Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4

Подождите немного. Документ загружается.

УДК 51:658.01 (075)

Казанцев Э.Ф.

Математика. Раздел 4. Теория вероятностей

и математическая статистика (тетрадь 4.1):

Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов. —

М.: Ме ж ду на род ный уни вер си тет в Мо ск ве, 2005. — 50 с.

Тетрадь 4.1 учебно-методического пособия посвящена некоторым вопросам

теории вероятностей. Приводятся основные сведения из теории вариационных

рядов и теории вероятностей.

Может быть использовано как рабочая тетрадь при самостоятельной работе

с домашними заданиями и как справочник для менеджера и экономиста

по прикладной математике.

Для студентов Международного университета в Москве,

обучающихся по экономическим и управленческим специальностям.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ис то ри че ская справ ка ......................4

4.1 Ва риа ци он ные ря ды

4.1.1 Ос нов ные по ня тия ........................5

4.1.2 Ха рак те ри сти ки ва риа ци он но го ря да .............9

4.1.3 По ка за те ли ва риа ции......................14

За да ния для са мо стоя тель ной ра бо ты ............19

4.2 Тео рия ве ро ят но стей

4.2.1 Слу чай ные со бы тия.......................21

4.2.2 Слу чай ные ве ли чи ны......................28

4.2.3 За кон боль ших чи сел ......................44

За да ния для са мо стоя тель ной ра бо ты ............47

Ли те ра ту ра ...........................49

РАЗДЕЛ 4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Ис то ри че ская справ ка

Тео рия ве ро ят но стей и ма те ма ти че ская ста ти сти ка из на чаль но

раз ви ва лись в не раз рыв ной свя зи друг с дру гом, так как ве ро ят но ст ные

за ко но мер но сти по лу ча ют ста ти сти че ское вы ра же ние в си лу за ко на

боль ших чи сел (ве ро ят но сти осу ще ст в ля ют ся при бли жен но в ви де час -

тот, а ма те ма ти че ские ожи да ния — в ви де сред них).

Ис то ки ма те ма ти че ской ста ти сти ки мож но най ти в со чи не ни ях

соз да те лей тео рии ве ро ят но стей — Я.Бер нул ли (1654–1705), П.Ла п ла -

са (1749–1827), С.Пу ас со на (1781–1840). Ре шаю щее зна че ние для

даль ней ше го раз ви тия ма те ма ти че ской ста ти сти ки име ли ра бо ты рус -

ской клас си че ской шко лы тео рии ве ро ят но стей — П.Л.Че бы ше ва

(1821–1894), А.А.Мар ко ва (1856–1922), А.М.Ля пу но ва (1857–1918).

Со вре мен ная ло ги че ская схе ма по строе ния ос нов тео рии ве ро ят -

но стей раз ра бо та на А.Н.Кол мо го ро вым (1903–1987). Ак сио мы А.Н.Кол -

мо го ро ва:

I. Ка ж до му со бы тию А по став ле но в со от вет ст вие не от ри ца -

тель ное чис ло Р(А), на зы вае мое ве ро ят но стью со бы тия А .

II. Ес ли со бы тия

A A A

, , ,K K

по пар но не со вме ст ны, то

P A A A P A P A P A

n n

( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + = + + + +K K K K

III. Пол ная ве ро ят ность всех эле мен тар ных со бы тий

P( )W =1

Не труд но ви деть, что свой ст ва ве ро ят но сти, за фик си ро ван ные в

ак сио мах, на по ми на ют свой ст ва пло ща дей и объ е мов. В об щем слу чае

не от ри ца тель ная функ ция Р(А) на зы ва ет ся ме рой, то есть Р(А) яв ля ет ся

ме рой под мно же ст ва А. По ня тие ме ры яв ля ет ся обоб ще ни ем по ня тия

пло ща ди и объ е ма. Та ким об ра зом, тео рию ве ро ят но стей мож но рас -

смат ри вать как один из раз де лов об щей тео рии ме ры.

Язык со вре мен ной тео рии ве ро ят но стей есть язык тео рии мно -

жеств, или, бо лее точ но, язык тео рии ме ры. Но при клад ные за да чи тра -

ди ци он но фор му ли ру ют ся на дру гом, «прак ти че ском» язы ке. В ча ст но -

сти, ко гда мно же ст во

(про стран ст во эле мен тар ных со бы тий) яв ля ет ся

ко неч ным мно же ст вом, то при ме ня ет ся уп ро щен ный ме тод под сче та

ве ро ят но стей, ко то рый по лу чил на зва ние клас си че ско го.

Здесь мы бу дем рас смат ри вать толь ко клас си че ский ме тод.

4.1 ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ

4.1.1. Ос нов ные по ня тия

1) Поч ти все встре чаю щие ся на прак ти ке ве ли чи ны (про из во ди -

тель ность тру да, за ра бот ная пла та, объ ем про из ве ден ной про дук ции,

уро жай ность и т.д.) при ни ма ют не оди на ко вые чис лен ные зна че ния

в раз лич ных си туа ци ях. По это му воз ни ка ет не об хо ди мость в изу че нии

их из ме няе мо сти. Пред по ло жим, что мы, ин те ре су ясь раз ме ром про -

дан ной в ма га зи не муж ской обу ви, по лу чи ли сле дую щие дан ные (в по -

ряд ке про да жи):

41, 39, 40, 38, 43,41, 42, 40, 38, 41, 42, 41, 40, 42, 39, 41, 41, 36, 43, 41,

42, 38, 41, 40, 42, 41, 42, 42, 42, 40, 41, 41, 39, 42, 40, 40, 39, 41, 39, 38, 40,

41, 41, 40, 40, 39, 42, 40, 43, 37, 40, 42, 43, 42, 38, 40, 40, 41, 41, 41, 40, 43,

42, 42, 39, 43, 41, 40, 43, 41, 42, 42, 39, 41, 43, 42, 41, 42, 40.

Не труд но ви деть, что ин те ре сую щий нас при знак ме ня ет ся от од -

но го чле на со во куп но сти к дру го му, или, как мы бу дем го во рить, варь и -

ру ет.

Итак, варь и ро ва ние есть из ме няе мость при зна ка у от дель ных

чле нов со во куп но сти. Зна че ния при зна ка у от дель ных чле нов со во -

куп но сти бу дем на зы вать ва ри ан та ми. В на шем при ме ре име ет ся 79

ва ри ан тов (об щее чис ло по ку пок). Мно гие из них ока зы ва ют ся оди на -

ко вы ми, по это му ва ри ан ты це ле со об раз но упо ря до чить — рас по ло -

жить их в по ряд ке воз рас та ния (или убы ва ния). В ре зуль та те по лу чим

сле дую щий ряд :

36, 37, 38, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40,

40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41,

41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42,

42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 43.

Опе ра ция упо ря до че ния ря да, то есть рас по ло же ние ва ри ан тов

в по ряд ке воз рас та ния (или убы ва ния), на зы ва ет ся ран жи ро ва ни ем ря -

да. Те перь лег ко под счи тать, что ин те ре сую щий нас при знак мо жет

при ни мать во семь раз лич ных зна че ний (см. Таб ли ца 4.1):

Но мер

ва ри ан та

Раз мер обу ви

(ва ри ан ты)

Чис ло

про дан ных

пар (час то ты)

Час то сти

отн. вел. %

1 36 1 0,013 1,3

2 37 1 0,013 1,3

3 38 5 0,063 6,3

4 39 8 0,101 10,1

5 40 17 0,215 21,5

6 41 21 0,266 26,6

7 42 18 0,228 22,8

8 43 8 0,101 10,1

Итого 79 1,000 100,0

В треть ем столб це Таб ли цы 4.1 сто ят чис ла, ко то рые ха рак те ри зу -

ют, сколь ко раз по вто ря ет ся ка ж дое зна че ние при зна ка в дан ной со во -

куп но сти. Эти чис ла на зы ва ют ся час то та ми при зна ка. Сум ма час тот —

это объ ем со во куп но сти (в на шем при ме ре об щее чис ло про дан ных пар

обу ви — 79). Мож но ука зы вать не час то ты, а до ли ка ж до го ва ри ан та во

всей со во куп но сти. Они по лу ча ют ся как от но ше ния со от вет ст вую щих

час тот к объ е му со во куп но сти. Эти от но ше ния на зы ва ют ся час то стя ми.

Вы ра жа ют ся они в от но си тель ных чис лах или в про цен тах (см. Таб ли -

ца 4.1). В ре зуль та те мы по лу чи ли так на зы вае мый ва риа ци он ный ряд .

Оп ре де ле ние 1. Ва риа ци он ным ря дом на зы ва ет ся упо ря до чен ные

зна че ния варь и рую ще го при зна ка (в по ряд ке воз рас та ния или убы ва -

ния) и со от вет ст вую щие им час то ты (или час то сти).

Час то ту (или час тость) ва ри ан та бу дем на зы вать его ве сом. Та ким

об ра зом, ве са по ка зы ва ют, сколь ко раз встре ча ют ся от дель ные ва ри ан -

ты в дан ной со во куп но сти, или ка кую до лю объ е ма со во куп но сти

составляет каждый из них.

2) В за ви си мо сти от то го, ка кие зна че ния мо жет при ни мать при -

знак, ва риа ци он ные ря ды де лят ся на дис крет ные и не пре рыв ные(ин тер -

валь ные).

В на шем при ме ре при знак (раз мер обу ви) мог при ни мать толь ко

це лые (дис крет ные) зна че ния. Та ко го ти па ря ды на зы ва ют ся дис крет -

ны ми. Кро ме дис крет ных ва риа ци он ных ря дов ши ро кое рас про стра не -

ние име ют ин тер валь ные (не пре рыв ные) ва риа ци он ные ря ды. В этом

слу чае го во рят , что зна че ния ми варь и рую ще го при зна ка мо гут быть

лю бые зна че ния в за дан ных пре де лах. При ме ра ми та ко го ти па ва риа ци -

он ных ря дов мо гут слу жить рас пре де ле ния лю дей по воз рас ту или по

рос ту, рас пре де ле ние по сев ной пло ща ди по уро жай но сти и т.д. При не -

пре рыв ном варьировании возможные значения признака задаются

интервалом «от … до …» (см. Таблица 4.2).

Таб ли ца 4.2. Рас пре де ле ние 1000 взрос лых муж чин по рос ту.

Рост (в см) Чис ло муж чин Рост (в см) Чис ло муж чин

143–146 1 167–170 170

146–149 2 170–173 120

149–152 8 173–176 64

152–155 26 176–179 28

155–158 65 179–182 10

158–161 120 182–185 3

161–164 181 185–188 1

164–167 201

Итого 1000

Ин тер ва лы не обя за тель но долж ны быть рав ны ми.

Для не пре рыв ных рас пре де ле ний вво дит ся по ня тие плот но сти

рас пре де ле ния. Так на зы ва ет ся час то та, при хо дя щая ся на еди ни цу ве ли -

чи ны ин тер ва ла варь и ро ва ния при зна ка. Ес ли в не пре рыв ном ва риа ци -

он ном ря ду ука за ны не час то ты, а час то сти для ка ж до го ин тер ва ла варь и -

ро ва ния при зна ка, то на хо дят от но ше ния час то стей к со от вет ст вую щим

ин тер ва лам. Они на зы ва ют ся от но си тель ны ми плот но стя ми рас пре де -

ле ния. Осо бен но важ но по ня тие плот но сти рас пре де ле ния для не пре -

рыв ных рас пре де ле ний с не рав ны ми ин тер ва ла ми.

Ес ли нас ин те ре су ет, на при мер, во прос сколь ко бы ло про да но пар

обу ви раз ме ров, мень ших не ко то ро го, мы долж ны по сле до ва тель но

про сум ми ро вать час то ты, на чи ная с час то ты пер во го ва ри ан та. По лу -

чен ные чис ла на зы ва ют ся на ко п лен ны ми частотами.

3) Гра фи че ское изо бра же ние ва риа ци он ных ря дов.

При ме ня ет ся не сколь ко спо со бов гра фи че ско го изо бра же ния ря -

дов рас пре де ле ний в за ви си мо сти от ви да их и от по став лен ной за да чи:

по ли гон, гис то грам ма, кумулятивная кривая, огива.

Пусть дис крет ный ва риа ци он ный ряд за дан Таб ли цей 4.1. В пря -

мо уголь ной сис те ме ко ор ди нат по стро им точ ки с ко ор ди на та ми (x, n),

где х — зна че ния при зна ка, а n — со от вет ст вую щие им час то ты. Эти точ -

ки со еди ним по сле до ва тель но пря мо ли ней ны ми от рез ка ми. К дан ным

Таб ли цы 4.1 до бав ля ют ну ле вые зна че ния час тот для ва ри ан тов с раз ме -

ра ми обу ви 35 и 44. По лу чит ся ло ма ная замк ну тая ли ния, на зы вае мая

по ли го ном (см. рис. 4.1 по дан ным Таб ли цы 4.1).

По ли гон мож но ис поль зо вать для гра фи че ско го изо бра же ния и

ин тер валь ных ва риа ци он ных ря дов. Для это го сле ду ет час то ты от не сти

к се ре ди нам ин тер ва лов. Но ча ще все го для гра фи че ско го изо бра же ния

ин тер валь ных рас пре де ле ний при ме ня ет ся гис то грам ма, ко то рая стро -

ит ся так же в пря мо уголь ной сис те ме ко ор ди нат. По оси абс цисс от кла -

ды ва ют от рез ки, изо бра жаю щие ин тер ва лы зна че ний варь и рую ще го

при зна ка. На этих от рез ках, как на ос но ва ни ях, стро ят пря мо уголь ни -

ки, вы со ты ко то рых про пор цио наль ны час то там (или час то стям) со от -

вет ст вую щих ин тер ва лов. В ре зуль та те по лу ча ем сту пен ча тую фи гу ру в

ви де сдви ну тых друг к дру гу пря мо уголь ни ков, пло ща ди ко то рых про -

пор цио наль ны час то там (или час то стям) (см. рис. 4.2 по дан ным Таб ли -

цы 4.2). Сле ду ет пом нить, что гис то грам ма изо бра жа ет не фак ти че ское

из ме не ние плот но сти рас пре де ле ния в за ви си мо сти от из ме не ния при -

зна ка, а лишь сред ние плот но сти рас пре де ле ния на ка ж дом ин тер ва ле.

Ес ли по строе на гис то грам ма ин тер валь но го рас пре де ле ния, то, как

Рис. 4.1 По ли гон

нетруд но со об ра зить, по ли гон то го же рас пре де ле ния по лу чим, ес ли со -

еди ним пря мо ли ней ны ми от рез ка ми се ре ди ны верхних оснований

прямоугольников.

Для по строе ния ку му ля тив ной кри вой в пря мо уголь ной сис те ме

ко ор ди нат стро им точ ки с ко ор ди на та ми (х, n

+ n

+ … + n

), то есть абс -

цис сы их — зна че ния при зна ка, а ор ди на ты — со от вет ст вую щие им на -

ко п лен ные час то ты. Точ ки со еди ня ем пря мо ли ней ны ми от рез ка ми.

По лу чим ло ман ную ли нию — ее и на зы ва ют ку му ля тив ной кри вой

(или кри вой на рас таю щих ито гов).

Ес ли в пря мо уголь ной сис те ме ко ор ди нат в ка че ст ве ор ди на ты от -

ло жить зна че ния при зна ка, а абс цис сы — на ко п лен ные час то ты и по лу -

чен ные точ ки со еди нить пря мо ли ней ны ми от рез ка ми, то по лу чим ло -

ма ную ли нию, ко то рая на зы ва ет ся оги вой. Та ким об ра зом, по срав не -

нию с ку му ля тив ной кри вой при построении огивы оси абсцисс

и ординат меняются ролями.

4.1.2. Ха рак те ри сти ки ва риа ци он но го ря да

1) Сред няя ариф ме ти че ская

Оп ре де ле ние 2. Сред ней ариф ме ти че ской ва риа ци он но го ря да на -

зы ва ет ся сум ма про из ве де ний всех ва ри ан тов на со от вет ст вую щие им

час то ты (или час то сти), по де лен ная на сум му час тот:

Рис. 4.2 Гис то грам ма

x n x n x n

n n n

x n

m m

+ + +

1 1

2 2

(4.1)

Ина че мож но ска зать, что сред няя ариф ме ти че ская рав на сум ме

про из ве де ний ва ри ан тов на их ве са, раз де лен ной на сум му ве сов.

При вы чис ле нии сред ней ариф ме ти че ской ин тер валь но го рас -

пре де ле ния в ка че ст ве ва ри ан тов бе рут се ре ди ны со от вет ст вую щих

интервалов.

При мер 4.1: Вы чис лить сред нее чис ло жи те лей в по сел ках го род -

ско го ти па по сле дую щим дан ным:

Чис ло жи те лей в по сел ках

(тыс. че ло век)

Чис ло по сел ков

от 1 до 3 682

от 3 до 5 875

от 5 до 10 1367

от 10 до 20 443

от 20 до 50 50

от 50 до 80 1

Итого 3418

x =

× + × + × + × + × + ×

2 682 4 875 7 5 1367 15 443 35 50 65 1

3418

6 9

, тыс. чел.

Здесь смысл сред не го сле дую щий — это та кое чис ло жи те лей, ко -

то рое бы ло бы в ка ж дом по сел ке, ес ли в ка ж дом из них жи те лей было бы

поровну.

Рас смот рим ос нов ные тео ре мы, ха рак те ри зую щие свой ст ва сред -

ней ариф ме ти че ской.

Тео ре ма 1. Ес ли все ва ри ан ты уве ли чить (умень шить) в од но и то

же чис ло раз, то сред няя ариф ме ти че ская уве ли чит ся (умень шит ся) во

столь ко же раз.