Каримов З.Ф., Павлов Е.П. Теоретические основы теплотехники. Термодинамика

Подождите немного. Документ загружается.

Введя обозначения ,

akpv = М

= , где а представляет скорость звука и

M - число Маха, получаем уравнение неразрывности в виде

(

)

−=

. (2.45)

Последнее уравнение учитывает зависимость скорости потока

w от гео-

метрической формы канала

f и представляет математическую запись закона

геометрического обращения воздействия.

Рис. 2.11

Характерные возможные случаи движения рабочего тела в каналах пе-

ременного сечения:

а) при

М<1, если по ходу движения поток сужается (df<0), то скорость растет

(

dw>0), а при расширении канала (df>0), скорость потока уменьшается (dw<0);

б) при

М>1 имеют место следующие случаи:

для

df>0, dw>0;

для

df<0, dw<0.

На рис. 2.11 представлен канал переменного сечения, который состоит из

сужающегося участка (

0<x≤а) и расширяющегося участка (а<х≤b). Подобным

образом совмещенный канал носит название сопла Лаваля, который служит для

получения сверхзвуковых скоростей.

Иллюстрированная на рис. 2.11 картина распределения давления и скоро-

сти потока вдоль сопла соответствует так называемому расчетному режиму ра-

боты сопла Лаваля. Этот режим имеет место при

=р

, где р

– давление окру-

жающей среды и при условии, что в минимальном сечении сопла достигнута

скорость потока, равной местной скорости звука.

При условии

≠ р

– режимы течения газа и сопло Лаваля называются

нерасчетными.

При

> р

– сопло называется недорасширенным;

При

< р

– перерасширенным.

При соблюдении условий расчетного режима сопло Лаваля позволяет по-

лучить сверхзвуковую скорость истечения. Конкретная сверхзвуковая скорость

истечения зависит от значений параметров:

и Т

– давления и температуры во

входном сечении,

min

- отношения площадей выходного и минимального се-

чений сопла, а также от давления окружающей среды

Следует отметить, что для того чтобы получить другую сверхзвуковую

скорость истечения, не меняя параметров газа на входе в сопло

, Т

, необхо-

димо воспользоваться другим соплом с другим отношением выходного сопла к

минимальному

min

Очевидно, что если в минимальном сечении сопла не достигнута крити-

ческая скорость потока, то на всем протяжении сопла Лаваля будет дозвуковой

режим движения, следовательно, скорость истечения из сопла также будет доз-

вуковая.

2.4.3. Истечение газов через сужающиеся сопла (конфузоры)

Рис. 2.12

На рис. 2.12 обозначены:

, v

, w

и f

- давление, удельный объем, ско-

рость газа в рассматриваемом сечении и площадь этого сечения. При

i=1 ука-

занные параметры соответствуют сечению I-I, а при

i=2 - сечению II-II.

По отмеченной выше причине процесс течения газа через сопло предпо-

лагается адиабатным

(

)

Q . При допущении, что

0,0,0,0

=δ

≈

≈≈ qdzdldl

тртех

и учитывая зависимость

(

pvddudh +

)

, уравне-

ние первого закона термодинамики для потока (2.36) можно представить в виде

dhwd

−

⇒

=0 . (2.46)

Беря интеграл с обеих частей последнего уравнения, находим

hhwdwdh

−

=−⇒−=

∫∫

. (2.47)

В силу имеющегося условия

>>f

, w

>>w

, можно пренебречь 0

≈

w и

уравнению (2.47) придать вид

−= . (2.48)

Из последнего выражения следует, что в конфузоре изменение кинетиче-

ской энергии потока рабочего тела происходит лишь благодаря изменению его

энтальпии.

Задача расчета конфузора сводится к определению

при заданных зна-

чениях параметров

, v

, р

Перепишем уравнение (2.48) в виде

()(

221121222111

vpvpuuvpvpu

−+−=−μ−+=

)

. (2.49)

Исходя из первого закона термодинамики для адиабатного процесса

dvdu +=0, определяем значение первого слагаемого правой части

уравнения (2.49):

() (

221121

vpvp

pdvduuu

−

===−

∫∫

)

. (2.50)

Найденное выражение подставляем в уравнение (2.49) и определяем w

–

скорость истечения рабочего тела через сечение II - II

()

22112

vpvp

w −

−

= . (2.51)

Далее используя формулу (2.51) для скорости и уравнение неразрывности

для потока

= , а также введя обозначение

=β , напишем соответст-

вующие выражения для скорости потока и секундного массового расхода газа

через сужающееся сопло в виде

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β−

−

−−

112

, (2.52)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β−

−

. (2.53)

Учитывая, что течение через конфузор адиабатное, напишем выражение

для удельного объема газа на выходе из сопла

−

β=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. (2.54)

Подставив выражение (2.54) в формулу (2.53), находим

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

β−β

−

. (2.55)

Рассматривая формулу (2.55) как функцию

(

)

GG , исследуем ее на экс-

тремум. В результате находим критическое значение β

кр

, при котором массовый

расход газа через конфузор имеет максимальное значение

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=β

кр

. (2.56)

Подставив (2.56) в формулу (2.52), определяем максимально возможную

скорость газа на выходе из конфузора:

кр

, (2.57)

которую можно выразить еще через критические параметры состояния:

;

111

кркркр

кр

кркр

vvpvp β=⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=⇒=

кр

тогда

кркркркр

kRTvpkw =⋅⋅= , (2.58)

где

кр

kRT - скорость распространения звуковых волн в идеальном газе.

Распределению скорости вдоль сопла соответствуют условия

для 1>β≥β

кр

, 0<w

кр

;

для β

кр

>β>0, w

кр

Формула (2.58) позволяет сделать вывод - скорость истечения из сужаю-

щегося сопла при критических условиях равна местной скорости звука. Поэто-

му скорость рабочего тела в конфузорах не может превышать скорости звука.

Выражение для максимального массового расхода через конфузор опре-

деляется путем подстановки выражения (2.56) в формулу (2.55)

2max

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

. (2.59)

Как отмечалось выше, для получения сверхзвуковых скоростей необхо-

димо использовать сопло Лаваля, в минимальном сечении которого скорость

потока должна быть равна w

кр

Расчет сужающейся части сопла Лаваля проводится точно так же, как и

для обычного сужающегося дозвукового сопла. Площадь минимального сече-

ния сопла определяется по заданному :

max

кр

max

min

= , откуда диаметр этого сечения будет равен

min

4 f

Длину сужающейся части сопла Лаваля обычно принимают равной диа-

метру минимального сечения сопла

min1

Скорость на выходе из сопла Лаваля определяется формулой (2.52).

Площадь выходного сечения сопла Лаваля f

определяется из

уравнения (), соответственно диаметр этого сечения вычисляется из выражения

4 f

. Длину расширяющейся части сопла l

вычисляют по формуле

min2

−

, (2.60)

где α - угол конусности расширяющейся части сопла Лаваля (колеблется в пре-

делах 8 - 10

Вопросы для самопроверки

1. Получите выражение первого закона термодинамики для потока в термоди-

намической и механической формах.

2. Что такое работа проталкивания?

3. Запишите уравнение неразрывности потока в дифференциальной форме.

4. Что такое располагаемая работа?

5. Для осуществления каких процессов используют сопла и диффузоры?

6. В каких случаях процесс течения можно считать адиабатным?

7. Почему в сужающемся сопле нельзя превзойти скорость звука?

8. Как связано изменение площади поперечного сечения с измененем скорости

и числом Маха?

9. В каких случаях необходимо использовать комбинированное сопло Лаваля?

10. При каких условиях режим течения в сопле Лаваля становится нерасчет-

ным?

11. Как учитывается влияние трения на скорость течения газа или пара?

12. В чем сущность принципа обращения воздействия?

13. Что такое тепловое, механическое и расходное сопла?

2.4.4. Истечение газа с учетом трения

В отличие от теоретического изоэнтропийного действительный процесс

истечения реального газа происходит при трении частиц газа между собой и о

стенки канала. При этом работа, затрачиваемая на преодоление сил трения,

преобразуется в теплоту, в результате чего температура и энтальпия газа в вы-

ходном сечении канала возрастают. Истечение газа с трением становится необ-

ратимым процессом и сопровождается увеличением энтропии.

На рис. 2.13 в sh –координатах представлены процессы расширения газа

1* -2 при истечении без трения и 1* -2

∂

при истечении с трением. При одина-

ковом перепаде давлений р*

–р

действительный теплоперепад

∂∂

−

=Δ

* hhh

меньше располагаемого

* hhh

−

=Δ . В результате этого действительная ско-

рость истечения газа оказывается меньше теоретической.

Отношение разности располагае-

мого и действительного теплопе-

репадов (потери теплоперепада) к

располагаемому теплоперепаду на-

зывается коэффициентом потери

энергии

−

=ζ

∂

)(

. (2.61)

Отсюда

. (2.62)

−

∂

)1(

Тогда действительная скорость

.22)1(

)1(22

whh

hhw

ccc

ϕ=Δϕ=Δζ−=

=Δζ−=Δ=

∂∂

∂

=ζ−= 1Здесь ϕ , (2.63)

где -коэффициент скорости, учитывающий уменьшение действитель-

ной скорости по сравнению с теоретической; в современных соплах =0,95-

0,98.

Из выражения

ζ−=ϕ 1 следует . (2.64)

ϕ−=ζ

Отношение действительного теплоперепада

∂

h к теоретическому h

или действительной кинетической энергии

∂

к теоретической

называется

коэффициентом полезного действия канала

∂∂

=η

С учетом выражений (2.63) и (2.64) . (2.65)

cck

ζ−=ϕ=η 1

2.4.5. Истечение водяного пара

Водяной пар существенно отличается от идеального газа, для которого

получены приведенные выше термодинамические формулы. Поэтому расчет

истечения пара выполняется с использованием sh –диаграммы (рис. 2.14).

Скорость истечения определяется по уравнению

)*(2

212

hhw −= ,

где h*

–энтальпия в начальной точке 1, лежащей на пересечении изоба-

ры р*

и изотермы Т*

; h

–энтальпия в точке 2 при параметрах пара на срезе

сопла.

В условиях изоэнтропийного истечения положения точки 2 определяют-

ся по пересечению адиабаты, исходящей из точки 1, и изобары статического

давления р

на срезе сопла. При истечении из сужающегося сопла р

зависит

от режима истечения: при докритическом и критическом режимах р

=р

, при

сверхкритическом р

=р

кр

(рис.2.14,а) при истечении пара из сопла Лаваля р

равно давлению окружающей среды р

(рис. 2.14,б).

Рис. 2.14. Изоэнтропийный и действительный процессы истечения пара в sh –

диаграмме: а - истечение через сужающееся сопло при

кр

; б - истечение

через сопло Лаваля

Трудность возникает в определении критического отношения давления. С

некоторой погрешностью, приемлемой для практических расчетов, вычис-

кр

ляют по уравнению (3.49), полученному для идеального газа.

Решается это уравнение методом последовательных приближений. По за-

даваемому в первом приближении значению показателя адиабаты k вычисляет-

ся критическое давление

)(

кр

рp

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

. В точке пересечения адиабаты

процесса истечения и изобары р

кр

определяют удельный объем v

кр

и из соотно-

шения для адиабатного процесса

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

кр

находят новые значения показателя

адиабаты k. В соответствии с этим значением k вновь определяют р

кр

. Расчеты

продолжаются до совпадения с задаваемой точностью значения k, принимаемо-

го при вычислении р

кр

Отличие реального процесса истечения пара при наличии трения от теоре-

тического изоэнтропийного учитывают введением коэффициента потери энер-

гии

, тогда действительные значения

∂

h изменения энтальпии в процессе

истечения и скорости истечения определяются по выражениям (2.62) и

∂

(2.63) соответственно.

Положение на sh- диаграмме действительной конечной точки

∂

2 (рис.

2.14) находят по пересечению линии =const с изобарой р

∂2

, где

∂∂

Δ−= hhh

*. Реальный необратимый процесс истечения пара протекает с

увеличением энтропии.

Массовый расход пара в сужающемся сопле определяется по уравнению

расхода в выходном сечении

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

, а в сопле Лаваля по параметрам в уз-

ком (критическом) сечении

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

кр

кркр

2.5. Расчет процессов дросселирования

Дросселирование. Уравнение процесса. Условное изображение процесса

дросселирования на hs –диаграмме. Потеря эксергии при дросселировании. Из-

менение параметров при дросселировании. Дифференциальный адиабатный

дроссель –эффект. Температура инверсии. Кривая инверсии. Использование

процесса дросселирования в технике.

По теме выполняется лабораторная работа (№ 4). Контрольные работы не

предусмотрены.

После изучения теоретического материала следует ответить на вопросы

для самопроверки по этой теме. Ответы можно найти в учебниках [1,3].

2.5.1. Уравнение процесса дросселирования

Дросселированием называется необратимый процесс протекания газа (па-

ра) через местное сопротивление, в результате которого снижается давление га-

за без совершения им технической работы.

Местное сопротивление потоку создают установленные в трубопроводе

вентиль, задвижка, кран, клапан, диафрагма, пористая перегородка, капилляр-

ная трубка и другие устройства.

Рассмотрим адиабатное (без теплообмена с окружающей средой) течение

газа по трубопроводу через местное сопротивление, создаваемое, например,

диафрагмой (рис. 2.15).

При подходе к диафрагме поток, сужаясь, разгоняется, давление внутри его

уменьшается, а на стенки трубопровода и диафрагмы вследствие торможения

газа в застойной зоне оно несколько повышается. После прохождения отвер-

стия поток, расширяясь до стенок трубопровода, тормозится, давление газа при

этом возрастает. Однако давление р

в сечении II после диафрагмы оказывается

меньше давления р

в сечении I перед диафрагмой. Снижение давления являет-

ся следствием потерь на трение и вихреобразование, вызванное разностью дав-

лений у стенок диафрагмы и в потоке. Вследствие этих потерь процесс дроссе-

лирования является необратимым процессом и протекает с увеличением энтро-

пии.

Рис. 2.15. Изменение давления при

дросселировании газа диафрагмой

Величина снижения давления зависит от природы газа, параметров его со-

стояния, скорости движения и степени сужения трубопровода.

После дросселирования удельный объем и скорость газа возрастают (v

> v

и w

> w

), а температура газа в зависимости от его природы и параметров со-

стояния перед дросселированием может как увеличиваться, так и уменьшаться,

или оставаться неизменной.

Изменение температуры после дросселирования газа и пара, открытое

Джоулем и Томсоном в 1852г., называется дроссель-эффектом Джоуля – Том-

сона.

Для адиабатного процесса дросселирования справедливо уравнение

−

=−

. (2.66)

При неизменном диаметре трубы (F = const) и стационарном процессе, в

котором через любое сечение массовый расход газа G = const, в соответствии с

уравнением неразрывности (2.33)

100