Контрольная работа - Решение 2 задач по эконометрике

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КЕМЕРОВСКИЙ ИНСТИТУТ (филиал)

Кафедра высшей и прикладной математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине «Эконометрика»

Вариант №7

Выполнил:

Евстигнеев В.С.

группа СБв-071

Проверила:

Жеребцова Н.А.

Кемерово 2008

Задание № 1 .

По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукции известны

значения двух признаков.

x – выпуск продукции, тыс.ед;

y – затраты на производство, млн. руб.

Требуется:

1.Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи;

2.Построить модели:

2.1. Линейной парной регрессии;

2.2. Полулогарифмической парной регрессии;

2.3. Линейной парной регрессии;

Для этого:

1. Рассчитать параметры уравнений;

2. Оценить тесноту связи с помощью коэффициента (индекса)

корреляции;

3. Оценить качество модели с помощью коэффициента (индекса)

детерминации и средней ошибки аппроксимации;

4. Дать с помощью среднего коэффициента эластичности

сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую

надежность результатов моделирования.

3.По значениям характеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее

уравнение.

4.Тспользую метод Гольфельда-Квандта проверить остатки на

гетероскедастичность.

5.Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение

фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Для уровня значимости

α=0,05 определить доверительный интервал прогноза.

Дано:

№ x y

1 3 4,2

2 3,1 4,5

3 2,6 3,7

4 2,7 3,8

5 2,9 4,1

6 2,8 3,9

7 2,5 3,4

8 2,6 3,6

9 2,3 2,7

10 3,2 4,4

11 3,3 4,4

12 3,4 4,6

13 3,2 4,4

14 2,7 3,8

15 2,4 3,2

Решение:

1. Строим поле корреляции

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

выпуск продукции, x, тыс.руб.

затраты на производство, y, млн.руб.

Анализируя точки поля корреляции, предполагаем, что связь между

признаками x и y может быть линейной, т.е. y=a+b*x, или нелинейной вида:

y=a+b*lnx, y=a*b

. Основываясь на теории изучаемой взаимосвязи,

предполагаем получить зависимость y от x вида y=a+b*x, т.к. затраты на

производство (y) можно условно разделить на два вида: постоянные, не

зависящие от объема производства (а), такие как арендная плата, содержание

администрации и т.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально

выпуску продукции (b*x) такие как расход материала, электроэнергии и т.д.

2.1. Модель линейной парной регрессии.

2.1.1. Рассчитаем параметры a и b линейной регрессии y=a+b*x Строим

расчетную таблицу.

По исходным данным рассчитываем y*x, x

, y

. Рассчитав ∑y, ∑x, ∑yx, ∑x

и ∑y

определим их средние значения. Определяем параметры b и a:

)(xx

yxxy





=1,508958

xbya *

=-0,38217

№ x y y

)

( yy 

1 3 4,2 12,6 9 17,64 4,144707 0,055293 1,316504

2 3,1 4,5 13,95 9,61 20,25 4,295603 0,204397 4,542164

3 2,6 3,7 9,62 6,76 13,69 3,541124 0,158876 4,293952

4 2,7 3,8 10,26 7,29 14,44 3,69202 0,10798 2,841591

5 2,9 4,1 11,89 8,41 16,81 3,993811 0,106189 2,589974

6 2,8 3,9 10,92 7,84 15,21 3,842915 0,057085 1,46371

7 2,5 3,4 8,5 6,25 11,56 3,390228 0,009772 0,287411

8 2,6 3,6 9,36 6,76 12,96 3,541124 0,058876 1,635451

9 2,3 2,7 6,21 5,29 7,29 3,088436 -0,38844 14,38654

10 3,2 4,4 14,08 10,24 19,36 4,446498 -0,0465 1,056781

11 3,3 4,4 14,52 10,89 19,36 4,597394 -0,19739 4,48623

12 3,4 4,6 15,64 11,56 21,16 4,74829 -0,14829 3,223694

13 3,2 4,4 14,08 10,24 19,36 4,446498 -0,0465 1,056781

14 2,7 3,8 10,26 7,29 14,44 3,69202 0,10798 2,841591

15 2,4 3,2 7,68 5,76 10,24 3,239332 -0,03933 1,229133

E 42,7 58,7 169,57 123,19 233,77 58,7  47,2515

Сред 2,846667 3,913333 11,30467 8,212667 15,58467 3,913333  3,1501

Уравнение регрессии

=-0,38+1,51*х. С увеличением выпуска продукции

на 1 тыс. руб. затраты на производства увеличиваются на 1,51 млн.руб в

среднем, постоянные затраты уменьшаются 0,38 млн. руб.

2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициента парной

корреляции r

Предварительно определим σ

и σ

)( yy





= 0,520085

)(xx





= 0,330387



*

= 0,958573

Значение r

близко к 1, следовательно, между переменными y и x

наблюдается очень тесная корреляционная связи вида y=a+b*x

2.1.3. Оценим качество построенной модели.

Определим коэффициент детерминации

= 0,918862

т.е. данная модель объясняет 91,9% общей дисперсии y, на долю

необъясненной дисперсии приходится 8,1%. Следовательно, качество модели

высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации

Предварительно определим

, подставляя в уравнение регрессии

0,38+1,51*х фактические значения x. Найдем

)

( yy 

. Тогда

.15...1%,100*





 i





A *

=3,1501%

т.е. в среднем расчетные значении отклоняются от фактических на 3,15%.

Ошибка допустимая (A≤10%).

2.1.4. Определим средний коэффициент эластичности:

bЭ *

=1,097657%

Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1% затраты на

производство увеличиваются в среднем на 1,098%.

2.1.5. Оценим статическую значимость полученного уравнения.

Проверим гипотезу H

, что выявленная зависимость y от x носит

случайный характер, т.е. полученное уравнение статически незначимо.

Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-критерия

Фишера.

табл

=( α=0,05, k

=1, k

=15-2=13)=4,67.

Найдем фактическое значение F-критерия Фишера:

)2(*



 n

факт

= 147,2218

факт

табл

Поэтому гипотеза H

о случайном характере зависимости y от x

отвергается, принимается альтернативная гипотеза H

– с вероятностью 0,95

выявленная зависимость y от x носит неслучайный характер, полученное

уравнение статически значимо, надежно и может быть использовано для

прогноза.

2.2. Модель полулогарифмической парной регрессии.

2.2.1 Рассчитаем параметры a и b в регрессии

=a+b*lnx.

Лицензируем данное уравнение, обозначив z=lnx. Тогда

=a+b*z. Строим

расчетную таблицу.

№ x y z yz z

)

( yy 

1 3 4,2 1,098612 4,614172 1,206949 17,64 4,16961 0,03039 0,723563

2 3,1 4,5 1,131402 5,09131 1,280071 20,25 4,311455 0,188545 4,189898

3 2,6 3,7 0,955511 3,535392 0,913002 13,69 3,550576 0,149424 4,038485

4 2,7 3,8 0,993252 3,774357 0,986549 14,44 3,713835 0,086165 2,267488

5 2,9 4,1 1,064711 4,365314 1,133609 16,81 4,022957 0,077043 1,879098

6 2,8 3,9 1,029619 4,015516 1,060116 15,21 3,871157 0,028843 0,739569

7 2,5 3,4 0,916291 3,115388 0,839589 11,56 3,380913 0,019087 0,561391

8 2,6 3,6 0,955511 3,439841 0,913002 12,96 3,550576 0,049424 1,372888

9 2,3 2,7 0,832909 2,248855 0,693738 7,29 3,020215 -0,32022 11,85983

10 3,2 4,4 1,163151 5,117864 1,35292 19,36 4,448795 -0,0488 1,108978

11 3,3 4,4 1,193922 5,253259 1,425451 19,36 4,581909 -0,18191 4,134294

12 3,4 4,6 1,223775 5,629367 1,497626 21,16 4,711049 -0,11105 2,414102

13 3,2 4,4 1,163151 5,117864 1,35292 19,36 4,448795 -0,0488 1,108978

14 2,7 3,8 0,993252 3,774357 0,986549 14,44 3,713835 0,086165 2,267488

15 2,4 3,2 0,875469 2,8015 0,766446 10,24 3,204322 -0,00432 0,135076

E 42,7 58,7 15,59054 61,89435 16,40854 233,77 58,7  38,80113

Сред 2,846667 3,913333 1,039369 4,12629 1,093902 15,58467 3,913333  2,586742

Используя исходные данные, рассчитываем z (z=lnx), yz, z

. Рассчитав ∑z,

∑yz, и ∑z

определим их средние значения. Определяем параметры b и a:

)(

yzzy





=4,325861

zbya *

=-0,58283

Уравнение полулогарифмической регрессии

=-0,58+4,33*lnx.

2.2.2. Оценим тесноту связи между признаками y и x.

Т.к. уравнение

=a+b*lnx линейно относительно параметров a и b и его

линеаризация не была связана с преобразованием зависимой переменной y,

то теснота связи между переменными y и x, оцениваемая с помощью индекса

парной корреляции R

, также может быть определенна с помощью

линейного коэффициента парной корреляции r

, т.е. в данном случае R

= r

yz.

)( yy





= 0,520085

)(zz





= 0,116679

zyxy

brR



*

= 0,970486

Значение индекса корреляции R

близко к 1, следовательно, между y и x

наблюдается очень тесная корреляционная связь вида y =a+b*lnx.

2.2.3. Оценим качество построенной модели

=a+b*lnx

= 0,941842

т.е. данная модель объясняет 94,2% общей дисперсии y, на долю

необъясненной дисперсии приходится 5,8%. Следовательно, качество модели

высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации

Предварительно определим

, подставляя в уравнение регрессии

0,58+4,33*lnx. фактические значения x. Найдем

)

( yy 

. Тогда

.15...1%,100*





 i





A *

=2,586742%

т.е. в среднем расчетные значении отклоняются от фактических на 2,59%.

Ошибка допустимая (A≤10%).

2.2.4. Определим средний коэффициент эластичности:

Э 

=1,105416%

2.2.5. Оценим статическую значимость полученного уравнения.

Сравним фактическое и табличное значение F-критерия Фишера. Примем

α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера.

табл

=( α=0,05, k

=1, k

=15-2=13)=4,67.

Найдем фактическое значение F-критерия Фишера:

)2(*



 n

факт

= 210,5304

факт

табл

Поэтому гипотеза H

о случайном характере зависимости y от x

отвергается, принимается альтернативная гипотеза H

– с вероятностью 0,95

выявленная зависимость y от x носит неслучайный характер, полученное

уравнение статически значимо, надежно и может быть использовано для

прогноза.

2.3. Модель степенной парной регрессии.

2.3.1. Рассчитаем параметры a и b степенной регрессии

=a*b

Расчету параметров предшествует процедура линеаризации данного

уравнения:

lny=ln(a*x

)=lna+b*lnx

Обозначим Y=lny, X=lnx. A=lna. Тогда получим Y=A+b*X.

Строим расчетную таблицу.

По исходным данным рассчитываем Y=lny , X=lnx, XY и X

. Рассчитав ∑ X,

∑Y, ∑XY и ∑X

определим их средние значения. Тогда параметры b и A

уравнения Y=A+b*X:

)(

YXXY





= 1,158274

XbYA *

= 0,150889

Определим а: а=е

=е

0,151

= 1,162864 (е=2,718231)

Уравнение полулогарифмической регрессии

=1,162*x

1,158

№

x y X Y YX X

)

( yy 

)

( yy 

1 3 4,2 1,098612 1,435085 1,576601 1,206949

17,64

4,151126 0,048874 0,002389 1,163668

2 3,1 4,5 1,131402 1,504077 1,701716 1,280071

20,25

4,311816 0,188184 0,035413 4,181864

3 2,6 3,7 0,955511 1,308333 1,250127 0,913002

13,69

3,517075 0,182925 0,033462 4,943918

4 2,7 3,8 0,993252 1,335001 1,325992 0,986549

14,44

3,674229 0,125771 0,015818 3,309763

5 2,9 4,1 1,064711 1,410987 1,502293 1,133609

16,81

3,991281 0,108719 0,01182 2,651673

6 2,8 3,9 1,029619 1,360977 1,401288 1,060116

15,21

3,832307 0,067693 0,004582 1,735716

7 2,5 3,4 0,916291 1,223775 1,121334 0,839589

11,56

3,360875 0,039125 0,001531 1,150733

8 2,6 3,6 0,955511 1,280934 1,223947 0,913002

12,96

3,517075 0,082925 0,006877 2,303471

9 2,3 2,7 0,832909 0,993252 0,827288 0,693738

7,29

3,051468 -0,35147 0,123529 13,01732

10 3,2 4,4 1,163151 1,481605 1,72333 1,35292

19,36

4,473329 -0,07333 0,005377 1,666567

11 3,3 4,4 1,193922 1,481605 1,768921 1,425451

19,36

4,635643 -0,23564 0,055528 5,355517

12 3,4 4,6 1,223775 1,526056 1,86755 1,497626

21,16

4,798737 -0,19874 0,039496 4,32037

13 3,2 4,4 1,163151 1,481605 1,72333 1,35292

19,36

4,473329 -0,07333 0,005377 1,666567

14 2,7 3,8 0,993252 1,335001 1,325992 0,986549

14,44

3,674229 0,125771 0,015818 3,309763

15 2,4 3,2 0,875469 1,163151 1,018302 0,766446

10,24

3,205661 -0,00566 3,2E-05 0,176909

E 42,7 58,7 15,59054 20,32144 21,35801 16,40854

233,77

58,66818 0,03182 0,357049 50,95382

Сред 2,846667 3,913333 1,039369 1,354763 1,423867 1,093902

15,58467

3,911212 0,002121 0,023803 3,396921

2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками y и x c помощью индекса

парной корреляции R

Предварительно рассчитаем

подставляя в уравнение регрессии

=1,162*x

1,158

фактические значения x,

)

( yy 

)

( yy 

Тогда

)(

)

(







=0,954986

Значение индекса корреляции R

близко к 1, следовательно, между y и x

наблюдается очень тесная корреляционная связь вида

=a*x

2.3.3. Оценим качество построенной модели

=a*x

Определим индекс детерминации R

=0,911999, т.е. данная модель

объясняет 91,12% общей дисперсии y. Следовательно, качество модели

высокое.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации

Предварительно определим

, подставляя в уравнение регрессии

=1,162*x

1,158

фактические значения x. Найдем

)

( yy 

. Тогда

.15...1%,100*





 i





A *

=3,396921%

т.е. в среднем расчетные значении отклоняются от фактических на 3,397%.

Ошибка допустимая (A≤10%).

2.3.4. Определим средний коэффициент эластичности:

bЭ 

=1,158274%

2.3.5. Оценим статическую значимость полученного уравнения.

=1,162*x

1,158

табл

=( α=0,05, k

=1, k

=15-2=13)=4,67.

)2(*



 n

факт

= 134,7257

факт

> F

табл

Следовательно, полученное уравнение статически значимо, надежно и

может быть использовано для прогноза.

3.Выбор лучшего уравнения.

Составим таблицу полученных результатов исследования

Уравнение Ryx R2yx A| % Э| %

Yx=-0,38+1,51*х 0,959 0,919 3,15 1,098

Yx=-0,58+4,32*ln х 0,971 0,942 2,59 1,105

y|x=1,162*x^1,158 0,954986 0,911999 3,397 1,158

Выводы:

Два из трех уравнений оказались статически значимыми и надежными,

имеют близкий к 1 коэффициент (индекс) корреляции, высокий (близкий к 1)

коэффициент (индекс) детерминации и ошибку аппроксимации в

допустимых пределах. При этом характеристики полулогарифмической

модели указывают, что она лучше линейной и степенной описывает связь

между x и y. Поэтому в качестве уравнения дисперсии выбираем линейную

модель

=-0,38+1,51*х.

4.Для выбранной модели проверим предпосылку МНК о

гомоскедастичности остатков, т.е. о том, что остатки регрессии имеют

постоянную дисперсию. Используем метод Гольдфельта-Квандта:

1) Упорядочим наблюдение по мере возрастания переменной x.

2) Исключим из рассмотрения 3 центральных наблюдений.

3) Рассмотрим первую группу наблюдений (малые значения фактора x) и

определим







)

(

этой группы.

Построим расчетную таблицу.

№ x y yx x

)

( yy 

)

( yy 

1 2,3 2,7 6,21 5,29 7,29 2,82 -0,12 0,0144

2 2,4 3,2 7,68 5,76 10,24 3,087692 0,112308 0,012613

3 2,5 3,4 8,5 6,25 11,56 3,355385 0,044615 0,001991

4 2,6 3,6 9,36 6,76 12,96 3,623077 -0,02308 0,000533

5 2,6 3,7 9,62 6,76 13,69 3,623077 0,076923 0,005917

6 2,7 3,8 10,26 7,29 14,44 3,890769 -0,09077 0,008239

E 15,1 20,4 51,63 38,11 70,18 20,4 -1,2E-14 0,043692

Сред 2,516667 3,4 8,605 6,351667 11,69667 3,4 -1,9E-15 0,007282

Определим параметры b и a уравнения регрессии y=a+b*x первой группы:

)(

yxxy





=2,676923

xbya *

=-3,33692

Уравнение регрессии первой группы

=-3,34+2,68* x. Подставляя в это

уравнение фактическое значение х, определим

)

( yy 

)

( yy 

. Тогда







)

(

=0,043692.

Рассмотрим вторую группу наблюдений (с большими значениями фактора

х) и определим







)

(

Строим расчетную таблицу.

)(

yxxy





=0,7

xbya *

=2,176667

№ x y yx x

)

( yy 

)

( yy 

10 3 4,2 12,6 9 17,64 4,276667 -0,07667 0,005878

11 3,1 4,5 13,95 9,61 20,25 4,346667 0,153333 0,023511

12 3,2 4,4 14,08 10,24 19,36 4,416667 -0,01667 0,000278

13 3,2 4,4 14,08 10,24 19,36 4,416667 -0,01667 0,000278

14 3,3 4,4 14,52 10,89 19,36 4,486667 -0,08667 0,007511

15 3,4 4,6 15,64 11,56 21,16 4,556667 0,043333 0,001878

E 19,2 26,5 84,87 61,54 117,13 26,5 -8,9E-16 0,039333

Сред 3,2 4,416667 14,145 10,25667 19,52167 4,416667 -1,5E-16 0,006556

Уравнение регрессии второй группы

=2,18+0,7* x.

Подставляя в это уравнение фактическое значение х, определим

)

( yy 

)

( yy 

. Тогда







)

(

=0,039333.

Находим отношение









)

(

)

(

Fф

=1,111959

Сравним фактическое и табличное значение F – критерия Фишера.

табл

=( α=0,05, k1=k2=(15-3):2-2=4)=6,39.

факт

табл

=>остатки гомоскедастичны.

5. Рассчитаем прогнозное значение результата y, если прогнозное значение

х увеличивается на 5% от его среднего уровня.

=2,85, х

= 2,9925

=-0,38+1,51* х

= 4,138675

Для величины выпуска продукции равной 2,9925 тыс. руб. Прогнозное

значение затрат на производство составит 4,138675 млн. руб.