Кочергин В.И. Теория многомерных цифро-векторных множеств
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 5
260
a
8
a
7
a′
1
– a′
4
a
6
a
5
0
x
a
9
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
10
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
11
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
1
x
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
2
x
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
3
x
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
11
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
0
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
1
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
2
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
3
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
а)
Рис. 5.9 (начало)
Систематический код с исправлением одиночных ошибок
261
a
8
a
7
a′
1
– a′
4
a
6
a
5
4
x
a
9
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
10
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
11
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
5
x
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
6
x
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
7
x
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
11
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
4
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
5
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
6
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
7
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
б)
Рис. 5.9 (продолжение)
Глава 5
262
8
a
7
a′
1
– a′
4
a
6
a
5
8
x
a
9
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
10 m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
11
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
9
x
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
10
x
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
11
x
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
a
11
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
8
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
9
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
10
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
11
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
в)
Рис. 5.9 (продолжение)
Систематический код с исправлением одиночных ошибок
263
a
8
a
7
a′
1
– a′
4
a
6
a
5
12
x
a
9
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
10 m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
11
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
13
x
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
14
x
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
7
m
8
a
1
m
2
a
1
a
1
m
1
m
1
a
1
a
1
m
2
a
1
m
8
m
7
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
1
m
4
m
3
a
1
a
1
m
3
m
4
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
15
x
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
6
m
5
a
1
a
1
m
5
m
6
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
1
m
2
a
1
m
8
a
1
a
1
m
7
m
7
a
1
a
1
m
8
a
1
m
2
m
1
a
1
m
4
a
1
a
1
m
3
a
1
m
5
m
6
a
1
a
1
m
6
m
5
a
1
m
3
a
1
a
1
m
4
a
1
m
2
m
1
a
1
m
7
a
1
a
1
m
8
m
8
a
1
a
1
m
7
a
1
m
1
m
2
a
1
a
1
m
8
m
7
a
1
m
1
a
1
a
1
m
2
m
2
a
1
a
1
m
1
a
1
m
7
m
8
a
1
m
6
a
1
a
1
m
5
a
1
m
3
m
4
a
1
a
1
m
4
m
3
a
1
m
5
a
1
a
1
m
6
a
11
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
12
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
13
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
14
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
15
x
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
a
5
a
6
a
9
a
10
г)
Рис. 5.9 (окончание)
Глава 5
264
a
2
a
1
a
1
a
2
a
3
a
4
a
3
*
* *
a
4
*
*
**
* **
***
m
1
* **
m
1
m
1
* **
m
1
*
*
**
* **
* * **
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
*
*
** *
**
*
*
* ***
*
*
*
m
2
**
m
2
*
m
2
* ***
m
2
*
*
**
* ***
* **
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
*
* ** *
*
*
**
* **
**
*
m
3
*
m
3
m
3
* **
m
3
*
*
**
* **
* ***
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
*
*
** *
***
***
* ***
*
*
*
m
4
**
m
4
*
m
4
* ***
m
4
*
*
* ***
* **
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
**
*
* *
*
*
**
* **
*
m
5
*
**
m
5
m
5
* **
m
5
*
*
**
* **
* ***
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
*
*
** *
*
*
* ***
*
*
*
m
6
**
m
6
*
m
6
* ***
m
6
***
***
* ***
***
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
***
*** *
*
*
**
* **
*
m
7
*
m
7
m
7
* **
m
7
*
*
**
***
* ***
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
*
*
** *
*
*
**
* ***
*
*
*
m
8
**
m
8
*
m
8
* ***
m
8
**
*
*
* ***
* **
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
Рис. 5.10
Систематический код с исправлением одиночных ошибок
265
x
2
x
1
a
8
a
11
** * * **
x
4
****
a
8
x
1
a
11
x
4
**
M
1
(a
5
) M(a
5
)
****
M(a
5
)
≡
**
и
** * * **
x
2
а)
x
2
x
1
a
8
a
11
** * * **
x
3
****
a
8
x
1
a
11
x
3
**
M
1
(a
6
) M(a
6
)
**** **
и
x
4
** * * **
****
M(a
6
)
≡
** * *
** * *
x
2
x
4
*
M
2
(a
6
)
**** *
б)
x
2
a
8
a
7
x
3
** * * **
x
4
****
≡
a
7
a
8
x
3
x
4
**
M
1
(a
9
) M(a
9
)
****
M(a
9
)
**
и
** * * **
x
2
в)
x
2
a
8
a
7
x
3
** * *
a
7
a
8
x
3
**
M
1
(a
10
) M(a
10
)
****
M(a
10
)
≡
**
и
x
2
г)
Рис. 5.11
Геометрические фигуры рис. 5.9, а – г, 5.11, которые представляют собой
определенные логические выражения, позволяют выполнить покрытие гео-
метрических образов исправленных сигналов разрядов a′
1
– a′
4
. Эти геометри-
ческие образы располагаются в координатах a
1
– a
4
; x
1
– x
4
общего цифрового
пространства систематического кода, а их покрытие производится многократ-
ными поворотами относительно осей симметрии цифрового пространства с
координатами a
5
, a
6
,
a
9
,
a
10
базового геометрического образа (БГО) в этих же
координатах.
Функциональная схема, осуществляющая требуемое покрытие, приведена на
рис. 5.12. В этой схеме все необходимые для реализации этого покрытия пово-
роты базового геометрического образа сигналов разрядов a
1
– a
4
выполняются
соответствующим инвертированием сигналов a
5
, a
6
,
a
9
,
a
10
, в координатах кото-
рых расположен этот базовый геометрический образ.
Глава 5
266
**
a
5
a
8
x
1
a
11
x
4
**
M
1
(a
5
) M(a
5
)
(a
5
)
**
и
и
**
1
x
2
**
a
6
a
8
x
1
a
11
x
3
**
M
1
(a
6
) M(a
6
) (a
6
)
БГО (a
5
a
6
a
9
a
10
)
**
и
и
**
m
1
a
i
a
i
m
2
2
a
i
m
3
m
4
a
i
a′
i
x
2
x
4
*
M
2
(a
6
)
*
a
i
m
5
m
6
a
i
3
**
a
9
m
7
a
i
a
i
m
8
a
7
a
8
x
3
x
4
**
M
1
(a
9
) M(a
9
)
(a
9
)
**
и
и
**
x
2
4
a
10
a
7
a
8
a
11
5
**
M
1
(a
10
) M(a
10
) (a
10
)
**
и
и
БП (a
5
a
6
a
9
a
10
)
x
2
Рис. 5.12
**
**
a
1
&
a′
1
**
**
&
1
М
1
БСФ
*
**
m
1
(a
1
)
БГО (
a
1
a
2
a
3
a
4
)
***
**
и и и
a
1
БП (a
1
a
2
a
3
a
4
)
a
2
a
3
a
4
* * *
* * *
* * *
* * *
(a
5
)
(a
6
)
(a
9
)
(a
10
)
а)
Схема рис. 5.12 является общей для
всех сигналов разрядов a
1
– a
4
, где
функциональная базовая схема для
каждого сигнала a′
1
– a′
4
будет раз-
личной. Эти функциональные ба-
зовые схемы для каждого из сигна-
лов a′
1
– a′
4
приведены соответст-
венно на рис. 5.13, а, б, в, г.
В свою очередь каждая функ-
циональная базовая схема этого ри-
сунка содержит свой базовый эле-
мент, геометрический образ кото-
рого m
1
(a
i
) в координатах a
1
– a
4
используется для получения других
геометрических образов аналогич-
ных функций m
2
(a
i
) – m
8
(a
i
) в этих
же координатах (рис. 5.10).
Это покрытие выполняется по-
средством соответствующего пово-
рота относительно осей цифрового
пространства a
5
, a
6
,
a
9
,
a
10
.
Рис. 5.13 (начало)
Систематический код с исправлением одиночных ошибок
267
**
**
a
2
&
a′
2
**
**
&
1
М
1
БСФ
*
**
m
1
(a
2
)
***
**
БГО (a
1
a
2
a
3
a
4
)
и и и
БП (a
1
a
2
a
3
a
4
)
a
1
a
2
a
3
a
4
* *
* * **
* *
* * * *
(a
5
)
(a
6
)
(a
9
)
(a
10
)
б)
**
**
a
3
&
a′
3
**
**
&
1
М
1
БСФ
m
1
(
a
3
)
***
и
БГО (a
1
a
2
a
3
a
4
)
***
и и и и
БП (a
1
a
2
a
3
a
4
)
a
1
a
2
a
3
a
4
* *
* * *
* *
* * *
(a
5
)
(a
6
)
(a
9
)
(a
10
)
в)
В каждой функциональной схе-
ме рис. 5.13, а, б, в, г имеется оди-
наковый функциональный элемент
М(a
i
), который определяет разме-
щение функций m
1
(a
i
) – m
8
(a
i
), а
также сигналов a
i
(i = 1, 2, 3, 4) в
координатах a
5
, a
6
,
a
9
,
a
10
простран-
ства. Совместное использование
функции М(a
i
) и функций m
1
(a
i
) –
m
8
(a
i
), представленных в координа-
тах a
1
– a
4
, позволяет посредством
подачи их выходных сигналов на
входные шины элементарной логи-
ческой схемы 2И-
И
ЛИ получить
исправление всех одиночных оши-
бок сигналов a′
1
– a′
4
первых четы-
рех разрядов систематического ко-
да.
Таким образом, используя базо-
вые геометрические образы соот-
ветствующих функций в координа-
т
ах двух цифровых пространств
(a
1
, a
2
,
a
3
,
a
4
; a
5
, a
6
,
a
9
,
a
10
) и выполняя
повороты относительно осей сим-
метрии этих пространств, осущест-
вляется покрытие геометрических
образов исправления всех одиноч-
ных ошибок сигналов первых че-
т
ырех разрядов информационной
части систематического кода, рас-
положенных в общей системе ко-
ординат этого кода ёмкостью 2
15
.
В этих функциональных много-
у
ровневых схемах весьма просто
реализуется, как увеличение числа
уровней, так и их уменьшение тео-
ретически вплоть до двухуровневой
схемы, которая в данном случае
будет весьма громоздкой.
Рис. 5.13(продолжение)
Глава 5
268
**
**
a
4
&
a′
4
**
**
&
1
М
1
БСФ
*
m
1
(a
4
)
***
****
БГО (a
1
a
2
a
3
a
4
)
a
4
и и и
БП(a
1
a
2
a
3
a
4
)
a
1
a
2
a
3
* *
* ** *
* *
* * * *
(a
5
)(a
6
)(a
9
)
(a
10
)
г)
Функциональные блоки на рис. 5.13, а,
б, в, г, входами которых являются син-
х
ронно изменяющиеся инвертированием
сигналы разрядов a
5
, a
6
, a
9
, a
10
, могут быть
выполнены общими для первых четырех
информационных разрядов систематиче-
ского кода. Сквозная нумерация –
курсивом таких функциональных блоков
на этих рисунках, позволяет определить их
число в этой части устройства.
Очевидно, что другие функциональные
блоки, например, рис. 5.12 могут также
иметь одинаковые геометрические образы
при одинаковых координатах с аналогич-
ными блоками в других информационных
и контрольных разрядах систематического
кода. Ответ на этот вопрос можно дать
только в конце решения нашей задачи син-
теза всего устройства исправления одиноч-
ных ошибок.
Рис. 5.13(окончание)
Кроме отмеченного выше функционального базового геометрического
образа БГО(a
5
a
6
a
9
a
10
) в координатах цифрового пространства a
5
a
6
a
9
a
10
в уст-
ройстве исправления одиночных ошибок разрядов a
1
– a
4
имеются следующие
функциональные блоки: 1. на рис. 5.12 блок поворотов БП (a
5
a
6
a
9
a
10
) относи-
тельно осей симметрии цифрового пространства координат a
7
a
8
a
11
; x
1
–x
4
2. на
каждом из рис. 5.13 а, б, в, г по три блока – блок поворота БП (a
1
–a
4
) относи-
тельно осей симметрии пространства координат a
1
–a
4
; блок базового геомет-
рического образа БГО в координатах пространства a
1
–a
4
; блок совмещения
функций БСФ.
Синтез всех этих блоков, кроме последнего блока, очевиден из изложен-
ного выше. В задачу блока БСФ входит передача на выходные шины разряда
a′
i
(i = 1, 2, 3, 4) устройства сигналов a
i
либо сигналов функций m
1
(a
i
) – m
8
(a
i
),
которые определяются из геометрических образов сигналов a′
1
– a′
4
рис. 5.9, а,
б, в, г функциями М
1
, m
1
(a
i
) по следующему логическому выражению
a′
i
= М
1
a
i
∨ М
1
m
1
(a
i
).
2. Исправление одиночных ошибок в пятом и последующих информаци-
онных разрядах
Синтез алгоритма устройства исправления всех одиночных ошибок в пя-
том разряде и во всех последующих информационных разрядах кода начина-
Систематический код с исправлением одиночных ошибок
269
ется с построения геометрического образа соответствующего исправленного
сигнала a′
5
– a′
11
в объединенном цифровом пространстве координат a
1
–
a
11
;
x
1
–x
4
. Пример такого построения для сигнала a′
5
представлен на рис. 5.15 а, б,
в, г. Построение подобных геометрических образов было выполнено нами ра-
нее для сигналов a′
1
– a′
4
и поэтому детали этого построения будут опущены.
Также как и прежде, на каждом рис. 5.15, а, б, в, г изображены в про-
странстве координат a
5
– a
11
соответственно под номерами 0
x
– 3
x
, 4
x
– 7
x
,
8
x
– 11
x
, 12
x
– 15
x
, части этого геометрического образа. На 1/16 всего цифрово-
го пространства, которая представлена под номером 0
x
, выделен цветом гео-
метрический образ базовой функции. Многократными мысленными поворота-
ми геометрического образа этой базовой функции относительно осей симмет-
рии пространства координат a
5
, a
6
, a
9
, a
10
осуществляется покрытие геометри-
ческого образа сигнала a′
5
.
Под геометрическими образами всех этих частей цифрового пространства
(0
x
– 3
x
; 4
x
– 7
x
; 8
x
– 11
x
; 12
x
– 15
x
) приведены такие же части пространства, в
ячейках которых зафиксированы эти повороты, осуществляемые посредством
инвертирования сигналов разрядов a
5
, a
6
, a
9
, a
10
.
В пространстве координат a
5
, a
6
, a
9
, a
10
геометрического образа базовой
функции имеются пустые, незаполненные ячейки (логические нули), ячейки
заполненные логическими единицами (*), а также прямые и инверсные значе-
ния функций в системе координат пространства a
1
– a
4
.
Последние представлены здесь в сокращенной форме записи и являют со-
бой геометрические образы функций, которые изображены на рис. 5.14.
a
2
a
1
a
3
*
* *
a
4
*
*
*
*
0 ∨ 11
или
0…
1 ∨ 10
или
1…
2 ∨ 9
или
2…
*
4 ∨ 15
или
4…
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
*
*
*
*
*
3 ∨ 8
или
3…
*
7 ∨ 12
или
7…
*
5∨ 14
или
5…
*
6 ∨ 13
или
6…
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
a
1
a
2
a
3
a
4
Рис. 5.14
В свою очередь каждая из этих функций может быть получена из другой
мысленными поворотами относительно осей симметрии координат a
1
– a
4
это-
го пространства. На рис. 5.15 в качестве такой базовой исходной функции вы-
брана первая функция
0 … = 0 ∨ 11 = a
1
a
2
a
3
a
4
∨ a
1
a
2
a
3
a
4
,
а все остальные функции рис. 5.15 будут формироваться нами соответствую-
щими поворотами относительно осей симметрии этого цифрового пространст-
ва.