Карасева А.Г. Неопределенный интеграл
Подождите немного. Документ загружается.
21
8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
8.1. Интегралы вида
dxxxR
)cos,(sin
∫
Интегралы данного вида, где R – рациональная функция двух
переменных, приводятся к интегралам от рациональных функций с
помощью универсальной тригонометрической подстановки
,
2
t
x
tg =
где
ππ
<<− x
, при этом используются соотношения [1, гл. 10, §12; 2, гл. 3,
§26.1]:
.
1
2
,
1
1
cos,
1
2
sin
22
2
2
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
+
=
+
−
=
+
=
П р и м е р 16. Найти интеграл
.
11cos7sin5
∫
−− xx
dx
Р е ш е н и е. Воспользуемся универсальной тригонометрической
подстановкой:
=
+−
−=
−
+
−
−
+
⋅
+
=
−−
∫∫ ∫
18104
2
11
1
1(7
1
25
)1(
2
11cos7sin5
2
2
)2
2
2
tt
dt
t
t
t
t
t
dt
xx
dx
.
47
5
2
4
47
2
47
54
47
2
4
47
)]
4
5
(2[
)]
4
5
(2[
2
C
x
tg
arctgC
t
arctg
t
td
+
−
−=+
−
−=
+−
−
−=
∫
В некоторых частных случаях интеграл от тригонометрической
функции можно найти иначе.
Для интеграла dxxxR )cos,(sin
∫
, где
)cos,(sin xxR
– нечетная
относительно
xsin
функция, может быть использована подстановка
tx
=
cos
[4,гл.9,§4.1].
П р и м е р 17. Найти интеграл
.
cos3sin5
sin
22
dx
xx
x
∫
+
Р е ш е н и е. Проверим относительно xsin нечетность подынтегральной
функции:
)cos,(sin
cos)sin(
sin
)cos,sin( xxR
x3x5
x
xxR
22
−=
+−
−
=−
.
22
Сделаем подстановку
xdxdtxt
sin,cos
−==
, тогда
222
1cos1sin txx −=−=
.
.
5cos2
5cos2
ln
102
1
52
52
ln
102
1
2
5
2
1
523)1(5
2
222
C
x
x
C
t
t
t
dt
t
dt
tt
dt
I
+
+
−
=+
+
−
=
=
−
=
+−
−=
+−
−=
∫∫∫
Для интеграла
dxxxR
)cos,(sin
∫
, где )cos,(sin xxR – нечетная
относительно
xcos
функция, может быть использована подстановка
tx =sin
[4, гл. 9, §4.1].
П р и м е р 18. Найти интеграл
∫
.
sin
cos
3
dx
x
x
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция нечетна относительно xcos ,
тогда
∫∫∫∫
=−=
−
=
=
=
=
⋅
=
−
dttdttdt
t
t
dtxdx
tx
dx
x
xx
I
2
3
2
1
22
1
cos
sin
sin
coscos
.sin
5
2
sin2
5
2
2
5
2
5
2
1
CxxCtt +−=+−=
Интеграл dxxxR )cos,(sin
∫
, где
)cos,(sin xxR
– четная функция
относительно xx cos и sin сводится к интегралу от рациональной функции
подстановкой
ttgx
=
.
П р и м е р 19. Найти интеграл
.
cos5cossin3sin2
3
22
dx
xxxx
tgx
∫
+⋅−
−
Р е ш е н и е. Проверим четность подынтегральной функции относительно
xx cos и sin
:
).cos,(sin
)cos(5)cos)(sin(3)sin(2
3
)cos,sin(
22
xxR
xxxx
tgx
xxR =
−+−−−−
−
=−−
Разделим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на
x
2
cos
,
сделаем замену переменной
ttgx
=
, тогда dx
x
tgxd
2
cos
1
)( =
, в результате
имеем:
23
∫∫∫∫
+−
+−
=
+−
−+−
=
+−
−
=
+−
⋅−
=
532
)532(
4
1
532
3
4
3
)34(
4
1
532
)3(
532
cos
1
)3(
2
2
222
2
tt
ttd
dt
tt
t
tt
dtt
dx
tgxxtg
x
tgx
I
−+−=
+−
−
−+−=
+−
−
∫∫
532ln
4
1
16
31
)
4
3
(
)
4
3
(
8
9
532ln
4
1
532
4
9
2
2
2
2
tt
t
td
tt
tt
dt
.
31
34
312
9
532ln
4
1
31
34
312
9
2
C
tgx
arctgtgxxtgC
t
arctg +
−
−+−=+
−
−
8.2. Интеграл вида
∫
⋅ xdxx
nm
cossin
Такие интегралы находят методами, зависящими от значений
nm и
.
Рассмотрим несколько случаев [2, гл. 3, §26].
1) Если
nm и
– четные неотрицательные числа, то понизить степени
можно с помощью тригонометрических формул [2, гл.3, §26]:
.
2
2cos1
cos ,
2
2cos1
sin ,2sin
2
1
cossin
22
x
x
x
xxxx
+
=
−
==⋅
П р и м е р 20. Найти интеграл
∫
⋅ .3cos3sin
24
xdxx
Р е ш е н и е. Первый множитель
x
4
sin
представим как произведение
xx
22
sinsin ⋅
:
∫∫∫∫
=−=−= xdxxxdxdxxxxdxxx 6cos6sin
8
1
6sin
8
1
)6cos1(6sin
8
1
3sin3cos3sin
222222
.6sin
144
1
12sin
192
1
16
1
)6(sin6sin
48
1
)12cos1(
16
1
32
Cxxxxdxdxx +−−=⋅−−=
∫∫
2) Если хотя бы один из множителей интеграла
∫
⋅ xdxx
nm
cossin
имеет
нечетную положительную степень, то делается подстановка:
tx
=cos
, если
m – нечетное число и
tx =sin
, если
n
− нечетное число. Пусть
12 += km
,
тогда можно выполнить следующие преобразования:
)(cos)cos1(sinsinsin
2212
xdxxdxxxdx
kkk
−−=⋅=
+
.
П р и м е р 21. Найти интеграл
∫
⋅ .cossin
2
3
3
xdxx
Р е ш е н и е. Имеем нечетную положительную степень
3=m
, тогда
tx
=
cos
:
24
.cos
9
2
cos
5
2
9
2
5
2
)1()(coscos)cos1(sincossin
2
9
2
5
2
9
2
5
2
3
2
2
3
2
2
3
2
Cxxtt
dtttxdxxxdxxxI
++−=+−
=−−=−−=⋅⋅=
∫∫∫
3) Если
knm 2−=+
, причем
nm и
имеют разные знаки, то следует
привести интеграл к виду
∫
)(tgxxdtg
k
.
П р и м е р 22. Найти интеграл
.
cos
sin
5
3
dx
x
x
∫
Р е ш е н и е. Заметим, что
5 ,3 ,2 −==−=+ nmnm
, разложим
знаменатель на множители:
∫∫∫
+==⋅=
⋅
= .
4
)(
cos
1
coscos
sin
4
3
2
3
23
3
C
xtg
tgxxdtgdx
x
xtgdx
xx
x
I
4) Если
knm 2−=+
, причем
0 и 0 << nm
, то
интеграл
∫
⋅
xdxx
nm
cossin сводится к сумме интегралов вида 3 и 4 с мень-
шим показателем степеней nm или . Это достигается путем добавления в
числитель подынтегральной дроби «тригонометрической единицы»
.1sincos
22
=+
xx
П р и м е р 23. Найти интеграл .
cossin
3
∫
⋅ xx
dx
Р е ш е н и е. Здесь
4 ,3 ,1 −=+−== nmnm
, сделаем тождественные
преобразования подынтегрального выражения, добавив в числитель
xx
22
cossin +
:
=
⋅
+=
⋅
+
=
∫∫∫
xx
dx
dx
x
x
dx
xx
xx
I
cossin
cos
sin
cossin
cossin
33
22
.ln
22sin
2)(
2
Ctgx
xtg
x
dx
tgxdtgx ++=+⋅=
∫∫
5) Если
nm и
имеют разные знаки и разную четность, то интегрирование
производим с помощью рекуррентной формулы [5, гл. 8, §4].
Пусть lnkm 2 ,12 −=+= , получим рекуррентную формулу, применяя
метод интегрирования по частям:
25
=
−
=−==
⋅==
==
∫
∫
−
−
+
+
xlx
xd
v
x
xdx
dv
xdxxkduxu
dx
x
x
I
lll
kk
l
k
lk
1222
122
2
12
2,12
cos)12(
1
cos
)(cos
,
cos
sin
cossin2,sin
cos
sin
22,12
12
2
12
12
12
2
12
2
cos)12(
sin
cos
cossin
12
2
cos)12(
sin
−−
−−
−
−
−
−
−
=
⋅
−
−
−
=
∫
lk
l
k
l
k
l
k
I
l
k
xl
x
dx
x
xx
l
k
xl
x
.
Замечание. Интегрирование по частям может применяться для многих
случаев нахождения интеграла
∫
⋅ xdxx
nm
cossin
.
П р и м е р 24. Найти интеграл
.
cos
sin
4
3
dx
x
x
∫
Р е ш е н и е. Имеем 2l1k
==
, . Применим полученную выше рекур-
рентную формулу:
.
cos3
2
cos3
sin
cos
)(cos
3
2
cos3
sin
cos
sin
3
2
cos3
sin
3
2
23
2
23
2
4,3
C
x
x
x
x
xd
x
x
dx
x
x
x
x
I +−=+=−=
∫∫
8.3. Интегралы вида
∫∫
xdxctgxdxtg
mm
,
Для нахождения интегралов данного вида, где
m
– целое положи-
тельное число, могут быть использованы подстановки
tctgxttgx
== или
соответственно, либо понижена степень с помощью
формул [1, гл.10, §12]:
1sec1
cos
1
2
2
2
−=−= x
x
xtg
и
1cos1
sin
1
2
2
2
−=−= xec
x
xctg
.
П р и м е р 25. Найти интеграл
∫
.
4
xdxctg
Р е ш е н и е. Представим в виде произведения подынтегральную
функцию:
∫∫ ∫
−⋅=−=⋅= xdxctgxecxdxctgxecxdxctgxctgI
222222
cos)1(cos
.
3
)1sec()(
3
222
Cxctgx
xctg
dxxсoсtgxdxctgxdxctg +++−=−−⋅−=−
∫∫ ∫
8.4. Интегралы вида
∫∫
⋅⋅ xdxecxctgxdxxtg
nmnm
cos ,sec
Интегралы такого вида преобразованием второго множителя
подынтегральной функции
26
xxtgxxx
nnn
2222
sec)1(secsecsec
−−
⋅+=⋅=
xecxctgxecxecxec
nnn
2222
cos)1(coscoscos
−−
⋅+=⋅=
можно свести к сумме интегралов вида
∫∫
⋅⋅ )(),(
ctgxdxctgtgxdxtg
kk
.
П р и м е р 26. Найти интеграл
∫
⋅ .sec
43
xdxxtg
Р е ш е н и е.
∫∫∫∫
=+=+=⋅ xdxxtgxdxxtgdxxxtgxtgxdxxtg
252322343
secsec)sec)1(sec
.
64
)()(
64
53
C
xtgxtg
tgxdxtgtgxdxtg ++=⋅+⋅=
∫∫
8.5. Интегралы вида
∫
xdx
m2
sec
и
∫
xdxec
m2
cos
Для нахождения таких интегралов используются формулы
xecxctgxxtg
2222
cos1 ,sec1 =+=+
,
с помощью которых они сводятся к интегралам вида
∫
⋅ )(tgxdxtg
k
или
∫
⋅ )(ctgxdxctg
k
.
П р и м е р 27. Найти интеграл
∫
.cos
6
xdxec
Р е ш е н и е. Предварительно преобразуем подынтегральное выражение:
)()1(cos)(coscos
222226
ctgxdxctgxdxecxecxdxec
⋅+−=⋅=
∫∫∫∫
=⋅−⋅−−=⋅+−= )()(2)()()1(
4222
сtgxdxctgсtgxdxctgсtgxdсtgxdxctgI
C
xctg
xctgсtgx +−−−=
53
2
5
3
.
8.6. Интегралы вида
∫∫
++
xdxecxdx
mm
1212
cos,sec
Такие интегралы можно найти, используя рекуррентные формулы (их
можно вывести самостоятельно, аналогично тому, как в 8.2.5) [4, гл. 9,
§4.5]:
∫∫∫
−+
+
+
−
+
⋅
=== xdx
m
m
xm
x
xdx
x
dx
I
m
m
m
m
m
12
2
12
12
12
sec
2
12
cos2
sin
sec
cos
,
∫∫∫
−+
+
+
−
+
⋅
−===
xdxec
m
m
xm
x
xdxec
x
dx
I
m
m
m
m
m
12
2
12
12
12
cos
2
12
sin2
cos
cos
sin
.
27
П р и м е р 28. Найти интеграл .
cos
5
∫
x
dx
Р е ш е н и е. Заметим, что
5 тогда,512
==+
mm
и
∫
+⋅= xdx
x
x
I
3
4
5
sec
4
3
cos
sin
4
1
.
К последнему интегралу снова применим рекуррентную формулу, при
этом
1,312 ==+ mm
:
)
42
(ln
2
1
cos2
sin
cos2
1
cos2
sin
sec
22
3
3
π
++=+==
∫∫
x
tg
x
x
x
dx
x
x
xdxI
.
Подставляем полученное выражение, тогда
C
x
tg
x
x
x
x
x
dx
++++=
∫
)
42
(ln
8
3
cos8
sin3
cos4
sin
cos
245
π
.
8.7. Интегралы вида
∫∫∫
⋅⋅⋅ nxdxmxnxdxmxnxdxmx sinsin ,coscos ,cossin
Интегралы такого вида находятся с помощью тригонометрических
формул:
)sin()[sin(
2
1
cossin
βαβαβα
−++=⋅
,
)]cos()[cos(
2
1
sinsin
βαβαβα
+−−=⋅
,
)]cos()[cos(
2
1
coscos
βαβαβα
−++=⋅
.
П р и м е р 29. Найти интеграл
∫
⋅ .5cos3cos xdxx
Р е ш е н и е. Применим последнюю из указанных выше формул, тогда
[]
[]
.2sin
4
1
8sin
16
1
)2sin
2
1
8sin
8
1
(
2
1
2cos8cos
2
1
)53cos()53cos(
2
1
CxxCxx
xdxxdxdxxxxxI
++=++=
=+=−++=
∫∫∫
9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Иррациональным выражением называется функция, содержащая
аргументы в несократимой дробной степени.
28
9.1. Интегралы вида
dx
dcx
bax
dcx
bax
dcx
bax
xR
k
k
q
p
q
p
q
p
),...,,,(
2
2
1
1
+
+
+
+
+
+
∫
Здесь dcba ,,, – действительные числа,
a
или
c
не равны нулю,
kk
qpqpqp
,,...,,,,
2211
– целые числа,
R
– рациональная функция по каждой
переменной. Интегралы данного вида сводятся к интегралам от
рациональной функции с помощью подстановки:
N
t
dcx
bax
=
+
+
, где
),...,Н.О.К.(q
21
k
qqN
=
[1, гл.10, §10].
П р и м е р 30. Найти интеграл dx
xx
x
∫
−
4
3
2
.
Р е ш е н и е. Заметим, что
a
=1,
b
=0,
c
=1,
d
=0, N=Н.О.К(2,3,4)=12, тогда
dttdxtx
1112
12, ==
и
=
=
−
=
−
==
−
=
∫∫∫
пр.15) (см. деление выполнив
часть, целую Выделим
dt
1t
t
12dtt
tt
t
12dx
xx
x
I
5
14
11
38
6
4
1
3
2
2
1
∫∫∫∫
=
−
−
++=
−
++=
1
)1(
5
12
5
12
5
6
1
121212
5
5
510
5
4
49
t
td
ttdt
t
t
dttdtt
Cxxx +−++= 1ln
5
12
5
12
5
6
12
5
12
5
6
5
.
П р и м е р 31. Найти интеграл
.
)21()2(
22
6
4
dx
xx
xx
∫
++⋅+
+−+
Р е ш е н и е. Сделаем замену переменной
dttdxtx
1112
12,2 ==+ , т.к.
12 6)Н.О.К(4,2, ==N
, тогда
∫∫∫∫
−+−=
+
−
+
−++−=
+
−
= tdtdttdt
t
t
t
ttdt
tt
ttt
I 1212)
11
1
1(12
)1(
)(
12
3
22
3
212
1163
.)21ln(62122623
)1ln(6121263
1
12
1
12
6
12
63
224
22
Cxxxx
Ctarctgtttt
t
tdt
t
dt
+++−+++++−
=++−−++−==
+
−
+
−
∫∫
29
9.2. Интеграл вида
dx
cbxax
BAx
∫
++
+
2
Выделяя в числителе подынтегральной дроби производную
квадратного трехчлена знаменателя, приведем, как это сделано в разделе
7.1 при интегрировании простой дроби, исходный интеграл к сумме
интегралов:
∫∫∫
=
++
⋅−+
++
++
=
++
+−+
=
cbxax
dx
a
Ab
B
cbxax
cbxaxd
a
A
dx
cbxax
B
a
Ab
bax
a
A
I
22
2
2
)
2
(
)(
2
2
)2(
2
∫
−+±
⋅−+++=
=
+=
=
)
4
(
1
)
2
(
)
2
(a t
2
2
2
a
b
ct
dt
a
a
Ab
Bcbxax
a
A
dxadt
a
b
x
,
перед
2
t
ставим «+», если
oa >
и знак «–», если
0<a
. Последний
интеграл является табличным вида 1.6 или 1.7 [4, гл. 9, §3.3].
П р и м е р 32. Найти интеграл
∫
−+
.
45
2
dx
xx
x
Р е ш е н и е.
∫∫∫
=
−−
−
+
++−
++−
−=
−+
++−−
=
2
2
2
2
)2(9
)2(
2
54
)54(
2
1
45
2)42(
2
1
x
xd
xx
xxd
dx
xx
x
I
C
x
xx +
−
+−+−=
3
2
arcsin245
2
.
9.3. Интеграл вида
∫
++
dx
cbxax
xP
n
2
)(
Здесь
)(
xP
n
– многочлен степени n , а вычисляется такой интеграл с
помощью метода неопределенных коэффициентов по предполагаемой
формуле записи решения:
∫∫
++
+++⋅=
++
−
cbxax
dx
cbxaxxQdx
cbxax
xP
n
n
2
2
1
2
)(
)(
λ
,
где
)(
1
xQ
n
−
– многочлен с неопределенными коэффициентами порядка
1−n
,
λ
– неопределенное число [2, гл. 3, §25.5]. Значения неопреде-
30
ленных коэффициентов и числа
λ
находятся дифференцированием этого
равенства по
x
, освобождением от корней и приравниванием коэф-
фициентов при одинаковых степенях
x
, как это делалось в примере 14.
П р и м е р 33. Найти интеграл dx
xx
xx
∫
+−
+−
54
7104
2
2
.
Р е ш е н и е. В числителе находится многочлен второй степени (
n
= 2),
тогда
∫
+−
++−⋅+=
54
54)(
2
2
xx
dx
xxBAxI
λ
.
Дифференцируем обе части равенства:
54542
)42()(
54
54
544
22
2
2
2
+−
+
+−
−⋅+
++−⋅=
+−
+−
xxxx
xBAx
xxA
xx
xx
λ
,
затем умножаем его на
54
2
+−
xx
:
λ
+−⋅+++−=+− )2()()54(7104
22
xBAxxxAxx
,
)25()24(27104
2
λ
+−+−+−+=+−
BAxABAAxxx
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
x
:
+−=
+−=−
=
.
,
,
λ
B2A57
BA610
A24
Получили линейную алгебраическую систему относительно
A, B
,
λ
,
решая которую, найдем
A
= 2,
B
= 2, 1
=
λ
.Таким образом, имеем
∫∫
=
+−
−
++−⋅+=
+−
++−⋅+=
1)2(
)2(
54)1(2
54
54)1(2
2
2
2
2
x
xd
xxx
xx
dx
xxxI
.542ln54)1(2
22
Cxxxxxx
++−+−++−⋅+=
9.4. Интегралы вида
dxcbxaxxQ
m
++⋅
∫
2
)(
Такие интегралы приводятся к виду 9.3 умножением и делением
подынтегрального выражения на
cbxax
++
2
.
П р и м е р 34. Найти интеграл
.3)64(
22
dxxxx +⋅−
∫