Карасева А.Г. Неопределенный интеграл
Подождите немного. Документ загружается.
11
Р е ш е н и е. Расписать
()
10
1
x
−
по биному Ньютона громоздко. Сделав
преобразование
()
,11
xx
−−=
получим:
Далее представляем в виде суммы двух интегралов по свойству 1.4 и
используем метод внесения под знак дифференциала, взяв за
xxu
−=
1)(,
тогда
dxdu
−=
:
∫∫ ∫∫
=−−+−−−=−−−=
)1()1()1()1()1()1(
11101110
xdxxdxdxxdxxI
C
xx
+
−
+
−
−=
12
)1(
11
)1(
1211
.
5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ: ПОДСТАНОВКА
В этом методе используется свойство 1.6 в виде 1.6.2. Метод
применяется, если для подынтегральной функции первообразную
непосредственно не видно, но, если ввести новую переменную
t
, положив
)(
tx
ϕ
=
, где
)(t
ϕ
– дифференцируемая функция, то для функции
)())((
ttf
ϕϕ
′
⋅
первообразную можно найти достаточно легко. После чего
необходимо вернуться к исходной переменной интегрирования [1, гл. 10,
§4; 2, гл. 3, §22;3; 3, гл.5, §2].
П р и м е р 7. Найти интеграл
∫
+
x
e
dx
1
.
Р е ш е н и е. Сделаем подстановку
tx
ln2
−=
, получим
t
dt
dx
2
−=
.
.11ln21ln2
1ln2
1
2
1
2
2
2
2
ln2
CexCee
Ctt
t
dt
et
dt
I
xx
x
t
+++−=+++−=
=+++−=
+
−=
+⋅
−
=
−
−
−
∫∫
П р и м е р 8. Найти интеграл
∫
−
dxxa
22
.
()( )() ()()
.]11[]111[
111010
dxxxdxxxI
∫∫
−−−=−−−=
12
Р е ш е н и е. Положим
tax
sin
=
,
dttadx
⋅=
cos , тогда
Ctt
a
dt
t
adttaI
++=
+
=⋅=
∫∫
)2sin
2
1
(
22
2cos1
cos
2
222
.
Возвращаясь к исходной переменной, получим
C
a
xa
xa
x
I
++−=
arcsin
22
2
22
.
Замечание. Метод замены переменных широко используется при
интегрировании. При определенном виде интеграла рекомендуется
применять определенную подстановку, что будет видно из многих
способов интегрирования, приведенных ниже.
6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Этот метод основан на применении формулы 1.7
∫∫
−⋅=
vduvuudv
,
с помощью которой нахождение интеграла
∫
udv
сводится к отысканию
интеграла
∫
vdu
. Формулу 1.7 можно применять в тех случаях, когда
последний интеграл либо проще данного, либо ему подобен. Причем, за
dv берется та часть подынтегрального выражения, интеграл от которого
известен или может быть найден. Метод можно применять
последовательно несколько раз [1, гл. 10, §6; 2, гл. 3, §4].
Для интегралов вида
∫∫ ∫
⋅⋅⋅
axdxxPaxdxxPdxexP
nn
ax
n
sin)( ,cos)( ,)(,
где
)(
xP
n
– многочлен от
x
, следует взять
)(
xPu
n
=
.
Для интегралов вида
∫
⋅
xdxxP
n
ln)(,
∫∫ ∫
⋅⋅⋅
arctgxdxxPxdxxPxdxxP
nnn
)( ,arccos)( ,arcsin)(
следует взять
dxxPdv
n
)(
=
. Иногда повторное интегрирование по частям
приводит к уравнению относительно искомого интеграла, решая которое,
получим его выражение. К таким интегралам в первую очередь относятся
интегралы вида
∫∫
bxdxebxdxe
axax
cos ,sin .
13
П р и м е р 9. Найти интеграл .
2
dxex
x
∫
Р е ш е н и е. Используем формулу интегрирования по частям 1.7 дважды;
∫∫
∫
=−=−=
===
==
=
dxxeexxdxeex
edxevdxedv
xdxduxu
I
xxxx
xxx
22
,
2 ,
22
2
.)22()(2
,
,
22
11
11
Cxxedxexeex
evdxedv
dxduxu
xxxx
xx
++−=−−=
==
==
=
∫
П р и м е р 10. Найти интеграл
∫
.ln
2
xdxx
Р е ш е н и е. По методу интегрирования по частям имеем:
.
9
ln
3
1
3
1
ln
3
3
,
,ln
ln
23
3
3
3
22
2
C
x
x
x
dx
x
xx
x
x
dxxvdxxdv
x
dx
duxu
xdxxI
+−=⋅−=
===
==
==
∫
∫
∫
П р и м е р 11. Найти интеграл
∫
xdxe
x
3cos
2
.
Р е ш е н и е. Интегрируем по частям:
+=
==
==
=+
+=
===
==
==
∫
∫
∫
xe
evdxedv
xdxduxu
xdxe
xe
edxevdxedv
xdx -du xu
xdxeI
x
xx
x
x
xx
x
3cos
2
1
2
1
,
3cos3,3sin
3sin
2
3
3cos
2
1
2
1
,
3sin3 ,3cos
3cos
2
2
1
2
1
11
2
2
222x
2
∫
−+=−+
.
4
9
3sin
4
3
3cos
2
1
]3cos
2
3
3sin
2
1
[
2
3
2222
Ixexexdxexe
xxxx
Повторно применив метод интегрирования по частям, получили
уравнение относительно искомого интеграла
I
:
,
4
9
)3sin
2
3
3(cos
2
1
2
IxxeI
x
−+=
решая которое относительно
I
, найдем искомый интеграл
.)3sin33cos2(
13
2
2
CxxeI
x
++=
П р и м е р 12. Найти интеграл
∫
+
.
22
dxxa
14
Р е ш е н и е. Умножим и разделим подынтегральное выражение
на
22
xa
+
, затеем разделив почленно каждое слагаемое числителя на
знаменатель, получим:
∫
∫∫∫
+
+++=
=
+
+
+
=
+
+
=
.ln
22
2
222
22
2
22
2
22
22
dx
xa
x
xaxa
dx
xa
x
xa
dx
adx
xa
xa
I
Полученный в правой части интеграл вычислим отдельно, применив
метод интегрирования по частям:
.
,,
2222
22
22
22
22
2
dxxaxax
xa
xa
xdx
v
xa
xdx
dvdxduxu
dx
xa
x
∫
∫
∫
+−+=
+=
+
=
+
===
=
+
Заметим, что получили точно такой же интеграл
I
. Подставив результат,
для интеграла
I
имеем алгебраическое уравнение:
IxaxxaxaI
−++++=
22222
ln .
Отсюда
22222
ln2
xaxxaxaI
++++=
,
.ln
22
22
2
22
Cxax
a
xa
x
I
+++++=
7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Далее методы интегрирования будут содержать вышеуказанные
методы в сочетании с различными равносильными алгебраическими
преобразованиями и приемами.
15
7.1. Интегрирование простейших дробей
Напомним, что простейшими дробями являются дроби следующих
типов: ;1
x-a
A
)
,...3,2 ,
)(
)2
=
−
k
ax
A
k
04 , )3
2
2
<−
++
+
qp
qpxx
NMx
,
04 ,...,3,2 ,
)(
)4
2
2
<−=
++
+
qpk
qpxx
NMx
k
.
Интегралы от дробей типов 1 и 2 легко приводятся к табличным с
помощью метода внесения под знак дифференциала:
;ln
)(
CaxA
ax
axd
Adx
ax
A
+−=
−
−
=
−
∫∫
.)(
1
)(
)(
)(
1
Cax
k
A
ax
axd
Adx
ax
A
k
kk
+−
−
=
−
−
=
−
−
∫∫
Интеграл от дроби типа 3 берется таким же образом, что и интеграл
следующего вида [2, гл. 3, §24]:
+
++
+
=
++
−++
=
++
+
∫∫∫
dx
cbxax
bax
a
M
dx
cbxax
a
Mb
Nbax
a
M
dx
cbxax
NMx
222
2
2
)
2
()2(
2
∫∫∫
=
++
−+
++
++
=
++
−+
cbxax
dx
a
Mb
N
cbxax
cbxaxd
a
M
cbxax
dx
a
Mb
N
22
2
2
2
)(
22
=
−++
⋅
−+++=
∫
)
4
()
2
(
1
2
ln
2
2
2
2
a
b
a
c
a
b
x
dx
aa
Mb
Ncbxax
a
M
.
)
4
(
2
ln
2
2
2
2
2
2
∫
−+
⋅
−+++=
=
+=
=
a
b
a
c
z
dz
a
Mb
a
N
cbxax
a
M
dxdz
a
b
xz
Последний интеграл является табличным вида 2.4, если ,0
4
2
>−
a
b
a
c
вида 2.5, если
,0
4
2
<−
a
b
a
c
вида 2.2, если
0
4
2
=−
a
b
a
c
. Затем возвращаемся к
переменной
x
, и интеграл взят.
16
Интеграл от простейшей дроби типа 4 берется таким же образом, что
и следующий интеграл [1, гл.10, §7; 2, гл. 3, §24]:
+
++
++
=
++
−++
=
++
+
∫∫∫
kkk
cbxax
cbxaxd
a
M
dx
cbxax
a
Mb
Nbax
a
M
dx
cbxax
NMx
)(
)(
2
)(
)
2
()2(
2
)(
2
2
22
=
−==
+=±=
=−++=++
=
++
⋅
−+
∫
2
2
2
22
2
2
22
2
4
,
,
2
где ),(
)]
4
()
2
[(
)(
2
a
b
a
c
Adzdx
a
b
xzAza
a
b
a
c
a
b
xaсbxax
cbxax
dx
a
Mb
N
k
∫
±
⋅
−+
++−
=
−
kkk
Az
dz
a
Mb
N
acbxaxka
M
)(
2
1
))(1(2
2212
.
Последний интеграл возьмем «методом понижения порядка»,
предварительно выполнив тождественные преобразования подынтег-
ральной функции, затем применим метод интегрирования по частям:
=
±
−
±±
=
±
−+±
±
=
±
=
∫∫∫∫
−
kkkk
k
Az
dzz
Az
dz
A
dz
Az
zzA
AAz
dz
I
)()(
1
)(
)(1
)(
22
2
122222
222
222
−
+
−
±
−
±
=
−
±
=
±
±
=
±
===
=
−
−
−
−
∫
1
122
1
2
122
22
22
22
)1(2
1
)1(2
)(1
)1(2
)(
)(
)(
2
1
)(
,,
k
k
k
k
k
k
I
kk
Azz
I
A
k
Az
Az
Azd
v
Az
zdz
dvdzduzu
Таким образом, получаем следующую рекуррентную формулу:
−
−
+
±−±
=
±
=
−
−
∫
1
122222
)1(2
23
))(1(2
1
)(
k
kk
k
I
k
k
Azk
z
AAz
dz
I
,
которую применяем несколько раз, пока не получим табличный интеграл.
П р и м е р 13. Найти интеграл
∫
++
+
22
)102(
)23(
zx
dxx
.
17
Р е ш е н и е. Представим числитель в виде суммы двух слагаемых таких,
что одно слагаемое есть производная трехчлена 22)102(
2
+=
′
++
xxx
, а
второе – постоянное число, получим далее:
∫∫∫
=
++
−
++
+
=
++
+−+
=
222222
)102()102(
22
2
3
)102(
23)22(
2
3
xx
dx
dx
xx
x
dx
xx
x
I
−
++
−=
+
−
++
++
=
==+
++=++
=
∫∫
)102(2
3
)9()102(
)102(
2
3
z, 1
9)1(102x
:интеграла второго Для
22222
2
22
xxz
dz
xx
xxd
dzdxx
xx
∫∫∫
=
+
⋅+
+
−
++
−=
+
−+
−
222222
22
)9(
9
1
9
9
1
)102(2
3
)9(
9
9
1
z
zdz
z
z
dz
xx
dz
z
zz
−
++
−=
+
−=
+
=
+
=
==
=
∫
)102(2
3
)9(2
1
)9(
2
2
1
)9(
, ,:частям по берем интеграл Второй
2
22222
xx
zz
zdz
v
z
zdz
dv
dzduzu
−−
++
−=
+
+
+
−+
+
−
∫∫
354
1
)102(2
3
9
2
1
)9(2
9
1
9
9
1
2222
z
arctg
xxz
dz
z
z
z
dz
.
)102(18
1
3
1
54
1
)102(2
3
)9(18
222
C
xx
xx
arctg
xx
C
z
z
+
++
+
−
+
−
++
−=+
+
−
Заметим, что интеграл
∫
+
22
)9(
z
dz
можно было найти иначе, если
воспользоваться рекуррентной формулой, полученной выше:
.
354
1
)9(189
2
1
)9(2
9
1
)9(
22222
C
z
arctg
z
z
z
dz
z
z
z
dz
++
+
=
+
+
+
=
+
∫∫
7.2. Интегрирование правильных дробей
Если дробь
)(
)(
xQ
xP
m
n
– правильная, т. е.
mn <
, то сначала следует
разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители с
действительными коэффициентами:
l
n
ll
n
k
m
k
mm
m
qxpxqxpxaxaxaxxQ )...()...()()()()(
2
1
11
2
2
2
1
1
+++⋅+−⋅⋅−⋅−=
⋅
,
18
где трехчлены
liqxpx
ii
,...2,1,
2
=++
имеют комплексные корни, т. е.
∑∑
==
=+<−
k
1 i1
i
2
2 и 04
l
j
jii
mnmqp
. Затем правильную рациональную дробь
разложить на сумму простых дробей, введя неопределенные коэффи-
циенты
l
l
llllm
CBCBCBAAA
lnln2211
1
11211
,,...,,,,...,,...., :
l
n
ll
ll
ll
ll
m
m
m
n
qxpx
CxB
qxpx
CxB
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
)(
2
lnln
2
11
1
1
1
1
2
1
12
1
11
++
+
+⋅⋅+
++
+
+⋅⋅+
−
+⋅⋅+
−
+
−
=
Для вычисления значений неопределенных коэффициентов
полученное равенство приводят к общему знаменателю, после чего
приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях
левой и правой частей. Получится система m линейных уравнений
относительно искомых коэффициентов, которая решается. Систему
m
линейных уравнений для определения указанных неопределенных
коэффициентов
l
l
llm
CBCBAAA
lnln11
1
11211
,,...,,...,,....,
можно получить другим
способом, придавая x различные числовые значения m раз. Часто полезно
комбинировать оба способа нахождения значений неопределенных
коэффициентов [1, гл.10, §8; 2, гл. 3, §23.6].
П р и м е р 14. Найти интеграл
.
3
1
23
dx
xxx
x
∫
−++
+
Р е ш е н и е. Разложим знаменатель на линейные и квадратичные
множители:
).32)(1()32()32(
32323
222
22323
++−=++−++
=−−−++=−++
xxxxxxxx
xxxxxxxx
Последний квадратный трехчлен не имеет действительных корней
.083424
22
<−=⋅−=−
qp
Разложим правильную дробь на простейшие дроби:
.
32
1
)32)(1(
1
3
1
2223
++
+
+
−
=
++−
+
=
−++
+
xx
CBx
x
A
xxx
x
xxx
x
19
Находим значения неопределенных коэффициентов
CBA
,,
, для чего
приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители правой и
левой части равенства:
)1)(()32(1
2
−++++=+
xCBxxxAx
;
)3()2()(1
2
CAxCBAxBAx
−++−++=+
.
Составим систему трех уравнений, во-первых, взяв в предпоследнем
равенстве 1=x , а, во-вторых, приравняв коэффициенты при одинаковых
степенях
x
, удобнее при
2
x
и свободные члены (при
0
x
):
−=
+=
=
CA
BA
A
31
0
62
,
решая которую получим
0 ,
3
1
,
3
1
=−== CBA
.
Подставим найденные коэффициенты в разложение дроби на сумму
простых дробей и проинтегрируем:
−−=
++
−+
−
−
−
=
++
−
−
=
∫∫∫∫
1ln
3
1
32
1)22(
2
1
3
1
1
)1(
3
1
32
3
1
13
1
22
xdx
xx
x
x
xd
xx
xdx
x
dx
I
.
2
1
23
1
32ln
6
1
1ln
3
1
2)1(
3
1
32
)32(
6
1
2
22
2
C
x
arctgxxx
x
dx
xx
xxd
+
+
+++−−=
++
+
++
++
−
∫∫
7.3. Интегрирование неправильных дробей
Если дробь
)(
)(
xQ
xP
m
n
– неправильная ( mn ≥ ), то сначала необходимо
выделить целую часть
)(
xM
l
и правильную дробную часть mk
xQ
xR
m
k
<,
)(
)(
:
nlm
xQ
xR
xM
xQ
xP
m
k
l
m
n
=++= ,
)(
)(
)(
)(
)(
.
Таким образом, интеграл от неправильной дроби представляется в
виде суммы интегралов от целой и от правильной дробной частей.
Интеграл от целой части, которая есть многочлен, легко находится по
20
таблице интегралов. Интеграл от правильной дроби находится так, как
это изложено в предыдущем пункте 7.2. Выделение целой части из
неправильной дроби производится делением в столбик. После чего имеем:
)(
xM
l
– частное, а
)(
xR
k
– остаток от деления )(xP
n
на
)(
xQ
m
.
П р и м е р 15. Найти интеграл
dx
xx
x
∫
++
+
44
1
2
5
.
Р е ш е н и е. Выделим целую часть и правильную дробь:
_
32124
44
10
4
00
4
0
23
2
3
23
4
4
5
5
−+−
++
+
++
+
+
+
+
xxx
xx
x
x
xx
x
x
x
x
—————————
_
2
2
3
3
4
4
16
0
16
4
4
4
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
−
—
x
x
x
x
x
x
48
0
48
16
12
12
2
2
3
3
+
+
+
+
—
128
1
128
48
32
32
2
2
−
+
−
−
−
−
x
x
x
x
129 80 +x
Отсюда:
44
12980
32124
44
1
2
23
2
5
++
+
+−+−=
++
+
xx
x
xxx
xx
x
.
Тогда
+−=
++
+
+−+−=
++
+
∫∫∫∫∫∫
3
4
4
44
12980
32124
44
1
34
2
23
2
5
xx
dx
xx
x
dxxdxdxxdxxdx
xx
x
−
+
+
+−+−=
+
+−+
+−+
∫∫
2
)2(
80326
3
4
4
)2(
129160)2(80
32
2
12
23
4
2
2
x
xd
xxx
x
dx
x
x
x
x
.
2
31
2ln80326
3
4
4
)2(
)2(
31
23
4
2
C
x
xxxx
x
x
xd
+
+
+++−+−=
+
+
−
∫