Казаков К.А. Введение в теоретическую и квантовую механику

Подождите немного. Документ загружается.

§4.2. Колебания молекул

Так как имеется три уравнения связей (4.28) – (4.30), то из шести переменных

, x

, y

только три являются независимыми. Выберем в качестве обобщенных

координат x

, x

и y

. Тогда остальные переменные выражаются через обобщенные коор-

динаты из уравнений связи:

= −

m(x

+ x

)

, y

= y

, y

= −

2my

Подставляя их в функцию Лагранжа

L =

m( ˙x

+ ˙y

+ ˙x

+ ˙y

)

M( ˙x

+ ˙y

)

− U ,

получаем функцию Лагранжа малых колебаний молекулы:

L =

1 +

( ˙x

+ ˙x

) +

˙x

+ m

1 +

˙y

− 2κ

1 +

−

1 +

+ x

) −

2km

1 +

. (4.32)

Как видно, функция Лагранжа представляется суммой двух функций, зависящих либо

только от y

и ˙y

, либо от x

, x

, ˙x

. Это – следствие предположения о независимости

валентных и деформационных колебаний. Поэтому общее решение уравнений движения

по этим двум наборам переменных можно искать независимо друг от друга. Рассмотрим

сперва уравнение движения по переменной y

. Имеем

∂L

∂ ˙y

= 2m

1 +

˙y

∂L

∂y

= −4κ

1 +

поэтому уравнение Лагранжа имеет вид

m¨y

+ 2κ

1 +

= 0 .

Общее решение этого уравнения есть

(t) = C

(1)

cos(ω

t + φ

(1)

) ,

где C

(1)

и φ

(1)

– произвольные амплитуда и фаза, а

2κ

1 +

– частота колебания. Таким образом, частное решение уравнений движения, описывающее

деформационное колебание молекулы CO

, имеет вид





(t)





= C

(1)









cos(ω

t + φ

(1)

) .

Глава 4. Интегрирование уравнений движения

Рассмотрим теперь валентные колебания. Матрицы кинетической и потенциальной

энергий имеют следующий вид

αβ

mρ m

/M mρ

, k

αβ

k(1 + 2mρ/M) 2kmρ/M

2kmρ/M k(1 + 2mρ/M)

где ρ = 1 + m/M. Характеристическое уравнение имеет вид

det

−mρω

+ k(1 + 2mρ/M) −m

/Mω

+ 2kmρ/M

−m

/Mω

+ 2kmρ/M −mρω

+ k(1 + 2mρ/M)

= 0 ,

или

−mρω

+ k(1 + 2mρ/M) = ±(−m

/Mω

+ 2kmρ/M) .

Отсюда находим собственные частоты

, ω

k(2m + M)

Эти частоты различны, т.е. система невырождена. Применяя формулу (4.13), находим

частные решения, соответствующие частотам ω

2,3





(t)





= C

(2)





−1





cos(ω

t + φ

(2)

) ,





(t)





= C

(3)









cos(ω

t + φ

(3)

)

с произвольными амплитудами C

(2)

, C

(3)

и фазами φ

(2)

, φ

(3)

. Таким образом, общее реше-

ние уравнений движения, описывающее колебания молекулы CO

в плоскости x, y имеет

вид





(t)





= C

(1)









cos(ω

t + φ

(1)

) + C

(2)





−1





cos(ω

t + φ

(2)

) + C

(3)









cos(ω

t + φ

(3)

) .

Как было указано выше, линейная молекула может совершать одновременно колеба-

ния в двух плоскостях, пересекающихся по оси, проходящей через положения равновесия

атомов. В рассматриваемом случае четвертым независимым нормальным колебанием яв-

ляется деформационное колебание в плоскости x, z. Соответствующее решение получится,

если в вышеприведенных формулах заменить y на z.

§4.3. Движение твердого тела

Если в условиях данной задачи движение системы материальных точек таково, что

изменением взаимных расстояний между этими точками можно пренебречь, то такую

систему называют твердым телом. Исследуем движение твердого тела, следуя общему

алгоритму применения лагранжева формализма, указанному в начале главы 3.

A. Определим число степеней свободы твердого тела. Зафиксируем какую-либо его

точку. Для этого требуется задать три ее пространственные координаты (например, де-

картовы). После этого зафиксируем какую-либо другую точку тела. Поскольку рассто-

яния между всеми точками тела фиксированы, то для этого потребуется задать две ее

координаты (например, два угла, определяющие направление вектора, соединяющего вы-

бранные точки). Наконец, если в твердом теле имеются точки, не принадлежащие прямой,

проходящей через первые две точки, то остающийся произвол в их положении соответ-

ствует поворотам вокруг указанной прямой, для фиксации которого необходимо задать

один параметр, например, угол поворота. Таким образом, в этом случае число степеней

свободы твердого тела s = 3 + 2 + 1 = 6. Если же все точки твердого тела лежат на одной

прямой, то число степеней свободы такого тела s = 3 + 2 = 5.

B. Выберем теперь обобщенные координаты твердого тела. Для описания поступатель-

ного движения твердого тела удобно ввести радиус-вектор центра инерции тела, R. За

первые три обобщенные координаты мы примем декартовы компоненты R в некоторой

инерциальной системе отсчета (которую мы будем называть неподвижной). Для описа-

ния же его вращательного движения определим три угловых координаты следующим

образом. Введем подвижную систему отсчета, жестко связанную с твердым телом, а в

ней – декартову координатную систему, начало которой поместим в центре инерции тела,

а направления координатных осей выберем пока произвольно. Оси подвижной системы

будем отличать штрихом, (x

, y

, z

). Любую данную ориентацию твердого тела можно по-

лучить из некоторой исходной, поворачивая подвижную систему координат относительно

неподвижной. При этом удобно считать, что центры обеих систем совпадают. Этого все-

гда можно добиться с помощью параллельных переносов подвижной системы, поскольку

такие переносы не меняют ее ориентации. Пусть исходной является ориентация, когда ко-

ординатные оси обеих систем совпадают. Тогда повернем подвижную систему 1) вокруг

оси z на угол φ, затем 2) вокруг нового направления оси x

на угол θ и, наконец, 3) вокруг

нового направления оси z

на угол ψ (см. Рис. 8). Все повороты производятся по правилу

правого винта. Определенные таким образом углы (φ, θ, ψ) называются углами Эйлера.

C. Для того чтобы вычислить полную производную по времени от функции

(R, φ, θ, ψ), i = 1, ..., N, удобно ввести вектор ρ

= r

− R , соединяющий центр масс

тела с его i-ой материальной точкой. Поскольку расстояния между точками твердого те-

ла неизменны, то вектор ρ

остается постоянным по величине при движении твердого

тела, меняя лишь свое направление. Обозначим через dϕ бесконечно малый вектор, на-

правленный по оси поворота тела в данный момент времени, и по величине равный углу

поворота за промежуток времени dt. Тогда согласно формуле (2.6) изменение вектора ρ

за это время есть

dρ

= [dϕ, ρ

] .

Подставляя ρ

= r

− R в левую часть этого равенства и деля его на dt, получаем

R + [Ω, ρ

] , (4.33)

Глава 4. Интегрирование уравнений движения

Рис. 8: Определение ориентации твердого тела с помощью углов Эйлера. Пунктирная линия –

линия узлов.

где

Ω ≡

dϕ

. (4.34)

Вектор Ω называется угловой скоростью вращения твердого тела. В формуле (4.33) век-

торы ρ

должны быть еще выражены через обобщенные координаты φ, θ, ψ, а вектор Ω –

через φ, θ, ψ и обобщенные скорости

φ,

θ,

ψ.

Теперь с помощью формулы (4.33) выразим кинетическую энергию твердого тела через

R, Ω. Имеем

T =

i=1

(

R, [Ω, ρ

]) +

i=1

[Ω, ρ

]

[

R, Ω],

i=1

[Ω, ρ

]

, (4.35)

где µ =

i=1

есть полная масса тела. Второй член в этой формуле тождественно равен

нулю, поскольку начало подвижной системы выбрано в центре инерции тела, так что

§4.3. Движение твердого тела

i=1

= 0. Третий же член можно переписать так:

i=1

[Ω, ρ

]

i=1

Ω

− (Ω, ρ

)

≡

i=1

α,β=1

Ω

αβ

− Ω

Ω

α,β=1

Ω

i=1

αβ

− ρ

, (4.36)

где греческие индексы нумеруют декартовы компоненты векторов Ω и ρ

, а δ

αβ

– еди-

ничная матрица. Эти индексы помещены сверху для удобства записи. Поскольку кинети-

ческая энергия выражается через скалярные произведения векторов Ω и ρ

, то не имеет

значения в какой системе вычисляются их проекции на оси координат. Однако в непо-

движной системе проекции векторов ρ

изменяются со временем из-за вращения тела,

тогда как в подвижной системе они фиксированы. Поэтому в этой системе матрица

αβ

i=1

αβ

− ρ

(4.37)

постоянна и, в частности, не зависит от обобщенных координат. Эта матрица называется

тензором моментов инерции тела и является основной его механической характеристи-

кой. Итак, кинетическая энергия твердого тела принимает вид

T =

α,β

αβ

Ω

, (4.38)

где индексы α, β нумеруют оси подвижной системы координат. По определению, тензор

моментов инерции симметричен: I

αβ

= I

βα

. Как и всякая симметричная матрица, пово-

ротом системы координат I

αβ

может быть приведен к диагональному виду, т.е. к виду,

в котором I

αβ

= 0 при α 6= β. Координатные оси, в которых тензор моментов диагона-

лен, называют главными осями инерции, а диагональные элементы I

αα

≡ I

– главными

моментами инерции тела. Теперь мы конкретизируем выбор системы координат, жестко

связанной с твердым телом, договорившись выбирать оси этой системы вдоль главных

осей инерции тела. Тогда выражение (4.38) существенно упрощается:

T =

Ω

+ I

Ω

+ I

Ω

. (4.39)

Заметим, что из этой формулы нетрудно найти выражение для момента импульса вра-

щающегося тела. Выберем произвольно момент времени t

и рассмотрим эволюцию тела

на малом отрезке времени [t

, t

+ dt]. По определению вектора dϕ, его проекции на оси

подвижной системы (dϕ)

, (dϕ)

определяют углы поворота тела вокруг этих осей

за время dt. Эти проекции однозначно определяют положение тела в любой момент вре-

мени от t

до t

+ dt по его положению в момент времени t

. Если временно принять их за

обобщенные координаты, то компоненты Ω

, Ω

,Ω

будут играть роль соответствующих

обобщенных скоростей. Поэтому согласно формуле (2.12) дифференцирование функции

Лагранжа по угловой скорости даст момент импульса тела:

∂L

∂Ω

∂T

∂Ω

= I

Ω

, M

= I

Ω

, M

= I

Ω

. (4.40)

Глава 4. Интегрирование уравнений движения

В силу произвольности t

эти формулы будут справедливы для всех моментов времени.

Для того чтобы выразить T через эйлеровы углы, нам остается найти проекции уг-

ловой скорости на оси подвижной системы. Для этого снова рассмотрим движение тела

на бесконечно малом промежутке времени [t

, t

+ dt]. За это время углы φ, θ, ψ получа-

ют приращения dφ, dθ , dψ, соответственно. Данный поворот тела можно представить как

последовательность трех элементарных поворотов, при которых меняется лишь одна уг-

ловая координата, а остальные две фиксированы. При этом, выполняя второй или третий

поворот, можно пренебречь приращениями углов, которые они получили на предыдущих

этапах, в силу малости этих приращений. По этой же причине порядок поворотов не

важен. Тогда по определению углов Эйлера вектор dφ будет направлен по оси z, вектор

dθ – по линии пересечения плоскостей (x, y) и (x

, y

) (называемой линией узлов), и вектор

dψ – по оси z

(см. Рис. 8). Разлагая эти векторы по осям подвижной системы координат

и суммируя три вклада, получим

(dϕ)

= dφ sin θ sin ψ + dθ cos ψ ,

(dϕ)

= dφ sin θ cos ψ − dθ sin ψ ,

(dϕ)

= dφ cos θ + dψ . (4.41)

Деля эти уравнения на dt и учитывая определение (4.34) вектора угловой скорости, на-

ходим проекции этого вектора на оси подвижной системы

Ω

φ sin θ sin ψ +

θ cos ψ ,

Ω

φ sin θ cos ψ −

θ sin ψ ,

Ω

φ cos θ +

ψ . (4.42)

Подстановка в выражение (4.39) дает

T =

(

φ sin θ sin ψ +

θ cos ψ)

+ I

(

φ sin θ cos ψ −

θ sin ψ)

(

φ cos θ +

ψ)

. (4.43)

Наконец, функция Лагранжа твердого тела получается отсюда вычитанием потенциаль-

ной энергии тела как функции его обобщенных координат:

L = T (θ, ψ,

φ,

θ,

ψ,

R) − U(R, φ, θ, ψ) .

После этого следует переходить к пп. D,E алгоритма.

Рассмотрим теперь примеры.

Пример 10. Тензор моментов инерции жесткого ротатора. Рассмотрим систему, состоя-

щую из двух материальных точек, скрепленных жестким невесомым стержнем. Такую

систему называют жестким ротатором. Примером ротатора может служить двухатом-

ная молекула, у которой не возбуждены колебания. Обозначим расстояние между атома-

ми через l и выберем ось z

по оси ротатора. Затем совместим начало координат с центром

инерции ротатора, потребовав m

+ m

= 0. Поскольку |z

− z

| = l, то из этих со-

отношений следует, что z

= −m

l / (m

+ m

), z

= m

l / (m

+ m

) (считая, что z

> z

§4.3. Движение твердого тела

Поскольку x

, y

-координаты точек равны нулю, то из формулы (4.37) следует, что из всех

компонент тензора инерции отличны от нуля лишь I

, I

, причем

= I

i=1

= m

+ m

= ml

где m есть приведенная масса ротатора. Поскольку тензор I

αβ

получился диагональным,

то найденные значения являются главными моментами инерции ротатора.

Пример 11. Тензор моментов инерции однородного шара. Вычислим тензор моментов од-

нородного шара массы M и радиуса R. В силу сферической симметрии центр инерции

шара находится в его центре, а тензор инерции диагонален, причем I

= I

≡ I.

Имеем:

3I = I

+ I

i=1

− x

i=1

− y

i=1

− z

= 2

i=1

. (4.44)

Здесь под m

следует понимать бесконечно малую массу, заключенную в элементе объема

dV шара: m

= ρdV, где ρ = M/V есть плотность тела, а под суммой по i – интеграл по

всему его объему. Таким образом,

I =

ρdV =

2ρ

4πr

dr =

8π

ρR

или

I =

. (4.45)

Пример 12. Свободное движение симметрического волчка. Твердое тело, у которого

какие-либо два главных момента инерции равны, называют симметрическим волчком.

Таковым будет, например, любое тело, обладающее осью симметрии четвертого (или вы-

ше) порядка. Договоримся нумеровать оси так, чтобы I

= I

. В отсутствие внешних сил

функция Лагранжа симметрического волчка имеет вид

L =

(

sin

θ +

) + I

(

φ cos θ +

ψ)

. (4.46)

Координаты R, φ, ψ являются циклическими. Соответствующие им обобщенные импульсы

сохраняются:

∂L

∂

= µ

R , (4.47)

∂L

∂

= I

φ sin

θ + I

(

φ cos θ +

ψ) cos θ , (4.48)

∂L

∂

= I

(

φ cos θ +

ψ) . (4.49)

Глава 4. Интегрирование уравнений движения

Первый из этих интегралов движения выражает сохранение полного декартова импульса

твердого тела. Из него следует, как всегда, что центр инерции тела движется с постоян-

ной скоростью

R = p

/µ. Будем рассматривать движение в системе центра инерции тела,

положив

R = 0. Далее, координаты φ и ψ являются, по определению, углами поворота

тела вокруг осей

Поэтому соответствующие им обобщенные импульсы

пред-

ставляют собой проекции полного момента импульса тела на эти оси [см. формулу (2.12)].

Выберем ось z неподвижной системы координат вдоль сохраняющегося вектора момента

импульса M . Тогда

= M , p

= M cos θ .

Поскольку M, p

постоянны, то из второго уравнения вытекает, что постоянен и угол θ .

С другой стороны, из уравнений (4.48), (4.49) следует

= I

φ sin

θ + p

cos θ .

Комбинируя это уравнение с двумя предыдущими, получаем

φ =

т.е., обобщенная скорость

φ также постоянна. Наконец, из уравнения (4.49) следует по-

стоянство обобщенной скорости

ψ:

ψ = M cos θ

−

Таким образом, ось z

равномерно вращается со скоростью M/I

вокруг оси z, образуя c

ней постоянный угол (так называемая регулярная прецессия оси). При этом сам волчок

равномерно вращается вокруг оси z

с постоянной угловой скоростью [см. уравнение (4.42)]

Ω

φ cos θ +

ψ =

cos θ .

Заметим, что энергия волчка (в рассматриваемом случае E = L) также сохраняется (L

не зависит явно от времени!). Однако закон сохранения энергии не дает ничего нового,

так как он является следствием законов сохранения (4.47) – (4.49).

Пример 13. Движение тяжелого симметрического волчка. Рассмотрим движение твердого

тела в однородном поле. Потенциальная энергия i-ой материальной точки тела в таком

поле есть

= −g

(F , r

) ,

где F обозначает напряженность поля, а g

– заряд точки. Подставляя r

= R + ρ

суммируя по всем точкам тела, получаем потенциальную энергию тела

U = −G(F , R) − (F , d) ,

где G =

i=1

есть полный заряд тела, а d =

i=1

– его дипольный момент. Аналогич-

но тензору моментов, компоненты вектора d имеют постоянные значения в подвижной

§4.3. Движение твердого тела

системе. Поэтому при движении тела d меняет лишь свое направление, оставаясь посто-

янным по величине. В случае электрического поля заряды g

– электрические заряды, а

вектор d есть электрический дипольный момент, в случае же гравитационного поля g

– это массы точек тела, G ≡ µ, а вектор d ≡ 0, поскольку начало подвижной системы

координат выбрано в центре инерции тела.

Рассмотрим движение симметрического волчка в поле тяжести (тяжелый волчок).

Пусть волчок имеет точку опоры, расположенную на оси z

, которая может скользить без

трения в плоскости x, y. Расстояние от центра инерции волчка до точки опоры обозначим

через l. Ось z направим вертикально вверх. Тогда функция Лагранжа волчка будет иметь

вид

L =

(

sin

θ +

) + I

(

φ cos θ +

ψ)

− µgZ , (4.50)

где X, Y, Z – проекции вектора R на оси неподвижной системы координат, а g – ускорение

силы тяжести. Наличие опоры налагает следующую связь на волчок:

Z = l cos θ .

Эта связь голономна. Она уменьшает на единицу число степеней свободы волчка. Вы-

брав в качестве обобщенных координат X, Y, φ, θ, ψ, выражаем функцию Лагранжа через

обобщенные координаты и скорости

L =

+ l

sin

(

sin

θ +

) + I

(

φ cos θ +

ψ)

− µgl cos θ .

(4.51)

Координаты X, Y, φ, ψ – циклические. Соответствующие сохраняющиеся обобщенные им-

пульсы имеют вид

∂L

∂

= µ

X , (4.52)

∂L

∂

= µ

Y , (4.53)

∂L

∂

= I

φ sin

θ + I

(

φ cos θ +

ψ) cos θ , (4.54)

∂L

∂

= I

(

φ cos θ +

ψ) . (4.55)

Функция Лагранжа (4.51) также не зависит от времени явно, поэтому сохраняется обоб-

щенная энергия

E =

+ l

sin

(

sin

θ +

) + I

(

φ cos θ +

ψ)

+ µgl cos θ .

(4.56)

Смысл законов сохранения (4.52) – (4.55) тот же, что и в случае свободного волчка. В

отличие от последнего, однако, при наличии поля тяжести сохраняется не весь вектор M,

а лишь его проекция на ось z.

Глава 4. Интегрирование уравнений движения

Итак, мы имеем систему из пяти интегралов движения для пяти неизвестных функций

X(t), Y (t), φ(t), θ(t), ψ(t).

Перейдем к интегрированию этой системы. Как и в случае свободного волчка, мы

для простоты исключим поступательное движение волчка, перейдя в систему отсчета, в

которой p

= p

= 0 (и потому X(t) = X(t

), Y (t) = Y (t

)). Из уравнения (4.55) следует,

что второй член в фигурных скобках в выражении для E есть постоянная, равная p

Далее, из уравнений (4.54), (4.55) имеем

= I

φ sin

θ + p

cos θ . (4.57)

Выражая отсюда

φ и подставляя в уравнение (4.56), получим

+ µl

sin

+ U

eﬀ

(θ) ,

eﬀ

(θ) =

− p

cos θ)

sin

+ µgl cos θ , E

= E −

. (4.58)

Разделение переменных в этом уравнении дает

dt = ±

+ µl

sin

θ dθ

√

− U

eﬀ

(θ)

, (4.59)

откуда интегрированием получаем

t − t

+ µl

sin

θ dθ

√

− U

eﬀ

(θ)

, θ

= θ(t

) . (4.60)

Знак + (−) в правой части этой формулы берется на участках траектории, на которых

θ > 0 (

θ < 0). Далее, разделяя переменные φ и t в уравнении (4.57), и используя равенство

(4.59), находим

dφ =

− p

cos θ)dt

sin

− p

cos θ)

sin

+ µl

sin

θ dθ

√

− U

eﬀ

(θ)

, (4.61)

откуда

φ − φ

− p

cos θ)

sin

+ µl

sin

θ dθ

√

− U

eﬀ

(θ)

, φ

= φ(t

) . (4.62)

Наконец, разделение переменных в уравнении (4.55) с учетом уравнения (4.61) дает

ψ − ψ

(t − t

) −

− p

cos θ) cos θ

sin

+ µl

sin

θ dθ

√

− U

eﬀ

(θ)

, (4.63)

= ψ(t

) .

Формулы (4.60), (4.62) и (4.63) определяют закон движения волчка в квадратурах.