Казанцев Э.Ф. Математика. Раздел 4. Теория вероятностей и математическая статистика. Тетрадь 4

Подождите немного. Документ загружается.

, (4.2.13)

со от вет ст вую щая плот ность ве ро ят но сти:

(4.2.14)

з) Ана ли зи руя по ве де ние от но ше ния вы бо роч ных дис пер сий двух

вы бо рок из вле чен ных из од ной и той же нор маль ной ге не раль ной со во -

куп но сти, анг лий ский ста ти стик Р.Фи шер (1924 г.) на шел, так на зы вае -

мое, «F-рас пре де ле ние»:

плот ность рас пре де ле ния:

k k

× ×

G G

1 2

2 2

1 2

( )

k x k

k k

(4.2.15).

4) Ме тод мо мен тов

Ос нов ные па ра мет ры кри вых рас пре де ле ния мож но ха рак те ри зо -

вать с по мо щью так на зы вае мых мо мен тов.

а) Пусть име ет ся слу чай ная ве ли чи на Х. Мо мен том k-го по ряд ка

(a) по от но ше нию к зна че нию а на зы ва ет ся ма те ма ти че ское ожи да -

ние k-ой сте пе ни от кло не ния X от a: M

(a) = M (X – a)

Ес ли a = 0, мо мент на зы ва ет ся на чаль ным (n

), при a = M(x) его на -

зы ва ют цен траль ным (m

). Та ким образом:

= M

(0) = M(x

);

= M

(M(x)) = M(X – M(x))

Цен траль ные мо мен ты слу чай ной ве ли чи ны X мож но вы ра зить

че рез на чаль ные мо мен ты этой величины:

= M(X – M(x))

= M (

(–1)

k-n

(M(x))

) =

(–1)

M(x

k-n

) =

(–1)

k-n

От сю да:

= n

– 2n

+ n

= n

– n

= n

– 3n

+ 3n

– n

= n

– 3n

+ 2n

= n

– 4n

+ 6n

– 3n

б) На чаль ный мо мент k-го по ряд ка

x f x dx=

-¥

( )

Цен траль ный мо мент k-го по ряд ка

k k

x a f x dx E x a= - = -

-¥

( ) ( ) ( )

Мо мен ты ну ле во го по ряд ка: k = 0:

1= = =

-¥

òò

x f x dx f x dx( ) ( )

1= - = =

-¥

òò

( ) ( ) ( )x a f x dx f x dx

Мо мен ты 1-го по ряд ка: k = 1:

= =

-¥

x f x dx E x( ) ( )

— ма те ма ти че ское ожи да ние;

0= - =

-¥

( ) ( )x a f x dx

— след ст вие 5-го свой ст ва ма те ма ти че ско го

ожи да ния.

Цен траль ный мо мент 2-го по ряд ка:

m s

2 2 2

= - - =

-¥

( ) ( ) ( )x a f x dx E x a

— дис пер сия.

в) Вы чис лим цен траль ные мо мен ты слу чай ной ве ли чи ны, рас -

пре де лен ной по нор маль но му за ко ну:

s p

x a

dx= - -

-¥

( ) exp

( )

;

Сде ла ем за ме ну пе ре мен ной

t x a= -( ) s

x a t- = ×s

; (пре де лы ин -

тег ри ро ва ния не из ме ня ют ся) dx = s dt,

dt= × -

-¥

exp

Пусть k — не чет ные: k = 2×l + 1; до ка жем, что при этом все ин те -

гра лы рав ны нулю:

2 1

× +

-¥

= × -

dtexp

× -

+ -

-¥

ò ò

dt t

l l2 1

2 1

2 2

exp exp

=dt

де ла ем за ме ну пе ре мен ной: z = t

= × × + ×

-¥

ò ò

2 1

l z l z

z e dz z e dz

так как пе ре ста нов ка пре де лов да ет пе ред ин те гра лом знак «–».

Пусть k — чет ные; k = 2×l

2 2

dt t

= × -

-¥

exp exp

так как по дын те граль ная функ ция чет ная, ис поль зуя фор му лу Эй ле ра-

Пу ас со на, по лу чим:

m s

2 1

l= - ×( )!!

;

( )!! ( )2 1 1 3 5 2 1l l- = × × × × -K

В ча ст но сти: m

= 1×3×s

= 3s

г) Цен траль ный мо мент m

ха рак те ри зу ет от кло не ние рас пре де ле -

ния слу чай ной ве ли чи ны x от сим мет рич но го. За ме ру это го от кло не ния

бе рут от но ше ние m

к сред не му квад ра тич но му в ку бе (s

), ко то рое на -

зы ва ет ся ко эф фи ци ен том асим мет рии: a = m

Чет вер тый цен траль ный мо мент слу жит для ха рак те ри сти ки кру -

то сти рас пре де ле ния слу чай ной ве ли чи ны x по срав не нию с кру то стью

рас пре де ле ния нор маль ной слу чай ной ве ли чи ны с ма те ма ти че ским

ожи да ни ем и дис пер си ей та ки ми же, как и у x. За ме ру кру то сти бе рут

от но си тель ную ве ли чи ну, ко то рая на зы ва ет ся экс цес сом и определяется

по формуле:

= -

Не труд но ви деть, что для нор маль но го рас пре де ле ния (m

= 3s

)

экс цесс ра вен ну лю (c = 0), и ко эф фи ци ент асим мет рии

a = 0

(

4.2.3 За кон боль ших чи сел

Опыт, на ко п лен ный че ло ве че ст вом за мно го ве ко вую ис то рию,

да ет ос но ва ние при нять в ка че ст ве ру ко во дя ще го в лю бой дея тель но сти

сле дую щий прин цип прак ти че ской уве рен но сти: ес ли при вы пол не нии

оп ре де лен ных ус ло вий ве ро ят ность со бы тия очень ма ла, то при од но крат -

ном осу ще ст в ле нии их мож но быть уве рен ным в том, что это со бы тие не

про изой дет, и в прак ти че ской дея тель но сти по сту пать так, как буд то

оно яв ля ет ся не воз мож ным.

Оп ре де ле ние 7. Ве ро ят ность, ко то рой ре ше но пре неб ре гать в дан -

ном ис сле до ва нии на зы ва ет ся уров нем зна чи мо сти.

Под за ко ном боль ших чи сел по ни ма ет ся со во куп ность пред ло же -

ний, в ко то рых ут вер жда ет ся, что с ве ро ят но стью, как угод но близ кой

к еди ни це, от кло не ние сред ней ариф ме ти че ской дос та точ но боль шо го

чис ла слу чай ных ве ли чин от по сто ян ной ве ли чи ны — сред ней ариф ме -

ти че ской их ма те ма ти че ских ожи да ний не пре взой дет за дан но го как

угод но ма ло го чис ла.

Дав но бы ло за ме че но, что сред няя ариф ме ти че ская чи сло вых ха -

рак те ри стик не ко то рых при зна ков (час то ты со бы тия, ре зуль та тов из ме -

ре ний и т.д.) в боль шом чис ле та ких од но род ных слу чай ных яв ле ний

под вер же на очень не зна чи тель ным ко ле ба ни ям. В сред ней как бы про -

яв ля ет ся за ко но мер ность, при су щая су ще ст ву яв ле ний, вза им но по га -

ша ет ся влия ние от дель ных факторов, которые делали случайными

результаты единичных наблюдений.

Тео ре ти че ское объ яс не ние та ко го по ве де ния сред ней и яв ля ет ся

со дер жа ни ем за ко на боль ших чи сел. Об щая со вре мен ная по ста нов ка

за да чи, фор му ли ров ка за ко на боль ших чи сел, раз ви тие ме то дов ис сле -

до ва ния и до ка за тель ст ва тео рем, от но ся щих ся к это му за ко ну, при над -

ле жит русским ученым П.Л.Че бы ше ву, А.А.Маркову и А.М.Ляпунову.

При ве дем ос нов ные ре зуль та ты, по лу чен ные эти ми уче ны ми, не

ос та нав ли ва ясь на до ка за тель ст ве тео рем.

Лем ма Че бы ше ва. Ес ли сре ди зна че ний слу чай ной ве ли чи ны х нет

от ри ца тель ных, то ве ро ят ность то го, что она при мет ка кое-ни будь зна -

че ние, пре вос хо дя щее по ло жи тель ное чис ло А , бу дет не боль ше дро би,

чис ли тель ко то рой есть ее ма те ма ти че ское ожи да ние, а зна ме на тель —

чис ло А:

( )

P x A

E x

> £

( )

Слу чай ные ве ли чи ны мо гут иметь раз лич ные рас пре де ле ния при

оди на ко вых ма те ма ти че ских ожи да ни ях. Од на ко лем ма Че бы ше ва для

них даст оди на ко вую оцен ку ве ро ят но сти то го или ино го ре зуль та та ис -

пы та ния. Этот не дос та ток лем мы свя зан с ее общ но стью: до бить ся луч -

шей оцен ки сра зу для всех слу чай ных ве ли чин не воз мож но.

Не ра вен ст во Че бы ше ва. Ве ро ят ность то го, что от кло не ние слу чай -

ной ве ли чи ны от ее ма те ма ти че ско го ожи да ния пре взой дет по аб со лют -

ной ве ли чи не по ло жи тель ное чис ло e , не боль ше дро би, чис ли тель ко -

то рой есть ее дис пер сия, а зна ме на тель — e

| |

( )

P x E- > £e

Не ра вен ст во Че бы ше ва да ет не три ви аль ную оцен ку ве ро ят но сти

со бы тия лишь в слу чае, ес ли дис пер сия слу чай ной ве ли чи ны дос та точ -

но ма ла: мень ше e

Обоб ще ни ем не ра вен ст ва Че бы ше ва яв ля ет ся тео ре ма Че бы ше ва,

вы ра жаю щая за кон боль ших чи сел.

Тео ре ма Че бы ше ва. Ес ли дис пер сии не за ви си мых слу чай ных ве -

ли чин

x x x

, ,...

ог ра ни че ны од ной и той же по сто ян ной ве ли чи ной,

и чис ло их дос та точ но ве ли ко, то как угод но близ ка к еди ни це ве ро ят -

ность то го, что от кло не ние сред ней ариф ме ти че ской этих слу чай ных

ве ли чин от сред ней ариф ме ти че ской их ма те ма ти че ских ожи да ний не

пре взой дет по аб со лют ной ве ли чи не по ло жи тель но го чис ла e, как бы

ма ло оно не бы ло:

x x x

E E E

n n

+ + +

> -

K K

e d

Ни од но из рас смот рен ных здесь ут вер жде ний не да ет точ но го, ни

да же при бли жен но го зна че ния ис ко мой ве ро ят но сти, а ука зы ва ет ся

лишь ниж няя или верх няя гра ни ца ее. При бли жен ное зна че ние ве ро ят -

но стей при боль ших зна че ни ях n мож но по лу чить толь ко с по мо щью

пре дель ных тео рем. С по мо щью та ких тео рем мож но до ка зать, что сум -

ма лю бо го ко неч но го чис ла не за ви си мых нор маль но рас пре де лен ных

слу чай ных ве ли чин так же рас пре де ле на по нор маль но му закону:

Тео ре ма Ля пу но ва. Ес ли не за ви си мые слу чай ные ве ли чи ны

x x x

, ,...

име ют ко неч ные ма те ма ти че ские ожи да ния и ко неч ные дис -

пер сии, и чис ло их дос та точ но ве ли ко, а пре дел

( )

lim

( ) ( ) ( )

®¥

+ + +

m m m

s s s

3 3 3

2 2

1 2

где

m m m

3 3 3

1 2( ), ( ), . . . , ( )n

— цен траль ные мо мен ты третье го по ряд ка слу -

чай ных ве ли чин, то сум ма их с дос та точ ной сте пе нью точ но сти рас пре -

де ле на по нор маль но му за ко ну с па ра мет ра ми

E E E E

= + + +

K ;

s s s s

2 2

= + + +K

Та ким об ра зом, слу чай ная ве ли чи на, яв ляю щая ся сум мой дос та -

точ но боль шо го чис ла не за ви си мых сла гае мых, со глас но тео ре ме Ля пу -

но ва рас пре де ле на по нор маль но му за ко ну, ес ли дей ст вие ка ж до го сла -

гае мо го не ве ли ко по срав не нию с сум мар ным дей ст ви ем их всех.. Дан -

ный вы вод из вес тен как цен траль ная пре дель на тео ре ма. Впер вые эту

тео ре му до ка зал Мар ков (1898 г.), за тем — в бо лее об щей фор ме — Ля пу -

нов (1900).

Мно гие слу чай ные яв ле ния , встре чаю щие ся в при ро де и в об ще -

ст вен ной жиз ни, про те ка ют имен но по та кой схе ме. В свя зи с этим тео -

ре ма Ля пу но ва име ет ис клю чи тель но боль шое зна че ние, а нор маль ный

за кон рас пре де ле ния — один из ос нов ных в тео рии ве ро ят но стей.

Для обос но ва ния вы бо роч но го ме то да, рас смат ри вае мо го в сле -

дую щем раз де ле (4.3.1), нам по на до бит ся еще од но за клю че ние, ко то рое

мож но по лу чить, как след ст вие тео ре мы Ля пу но ва: ес ли слу чай ная ве ли -

чи на яв ля ет ся сум мой дос та точ но боль шо го чис ла оди на ко во рас пре де лен -

ных не за ви си мых слу чай ных ве ли чин, имею щих цен траль ные мо мен ты

третье го по ряд ка, то она рас пре де ле на по нор маль но му за ко ну.

За да ния для са мо стоя тель ной ра бо ты:

1. Под бра сы ва ют иг раль ную кость. Ка ко ва ве ро ят ность то го, что

на верх ней гра ни вы па дет чет ное чис ло оч ков ?

2. Под бра сы ва ют 2 иг раль ные кос ти. Ка ко ва ве ро ят ность вы па де -

ния сум мы 4 оч ков ?

3. Сре ди 50 де та лей три не стан дарт ные. Най ти ве ро ят ность то го,

что из взя тых нау да чу двух де та лей обе ока жут ся не стан дарт ны ми ?

4. Ве ро ят ность про дать обувь 40 раз ме ра рав на 0,12; 43 раз ме ра —

0,04; 46 раз ме ра — 0,01. Наи тии ве ро ят ность про да жи обу ви не ме нее

40 размера.

5. Про из во дит ся 4 вы стре ла по це ли с ве ро ят но стью по па да ния

0,2 при ка ж дом вы стре ле. По па да ния счи та ют ся не за ви си мы ми. Ка ко ва

ве ро ят ность по па да ния в цель 3 раза?

6. Име ет ся 6 ящи ков с оди на ко вы ми по внеш не му ви ду де та ля ми,

но с раз ным ка че ст вом де та лей 1-го сорта:

Номер ящика

Количество деталей

Всего 1-го сорта

Оп ре де лить пол ную ве ро ят ность то го, что при взя тии од ной де та -

ли она ока жет ся 1-го сор та.

7. Най ти ма те ма ти че ское ожи да ние и дис пер сию слу чай ной ве ли -

чи ны х в ин тер ва ле (0, p), с плот но стью рас пре де ле ния:

f x x( ) sin=

8. Най ти ма те ма ти че ское ожи да ние и дис пер сию слу чай ной ве ли -

чи ны х, рас пре де лен ной по по ка за тель но му закону:

P x e x

( ) ;= × >

9. Най ти ма те ма ти че ское ожи да ние и дис пер сию слу чай ной ве ли -

чи ны х, рас пре де лен ной по закону:

f x e

( ) = -

ЛИТЕРАТУРА

1. Ко ле ма ев В.А. Тео рия ве ро ят но стей и ма те ма ти че ская ста ти сти -

ка. Учеб ник. М.: ИНФРА-М, 2000, 301 с.

2. Гмур ман В.Е. Тео рия ве ро ят но стей и ма те ма ти че ская ста ти сти -

ка. Учеб ное по со бие. ВШ, 2004, 479 с.

3. Гмур ман В.Е. Ру ко во дство к ре ше нию за дач по тео рии ве ро ят -

но стей и ма те ма ти че ской ста ти сти ки. Учеб ное по со бие. ВШ, 2000,

400 с.

4. Но во рож ки на Л.И., Мо ро зо ва З.А. Ос но вы ста ти сти ки с эле мен -

та ми тео рии ве ро ят но стей для эко но ми стов. Ру ко во дство для ре ше ния

за дач. Рос тов-на-До ну, ФЕНИКС, 1999, 316 с.

5. Ка ра сев А.И. Тео рия ве ро ят но стей и ма те ма ти че ская ста ти сти -

ка. Учеб ник. М.: Ста ти сти ка, 1970, 344 с.

Эду ард Фе до ро вич Ка зан цев

МАТЕМАТИКА

РАЗДЕЛ 4. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

(Тет радь 4.1)

Учеб но-ме то ди че ское по со бие

Пе ча та ет ся по ре ше нию Редак ци он но-из да тель ско го сове та

Ме ж ду на род но го уни вер си те та в Мо ск ве

Ком пь ю тер ная вер ст ка и ди зайн: Д.А.Глаз ков

Пе ча та ет ся в ав тор ской ре дак ции

Под пи са но в пе чать 18.04.05

Гар ни ту ра Times New Roman

Фор мат 60´90 1/16

Бу ма га оф сет ная. Пе чать ри зо гра фи че ская

Усл. печ. л. 3,2. Ти раж 150 экз. Изд. № 22

Из да тель ский дом Ме ж ду на род но го уни вер си те та в Мо ск ве

Мо ск ва, Ле нин град ский про спект, 17

Ме ж ду на род ный уни вер си тет в Мо ск ве

Тел. (095) 250-45-42