Контрольная работа - Решение 2 задач по эконометрике

Подождите немного. Документ загружается.

Для уровня значимости α=0,05 определим доверительный интервал

прогноза. Предварительно определим стандартные ошибки коэффициента

корреляции m

rxy

и параметра b - m





= 0,078935

mm *





= 0,124383

Тогда средняя стандартная ошибка прогноза:

)()1( xxnmm

pxby





= 0,165139

Для уровня значимости α=0,05 определим табличное значение t-статистики

Стьюдента

табл

(α=0,05, k=15-2)=2,16

Тогда доверительный интервал прогноза

)

;

(

maxmin

yтаблp

mtyy

min



=3,781974

yтаблp

mtyy

max



=4,495376

т.е. с вероятностью 0,95 прогнозное значение

при х

= 1,05*

принадлежит интервалу (3,781974; 4,495376).

Прогноз надежный, но не точный, т.к. интервал достаточно широк

main

max



=1,188632

Задание №2

Имеются данные о заработной плате y (тысяч рублей), возрасте x

(лет),

стаже работы по специальности х

(лет) и выработке х

(штук в смену) по 15

рабочим цеха.

Требуется:

1.С помощью определителя матрицы парных коэффициентов

межфакторной корреляции оценить мультколлинеарность факторов,

исключить из модели фактор, ответственный за мультиколлинеарность.

2.Построить уравнение множественной регрессии в стандартизационной

форме:

2.1. Оценить параметры уравнения.

2.2. Используя стандартизованные коэффициенты регрессии сравнить

факторы по силе их воздействия на результат.

2.3. Оценить тесноту связи между результатом и факторами с помощью

коэффициента множественной корреляции.

2.4. оценить с помощью коэффициента множественной детерминации

качество модели.

2.5. Используя метод F - критерия Фишера оценить статическую

значимость уравнения в целом.

2.6. С помощью частного F – критерия оценить статическую

значимость присутствия каждого из факторов в уравнении регрессии.

3. Построить уравнение множественной регрессии в естественной форме,

пояснить экономический смысл параметров уравнения.

4. Найти среднюю ошибку аппроксимации.

5. Рассчитать прогнозное значение результата, если значение факторов

составит х

=35 лет, х

=10 лет, х

=20 штук в смену.

Дано:

№ y x

1 4,1 21 3 20

2 4,8 30 10 25

3 4,3 30 10 21

4 3,8 28 7 11

5 3,4 21 2 12

6 4 32 14 18

7 4,9 35 12 20

8 4,7 33 15 23

9 5,1 42 16 25

10 4,8 41 18 26

11 3,9 20 3 14

12 4,3 22 5 21

13 3,4 19 2 15

14 4,8 40 12 23

15 3,6 22 4 18

Решение:

1.Для оценки мультиколлинеарности факторов используем определитель

матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Определим

парные коэффициенты корреляции. Для этого рассчитаем таблицу.

По исходным данным рассчитываем y

, x

, а также yx

, yx

, x

Определяем σ

, σ

)(yy





=0,549909

)(





=7,767167

)(





=5,327497

)(





=4,587907

Тогда парные коэффициенты корреляции:

yxyx







=0,835668

yxyx







=0,806015

yxyx







=0,858261

2121

xxxx







=0,941098

3131

xxxx







=0,685717

2323

xxxx







=0,714433

Определитель матрицы парных коэффициентов межфакторной корреляции:

= 0,055938

Его значение близко к нулю, это говорит о том, фто факторы

мультиколлинеарны. Из модели следует исключить фактор, в

наибольшей степени ответственный за мультколлинеарность.

x1x1

x1x2

x1x3

1 0,941 0,686

∆= r

x2x1

x2x2

x2x3

= 0,941 1 0,714

x3x1

x3x2

x3x3

0,686 0,714 1

№ y x

)

( yy 

1 4,1 21 3 20 16,81 441 9 400 86,1 12,3 82 63 420 60 4,027997 0,072003 1,756177

2 4,8 30 10 25 23,04 900 100 625 144 48 120 300 750 250 4,647894 0,152106 3,168873

3 4,3 30 10 21 18,49 900 100 441 129 43 90,3 300 630 210 4,389772 -0,08977 2,087724

4 3,8 28 7 11 14,44 784 49 121 106,4 26,6 41,8 196 308 77 3,678413 0,121587 3,199662

5 3,4 21 2 12 11,56 441 4 144 71,4 6,8 40,8 42 252 24 3,511753 -0,11175 3,286849

6 4 32 14 18 16 1024 196 324 128 56 72 448 576 252 4,262235 -0,26224 6,555878

7 4,9 35 12 20 24,01 1225 144 400 171,5 58,8 98 420 700 240 4,490378 0,409622 8,359638

8 4,7 33 15 23 22,09 1089 225 529 155,1 70,5 108,1 495 759 345 4,617915 0,082085 1,746495

9 5,1 42 16 25 26,01 1764 256 625 214,2 81,6 127,5 672 1050 400 5,044221 0,055779 1,093713

10 4,8 41 18 26 23,04 1681 324 676 196,8 86,4 124,8 738 1066 468 5,075724 -0,27572 5,744248

11 3,9 20 3 14 15,21 400 9 196 78 11,7 54,6 60 280 42 3,607787 0,292213 7,492651

12 4,3 22 5 21 18,49 484 25 441 94,6 21,5 90,3 110 462 105 4,125554 0,174446 4,056873

13 3,4 19 2 15 11,56 361 4 225 64,6 6,8 51 38 285 30 3,63929 -0,23929 7,037938

14 4,8 40 12 23 23,04 1600 144 529 192 57,6 110,4 480 920 276 4,849105 -0,04911 1,023026

15 3,6 22 4 18 12,96 484 16 324 79,2 14,4 64,8 88 396 72 3,931963 -0,33196 9,221194

E 63,9 436 133 292 276,75 13578 1605 6000 1910,9 602 1276,4 4450 8854 2851 63,9 1,78E-15 65,83094

Среднее 4,26 29,06667 8,866667 19,46667 18,45 905,2 107 400 127,3933 40,13333 85,09333 296,6667 590,2667 190,0667 4,26 1,18E-16 4,388729

G 0,5499 7,767 5,327 4,588 t t t t t t t t t t t t t

Проанализируем матрицу парных коэффициентов корреляции:

 y x

y 1   

0,835668 1  

0,806015 0,941098 1 

0,858261 0,685717 0,714433 1

x1x2

=0,941098 (> 0,7).

Факторы х

и х

явно не коллинеарны, т.е. дублируют друг друга. r

x1y

> r

yx2

(0,835668>0,806015), т.е. фактор х

теснее связан результатом, чем фактор х

x2х3

> r

х1x3

(0,714433>0,685717), т.е. корреляция фактора х

с фактором х

сильнее, чем корреляция факторов х

и х

Из модели следует исключить фактор х

, т.к. он имеет наибольшую

тесноту связи с х

и, к тому же, менее тесно связан с результатом y.

2.1. Уравнение регрессии в естественной форме будет иметь вид

=a+b

, параметр х2 исключен из модели. Стандартизованное

уравнение t

=β

+ β

Оценим параметры уравнения. Стандартизованные коэффициенты

регрессии определяются из системы нормальных уравнений:

yx1

=β

*1+ β

* r

x3x1

yx3

=β

* r

x3x1

+ β

Найдем β

и β

, используя метод Крамера:

= 0,529792

= 0,247143

= 0,285229







=0,466491







=0,53838

Получим уравнение множественной регрессии в стандартизированном виде

=0,466491*t

+ 0,53838*t

∆= 1 r

x1x3

x3x1

∆

β1

= r

yx1

x3x1

yx3

∆

β3

= 1 r

yx1

x3x1

yx3

2.2. Стандартизированные коэффициенты регрессии β

сравнимы между

собой, в отличие от коэффициентов чистой регрессии b

, которые нельзя

сравнивать, т.к. они имеют разные единицы измерения. Сравним β

и β

<β

, т.е. фактор х

возраст слабее влияет на результат y – заработную

плату, чем фактор х

– выработка.

2.3. Коэффициент множественной корреляции определим по формуле:

331131 yxyxxyx

rrR





= 0,922985

Значение R

yx1x3

, близко к 1, поэтому зависимость y от х

и х

характеризуется

как тесная.

2.4.Оценим качество модели.

Коэффициент множественной детерминации:

yx1x3

= 0,851902

т.е. в данной модели 85,2% вариации заработной платы объясняется

вариацией учтенных в модели факторов: возраста х

и выработки х

. На дол.

Прочих факторов, не включенных в модель, приходится соответственно

14,8% от общей вариации.

2.5. Оценим значимость уравнение в целом с помощью общего F –

критерия Фишера.

Проверим гипотезу H

о статической значимости уравнения регрессии:

xyx

факт

)1(







=34,5137

табл

=(α=0,05, k1=2, k2=15-2-1=12)=4,67.

Сравнивая F

табл

и F

факт

приходим к выводу отклонить гипотезу H

, т.к. F

факт

табл

. С вероятностью 0,95 делаем вывод о статической значимости уравнения

в целом.

2.6. Оценим статическую значимость присутствия фактора х

в уравнение

регрессии и целесообразности его включения в модель после фактора х

)1(*





 mn

xyx

фактx

= 9,341674

табл

=(α=0,05, k1=1, k2=15-2-1=12)=4,67.

x1факт

> F

табл

Сравнивая F

x1факт

табл

и , приходим к выводу, что необходимо отклонить

гипотезу H

о несущественности прироста R

yx1x3

за счет включения в модель

фактора х

после фактора х

. Принимаем альтернативную гипотезу: прирост

yx1x3

за счет включения фактора х

существенный, целесообразность

включения в модель фактора х

после фактора х

подтверждена статически,

коэффициент регрессии b

статически значим.

Оценим статическую значимость присутствия фактора х3 в уравнении

множественной регрессии и целесообразности его включения в модель после

фактора х1.

)1(*





 mn

xyx

фактx

=12,4427

табл

=4,67. F

x3факт

> F

табл

, т.е. прирост R

yx1x3

за счет включения в модель

фактора х

после фактора х

существенный, целесообразность включения в

модель фактора х

после фактора х

проверена и подтверждена

статистически. Коэффициент регрессии b

статически значим.

3. Для построения уравнения регрессии в естественной форме рассчитаем

b1 и b3, используя формулы перехода:







=0,033027







=0,06453

3311

xbxbya 

=2,043816

Получим уравнение множественной регрессии в естественной форме:

=2,04-0,033х

-0,065х

Интерпретация параметров уравнения:

Параметр b

=0,033027 показывает, что заработная плата рабочего

увеличится в среднем на 33 руб. при увеличении возраста рабочего на 1 год

при условии, что выработка рабочего не меняется и фиксирована на среднем

уровне.

Параметр b

=0,06453 показывает, что заработная плата рабочего

увеличится в среднем на 64 руб. при увеличении выработки рабочего за

смену на 1 шт., при условии, что возраст рабочего не изменится и

фиксирован на среднем уровне.

Параметр а=2,043816 не имеет экономической интерпретации.

4.Найдем среднюю ошибку аппроксимации.

Вернемся к расчетной таблице. Предварительно найдем

, подставляя в

уравнение

=2,04-0,033х

-0,065х

Соответствующие значения х

и х

. Затем найдем

)

( yy 

. Рассчитаем

.15...1%,100*





 i





A *

= 4,388729 %

= 4,388729 % < 10%, ошибка аппроксимации находится в допустимых

пределах. Качество модели хорошее.

5.Используем полученную модель для прогноза.

Если х1=35, х2=10, х3=20,

=4,490378

т.е. для рабочего данного цеха, возраст которого 35 лет, а выработка 20 шт.

за смену, прогнозное значение заработной платы – 4490, 378 руб.