Князев Б.А. Низкотемпературная плазма и газовый разряд
Подождите немного. Документ загружается.
крытие снова становится хорошим, правда для электронов с энергией E
e1
= E
e
−E
v
,гдеE
v
– энергия
колебательного состояния молекулы.
Захвата электрона, однако, еще недостаточно для завершения процесса рекомбинации. Образовавшаяся
в отталкивательном состоянии нейтральная молекула начинает разлетаться. Пока ядра не разошлись на рас-
стояние, большее R
c
, сохраняется вероятность автоионизации с частотой w
авто
[1/с]. После разлета на R
c
обратный распад молекулы на электрон и ион становится невозможен. Из рис. 16,а очевидно, что электро-
ны с энергией существенно меньшей чем E
e
имеют малую вероятность захвата, и в процессе диссоциативной
рекомбинации не участвуют. Из сказанного ясно, что распределение молекулярных ионов по колебатель-
ным состояниям существенно влияет на скорость рекомбинации. Анализ вида потенциальных кривых для
кислорода (рис. 17) показывает, что проблем со стабилизацией O
+
2
не возникает, тогда как рекомбинация в
He (рис. 18) может существенным образом зависеть от начального распределения молекулярных ионов по
колебательным состояниям.
Рис. 18: Схема электронных термов при диссоциативной рекомбинации гелия; сплошная кривая –
основное состояние He
+
2
;штриховые–He
∗
2
(все кривые – расчетные) [22].
Скорость диссоциативной рекомбинации
AB
+
+ e AB
∗∗
−→ A + B
∗
(1.3.41)
определяется очевидным выражением
β
d
= k
захв
w
стаб
w
авто
+ w
стаб
=
k
захв
w
авто
·
w
стаб
· w
авто
w
авто
+ w
стаб
. (1.3.42)
Мы знаем, что в процессе (1.3.41) равновесие может быть сдвинуто влево или вправо. В первом случае
50
w
авто
>> w
стаб
и мы имеем
β
d
= k
захв
·
w
стаб
w
авто
, (1.3.43)
т.е. “узкое место” – стабилизация продукта реакции. Поскольку в этом случае k
захв
и w
авто
находятся в
состоянии термодинамического равновесия, то
β
d
= w
стаб
g
∗∗
g
+
AT
3/2
exp
−
∆E
∗∗
kT
. (1.3.44)
Если w
авто
<< w
стаб
, то “узкое место” – захват электрона. В результате каждый захват ведет к реком-
бинации, и ее скорость
β
d
k
захв
весьма велика.
1.3.10. Вычисление скорости диссоциативной рекомбинации
Следуя [4, 2], оценим скорости рекомбинации для двух рассмотренных в предыдущем разделе предель-
ных случаев. Сечение процесса, проходящего через квазистационарное промежуточное состояние состояние,
описывается формулой Брейта-Вигнера [10]
σ =
π
2
2mE
Γ
н
Γ
(E−E
a
)
2
+Γ
2
/4
, (1.3.45)
где E – энергия рекомбинирующего электрона, E
a
– энергия автоионизационного уровня, Γ=Γ
н
+Γ
упр
– ширина автоионизационного уровня, Γ
упр
– упругая часть ширины автоионизационного уровня (опреде-
ляет автоионизационный распад промежуточного комплекса на исходные частицы), а Γ
н
– неупругая часть
ширины автоионизационного уровня (определяет завершение рекомбинации за счет диссоциации промежу-
точного комплекса на атомы)
Γ
н
= w
ao
. (1.3.46)
Здесь w
ao
– частота перехода из автоионизационного состояния молекулы в связанное (в нашем случае –
отталкивательное) состояние. Для рассматриваемого случая w
ao
можно с хорошей точностью оценить как
величину, обратную характерному времени разлета ядер на расстояние порядка боровского радиуса
w
ao
∼
v
Ta
a
0
. (1.3.47)
Для характерных тепловых скоростей атомов порядка 10
5
см/с w
ao
∼ 10
1
4 c
−1
, то есть много больше, чем
время радиационной стабилизации.
51
Усредняя величину σv по максвелловскому распределению по скоростям, найдем выражение для коэф-
фициента рекомбинации
β
d
=
∞
0
σvϕ
M
(v)dv =
∞
0
σ
2E
m
n
M
(E) dE =
=
∞
0
σ
2E
m
2
√
E
√
πT
3/2
exp
−
E
T
dE =
=
∞
0
π
2
2mE
w
ao
· Γ
2E/m
(E−E
a
)
2
+Γ
2
/4
·
2e
−E/T
√
E dE
√
πT
3/2
. (1.3.48)
И окончательно
β
d
=
√
2π
2
mT
3/2
∞
0
dE Γw
ao
e
−E/T
(E−E
a
)
2
+Γ
2
/4
. (1.3.49)
Рис. 19: Зависимость подинтегрального выражения (в условных единицах) в формуле (1.3.49)
как функция безразмерной энергии электрона x = E/T , при энергии автоионизационного уровня
x0 ≡E
a
/T =10. а) Случай большой скорости автоионизации (∆x ≡ Γ/2 T =0.2); б) Случай
малой скорости автоионизации (∆x ≡ Γ/2T =0.001).
Предположим сначала, что вероятность “упругих” процессов w
авто
(т.е. автоионизации промежуточ-
ного комплекса ) достаточно велика по сравнению с w
ao
, так что параметр Γ/2T достаточно велик. В этом
случае подинтегральное выражение в (1.3.49) имеет вид, показанный на рис. 19,а. Можно оценить (хотя
логарифмический масштаб оси ординат затрудняет визуальную оценку площадей), что площадь под пиком,
благодаря экспоненте под интегралом, для указанных параметров оказывается примерно в 30 раз меньшей,
чем под кривой вблизи нуля. Следовательно, основную роль в процессе рекомбинации играют низкоэнер-
гичные электроны. Положив тогда в знаменателе E =0и учитывая, что Γ << E
a
,перепишеминтегралв
виде
I = −w
ao
∞
0
Γe
−E/T
· Td(−E/T)
E
2
a
= −w
ao
ΓT
E
2
a
e
−E/T
∞
0
= w
ao
ΓT
E
2
a
. (1.3.50)
52
Отсюда получаем скорость рекомбинации, обратно пропорциональную корню из температуры
(β
d
)
1
= w
ao
2π
2
mT
3/2
ΓT
2πE
2
a
∼ T
−1/2
. (1.3.51)
Рис. 20: Экспериментальная зависимость коэффициента диссоциативной рекомбинации в неоне от
температуры.
Если время жизни автоионизационного уровня велико (т.е. Γ/2T −→ 0), то мы имеем другой пре-
дельный случай, изображенный на рис. 19,б. Для параметров, указанных на рисунке площадь под пиком
примерно на порядок больше, чем под остальной частью кривой. В этом случае основной вклад в рекомби-
нацию дают электроны с энергией E∼E
a
. Тогда экспонента выносится в прединтегральный множитель
∞
0
dE Γw
ao
e
−E/T
(E−E
a
)
2
+Γ
2
/2
= w
ao
e
−E
a
/T
·
∞
0
dE
(E−E
a
)
2
+Γ
2
/2
. (1.3.52)
Последний интеграл равен 2π/Γ, и коэффициент рекомбинации преобретает вид
(β
d
)
2
=
2π
2
mT
3/2
w
ao
e
−E
a
/T
. (1.3.53)
Это же выражение можно получить из константы равновесия. При этом в выражении появятся статвеса
автоионизационного состояния, электрона и иона (которые в формуле Брейта–Вигнера полагались равными
единице)
(β
d
)
2
=
g
a
g
e
g
i
2π
2
mT
3/2
w
ao
e
−E
a
/T
. (1.3.54)
На рис. 20 приведены значения коэффициента диссоциативной рекомбинации в неоне как функция
электронной температуры. Набор данных, аппроксимируемых верхней кривой, соответствует плазме с по-
стоянной температурой тяжелых компонентов, равной 300 К. Это означает, что величина w
ao
, определяемая
временем разлета атомов, постоянна для всей кривой. Зависимость T
−1/2
говорит о том, что реализуется
53
вариант рис. 19,а. При росте температуры наклон exp (−x) уменьшается, и площадь под кривой растет, но
по-прежнему основной вклад в интеграл дают низкоэнергичные электроны.
Если же температура газа также растет, то вероятность стабилизации возрастает, пик сужается, и си-
туация станосится ближе к рис. 19,б. При этом, если показатель экспоненты становится достаточно малым,
то экспонента близка к единице в рассматриваемом интервале температур, и зависимость от температуры
приобретает вид
(β
d
)
2
∼ T
−3/2
. (1.3.55)
Заметим, что вероятность неупругого распада w
ao
может, кроме того, расти с температурой из-за заселения
верхних колебательных уровней молекулярного иона.
Типичные значения β видны из следующих оценок. Для азота при комнатной температуре тяжелых
частиц
w
a0
∼
a
v
∼
10
−8
5 · 10
4
=5· 10
12
c
−1
,
То г д а
T =1 эВ,β
2
=5· 10
12
·
2π · 10
−54
10
−27
· 1.6 · 10
−12
3/2
· 1 ∼ 10
−8
см
3
/с ,
T =0, 03 эВ,β
1
=5· 10
12
2π · 10
−54
10
−27
· 0.03 · 1.6 · 10
−12
3/2
· (10
−1
÷ 10
−2
) ∼
∼ 10
−7
÷ 10
−8
см
3
/с.
Результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, представленными в таблице 5.
Ион H
+
2
He
+
2
Ne
+
2
Ar
+
2
Xe
+
2
O
+
2
O
+
4
CO
+
2
Na
+
·O
2
β
d
, 0.3 0.013 1.1 5 20 2 23 3.5 50
10
−7
см
3
/с ÷ 2.3
Таблица 5: Экспериментальные значения коэффициента диссоциативной рекомбинации при ком-
натной температуре газа и электронов; данные имеют значительный разброс, поэтому для боль-
шинства атомов здесь приведены средние значения.
1.3.11. Состояние продуктов диссоциативной рекомбинации
При диссоциативной рекомбинации выделяется энергия
∆Q = I
атома
−E
связи молек. иона
. (1.3.56)
Если эта энергия очень велика, как в случае инертных газов
Ar
+
2
+1.4 эВ = Ar
+
+ Ar ,
54
Ar +15.8 эВ = Ar
+
+ e,
то вероятность трансформации энергии в кинетическую низка (это общее правило), и один из образующих-
ся атомов, как правило, оказывается возбужденным. Связанное с этим линейчатое излучение, называют
“рекомбинационным”.
Для сильно связанных молекулярных ионов ситуация иная:
N
+
2
+8.7 эВ = N
+
+ N,
N +14.5 эВ = N
+
+ e,
поэтому вероятность образования невозбужденных продуктов велика.
1.3.12. Сравнение скоростей рекомбинации для гелиевой плазмы
В этом параграфе мы сравним скорости диссоциативной, ударной и тройной рекомбинации. В самом общем
виде уравнение электрон-ионной рекомбинации имеет вид
dn
e
dt
= β · n
2
e
(1.3.57)
При таком определении, в соответствии с результатами, полученными выше, можно записать
β
d
∼ 0.01 · 10
−6
см
3
/с ,
β
e
∼ 5 · 10
−20
n
e
см
3
/с ,
β
a
∼ 1.5 ·10
−26
n
a
см
3
/с .
Тогда для коэффициентов ударной и тройной рекомбинации можно записать следующее отношение
β
e
β
a
∼
5 · 10
−20
n
e
1.5 · 10
−26
n
a
∼ 3 · 10
6
n
e
n
a
. (1.3.58)
Отсюда видно,что β
e
>β
a
при n
e
/n
a
> 10
−7
. Соответственно, для ударной и диссоциативной рекомби-
нации
β
e
β
d
∼
5 · 10
−20
n
e
10
−8
∼ 5 · 10
−12
n
e
. (1.3.59)
Отсюда β
e
>β
d
при n
e
> 0.2 · 10
12
∼ 10
11
см
−3
. Если β
d
∼ 10
−6
см
3
/с, то при n
e
> 10
13
см
−3
.
Т.к. в низкотемпературной плазме обычно n
e
∼ 10
10
÷10
12
см
−3
, то диссоциативная рекомбинация часто
является определяющей.
55
Лекция 4
1.4. Излучательные процессы в низкотемпературной плазме
1.4.1. Роль излучения в низкотемпературной плазме, классификация переходов
Излучательные процессы играют важную роль в низкотемпературной плазме и газовом разряде. Во многих
случаях излучательный перенос существенным образом влияет на энергобаланс энергии в плазме, а пролета-
ющие большие расстояния фотоны осуществляют возбуждение и ионизацию атомов даже в холодных обла-
стях газоплазменного объекта. В низкотемпературной плазме наиболее важную роль играют линейчатое,
тормозное и рекомбинационное излучение. Циклотронное излучение, весьма существенное в высокотемпе-
ратурной плазме, играет в нашем случае малую роль и рассматривается не будет. Поскольку излучательные
процессы тесно связаны со столкновительными, мы рассмотрим в этой главе также и конкурирующие с из-
лучательными столкновительные переходы между атомными состояниями.
В данном разделе мы будем отсчитывать энергию атомных уровней от границы с континуумом, то есть
интерпретировать ее как энергию связи электрона в атоме. Для водородоподобных атомов она равна
E
n
= E
1
/n
2
, (1.4.1)
где E
1
≡ I, энергии ионизации атома. В спектроскопии чаще используется иная система отсчета, когда энер-
гия уровня отсчитывается от основного состояния и интерпретируется как энергия возбуждения электрона в
атоме
E
(s)
n
= I
1 −
1
n
2
. (1.4.2)
Обычно из контекста ясно, что подразумевается под энергией в каждом конкретном случае, и мы будем
далее пользоваться обоими определениями без специальных оговорок.
Рис. 21: Классификация атомных переходов.
56
Рассмотрим сначала чисто излучательные переходы (рис. 21). Их можно разделить на связанно-связанные,
связанно-свободные, свободно-связанные и свободно-свободные. Примером последних являются тормозное
излучение и тормозное поглощение при движении электрона вблизи атома. Связанно-свободные и свободно-
связанные переходы происходят при захвате электрона и фотоионизации атома, соответственно. Связанно-
связанные можно разделить на спонтанные и вынужденные. К последним относятся как поглощение фотона,
так и его вынужденное излучение, индуцированное пролетающим рядом первичным фотоном. В последнем
случае, как известно, излученный фотон имеет ту же фазу, что и первичный. В этом случае мы говорим о
когерентном излучении.
1.4.2. Тормозное излучение и поглощение
Рассмотрим свободно-свободные переходы. Тормозное излучение "ответственно"за излучение плазмы в
непрерывном спектре (континуум). Следуя [23] выполним качественный анализ спектра тормозного из-
лучения. Последовательность действий будет следующей. (а) Сначала вычисляется высокочастотная асим-
птотика классического спектра рассеяния электронов, имеющих скорость v, на точечном кулоновском цен-
тре с зарядом Ze (формула Крамерса). (б) Вычисленный для всех ω спектр принимают за "эталонный".
(в) Затем вводят т.н. фактор Гаунта g(ω), который позволяет получить истинный спектр, учитывающий что
электрон взаимодействует с "экранированным"ядром, и Z
i
<< Z
eff
<Z.
Высоким частотам в спектре соответствуют, очевидно, близкие пролеты ρ<<a,гдеa = Ze
2
/mv
2
– характерная “кулоновская” длина. При этом излучаемая частота ω
eff
по порядку величины равна угло-
вой скорости вращения электрона вблизи иона ∼ ω
rot
. Используя законы сохранения энегии и момента
импульса
mv
2
2
=
mv
2
max
2
−
Ze
2
r
0
, (1.4.3)
mvρ = mv
max
r
0
, (1.4.4)
и пренебрегая для близких пролетов левой частью в (1.4.3), получим
v
max
=
ρv
r
0
, (1.4.5)
mρ
2
v
2
2r
2
0
=
Ze
2
r
0
, (1.4.6)
r
0
=
ρ
2
2 · (Ze
2
/mv
2
)
≡
ρ
2
2a
<< ρ . (1.4.7)
Частоту вращения электрона в точке наибольшего сближения можно записать в виде
ω
rot
=
v
max
r
0
=
ρv
r
2
0
=
ρv · 4a
2
ρ
4
=4
a
ρ
3
·
v
a
≡ 4
a
ρ
3
∼
ω
>>
∼
ω
, (1.4.8)
57
где
∼
ω
=
v
a
=
mv
3
Ze
2
(1.4.9)
представляет собой характерную частоту спектра излучения, соответствующую ρ = a.
Теперь нетрудно оценить энергию, излучаемую в дипольном приближении электроном, имеющим ско-
рость v и пролетающим мимо иона с прицельным расстоянием ρ
∆E(ρ)=
+∞
−∞
2
3
e
2
c
3
w
2
(t)dt ∼
2e
2
3c
3
(w
max
)
2
· (∆t
eff
) , (1.4.10)
где максимальное ускорение электрона равно
w
2
max
=
v
max
r
0
=
Ze
2
2mr
2
0
, (1.4.11)
а характерное время пролета можно оценить как
(∆t)
eff
∼
r
0
v
max
. (1.4.12)
Используя (1.4.5), (1.4.7), (1.4.11) и (1.4.12), преобразуем энергию к следующему виду
(w
max
)
2
· (∆t
eff
) ∼
v
4
max
r
2
0
·
r
0
v
max
=
v
3
max
r
0
=
ρ
3
v
3
r
4
0
=
16a
4
v
3
ρ
5
, (1.4.13)
Домножив энергию на соответствующее дифференциальное сечение
∆E(ρ)=
16a
4
v
3
ρ
5
·
2e
2
3c
3
=
2 · 16
3
e
2
a
4
v
3
c
3
ρ
5
, (1.4.14)
получим величину
dκ(ρ)=∆E(ρ) ·2πρdρ =2π ·
16 · 2
3
e
2
a
4
v
3
c
3
dρ
ρ
4
, (1.4.15)
имеющую размерность [эрг·см
2
]. Смысл ее ясен, если учесть, что умножив ее на поток электронов n
e
v и
плотность инов n
i
, мы получим мощность тормозного излучения из единицы обьема dP (v, ρ) для электро-
нов с прицельным расстоянием ρ искоростьюv.
Используя введенное выше приближение
ω(ρ) ∼ ω
rot
=4
a
ρ
3
v
a
=
4a
2
v
ρ
3
, (1.4.16)
нетрудно перейти от переменной ρ к ω
|dω| =12
a
2
v
ρ
4
dρ . (1.4.17)
Тогда, приняв 12 ≈ 4π, получим выражение
dκ(ω)=
16
3
e
2
a
2
v
2
c
3
· dω = f (ω) , (1.4.18)
58
не зависящее от частоты. Окончательно
dκ(ω)=
16
3
e
2
(Ze
2
)
2
v
2
c
3
(mv
2
)
2
=
16
3
Z
2
e
6
c
3
m
2
v
2
dω . (1.4.19)
Строгая классическая теория [25] дает для спектральной интенсивности ту же зависимость, но с допол-
нительным коэффициентом π/
√
3:
dκ(ω)
dω
=
16π
3
√
3
Z
2
e
6
c
3
m
2
v
2
. (1.4.20)
Эта формула называется формулой Крамерса. Выражение (1.4.20) справедливо, как это следует из его вы-
вода, для v<<v
max
(см. (1.4.3)), то есть для частот
ω>>
∼
ω
=
mv
3
Ze
2
. (1.4.21)
Приближение Крамерса оказывается справедливым для преобладающей части спектра тормозного излуче-
ния. На практике, это выражение можно использовать для правильного описания всего спектра, если вве-
сти функциональный множитель, называемый гаунт-фактором. Подробности о вычислениях Гаунт-фактора
можно найти в [23]. В пределе малых частот (дальние, почти прямолинейные пролеты), когда ω<<
∼
ω
=
mv
3
/Ze
2
, гаунт-фактор, например, есть
g(ω) ∼ ln
∼
ω
ω
. (1.4.22)
По порядку величины гаунт-фактор g(ω) для тормозного излучения лежит в интервале 1 ÷4 (см. рис. 22).
Рис. 22: Гаунт-факторы для свободно-свободных и свободно-связанных переходов [24].
Размерность dκ(ω)/dω для дальнейшего удобно переписать в расчете на единичный спектральный ин-
тервал, выраженный в с
−1
, а именно [(эрг·см
2
)/(с
−1
)]. Проинтегрировав теперь это выражение по рас-
пределению электронов по скоростям, получим спектральную плотность мощности тормозного излучения
[эрг/с· с
−1
·см
3
]
dP (ω)
dω
=
∞
0
dκ(ω)
dω
n
i
n
e
vf(v)4πv
2
dv . (1.4.23)
59