Кирчанов В.С. Концепции современного естествознания

Подождите немного. Документ загружается.

191

что ни при каком выборе её характеристик она не согласуется

с результатами наблюдений, она непригодна для исследования

данного явления.

4. Последующий анализ модели, связанный с накоплением

данных о изучаемом явлении и модернизации модели. Уточне-

ние данных о явлении приводит рано или поздно к расхожде-

нию выводов из анализа модели с результатами

наблюдений.

Возникает необходимость построения новой, более совершен-

ной модели. Пример – модель Солнечной системы.

Физическое моделирование – экспериментальный метод

научного исследования, состоящий в замене изучаемого фи-

зического процесса, явления или объекта другим ему подоб-

ным – моделью. В основе моделирования лежат теория подобия

и анализ размерностей, устанавливающие критерии подобия.

Равенство критериев подобия для

натуры и модели обеспечи-

вает возможность переноса экспериментальных результатов,

полученных путем физического моделирования, на натурные

условия. Перенос на натуру осуществляется путем умноже-

ния каждой из определяемых величин модели на постоянный

для всех величин данной размерности множитель – коэффици-

ент (критерий) подобия. В основе моделирования лежит теория

подобия и анализ размерностей, устанавливающие критерии

подобия, равенство которых для натуры и модели обеспечива-

ет перенос результатов физического моделирования на натур-

ные условия. Равенство критериев подобия для модели и нату-

ры является необходимым условием моделирования.

Для задач динамики системы материальных точек критери-

ем подобия является число Ньютона

Ne =Ft

/ (ml),

где F – сила; m – масса; t – время; l – длина пути.

192

Элементы теории размерностей и теории подобия

Единицей измерения [А] физической величины А называет-

ся условно выбранная физическая величина, имеющая тот же

самый физический смысл, что и величина А.

Размерностью величины В называется отношение, опреде-

ляющее связь между единицами измерения этой величины [B]

и основными единицами [A

], [A

] данной системы единиц. Фор-

мулы размерности имеют вид степенных одночленов

[ ] [ ] ...[ ]

BA A=

где k – число основных единиц; n

, … n

– рациональные числа.

Пример: размерность силы в международной системе

единиц (СИ) [F Ньютон] = [масса кг]·[ускорение м·с

– 2

]; k=3,

= n

=1; n

= – 2.

Пи-теорема: всякое соотношение между n размерными ве-

личинами, для измерения которых использовано k основных

единиц измерения, можно представить в виде соотношения

между n – k безразмерными комбинациями π

,… π

n – k

этих n

величин.

Метод аналогии состоит в изучении какого-либо процесса

путем экспериментального исследования качественно другого

физического процесса, дифференциальное уравнение протека-

ния которого и условия однозначности по своей форме совпада-

ют с таковыми для изучаемого процесса.

Теория подобия – учение об условиях подобия физиче-

ских явлений. Она основана на учении о

размерностях физи-

ческих величин и служит основой экспериментальных иссле-

дований сложных явлений методом моделирования и методом

аналогии.

Математические модели законов природы, из которых по-

лучают уравнения, описывающие любое физическое явление,

193

не зависят от выбора системы мер и размерностей физических

величин. Это означает, что математические модели облада-

ют свойством масштабной инвариантности и гомохронно-

стью, т. е. свойством одинаковости скорости протекания про-

цессов во времени. Иными словами, уравнения, описывающие

физические явления, можно привести к безразмерному виду

путем введения характерных значений для каждого из

опре-

деленных физических параметров. Принципиальное значение

имеют два момента:

1) определение типа задачи (выбор системы размерностей);

2) составление перечня существенных величин на основе

понимания физической природы исследуемого процесса.

Критерии подобия – безразмерные степенные комплек-

сы, которые входят в безразмерное математическое описа-

ние рассматриваемого процесса, составленное с помощью

пи-теоремы.

Определяющие критерии подобия –

критерии, которые со-

ставлены только из величин, заданных в условиях однозначно-

сти и независимых переменных.

Первая теорема подобия: для двух подобных процессов I и II

все критерии подобия попарно равны друг другу: π1

= π1

Вторая теорема подобия: критерии подобия связаны

друг с другом уравнением подобия, которое является безраз-

мерным решением рассматриваемой задачи, справедливым

для всех подобных процессов.

Третья теорема подобия: для того чтобы два процесса были

подобны, необходимо и достаточно, чтобы они были качествен-

но одинаковы, а их определяющие критерии – попарно равны.

Качественно одинаковыми

называются процессы, матема-

тические описания которых отличаются только численными

значениями содержащихся в них размерных величин.

194

Например, критерий подобия, связанный с переносом им-

пульса; число Маха

M = v / c,

где v – скорость течения газового потока; с – скорость звука

в движущейся среде.

Критерий подобия, связанный с переносом теплоты между

поверхностью тела и потоком жидкости, число Нуссельта

Nu = αl / λ,

где α – коэффициент теплоотдачи; l – характерный размер тела;

λ – коэффициент теплопроводности жидкости.

Моделирование в химической технологии – метод иссле-

дования химико-технологических процессов путем построе-

ния и изучения моделей, отличающихся от объектов масшта-

бами или физической природой протекающих в них явлений.

Моделирование применяется

1) для исследования новых процессов;

2) проектирования новых производств;

3) оптимизации

отдельных аппаратов и технологических

схем;

4) выявления резервов мощности и отыскания наиболее эф-

фективных путей модернизации действующих производств;

5) оптимального планирования действующих производств;

6) разработки автоматизированных систем управления про-

ектируемыми и действующими производствами.

Моделирование основано на свойстве подобия различ-

ных объектов. При математическом моделировании исследо-

вание свойств объекта сводится к задаче изучения

свойств

математической модели, представляющей собой систему

уравнений математического описания, отражающую поведе-

195

ние объекта. Модель с помощью определенного алгоритма

позволяет прогнозировать это поведение при изменяющихся

условиях функционирования объекта. Наиболее распростра-

ненными являются детерминированные, статистические,

стохастические модели.

Стохастические модели строятся на основе вероятност-

ных представлений о процессах в объекте. Поведение объекта

прогнозируется путем вычисления распределения вероятностей

переменных, характеризующих исследуемые свойства. Область

применения стохастических моделей

– большие системы (агре-

гаты, технологические процессы, предприятия).

Статистические модели строятся на основе эксперимен-

тальных данных, полученных с действующего объекта. Они

являются системами соотношений, связывающих значения

входных и выходных переменных объекта. Вид этих соотно-

шений обычно задается априорно (до опыта) и определению

подлежат лишь значения некоторых параметров в принятых за-

висимостях.

Желательно планомерное варьирование входных

переменных в допустимых пределах. При построении этих

моделей необходима математическая статистика, поскольку

результаты экспериментов содержат случайные ошибки. Об-

ласть применения – планирование оптимальных условий экс-

периментов и описание функционирования отдельных аппара-

тов или участков производства для решения задач управления

и оптимизации.

Детерминированные модели строятся на основе матема-

тически

выраженных закономерностей, описывающих фи-

зико-химические процессы в объекте. Они позволяют одно-

значно определять значения переменных для любой заданной

совокупности значений входных переменных и конструктив-

ных параметров объекта. Для расчетных исследований мо-

196

дели требуются средства вычислительной техники. Особое

внимание уделяется разработке эффективных алгоритмов

решения системы уравнений и математического описания

модели. Применение принципа разумной сложности модели

приводит к необходимости сравнения экспериментальных

данных объекта с результатами расчета модели с целью про-

верки адекватности модели изучаемому процессу. Область

применения – моделирование и оптимизация отдельных ап-

паратов и

технологических схем.

Математическое моделирование в биологии

и биофизике

Исходный принцип биофизики: все биологические и хими-

ческие явления подчиняются основным физическим законам.

Метод, применяемый в биофизике на всех уровнях – от молеку-

лярного, до биосферного, включает два этапа.

1. Анализ реальной неоднородной структуры биологиче-

ского объекта и построение на его основе физической модели,

адекватной биологическому объекту. При этом учитывается за-

ключенная в объекте информация и, следовательно, биологиче-

ская специфика.

2. Анализ построенной физической модели с использова-

нием известных законов физики (термодинамики, механики,

гидродинамики).

Управление сложными биологическими системами и их

эволюция содержат одинаковые явления: автоколебания, авто-

волны, диссипативные структуры. Для их описания используют

метод математического

моделирования с помощью кинетиче-

ских уравнений. В соответствии с первым подходом на основе

теории Марковских случайных процессов составляют линей-

ные уравнения для вероятности Р

застать систему в определен-

ном i-м состоянии:

197

/ dt = k

+ k

, dP

/ dt = k

+ k

; i =1, 2.

Второй подход основан на теории динамических систем.

Переменными являются концентрация, число особей в экологи-

ческой системе, электрические мембранные потенциалы и т. п.

Уравнения нелинейные и имеют форму уравнений химической

кинетики:

1 /

dt = F

, x

), dx

2 /

dt = F

, x

где F – динамическая функция.

Математическое моделирование преследует две цели: 1) ка-

чественное описание нетривиальных явлений, для этого строят

упрощенные модели; 2) количественное описание конкретных

процессов, качественное описание которых известно, состоит

в построении имитационных моделей, содержащих много урав-

нений и переменных.

Пример 1. Модель Лотки и Вольтера (описание существо-

вания хищников числом N

, и жертв числом N

)

/ dt = k

– s

, dN

/ dt = k

– s

где k

и k

– коэффициенты рождаемости (принято, что для рож-

дения хищника ему необходимо съесть жертву); s

и s

– коэффи-

циенты смертности (принято, что жертвы погибают при встрече

с хищником). При учете зависимостей k и s от N

, N

модель

становится структурно устойчивой, имеет автоколебательные ре-

шения и используется в экологии.

Пример 2. Модель Гаузе взаимодействия популяций (опи-

сывает отбор лучшей популяции)

/ dt = a

– b

, dx

/ dt = a

– b

где x

– численность i-й популяции; а

– коэффициент размно-

жения (разность коэффициентов рождения и естественной

198

смертности); b

– коэффициент взаимодействия (конкуренция

за питание, взаимное уничтожение, эффект тесноты). Модель

используется в теории биологической эволюции и экологии.

Пример 3. Релаксационная модель с N-образной

характе ристикой.

k dx

/ dt = P (x

, x

), dx

/ dt = a + b x

+ c x

параметр k много меньше 1, функция P (x

, x

) такова, что изо-

клина (решение уравнения P (x

, x

) = 0) имеет два экстремума.

Модель описывает генерацию стандартного сигнала в ответ

на малое, но конечное внешнее воздействие и релаксационные

автоколебания. Модель используют при описании генерации

первого импульса, возникновение биоритмов (биочасы), тео-

рии мембранной регуляции клеточного цикла.

Пример 4. Мультистационарная модель. Система, описы-

вающая переключение генетического аппарата с одного режима

работы на другой

dx / dt = A (1 +y

)

– 1

– k x, dy / dt = A (1 +x

)

– 1

– k y.

В зависимости от параметров А и В и k система может иметь

одно устойчивое стационарное состояние либо три (два устой-

чивых и одно неустойчивое). В последнем случае при заданном

наборе параметров система способна функционировать в двух

разных режимах. Модель используется для описания диффе-

ренциации клеток при эволюции организма.

Моделирование в социальных

системах

Пример 5. Математическая модель С. П. Капицы роста

населения Земли. Население мира в момент времени t характе-

ризуется числом людей N (t). Скорость роста населения после-

довательно описывается тремя уравнениями (эпоха начальная

А, эпоха средняя с переходом В, эпоха после перехода S)

199

А: dN / dt = N

/ C +1 / τ; В: dN / dt = C / (t

– t)

; S: dN / dt =

= C / [(t

– t)

+τ

Решение для эпох В и S имеет вид

N (t) = (C / τ) arctg {(t

– t) / τ}.

При C =186·10

год

– 1

; t

= 2007 г. – время прохождения демо-

графического перехода; τ = 42 г. – среднее время жизни одного

поколения людей; K = (C / τ)

1 / 2

– естественный масштаб размера

популяции, можно сделать следующие выводы.

1. Численность населения Земли проходит через мировой

демографический переход от гиперболического роста в течение

эпохи В и завершается режимом с обострением и переходом

к стабилизированному режиму эпохи С. Начало глобального

демографического перехода с 1965 г. (численность населения

3,5 млрд) на конец перехода t

+τ к 2049 г. Длительность пере-

хода 2τ = 84 г. За это время население мира возрастет в три раза

и составит 10,5 млрд человек. Предельная численность челове-

чества по модели N

lim

= πK

= 14 млрд. Численность 90 % от пре-

дельной (12,5 млрд) следует ожидать к 2135 г. В настоящее время

(2006 г.) численность населения Земли составляет 6 миллиардов

человек.

2. Происходит экспоненциальное изменение масштаба ис-

торического времени по мере роста человечества. Минимум

мгновенного времени экспоненциального роста численности

населения 58 лет соответствует времени t

= 2007 г., времени

удвоения t

= 40 лет и среднегодовому росту 1,7 %. Это озна-

чает, что мы живем в эпоху самого маленького масштаба ис-

торического времени, т. е. самого быстрого изменения времени,

когда исторические события происходят за время жизни одного

поколения.

200

Моделирование в экономических системах

Пример 6. Модель М. Ю. Неймарка «Производители,

продукт, управление». Система, описывающая взаимодействие

производителей продуктa – x, сам продукт – z, управленцев – y.

Модель содержит 15 параметров и три неизвестных: x, y, z.

dx / dt = (a – bx – ey + cx) z

dy / dt = (– d – mx – ey + fz) y

dz / dt = F = g (1+

) (1+ε

)

– 1

μx (1+δz)

– 1

– hx – ky, при z ≥ 0,

и F>0

dz / dt = 0 при z = 0 и F ≤ 0.

Анализ модели позволяет сделать следующие выводы.

1. Низкий уровень технологии: g <h, x = x

, y = z = 0, об-

щество одних производителей. Средний уровень технологии:

h < g < h (1+δd / f), появляется накопление продукта z = z

. Вы-

сокий уровень технологии: g > h (1 + δd / f), появляются управ-

ленцы. Устойчивое равновесие x = x

, y = y

, z = z

может стать

неустойчивым, возникают автоколебания.

2. Появление управленцев не зависит от их эффектив-

ности ε

/ ε

, а зависит от достаточного количества продукта.

Производители стремятся увеличить свою долю h в продук-

те и увеличить эффективность управленцев ε

/ ε

. Управлен-

цы стремятся увеличить эффективность производителей μ,

совершенствовать технологию g, уменьшать долю произво-

дителей в производимом продукте и увеличивать свою долю

k в нем.

6.2. Эволюционная экономика

Основные положения классической экономики. Синергети-

ческая экономика. Эволюционная экономика.