Контрольная работа по эконометрике. Вар 3

Подождите немного. Документ загружается.

Задание 2.

Нелинейная модель. Линеаризация.

Для тех же наблюдений х и у предполагается, что зависимую переменную у и

независимую х связывает нелинейное регрессионное уравнение:

ln y

= a + b * 1/ x

+ e

Необходимо:

1. провести линеаризацию модели, определить оценки параметров

нелинейной модели.

2. оценить качество модели с помощью коэффициента детерминации и

дисперсионного отношения F.

3. определить прогнозное значение ŷ11 для х11= N, где N – номер

вашего варианта. Построить 95% доверительный интервал для

найденного прогнозного значения.

4. оценить с помощью эластичности силу влияния фактора на результат в

точке х11.

5. на диаграмме рассеяния построить график прогнозных значений.

Определите сумму квадратов отклонений наблюдений от нелинейного

прогноза

Решение:

1. Линеаризация модели, оценка параметров нелинейной модели.

Т.е. в целом можно сказать, что уравнение имеет линейный вид и найти

параметры можно при помощи того же МНК, что и в задании 1.

xbaty

èÿËèíåàðèçàö

baty

ln è

*ln















Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной

парной регрессии по МНК выглядит так:

n * + b * ∑ x = ∑ y

a * ∑ x + ∑x

= ∑ x * y

Для решения воспользуемся вспомогательной расчетной таблицей.

t Xt X't = 1/Xt Yt Y't=lnYt X'

t X't*Y't Y'

1 13,0 0,077 25,0 3,219 0,006 0,248 10,361

2 9,0 0,111 22,0 3,091 0,012 0,343 9,555

3 15,0 0,067 25,0 3,219 0,004 0,215 10,361

4 15,0 0,067 25,0 3,219 0,004 0,215 10,361

5 18,0 0,056 27,0 3,296 0,003 0,183 10,863

6 6,0 0,167 18,0 2,890 0,028 0,482 8,354

7 11,0 0,091 24,0 3,178 0,008 0,289 10,100

8 14,0 0,071 25,0 3,219 0,005 0,230 10,361

9 18,0 0,056 27,0 3,296 0,003 0,183 10,863

10 8,0 0,125 21,0 3,045 0,016 0,381 9,269

ИТОГО „ 0,886 239,0 31,7„ 0,090 2,768 100,448

10 * a + b * 0,886 = 31,7

a * 0,886 + b * 0,090 = 2,768

a = 3,17 – 0,0886 * b

0,886 * (3,17 – 0,0886 * b) + 0,090 * b = 2,768

0,0115004 * b = - 0,04062

b = - 0,04062 / 0,0115004 = - 3,532

a = 3,17 – 0,0886 * (- 3,532) = 3,483

Теоретическое уравнение имеет вид: ln y t = 3.483 – 3.532 / x t

или y

= e (3.483 – 3.532/x

)

t Xt Yt

ln yt=3.483–3.532/xt y

= e

(3.483 – 3.532/xt

)

6 6,0 18,0 2,90 18,09

10 8,0 21,0 3,04 20,96

2 9,0 22,0 3,09 22,01

7 11,0 24,0 3,16 23,64

1 13,0 25,0 3,21 24,83

8 14,0 25,0 3,23 25,32

3 15,0 25,0 3,25 25,75

4 15,0 25,0 3,25 25,75

5 18,0 27,0 3,29 26,78

9 18,0 27,0 3,29 26,78

ИТОГО 127,0 239,0 31,7 239,9

çíà÷èìà ,

32.5

358.3698*

9788.01

9788.0

)2(

ñèëüíàÿ ïðèçíàêàìèìåæäó ñâÿçü

òî÷íî, ÿâëåíèåîïèñûâàåò ìîäåëü ÷òî ,ïîêàçûâàåò èèäåòåðìèíàö òÊîýôôèöèåí

9788.0

9.70

5.1

)(

ìîäåëüFF



























2. Оценка качества модели

Коэффициент детерминации R

3. Прогнозное значение ŷ11 для х11 = 3

= e

(3.483 – 3.532/xt

) = e

(3.483 – 3.532 / 3

) = 10.04

Доверительный интервал при р = 0,95:

ỹ – ∆у ≤ ŷ ≤ ỹ + ∆у

∆у = t (p=0.95)*σ

е11

= 2,3*σ

е11

0917.1310956.1*83277.0

7186.1*83277.0

1.152

09.94

1.01*83277.0

21.15*10

)7.123(

1*6935.0

)(



















10.04 – 2.3 * 1.0917 ≤ ŷ ≤ 10.04 + 2.3 * 1.0917

7.52909 ≤ ŷ ≤ 12.55091

4. оценка силы влияния фактора на результат в точке х11.

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

1773.1

532.3

)(

*)('







xfÝõ

Т.е. при увеличении фактора Х на 1% результат растет на 1,18%.

5. диаграмма рассеяния – график прогнозных значений.

3; 10,04

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

12,0

13,0

14,0

15,0

16,0

17,0

18,0

19,0

20,0

21,0

22,0

23,0

24,0

25,0

26,0

27,0

28,0

29,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Наблюдения Теоретический ряд

Прогноз Доверительный интервал для прогноза

Расчет суммы квадратов отклонений наблюдений от нелинейного прогноза

приведен в таблице:

t Xt Yt

= e

(3.483 – 3.532/xt

)

e = y

-y

tрасч

= (y

-y

tрасч

)

6 6,0 18,0 18,09 -0,09 0,01

10 8,0 21,0 20,96 0,04 0,00

2 9,0 22,0 22,01 -0,01 0,00

7 11,0 24,0 23,64 0,36 0,13

1 13,0 25,0 24,83 0,17 0,03

8 14,0 25,0 25,32 -0,32 0,10

3 15,0 25,0 25,75 -0,75 0,56

4 15,0 25,0 25,75 -0,75 0,56

5 18,0 27,0 26,78 0,22 0,05

9 18,0 27,0 26,78 0,22 0,05

ИТОГО

127,0 239,0 239,9 -0,9 1,5

Задание 3.

Множественная регрессия.

К тем же наблюдениям х и у добавляются значения z = √х. Предполагается,

что зависимую переменную у и независимые факторы x и z связывает

уравнение множественной линейной регрессии yt = a + b*xt + c*zt + et.

1. определите с помощью МНК оценки параметров уравнения.

2. с уровнем значимости 0,05 проверьте гипотезу b = 0 (о влиянии х на

результат) и с=0 (о влиянии z на результат).

3. определите коэффициент детерминации и скорректированный

коэффициент детерминации.

4. по критерию Фишера F с уровнем значимости 0,05 оцените качество

модели в целом.

5. составьте корреляционную таблицу наблюдений и вычислите частные

коэффициенты корреляции.

6. сравните по качеству модель 3 с построенными ранее в заданиях 1 и 2.

Решение:

1. Система нормальных уравнений имеет вид:

n * a + b * ∑x + c* ∑z = ∑ y

a * ∑x +b* ∑x

+ c * ∑x*z = ∑y*x

a * ∑z +b* ∑x*z

+ c * ∑z

= ∑y*z

Вспомогательная таблица

t Xt Zt = sqrt(Xt) Yt X

t Z

t Xt*Zt Yt*Xt Yt*Zt

1 13,0 3,61 25,0 169,00 13,00 46,87 325,00 90,14

2 9,0 3,00 22,0 81,00 9,00 27,00 198,00 66,00

3 15,0 3,87 25,0 225,00 15,00 58,09 375,00 96,82

4 15,0 3,87 25,0 225,00 15,00 58,09 375,00 96,82

5 18,0 4,24 27,0 324,00 18,00 76,37 486,00 114,55

6 6,0 2,45 18,0 36,00 6,00 14,70 108,00 44,09

7 11,0 3,32 24,0 121,00 11,00 36,48 264,00 79,60

8 14,0 3,74 25,0 196,00 14,00 52,38 350,00 93,54

9 18,0 4,24 27,0 324,00 18,00 76,37 486,00 114,55

10 8,0 2,83 21,0 64,00 8,00 22,63 168,00 59,40

Итого 127 35,17 239 1765,00 127,00 468,99 3135,00 855,52

Среднее 12,70 3,52 23,90 176,50 12,70 46,90 313,50 85,55

10 * a + b * 127,0 + c * 35,173 = 239,0

a * 127,0 + b * 1765,0 + c *468,9872 = 3135,0

a * 35,173 + b * 468,9872 + c * 127,0 = 855,5188

Выразим а из 1-го уравнения:

a = 23,9 – 12,7 b – 3,5173 c

Подставим выражение для а во 2-ое уравнение:

127 * (23,9 – 12,7 b – 3,5173 c) + 1765 b + 468,9872 c = 3135

3035,3 – 1612,9 b – 446,6971 c + 1765 b + 468,9872 c = 3135

152,1 b + 22,2901 c = 99,7

Выразим b:

b = 0,6554898 – 0.14654898 c

Выразим а через с:

а=23,9–12,7(0,6554898–0,14654898с)–3,5173с=15,57527954–1,656127954с

Подставим выражения для a и b в 3-ье уравнение:

35,173 (15,57527954 – 1,656127954 с) + 468,9872 (0,6554898 – 0,14654898

с) + 127 с = 855,5188

547,82930726042 – 58,250988526042 с + 307,41632593056 –

68,729595793056 с + 127 с = 855,24563319098 + 0,019415680902 с = 855,5188

0,019415680902 с = 855,5188 – 855,24563319098 = 0,27316680902

с = 0,27316680902 / 0,019415680902 = 14,06939115

В результате получим:

а = 15,57527954 – 1,656127954 * 14,06939115 = -7,72543239

b = 0,6554898 – 0.14654898 * 14,06939115 = -1,406365122

c = 14,06939115

Теоретическое уравнение имеет вид:

yt = – 7,7 – 1,4*xt + 14,1*zt

Расчетная таблица:

t Xt Zt = sqrt(Xt) Yt X

t Z

t Xt*Zt Yt*Xt Yt*Zt Ytрасч e

-Y

tрасч

1 13,0 3,61 25,0 169,00 13,00 46,87 325,00 90,14 24,72 0,28 0,08

2 9,0 3,00 22,0 81,00 9,00 27,00 198,00 66,00 21,83 0,17 0,03

3 15,0 3,87 25,0 225,00 15,00 58,09 375,00 96,82 25,67 -0,67 0,45

4 15,0 3,87 25,0 225,00 15,00 58,09 375,00 96,82 25,67 -0,67 0,45

5 18,0 4,24 27,0 324,00 18,00 76,37 486,00 114,55 26,65 0,35 0,12

6 6,0 2,45 18,0 36,00 6,00 14,70 108,00 44,09 18,30 -0,30 0,09

7 11,0 3,32 24,0 121,00 11,00 36,48 264,00 79,60 23,47 0,53 0,28

8 14,0 3,74 25,0 196,00 14,00 52,38 350,00 93,54 25,23 -0,23 0,05

9 18,0 4,24 27,0 324,00 18,00 76,37 486,00 114,55 26,65 0,35 0,12

10 8,0 2,83 21,0 64,00 8,00 22,63 168,00 59,40 20,82 0,18 0,03

Итого 127,000 35,1730 239,000 1765,000 127,000 468,9872 3135,000 855,5188 239,000 0,000 1,707

Средне

е 12,70 3,52 23,90 176,50 12,70 46,90 313,50 85,55 23,90 0,00 0,17

2. Проверка гипотез:

Гипотеза Но: b = 0

ÿîòâåðãàåòñ ïàðàìåòðà òèíåçíà÷èìîñ î ãèïîòåçà

,6) 1-3-10 vè 0,05 (ïðè 447,2

0146.0

)52.3127(*10

7/707.1

)(*10

)310/(

][

6.966

0146.0

01.14

0ñ :Íî Ãèïîòåçà

ÿîòâåðãàåòñ b òàêîýôôèöèåí òèíåçíà÷èìîñ î ãèïîòåçà çíà÷èò,

),6 1-3-10 vè 0,05 (ïðè 447.2||

04.0

21.15*10

7/707.1

)(*10

)310/(

][

96.34

04.0

04.1















































ESS





3. коэффициент детерминации

9999505.0)999967.01(*

1310

110

1)1(

:èèäåòåðìèíàö òêîýôôèöèåí

999967.0

9.52117

707.1

)23.9-5783(*10

707.1

111

:èèäåòåðìèíàö òÊîýôôèöèåí























TSS

ESS

îâàííûéÑêîððåêòèð

ESS

TSS

ESS

TSS

RSS

adj

Коэффициент детерминации практически равен 1, он показывает, что модель

достаточно качественно описывает явление.

4. Определение качества модели в целом по критерию Фишера:

çíà÷èìà öåëîì â ìîäåëü ,FF

6)1-3-10 v21,(v1 99.5

8.610632*9.30531

1310

707.1

)23.9-5783(*101

05.0





















ESS

RSS

ESS

RSS

Расчетное значение критерия Фишера выше табличного, значит гипотезу о

незначимости модели (и об отсутствии многофакторной зависимости) можно

отвергнуть, т.е. выбранная гипотеза о виде модели и найденные оценки

параметров регрессионного уравнения достаточно достоверны.

5. Определение корреляционной таблицы и частных коэффициентов

корреляции

Парные коэффициенты корреляции определяются по формулам

(yx)cp - ycp*xcp

ryx = -----------------------

σy σx

(yz)cp - ycp*zcp

ryx = -----------------------

σy σz

(xz)cp - xcp*zcp

ryx = -----------------------

σx σz

Корреляционная таблица

 Xt Zt = sqrt(Xt) Yt

Xt 1 1 1

Zt = sqrt(Xt) 0,9970 1 1

Yt 0,9601 0,9751 1

Данная таблица показывает, что параметр У с каждым из факторов X и Z

связан прямой зависимостью, причем фактор z влияет на результат у сильнее,

чем фактор х.

Так как значение z определяли как функциональную зависимость от х , то эти

два признака связаны между собой прямой и сильной зависимостью, о чем

говорит близкое к единице значение коэффициента корреляции.

Частные коэффициенты корреляции:

Показатели для расчетов можно найти в расчетной таблице

Можно вычислить эти данные с помощью встроенного пакета «Анализ данных» в табличном редакторе

ryx – rxz * ryz 0,9601 – 0,9970 * 0,9751

ryx/z = ------------------------- = ------------------------------------------- = -0,71393

√ (1-r

yz)*(1-r

xz) √ (1- 0,9751

)*(1- 0,9970

)

ryz – rxz * ryx 0,9751 – 0,9970 * 0,9601

ryz/x = ------------------------- = ------------------------------------------- = 0,832

√ (1-r

yx)*(1-r

xz) √ (1- 0,9601

)*(1 - 0,9970

)

По приведенным расчетам видно, что при исключении влияния фактора z

фактор х влияет на результат довольно сильно, но влияние носит обратный

характер, т.е. с ростом Х снижается У (что также видно и из коэффициентов

уравнения множественной регрессии), тогда как фактор z при исключении

влияния фактора х оказывает более сильное прямое воздействие.

Оба фактора связаны с между собой прямой сильной связью.

6. Сравнение качества 3-х моделей

Для первой модели:

≈ 0,922

Fp ≈ 94,09

Для второй модели:

≈ 0,979

Fp ≈ 369,36

Для третьей модели:

≈ 0,99997

Fp ≈ 61063,8

По приведенным показателям предпочтение можно отдать третьей модели,

т.к. значение коэффициента детерминации в данном случае самое высокое,

т.е. выбранная модель наилучшим образом описывает изучаемое явление.

Ниже приведены показатели регрессионного анализа, которые можно

получить, используя пакет «Анализ данных»: