в

K

является подмножеством

неблагоприятных событий множества

S

12

, ,..., }, , 1,...

kk kl kj

KSS S Sj=∈=

. (3)

На стве всех можно выполнить операции

алгебры множест .

Если символо

12

l

множе событий

в

м

{ ,S

К

определено объединение

двух неблагоприятных событий, то можно определить их

следующие свойства:

).

Объединение образует объединение событий

12

КК

∪

1 , т.е.

собы е тие, включающее все элементарные события, принадлежащи

1

К

или

2

К

;

2).

Пересечение

12

КК

∩

образует пересечение событий, т.е.

событие, включающее все элементарные события, одновременно

принадлежащие

1

К

и

2

К

;

155

3). Разность

12

/

К

образует событие, включающее все

элементарные события, принадлежащие

1

K

, но не принадлежащее

2

K

;

4).

Дополнение \SK образует сочетание, включающее все

элем надлежащиеентарные события

S , не при

K

.

рискованным вариантом Пусть с некоторым

E

связаны

элем тарные сочетания неблагоприятных событий ен

1

i

iijik

,..., ,...,

K

KK

ij

.

Формула «элементарные сочетания неблагоприятных событий»

означает, что никакое собственное подмножество сочетаний

K

не

може с к и

структура неблагоприятны .

Если тс

т само в тречаться ак сочетан е неблагоприятных с бытий.

Тем самым определена

о

событийх

i

N

– события, соотве твующее гарантированному

отсутствию неблагоприятных свойств рискованного варианта

решения то множество

{

}

K

12

, ,..., ,...,

i

iii ij

,

iki

E

i

KK K K=

полн

N

образует

ую, связанную с решением

i

E

систему событий.

На множестве рассмотренных событий введем меру в виде

вероя , ч

со

тности. Допустим то каждому сочетанию неблагоприятных

бытий

, ( 1,..., )

ij i

K

jk=

, орое может реализовываться в

результате принятия решений

EE ⊂

, а

кот

также событию можно

т :

:

соот

определяется форм

матем ания

j

(4)

i i

N

приписывать вероятности

)(

ij

KP

и, соо ветственно

)

1.

i

=

)(

i

NP

() ()

(

1,

i

k

ij ij

j

OPK PK PN≤≤∑+

Если каждому сочетанию

ij

K

ветствует количественно

описываемое последствие

ij

A

, то величина риска

i

R

,

соответствующего решению

i

E

, улой

атического ожид

i

k

()

1

.

iiji

j

RAPK

=

=∑

156

Величина риска еляется величинами

ij

A

и

)(

ij

KP

,

поэтому для выбора значений этих параметров можно

сформулировать м

опред

задачу инимизации риска (4) при ограничениях

на п

араметры. Соответствующая экстремальная задача примет

следующий вид:

()

() () ()

1

,argmin ,0

i

K

ij ij ij ij ij ij ij ij

K A A A PK P K

=∑ ≤≤≤≤

⎨⎬

⎩⎭

. (5)

Решение задачи (5) можно получить анали

ij

j

APK

∗∗ − + +

=

⎧⎫

еским

AP

тич и или

численными методами условной минимизации в конечномерных

пространствах. Следует иметь в виду, что величина

i

R

представляе

у

т

собой

среднюю величину щерба при принятии варианта решения

i

E

, поскольку соответствует математическому ожиданию ущерба.

Иногда с риском связывают вероятность наступления

опред ного сочетания н благоприятных соб тий

0 i

SK

−

∈ . Такой

подход целесообразен, если оследств я

0i

A

риска

i

и

0

S

неизвестн В этом случае функции –

индикатора

)(1

0 jj

SS →

определяемой условиями:

елен е ы

п и

ы. при

E

использовании

()

{

0,

1,

00,

1

i

j

SS

j

SS

S

=

≠

=

,

j

i

SK

∈

(6)

для

1A =

ни равенства (4) сп аведливо следующ е

соотношение:

)(

0 jj

S

на основа и р е

(

)

PS

0ii

R

=

. (7)

ринят и решения все вероятности еализации

сочетания неблагоприятных тий

Если при п и р

i

E

собы

ij i

K

−

∈ одинаковы,

(

)

ij i

K P=

), то на основе (7) мож получить

1

i

н

j

о

P=

.

i

K

i i

j

R

PA

=

=∑

(8)

157

Для принятия решения при определенном сочетании

небл й

i

E

агоприятных событи

ij

K

и послед тви с й

ij

A

фун а кции риск

:,1,

ij ij ii

A

KAjjK→==, представляют особый два частных

случая

Е дл в

интерес

:

а). сли я двух заимоисключающих сочетаний

ij

K

и

ljK

il

≠

т.е.

=

ilij

KK

,

ij il

KK

,

∩

=

∅∩ справедливо раве ство:

н

(

)

(

)

(

)

,

iij il iij iil

AK K AK AK=+∪

(9)

говорят об аддитивных штрафных функциях и, соответств о,

об

а

то енн

ддитивных функциях риска. В этом случае для сочетаний,

которые состоят из единственного неблагоприятного события

{} {}

{}

1121

, ,..., ,

ii inn

K

SK S K S== = справедливо соотношение:

12 1 2

[ ... ] ( ) ( ) ... ( ),

in n

A

SS S AS AS AS=+++

∪∪∪

(10)

иск а р

(

)

(

)

.

iii

sS

R

ASPS

∈

=∑

(11)

При нормальной штрафной функции

i

K

и ф кции риска

i

ун

A

двух взаимоисключающих соче аний

ij

для

т

K

и

,

il

K

jl

≠

, с раведливо

равенство

п

()

(

)

{

}

(

)

(

)

(

)

max , .

il iij il iij iiiij i l

A

K AK AK K AK AK==+∪

(12)

тот случай наглядно характеризует свойства аддитивной

фной фун

Э

штра кции.

б). Для

,( )

il il i

KK

−

∈ дополнительный ущерб за счет

K

il

K

при

ij

K

на основании соотношения

()

(

)

(

)

i il ij i ij il i ij

A

KK AK K AK=−∪ .

О ует совокупность соотношений ткуда след

158

(

)

(

)

(

)

()

)(

()()

()

1

.. ... .

ii

iiki ik

AK K K

−

+ ∪

фной функции можно по

12

21312

...

ii i i

ii i iii i

AK K K

AK K AK K K+ + +

∪∪∪

∪

(13)

1

,

.

i

il ij i

k

ii

KK AK

AK

=

∪

В случае аддитивной штра лучить

равен тво

i ij il i ij

AK K A=+∪

с

(

)

(

)

.

iilij il

A

KK AK= (14)

Вариант решения

i

E

E∈

без учета возможности неблагоприятных

последствий будет иметь полезность

i

I

. Соответствующая варианту

решения

i

E

величина

i

ii

GlR

=

−

тся

суммарным эффектом решения.

ональных вариантов еше ия т

следующим образом:

(15)

называе

Множество раци р н обозначаю

{

}

:0.

ii

EE G

+

=∈ >

(16)

Вариант ре

E

шения

*

i

E

называют оптимальным вариантом, если

.

ределение риска, которому соответствует

число ественно-

(17)

*

max

i

ii

EE

GG

∈

=

Таким образом, соотношение (17) иллюстрирует

формализованное оп

вые характеристики в рамках теоретико-множ

вероятностной схемы.

159

6.4. Принятие решений на основе минимизации риска и

обобщенных моделей вероятностей событий

й

Для описания неблагоприятных событи

ij

K

в случае сложной

вероятностной схемы используютс специальные методы. Ранее

данное определение риска основывалось на известных

вероятностях неблагоприятных событий. Однако практические

задачи по вычислению риска могут опираться на более сложные

вероятностные модели. К ним относятся модели,

условные вероятности, обобщенные модели умножения

вероятностей и формулы Байеса. Естественно предположить, что

неблагоприятные события зависят от других событий, вероятности

которых заданы.

ной вероятности

применительно к вычислению

ероя ятного события. у

я

использующие

1. Исходные предпосылки. Рассмотрим классическую схему

введения услов

в тности неблагопри П сть в серии из

M

испытаний

1

M

благоприятных и

2

M

жно

того

неблагоп

ть т

О этот вопрос позволяет понятие условной

вероятности чем вопрос мо сформулировать следующи

образ ,

испы ание иметь благоприятный исход (событие

риятных исходов.

м

е

Какова вероятнос ого, что при проведении очередного

испытания имеют место благоприятный и неблагоприятный

исходы. тветить на

, при

будет

ом: Какова вероятность что, например, второ

т

B

)

ело место

благо

при

также условии, что в первом испытании им

приятное событие (событие

A

). Рассуждения строятся в

рамках

«урновой схемы без возвращения».

имеет благоприятный д Если первое испытание исход, то пере

вторым испытанием возможно

(1)

M

−

вариантов исходов,

благоприятных исходов, а

из

)

которых

1

(1M −

2

M

– неблагоприятных.

Поэт о а

п к

с

ому предположим, чт ная вероятность равнуслов

1

(1)/(1)MM−−

.

Далее ерейдем строгому определению условной

вероятности в соответствии с интуитивными пред тавлениями о

160

Козлов В.Н. Системный анализ и принятие решений

Подождите немного. Документ загружается.