Контрольная работа по эконометрике. Вар 3

Подождите немного. Документ загружается.

Министерство образования и науки Российской

Федерации

Псковский филиал

Санкт-Петербургского государственного

университета экономики и финансов

Контрольная работа

по эконометрике

Вариант 3

Выполнила:

_______________________

Поверил:

_______________________

г. Псков

2005г.

Задание 1.

Линейная регрессионная модель

В таблице даны наблюдения xt и уt. Предполагается, что зависимую

переменную у и независимую х связывает линейное регрессионное

уравнение yt = a + b*xt + et, где a и b неизвестные параметры уравнения, et –

случайные отклонения.

Необходимо:

1. Построить диаграмму рассеяния наблюдений и визуально проверить

гипотезу о возможной линейной зависимости между х и у;

2. по методу наименьших квадратов (МНК) определить оценки

параметров a и b линейной регрессионной модели;

3. на диаграмме рассеяния построить график прогнозных значений

ŷt = â + β*xt, где â и β – оценки параметров a и b соответственно;

4. Вычислить оценку дисперсии остатков. Оценить дисперсию â и β;

5. с уровнем значимости α = 0,05 проверить гипотезу а = 100 и гипотезу в

= 0;

6. построить 95% доверительные интервалы для параметров а и b;

7. определить коэффициент детерминации R

, качественно оценить

тесноту связи между х и у;

8. Вычислить дисперсионное отношение F, с уровнем значимости 0,05

проверить гипотезу о наличии связи между х и у;

9. определить прогнозное значение ŷ11 для х11= N, где N – номер

варианта. Построить 95% доверительный интервал для найденного

прогнозного значения.

10.оценить с помощью эластичности силу влияния фактора на результат в

точке x11.

Решение:

Исходные данные:

t Xt Yt

1 13,0 25,0

2 9,0 22,0

3 15,0 25,0

4 15,0 25,0

5 18,0 27,0

6 6,0 18,0

7 11,0 24,0

8 14,0 25,0

9 18,0 27,0

10 8,0 21,0

1. Диаграмма рассеяния выглядит следующим образом:

Данные наблюдений

18,0

19,0

20,0

21,0

22,0

23,0

24,0

25,0

26,0

27,0

28,0

5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0

Данные наблюдений

По виду диаграммы рассеяния можно предположить, что между фактором

Х и результатом У имеется линейная прямая обратная зависимость. Т.е. с

ростом значения фактора Х значение результата У также возрастает.

2. Оценка параметров уравнения:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной

парной регрессии по МНК выглядит так:

n * a + b * ∑x = ∑y

a * ∑x + ∑x

= ∑xy

Для решения воспользуемся вспомогательной расчетной таблицей.

t Xt Yt X

t Xt*Yt

6 6,0 18,0 36,0 108,0

10 8,0 21,0 64,0 168,0

2 9,0 22,0 81,0 198,0

7 11,0 24,0 121,0 264,0

1 13,0 25,0 169,0 325,0

8 14,0 25,0 196,0 350,0

3 15,0 25,0 225,0 375,0

4 15,0 25,0 225,0 375,0

5 18,0 27,0 324,0 486,0

9 18,0 27,0 324,0 486,0

Итого 127,0 239,0 1765,0 3135,0

10*a+ 127,0 * b = 239,0

127,0 * a+ 1765,0 * b = 3135,0

a = 23,9 – 12,7 * b

127,0 * (23,9 – 12,7 * b) + 1765,0 * b = 3135,0

3035,3 – 1612,9 * b + 1765.0 * b = 3135.0

152.1 * b = 99.7

b = 99.7 / 152.1 = 0.65549 ≈ 0. 655

a = 23.9 – 12.7 * 0.655 = 15.575279 ≈ 15.575

Теоретическое уравнение имеет вид:

y t = 15.575 + 0.655 * x

3. График прогнозных значений:

Подставляя заданные значения признака-фактора Х в полученное

уравнение, можно составить таблицу теоретических значений признака-

результата У, а затем отобразить их на графике.

t Xt Yt yt = 15,575 + 0,655 * xt

6 6,0 18,0 19,508

10 8,0 21,0 20,819

2 9,0 22,0 21,475

7 11,0 24,0 22,786

1 13,0 25,0 24,097

8 14,0 25,0 24,752

3 15,0 25,0 25,408

4 15,0 25,0 25,408

5 18,0 27,0 27,374

9 18,0 27,0 27,374

Итого 127,000 239,000 239,000

18,0

19,0

20,0

21,0

22,0

23,0

24,0

25,0

26,0

27,0

28,0

5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0

Данные наблюдений

yt = 15,575 + 0,655 * xt

В сравнении данных наблюдения и теоретических данных видим, что

теоретические значения достаточно близки к эмпирическим, но имеются

некоторые отклонения.

4. Определение остатков линейной регрессии

Дисперсия – мера неопределенности случайной величины

Вспомогательные таблицы:

t Xt Yt

yt = 15,575 +

0,655 * xt e = Yt - Yрасч

t Y

6 6,0 18,0 19,508 -1,508 2,275 36,0 324,0

10 8,0 21,0 20,819 0,181 0,033 64,0 441,0

2 9,0 22,0 21,475 0,525 0,276 81,0 484,0

7 11,0 24,0 22,786 1,214 1,475 121,0 576,0

1 13,0 25,0 24,097 0,903 0,816 169,0 625,0

8 14,0 25,0 24,752 0,248 0,061 196,0 625,0

3 15,0 25,0 25,408 -0,408 0,166 225,0 625,0

4 15,0 25,0 25,408 -0,408 0,166 225,0 625,0

5 18,0 27,0 27,374 -0,374 0,140 324,0 729,0

9 18,0 27,0 27,374 -0,374 0,140 324,0 729,0

Итого 127,0 239,0 239,000 0,000 ESS = 5,548 1765,0 5783,0

Среднее 12,7 23,9 23,900 176,5 578,3

Ниже представлен расчет дисперсий и средних квадратических отклонений

параметров a и b.

 

 

067524.00045595.0

0045595.0

21.15*10

6935.0

][

8576.07354.0][

6935.0

548.5

7354.0

21.15*10

854615.111

)7.125.176(*10

7.12*6935.0

548.5

222



























tðàñ÷tt

ESS

xxS

eESS

yye





5. Проверка гипотез.

Гипотеза Но: а=100

9600,092164,0

8027,70548,52547,65

2547,6521,15*10*429025,0**

548,5

92164,0

8027,70

2547,65















TSS

SnbRSS

ESS

ESSRSS

RSS

TSS

RSS



100 ðàâåí áûòü ìîæåò íå à'' ïàðàìåòð çíà÷èìà, íå Íî ãèïîòåçà

2,398.44333 ò.å.,||

3,2

44333.98

8576.0

100575.15















êðèòè÷





Гипотеза Но: b=0

îòâåðãíóòü ìîæíî b òàêîýôôèöèåí

òèíåçíà÷èìîñ î Íîãèïîòåçó çíà÷èò, ,tt

7) 1 - 2 - 10 v0.05,( 36.2

77612,9

067,0

0655,0

êðèòè÷



















êðèòè÷





6. Доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии

Расчет проводим с уровнем значимости 0,05, для которого параметр t = 2,3

(по критерию Стьюдента с 10-2 = 8 степенями свободы).

5883.3 7437.1

809,0 501,0

067,0*3,2655,0 06 7,0*3,2655,0

547,176 03,13

8576,0*3,2575,158576,0*3,2575,1 5











tbbtb

taata









7. определить коэффициент детерминации R

, качественно оценить

тесноту связи между х и у;

Коэффициент корреляции также можно найти и другим способом (при этом

находим не только абсолютное значение показателя, но и его знак, который

указывает на направление связи):

9601,0

38455,10

97,9

09,7*21,15

97,9

9,233,578*21,15

9,23*7,125,313











yxyx

Разница в значениях r может объясняться погрешностью расчетов.

Т.о. можно сказать, что связь между фактором и результатом сильная, т.к.

коэффициент детерминации больше, чем 0,6.

Линейный коэффициент корреляции подтверждает предположение, что связь

прямая и близка к линейной (больше 0, близок к 1).

8. Вычислить дисперсионное отношение F, с уровнем значимости 0,05

проверить гипотезу о наличии связи между х и у:

åñòüó è õ ïðèçíàêàìèìåæäó ñâÿçü è çíà÷èìà ìîäåëü çíà÷èò, ,FF

82-10 v21, v10,05, ïðè 32.5

0929.948*

7836.0

92164.0

)210(

92164.01

92164.0

)2(

















ESS

RSS

9. определить прогнозное значение ŷ11 для х11 = 3. Построить 95%

доверительный интервал для найденного прогнозного значения.

y t = 15,575 + 0,655 * 3 = 17,542

Доверительный интервал:

ỹ – ∆у ≤ ŷ ≤ ỹ + ∆у

0917.1310956.1*83277.07186.1*83277.0

1.152

09.94

1.01*83277.0

21.15*10

)7.123(

1*6935.0

)(1

















17,542 – 2,3 * 1,0917 ≤ ŷ ≤ 17,542 + 2,3 * 1,0917

15,03109 ≤ ŷ ≤ 20,05291

Т.е при заданном уровне вероятности прогнозное значение результирующего

показателя У может колебаться в пределах от 15,031 до 20,053

10. Оценить с помощью эластичности силу влияния фактора на результат

в точке x11.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

Эх = b * Хср/Уср = 0,655 * 12,7 / 23,9 = 0,348

Коэффициент эластичности показывает, что с ростом фактора Х на 1%

результат У возрастет на 0,0,348 %.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Данные наблюдений

yt = 15,575 + 0,655 * xt

Прогноз Х = 3

Ряд4

График Прогноз для Х = 3

Можно использовать встроенные функции табличного редактора Excel

На панели меню в «Сервисе» можно выбрать пункт «Анализ данных», в подменю – выбрать пункт «Регрессия».

На новом листе появятся все основные параметры, характеризующие линейную регрессию.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная

статистика

Множественный R 0,9601

R-квадрат 0,9218

Нормированный R-

квадрат

0,9120

Стандартная ошибка 0,8327

Наблюдения 10,0000

Дисперсионный анализ

4 df SS MS F

Значимость

Регрессия 1,0000 65,3523 65,3523 94,2412 0,0000

Остаток 8,0000 5,5477 0,6935

Итого 9,0000 70,9000 „ „ „

Коэффициенты

Стандартная ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

Нижние 95,0%

Верхние 95,0%

Y-пересечение 15,5753 0,8971 17,3627 0,0000 13,5067 17,6439 13,5067 17,6439

Переменная X 1 0,6555 0,0675 9,7078 0,0000 0,4998 0,8112 0,4998 0,8112