Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4

Подождите немного. Документ загружается.

Дей ст ви тель но:

kx n

k x n

x n

k x

i i

= = ×

= ×

= = =

å å å

1 1 1

(4.2)

Ана ло гич но до ка зы ва ет ся, что умень ше ние ва ри ан тов в k раз при -

во дит к умень ше нию сред ней ариф ме ти че ской так же в k раз.

Тео ре ма 2. Ес ли все ва ри ан ты умень шить (уве ли чить) на од но и то

же чис ло, то сред няя ариф ме ти че ская умень шит ся (уве ли чит ся) на то

же чис ло.

Дей ст ви тель но :

x c

x c n

x n c n

x n

i i

- =

- ×

× - ×

= = = =

å å å

( )

1 1 1 1

x c

å å

- × = -

= 1

(4.3)

Ана ло гич но до ка зы ва ет ся , что уве ли че ние ва ри ан тов на од но и то

же чис ло при во дит к уве ли че нию сред ней на то же чис ло.

Тео ре ма 3. Сум ма про из ве де ний от кло не ний ва ри ан тов от их

сред ней ариф ме ти че ской на со от вет ст вую щие им ве са рав на ну лю.

Дей ст ви тель но, ис поль зуя пре ды ду щую тео ре му, по ла гая

c x=

по лу чим:

( )x x

x x

= - =

От ку да сле ду ет:

( )x x n

i i

- × =

(4.4)

Тео ре ма 4. При уве ли че нии и умень ше нии ве сов в од но и то же

чис ло раз сред няя ариф ме ти че ская не из ме ня ет ся.

Дей ст ви тель но :

x kn

k x n

x n

i i

= = =

= =

å å

1 1

(4.5)

Вве дем по ня тие груп по вой сред ней. Пред по ло жим, что не ко то рая

со во куп ность раз би та на груп пы. Груп пы бу дем на зы вать не пе ре се каю -

щи ми ся, ес ли ка ж дый ва ри ант при над ле жит толь ко од ной груп пе.

Оп ре де ле ние 3. Груп по вой сред ней на зы ва ет ся сред няя ариф ме ти -

че ская ва ри ан тов, со став ляю щих часть дан ной со во куп но сти. То гда

сред нюю ариф ме ти че скую то го же при зна ка во всей со во куп но сти на -

зы ва ют об щей сред ней.

Тео ре ма 5. Ес ли со во куп ность раз би та на не пе ре се каю щие ся

груп пы, то об щая сред няя рав на сред ней ариф ме ти че ской груп по вых

сред них, ко гда ве са ми яв ля ют ся объ е мы групп.

x N x N x N

N N N

l l

+ + +

1 1

2 2

(4.6)

Тео ре ма 6. Ес ли ка ж дое зна че ние при зна ка z пред став ля ет сум му

(раз ность) зна че ний при зна ков x и y , то сред няя ариф ме ти че ская при -

зна ка z рав на сум ме (раз но сти) сред них ариф ме ти че ских x и y :

z x y= +

2) Ме диа на

Оп ре де ле ние 4. Ме диа ной (Me) на зы ва ет ся ва ри ант, при хо дя -

щий ся на се ре ди ну ва риа ци он но го ря да.

Ины ми сло ва ми, ме диа ной яв ля ет ся ва ри ант, ко то рый де лит со -

во куп ность на две рав ные по объ е му час ти. До ме диа ны и по сле нее име -

ет ся оди на ко вое чис ло чле нов со во куп но сти. При на хо ж де нии ме диа ны

ва риа ци он но го ря да сле ду ет раз ли чать два слу чая : а) объ ем со во куп но -

сти нечетный; б) объем совокупности четный.

а) пусть объ ем со во куп но сти не чет ный и ра вен 2m – 1. Рас по ло -

жим все ва ри ан ты

x x x x x x

m m1

1 1 2 1

, ,..., , , ,...,

- + -

в воз рас таю щем по -

ряд ке. В этом ря ду ка ж дый ва ри ант по вто рен столь ко раз, сколь ко он

встре ча ет ся в со во куп но сти. По это му сре ди них мо гут быть и оди на ко -

вые. Ме диа ной это го рас пре де ле ния яв ля ет ся ва ри ант с но ме ром m,

так как он на хо дит ся в се ре ди не ря да: Ме =

б) ес ли объ ем со во куп но сти чет ный и ра вен 2m, то в ря ду

x x x x x x

1 1

, ,..., , , ,...,

- +

нет ва ри ан та, ко то рый де лил бы сово -

купность на две рав ные по объ е му груп пы. По это му за ме диа ну ус -

лов но при ни ма ют по лу сум му на хо дя щих ся в се ре ди не ря да ва ри ан -

тов:

Me = +

( )x x

При мер 4.2. Вы чис лить ме диа ну рас пре де ле ния по раз ме ру про -

дан ной обу ви (см. Таб ли ца 4.1).

Ре ше ние. Объ ем со во куп но сти (79) не чет ный. Здесь 2m – 1 = 79,

от ку да m = 40 . Сле до ва тель но, ме диа ной это го рас пре де ле ния бу дет ва -

ри ант с но ме ром 40 в ран жи ро ван ном ря ду, в ко то ром ка ж дый ва ри ант

по вто рен столь ко раз, ка ко ва его час то та. Что бы най ти этот ва ри ант, оп -

ре де лим на ко п лен ные час то ты дан но го рас пре де ле ния:

Раз мер обу ви Чис ло про дан ных пар На ко п лен ные частоты

36 1 1

37 1 1+1=2

38 5 2+5=7

39 8 7+8=15

40 17 15+17=32

41 21 32+21=53

42 18 53+18=71

43 8 71+8=79

Итого 79

Те перь ищем по след нюю на ко п лен ную час то ту, ко то рая мень ше

по ло ви ны объ е ма со во куп но сти, и пер вую, ко то рая боль ше ее. Они со -

от вет ст вен но рав ны 32 и 53. Та ким об ра зом, пер вые 32 ва ри ан та по сво -

ей ве ли чи не мень ше 41, а сле дую щие 21 ва ри ант, имею щие но ме ра с 33

по 53 вклю чи тель но, при ни ма ют зна че ние 41. Сре ди них на хо дит ся и

ва ри ант с но ме ром 40, сле до ва тель но ме диа на это го рас пре де ле ния рав -

на 41 раз ме ру обуви.

3) Мо да

Оп ре де ле ние 4. Мо дой (Мо) на зы ва ет ся наи бо лее час то встре чаю -

щий ся ва ри ант.

На хо ж де ние мо ды дис крет но го рас пре де ле ния не тре бу ет ка ких-

ли бо вы чис ле ний — ею яв ля ет ся ва ри ант, ко то ро му со от вет ст ву ет наи -

боль шая частота (или частость).

Для при ме ра с обу вью, наи боль шая час то та рас пре де ле ния рав -

на 21. Она со от вет ст ву ет ва ри ан ту 41. Сле до ва тель но, мо да рас пре де ле -

ния по раз ме ру про дан ной муж ской обу ви (см. Таблица 4.1) равна 41.

Мо да для не пре рыв но го рас пре де ле ния вы чис ля ет ся по формуле :

Мо =

x k

n n

n n n n

1 1

- + -

- +

( ) ( )

где

— на чаль ное зна че ние мо даль но го ин тер ва ла, то есть ин тер ва ла,

со дер жа ще го мо ду; k — ве ли чи на мо даль но го ин тер ва ла;

— час то та

мо даль но го ин тер ва ла;

i -1

— час то та ин тер ва ла, пред ше ст вую ще го мо -

даль но му;

i +1

— час то та ин тер ва ла, сле дую ще го за модальным.

В не пре рыв ном рас пре де ле нии с рав ны ми ин тер ва ла ми мо даль -

ным бу дет ин тер вал, ко то ро му со от вет ст ву ет наи боль шая час то та. Ес ли

ин тер ва лы не оди на ко вые, то мо даль ным бу дет ин тер вал, ко то ро му со -

от вет ст ву ет наибольшая плотность распределения.

4.1.3. По ка за те ли ва риа ции

1) Про стей шим по ка за те лем ва риа ции при зна ка яв ля ет ся раз мах

ва риа ции R — это раз ность ме ж ду наи боль шим и наи мень шим ва ри ан -

та ми в дан ном ва риа ци он ном ря ду : R =

x x

max min

Так, раз мах ва риа ции рас пре де ле ния по раз ме ру про дан ной муж -

ской обу ви (см. Табл. 4.1) ра вен: R = 43 — 36 = 7.

Раз мах ва риа ции — весь ма при бли жен ная ха рак те ри сти ка рас сея -

ния при зна ка. Наи боль ший ин те рес пред став ля ет ха рак тер груп пи ров -

ки зна че ний при зна ка око ло их сред ней:

x x

. Кро ме то го, долж но

быть уч те но, как час то они име ют ме сто в дан ном рас пре де ле нии. Это

по ка зы ва ют ве са ва ри ан тов. И на ко нец, раз но сти

x x

не об хо ди мо ос -

во бо дить от зна ка: взять или аб со лют ные ве ли чи ны, или их квад ра ты,

или во об ще чет ные сте пе ни. В со от вет ст вии с этим по лу ча ют раз лич ные

ха рак те ри сти ки рас сея ния при зна ка: сред нее ли ней ное от кло не ние,

дис пер сию и др.

Оп ре де ле ние 5. Сред ним ли ней ным от кло не ни ем на зы ва ет ся

сред няя ариф ме ти че ская аб со лют ных ве ли чин от кло не ний ва ри ан тов

от их сред ней ариф ме ти че ской:

x x n

i i

- ×

(4.7)

Од на ко на прак ти ке и в тео ре ти че ских ис сле до ва ни ях сред нее ли -

ней ное от кло не ние при ме ня ет ся срав ни тель но ред ко, так как оно не

име ет та ких свойств, ка кие же ла тель но бы ло иметь. По это му обыч но

рас сея ние при зна ка ха рак те ри зу ют дис пер си ей и не по сред ст вен но по лу -

чае мым из нее сред ним квад ра ти че ским от кло не ни ем.

Оп ре де ле ние 6. Дис пер си ей ва риа ци он но го ря да на зы ва ет ся сред -

няя ариф ме ти че ская квад ра тов от кло не ний ва ри ан тов от их сред ней:

- ×

( )x x n

i i

(4.8)

Для ха рак те ри сти ки рас сея ния час то бы ва ет удоб нее иметь ве ли -

чи ну, ко то рая вы ра жа ет ся в тех же еди ни цах, что и зна че ния при зна ка.

Ее мы по лу чим, вы чис лив ко рень квад рат ный из дис пер сии.

Оп ре де ле ние 7. Ариф ме ти че ское зна че ние кор ня квад рат но го из

дис пер сии на зы ва ет ся сред ним квад ра ти че ским от кло не ни ем:

s =

- ×

( )x x n

i i

(4.9)

2) Свой ст ва дис пер сий

Тео ре ма 7. Ес ли все ва ри ан ты уве ли чить (умень шить) в од но и

то же чис ло k раз, то дис пер сия уве ли чит ся (умень шит ся) в

раз.

Дей ст ви тель но:

( ) ( ) ( )kx k x n

k x x n

x x n

i i

- ×

= =

å å

2 2

(4.10)

Тео ре ма 8. Уве ли че ние или умень ше ние ва ри ан тов на од ну и ту же

по сто ян ную ве ли чи ну не из ме ня ет дис пер сии.

Дей ст ви тель но:

( ) ( ) ( )

( ) ( )x c x c n

x c x c n

x x n

i i

+ - + ×

+ - - ×

- ×

= =

å å

(4.11)

Тео ре ма 9. При уве ли че нии и умень ше нии ве сов в од но и то же

чис ло раз дис пер сия не из ме ня ет ся.

Дей ст ви тель но :

( ) ( ) ( )

x x kn

k x x n

k n

x x

i i

- ×

(4.12)

Тео ре ма 10. Дис пер сия от но си тель но сред ней ариф ме ти че ской

рав на дис пер сии от но си тель но про из воль ной по сто ян ной без квад ра та

раз но сти ме ж ду сред ней ариф ме ти че ской и этой по сто ян ной:

- ×

- -

( )

x c n

x c

i i

(4.13)

Дей ст ви тель но, так как

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x c c x x c x c

x c x c

i i i

i i

- = - + - = - - - =

= - - -

2 2

2 ( ) ( ) ,x c x c- + -

то дис пер сию от но си тель но сред ней ариф ме ти че ской мож но пред ста -

вить так:

- ×

- × - - - ×

= =

å å

( ) ( ) ( )( )x x n

x c n x c x c n

i i

i i i

x c n

+ - ×

åå

( )

За знак сум мы мож но вы не сти по сто ян ный мно жи тель

x c-

, по -

это му

( ) ( )

( )

x c n

x c

m x c

- ×

× = -

= =

å å

( )( )

( )

( )( )

x c x c n

x c

x c n

x c x c

i i

- -

= -

= - -

= =

å å

1 1

= -( )x c

В ре зуль та те мы по лу чим:

2 2

- - + - =

= =

å å

( )

( ) ( )

( )x c n

x c x c

x c n

i i

( )x c-

что и тре бо ва лось до ка зать.

Тео ре ма 11. Дис пер сия рав на сред ней ариф ме ти че ской квад ра тов

ва ри ан тов без квад ра та их сред ней ариф ме ти че ской:

= -

x n

i i

( )

(4.14)

Дан ное вы ра же ние мы по лу чим, по ла гая в пре ды ду щей фор му ле

с = 0.

Поль зу ясь свой ст ва ми дис пер сии, мож но вы чис ле ние дис пер сии

уп ро стить с по мо щью сле дую щей формулы:

2 2

× - -

x c

k x c

( )

(4.15)

где с и k —про из воль ные, спе ци аль но по доб ран ные по сто ян ные.

При мер 4.3. Вы чис лить дис пер сию рас пре де ле ния по рос ту взрос -

лых муж чин (см. Табл. 4.2).

Ре ше ние: при мем с = 165,5 — это се ре ди на ин тер ва ла, ко то ро му

со от вет ст ву ет наи боль шая час то та, и од но вре мен но это при бли жен ное

зна че ние сред ней ариф ме ти че ской. В ка че ст ве k возь мем ве ли чи ну ин -

тер ва лов (они все оди на ко вые), то есть 3. Результаты вычислений

расположим в таблице:

Рост

(в см)

Число

мужчин

Середина

интервала

x c

- x c

x c

143–146 1 144,5 –21 –7 –7 49

146–149 2 147,5 –18 –6 –12 72

149–152 8 150,5 –15 –5 –40 200

152–155 26 153,5 –12 –4 –104 416

155–158 65 156,5 –9 –3 –195 585

158–161 120 159,5 –6 –2 –240 480

161–164 181 162,5 –3 –1 –181 181

164–167 201 165,5 0 0 0 0

167–170 170 168,5 3 1 170 170

170–173 120 171,5 6 2 240 480

173–176 64 174,5 9 3 192 576

176–179 28 177,5 12 4 112 448

179–182 10 180,5 15 5 50 250

182–185 3 183,5 18 6 18 108

185–188 1 186,5 21 7 7 49

Ито го 1000 10 4064

Сред ний рост муж чин ра вен:

x = × + =

1000

3 165 5 165 53, , см

При ме няя фор му лу (4.15), най дем дис пер сию:

( )

2 2

4064

1000

3 165 53 165 5 36 5751= × - - =, , ,

3) Груп по вая дис пер сия

Оп ре де ле ние 8. Груп по вой дис пер си ей на зы ва ет ся дис пер сия ва -

ри ан тов, со став ляю щих часть дан ной со во куп но сти, от но си тель но их

сред ней, то есть от но си тель но груп по вой сред ней. То гда дис пер сия ва -

ри ан тов всей со во куп но сти от но си тель но об щей сред ней на зы ва ет ся

об щей дис пер си ей:

i j i

x x m

- ×

( )

(4.16)

где

— ва ри ан ты,

— груп по вая сред няя,

— час то та ва ри ан тов

в груп пе,

N m

j i

— объ ем груп пы.

Оп ре де ле ние 9. Сред няя ариф ме ти че ская груп по вых дис пер сий,

ко гда ве са ми яв ля ют ся объ е мы групп, на зы ва ет ся сред ней груп по вых

дис пер сий:

i i

(4.17)

За да ния для са мо стоя тель ной ра бо ты:

1) За дан дис крет ный ва риа ци он ный ряд:

5, 4, 3, 5, 5, 6, 7, 6, 7, 7, 8, 8, 5, 2, 4, 5, 6, 6, 8, 9, 9, 6, 6, 4, 4, 3, 4,

2, 2, 2, 5, 5, 5, 6, 8, 4, 4, 8, 8, 6.

а) ран жи ро вать дан ный ряд;

б) най ти час то ты ва ри ан тов;

в) по стро ить по ли гон дан но го ря да;

г) по стро ить ку му ля тив ную кри вую дан но го ря да;

д) вы чис лить сред нюю ариф ме ти че скую;

е) вы чис лить ме диа ну и мо ду;

ж) най ти дис пер сию.

2) За дан ин тер валь ный ва риа ци он ный ряд:

Объ ем ва ло вой про дук ции

(в млн. руб.)

Чис ло пред при ятий

(в про цен тах)

101–500 8,3

501–1000 18,8

1001–5000 16,4

5001–10000 39,0

10001–50000 8,5

50001–55000 7,6

55001–60000 1,4

Ито го 100

а) най ти плот но сти рас пре де ле ния по ин тер ва лам;

б) по стро ить гис то грам му дан но го ря да;

в) най ти сред ний объ ем ва ло вой про дук ции;

г) най ти ме диа ну и мо ду;

д) вы чис лить дис пер сию.