Карасева А.Г. Неопределенный интеграл
Подождите немного. Документ загружается.
31
Р е ш е н и е. Преобразуем подынтегральное выражение, перенеся
иррациональность в знаменатель:
∫
∫∫
+
+++++=
=
+
−+−
=
+
+−
=
.
3
3)(
3
181264
3
)3)(64(
2
223
2
234
2
22
x
dx
xDCxBxAx
dx
x
xxxx
dx
x
xxx
I
λ
Дифференцируем обе части равенства по
x
, и, умножая на
3
2
+
x
,
получим:
,)3()23(181264
23422234
λ
++++++⋅++=−+−
DxCxBxAxxCBxAxxxxx
где значения
A, B, C, D
и
λ
могут быть найдены приравниванием
коэффициентов при одинаковых степенях
x
и решением соответствующей
системы линейных уравнений:
A
= 1,
B
= –2,
C
2
1
=
,
D
= –6,
2
9
−=
λ
.
Интеграл в правой части равенства оказался табличным 1.7, тогда
.3ln
2
9
3)6
2
3
2(
2223
CxxxxxxI +++−+⋅−+−=
9.5. Интеграл вида
∫
++⋅−
dx
cbxaxmx
xP
n
2
)(
)(
В подынтегральном выражении
P
(
x
) – многочлен,
n –
натуральное
число, приводится такой интеграл к интегралу от дробно-рациональной
функции подстановкой
t
mx
1
=−
[2, гл. 3, §25.5].
П р и м е р 35. Найти интеграл
.
583)2(
23
∫
+−⋅− xxx
dx
Р е ш е н и е. Сделаем подстановку
tx
12
=−
,
dttdx
2
1−=
, при
возвращении к исходной переменной выразим
t
:
)2(1
−=
xt
, тогда
dt
tt
t
dt
ttt
t
I
∫∫
++
−=
+
+−
+⋅
−=
34
52
1
82
1
3
1
1
2
2
33
2
.
Получили интеграл вида 9.3, который найдем методом неопре-
деленных коэффициентов:
32
,
34
34)(
34
2
2
2
2
∫∫
++
+++⋅+=
++ tt
dt
ttBAtdt
tt
t
λ
,
3434
)2()(
34
34
22
2
2
2
++
+
++
+⋅+
+++⋅=
++
tttt
tBAt
ttA
tt
t
λ
.)2()()34(
22
λ
++⋅++++=
tBAtttAt
Найдем
A, B,
λ
, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
и решая получившуюся при этом систему уравнений:
2
9
,3 ,
2
1
=−==
λ
BA
, тогда
−+++−=
−+
−+++−=
∫
34)3
2
1
(
1)2(
2
9
34)3
2
1
(
2
2
2
ttt
t
dt
tttI
.
2
98332
ln
2
9
583
)2(2
73
342ln
2
9
2
2
2
2
C
x
xxx
xx
x
x
ttt +
−
+−+−
−+−
−
−
=++++−
9.6. Интеграл от дифференциального бинома
Дифференциальным биномом называется выражение
pnm
bxax
)(
+
,
где
m, n, p
– любые рациональные числа. Если
m, n, p
– все целые числа,
то интеграл сводится к сумме интегралов от степенных функций,
используя, например, формулу бинома Ньютона [1, гл. 2, §7]. Только в
трех случаях, согласно теореме Чебышева, интеграл может быть выражен
в конечном виде через элементарные функции в случае, если
m, n
и
p
– не
все целые числа [2, гл.3, §25.4; 5, гл. 8, §3]:
a) если
p
– целое число, то используем подстановку
s
tx
=
, где
s
–
наименьшее общее кратное знаменателей дробей
m
и
n
;
b) если
n
m
1+
– целое число, то применяем подстановку
sn
tbxa
=+
,
где
s
– знаменатель дроби
p
;
c) если p
n
m
+
+1
– целое число, применяем подстановку
sn
tbax
=+
−
, где
s
– знаменатель дроби
p
.
П р и м е р 36. Найти интеграл
∫
+⋅ .43
3
dxxx
33
Р е ш е н и е. Имеем случай с) 1
1
,
2
1
,3,
2
1
=+
+
=== p
n
m
pnm – целое чис-
ло. Сделаем подстановку
dt
t
tdx
t
xtx
3
4
2
3
1
2
23
3
4
9
2
,
3
4
,43
−−
−
−
⋅−=
−
==+
,
тогда
.
)4(
2
3
4
]
3
4
43[
3
4
9
2
22
2
3
4
2
2
1
1
2
6
1
2
dt
t
t
dt
t
t
tt
I
∫∫
−
−=
−
⋅
−
+
−
−=
−−−
Разложим подынтегральную дробь на сумму простых дробей:
2
)2(
2
)2()4(
2222
2
−
+
−
+
+
+
+
=
−
t
D
t
C
t
B
t
A
t
t
и найдем неопределенные коэффициенты
A, B, C, D
:
8
1
,
4
1
,
8
1
,
4
1
==−== DCBA
.
Подставим найденные коэффициенты в разложение дроби на сумму
простых дробей и проинтегрируем:
∫∫∫∫
−+−
+
−−=
−
+
−
+
+
−
+
−= 2ln
8
1
)2(8
1
(2)
28
1
)2(
4
1
28
1
)2(
4
1
(2
22
t
tt
dt
t
dt
t
dt
t
dt
I
.
243
243
ln
4
1
3
43
2
2
ln
4
1
4
)2ln
8
1
)2(4
1
3
3
3
3
2
C
x
x
x
x
t
t
t
t
t
t
+
++
−+
−
+
=
+
−
−
−
=−+
−
−
−
−
−
−
П р и м е р 37. Найти интеграл .
)1(
8
6
∫
+⋅ xx
dx
Р е ш е н и е. Имеем случай a)
p
= –8 – целое число,
s
= Н.О.К(2,6) = 6.
Сделаем подстановку
dttdxtx
56
6, ==
:
dt
t
t
dt
tt
t
I
∫∫
+
=
+
=
8
2
83
5
)1(
6
)1(
6
.
Разложим подынтегральную дробь на простые дроби с помощью
тождественных преобразований:
=
+
−+
−
+
−+
=
+
−
+
=
+
−+
=
+
878788
2
)1(
1)1(
)1(
1)1(
)1()1()1(
)1(
)1( t
t
t
t
t
t
t
t
t
ttt
t
t
34
,
)1(
1
)1(
2
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
8768776
+
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
−
+
=
ttttttt
=+
+
−
+
+
+
−=
+
+
+
−
+
=
∫∫∫
C
tttt
dt
t
dt
t
dt
I
765876
)1(7
6
)1(
2
)1(5
6
)1()1(
2
)1(
6
.
)1(7
6
)1(
2
)1(5
6
7
6
6
6
5
6
C
xxx
+
+
+
+
+
+
−=
9.7. Интеграл вида
∫
++ dxcbxaxxR ),(
2
Здесь
R
– рациональная функция двух переменных. Возможны
несколько способов интегрирования таких выражений [1, гл. 10, §11, §13;
2, гл. 3, §25.3].
1) Применение тригонометрических подстановок.
Выделяем полный квадрат из трехчлена
cbxax
++
2
и, сделав ли-
нейную подстановку
a
b
xy
2
+=
, получим под корнем одно из следу-
ющих выражений:
. ,y ,
222222
ykkky
−−+
Для
22
ky +
применяется подстановка tgtky ⋅= или shtky ⋅= , для
22
ky
−
применяется подстановка tky sec⋅= или chtky , для
22
yk
–
подстановки tgtkytky ,sin .
П р и м е р 38. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Используем подстановку , тогда и
,
,
35
Выразим через переменную
x
: , тогда , применим фор-
мулу тригонометрии , и . Вер-
немся к исходной переменной в интеграле:
2) Применение подстановок Эйлера [5, гл. 8, §3].
Рассмотрим три случая замены переменной, известные как
подстановки Эйлера:
a) ,
a
> 0;
b) , если c > 0,знаки можно брать в любой
комбинации;
с) , если квадратный трехчлен
имеет различные действительные корни
П р и м е р 39. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Воспользуемся подстановкой , т. к.
a
=
4 >0, выразим
x
: , . Знаменатель дроби пред-
варительно преобразуем:
.
Тогда
36
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей, и
найдем неизвестные коэффициенты:
,
.
Составим систему трех линейных уравнений для нахождения
A, B, C
,
приравняв коэффициенты при :
где
П р и м е р 40. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Квадратный трехчлен имеет корни ,
поэтому можно применить подстановку , отсюда
получим
x
:
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:
37
.
Найдем значения неизвестных коэффициентов, как в примере 39:
,
тогда
10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
10.1. Интеграл вида
Интегралы такого вида, где
a
– любое число, вычисляется с по-
мощью подстановки [4, гл. 9, §2.3].
П р и м е р 41. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Сделаем подстановку , тогда
10.2. Интегралы вида
В подынтегральном выражении первый множитель – многочлен,
a –
любое число, можно взять такой интеграл с помощью метода интегри-
рования по частям или использовать метод неопределенных
коэффициентов. При этом
38
,
где – многочлен степени
n
с неопределенными коэффициентами,
которые найдем, дифференцируя обе части равенства по
x
и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
x
[3, гл. 5, §5.2].
П р и м е р 42. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Имеем , отсюда многочлен с
неопределенными коэффициентами третьей степени имеет вид
Тогда
.
Дифференцируем по
x
:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x
и решая систему
линейных уравнений, получим и
10.3. Интегралы вида
Имеем под знаком интеграла многочлены степеней
n
и
m
; –
любые числа. Следует применить метод интегрирования по частям или
метод неопределенных коэффициентов, используя равенство:
где – многочлены с неизвестными коэффициентами степени
, которые найдем, дифференцируя обе части равенства по
x
и
приравнивая коэффициенты при одинаковых выражениях и
[3, гл. 5, §5.2].
П р и м е р 43. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Заметим, что – многочлен
n
= 1 степени, тогда
39
Тогда
11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрирова-
нию тригонометрических функций. Для преобразований подынтегральных
выражений часто бывают полезны формулы:
П р и м е р 44. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Интеграл находится способом, аналогичным изложенному в
разделе 8.2:
Рассмотрим первый интеграл. Подынтегральная функция нечетна
относительно , тогда
Для вычисления второго интеграла применим одну из указанных выше
формул:
40
Итак,
П р и м е р 45. Найти интеграл
Р е ш е н и е. Интеграл вида – нечетное
положительное число (см. раздел 8.2). Воспользуемся подстановкой:
, тогда
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
1. 11.
2. 12.
3. 13.
4. 14.
5. 15.
6. 16.