Калин Б.А. Физическое материаловедение. Том 1. Физика твердого тела

111

1.5.3. Влияние симметрии кристалла на его свойства,

описываемые тензорами второго ранга

Симметрия физического свойства в соответствии с принципом

Неймана не ниже симметрии кристалла. Но симметрия свойства,

описываемого тензором второго ранга, всегда выше на центр сим-

метрии. Рассмотрим это на примере тензора удельной электропро-

водности.

Тензор удельной электропроводности

σ появляется, когда к кри-

сталлу приложено электрическое поле, заданное вектором

E, и по

проводнику течет ток с плотностью

j:

j = σ E или

3332231133

3232221122

3132121111

EEEj

σ+σ+σ=

σ

+

σ

+

σ

=

, (1.109)

где

σ

ij

− компоненты тензора σ. При изменении направлений векто-

ров

E и j компоненты σ

ij

остаются неизменными, т.е. тензор σ об-

ладает

центром симметрии.

Все свойства, описываемые тензорами второго ранга, являют-

ся центросимметричными.

В триклинных кристаллах симметричный тензор второго ранга

имеет 6 независимых коэффициентов.

Если в кристалле появляется поворотная ось второго порядка

вокруг оси

y, задаваемая поворотной матрицей C

2y

, то компоненты

тензора

σ преобразуются в σ′ как

σ′ = C

2y

σ (1.110)

1

2

−

y

C

или

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σσσ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

100

010

001

100

010

001

332313

232212

131211

332313

232212

131211

,

т.е.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σσ−σ

σ−σσ−

σσ−σ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

332313

232212

131211

332313

232212

131211

. (1.111)

Поскольку тензор σ инвариантен относительно преобразования

симметрии

C

2y

, то σ′ = C

2y

σ = σ и, как видно из (1.111), σ

12

=

= − σ

12

, σ

23

= − σ

23

, что может быть при условии σ

12

= σ

23

= 0.

1

2

−

y

C

Таким образом, в моноклинных кристаллах симметричные тен-

зоры второго ранга имеют четыре независимых коэффициента σ

11

,

σ

22

, σ

33

, σ

13

.

В ромбических кристаллах из-за осей

C

2x

и C

2z

остаются три ко-

эффициента σ

11

, σ

22

, σ

33

.

Для кубических кристаллов с точечной группой

Т(23) из-за оси

третьего порядка

[

]

111

3

C

можно записать соотношение типа (1.110):

σ

'

=

[

]

111

3

C

σ

[]

111

3

C

(1.112)

или

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

′

σ

′

σ

′

001

100

010

00

010

001

100

00

33

22

11

33

22

11

,

т.е.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

′

σ

′

σ

′

11

33

22

33

22

11

00

. (1.113)

Теперь σ

11

= σ

22

= σ

33

= σ, т.е. в кубических кристаллах симметрич-

ный тензор второго ранга имеет один независимый коэффициент.

Тензоры в зависимости от их отношения к объекту бывают двух

различных типов: тензоры, описывающие свойства кристалла, т.е.

соотношения между измеряемыми величинами, − так называемые

материальные тензоры и тензоры, описывающие воздействие на

кристалл и его реакцию, − так называемые

полевые тензоры.

Симметрия материальных тензоров должна в соответствии с

принципом Неймана согласовываться с симметрией кристалла. В

противоположность материальным тензорам симметрия полевых

тензоров не связана с симметрией кристалла. Например, можно к

кристаллу любой симметрии приложить как угодно ориентирован-

ное электрическое поле (полярный вектор) или механическое на-

пряжение (симметричный полярный тензор 2-го ранга); точно так-

112

113

же можно задать в кристалле любой симметрии любую компоненту

деформации. Следует, однако, учитывать, что, задавая произволь-

ное механическое напряжение (деформацию), реакцию в виде де-

формации (напряжения) получим уже зависящей от симметрии

кристалла, так как она определяется упругими свойствами.

Таблица 1.6

Влияние кристаллографической симметрии на свойства,

описываемые симметричными тензорами второго ранга

Сингония

Число

независимых

компонентов

Независимые

компоненты

Триклинная 6 σ

11

, σ

22

, σ

33

, σ

12

, σ

13

, σ

23

Моноклинная 4 σ

11

, σ

22

, σ

33

, σ

13

Ромбическая 3 σ

11

, σ

22

, σ

33

Тригональная 2 σ

11

= σ

22

, σ

33

Гексагональная 2 σ

11

= σ

22

, σ

33

Тетрагональная 2 σ

11

= σ

22

, σ

33

Кубическая 1 σ

11

= σ

22

= σ

33

= σ

1.5.4. Упругие свойства кристаллов

Основным законом теории упругости твердых тел в области ма-

лых деформаций является

закон Гука. Для изотропных тел закон

Гука выражается соотношениями

σ =

cε, (1.114)

где σ − напряжение, ε − деформация,

c − жесткость (используются

также названия модуль Юнга, константа упругой жесткости) или

ε =

sσ, (1.115)

где

s − податливость или константа упругой податливости, причем

s = 1/c.

Напряжение называют

однородным, если силы, действующие на

поверхность части тела определенной формы и ориентации, не за-

висят от положения этой части в теле. Состояние тела с однород-

ными напряжениями называется

однородным напряженным со-

стоянием

, которое задается симметричным тензором второго ранга

σ

ij

, компоненты которого σ

11

, σ

22

, σ

33

называются нормальными на-

пряжениями

, остальные − касательными напряжениями или сдви-

говыми компонентами напряжений. Симметричный тензор σ

ij

можно привести к главным осям, при этом сдвиговые компоненты

напряжений исчезают и остаются

главные напряжения σ

1

, σ

2

, σ

3

.

Основными видами деформации являются продольная (удлине-

ние и укорочение) и сдвиговая деформация.

Удлинение (укороче-

ние

) определяется как отношение изменения длины тела (отрезка) к

его исходной длине:

1

11

x

u

e

Δ

=

. (1.116)

Сдвиговой деформацией (деформацией сдвига) называется отно-

сительное смещение одной части тела относительно другой вдоль

некоторой плоскости. Величина сдвиговой деформации определя-

ется как отношение перемещения к расстоянию до этой плоскости

2

1

12

x

u

e

Δ

=

= tgα. (1.117)

Другими словами, сдвиг можно рассматривать как меру измене-

ния угла между двумя прямыми линиями, произвольно ориентиро-

ванными в деформируемом теле.

Деформация в точке определяется выражением

x

u

x

u

e

x

d

lim

0

=

Δ

=

→Δ

, (1.118)

откуда du = edx.

Рассмотрим деформацию отрезка в плоскости. Пусть отрезок

PQ, лежащий в плоскости (x

1

x

2

), после деформации превращается

в отрезок P'Q'. Координаты точки P − (x

1

, x

2

), а точки P' − (x

1

+ u

1

,

x

2

+ u

2

). Компоненты вектора смещения точки P − u = PP' = (u

1

, u

2

).

Координаты точки Q − (x

1

+ Δx

1

, x

2

+ Δx

2

). Компоненты вектора

смещения точки Q −

QQ' = (u

1

+ Δu

1

, u

2

+ Δu

2

). Легко видеть, что

2

1

x

u

x

u

u Δ

∂

+Δ

∂

=Δ

, (1.119)

2

1

2

x

u

x

u

u Δ

∂

+Δ

∂

=Δ

. (1.120)

Вводя обозначения,

12

2

1

u

x

u

=

∂

,

21

1

2

u

x

u

=

∂

,

22

2

u

x

u

=

∂

, можно за-

писать (1.119) и (1.120) в общем виде

114

115

Δu

i

= u

ij

Δx

j

. (1.121)

Поскольку Δ

u

i

и Δx

j

− векторы, то связывающие их коэффици-

енты

u

ij

образуют полярный тензор 2-го ранга, называемый тензо-

ром

упругой дисторсии.

Представим тензор упругой дисторсии в виде суммы симмет-

ричного и антисимметричного тензоров:

()(

jiijjiijij

uuuuu −++=

2

1

2

1

)

. (1.122)

Теперь ε

ij

= ½(u

ij

+ u

ji

) определяет полярный тензор, называемый

тензором деформации, а ω

ij

= ½(u

ij

− u

ji

) аксиальный вектор, назы-

ваемый

тензором поворотов. Геометрическая интерпретация урав-

нения (1.122) дана на рис. 1.74.

Рис. 1.74. Геометрическая интерпретация уравнения (1.122)

Вследствие симметричности тензора ε

ij

его можно привести к

главным осям:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

3

2

1

332313

232212

131211

ε00

0ε0

00ε

εεε

, (1.123)

где ε

11

, ε

22

, ε

33

− компоненты деформации сжатия или растяжения, а

остальные ε

ij

− компоненты сдвиговой деформации; ε

1

, ε

2

, ε

3

− глав-

ные деформации.

Тензор поворотов ω

ij

имеет вид

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

0ωω

ω0ω

ωω0

12

13

23

, (1.124)

его компоненты определяют аксиальный вектор поворота ω (ω

1

,

ω

2

, ω

3

).

С использованием тензоров напряжения и деформации закон

Гука в обобщенной форме имеет вид:

σ

ij

= c

ijkl

ε

kl

(1.125)

или

ε

ij

= s

ijkl

σ

kl

, (1.126)

где коэффициенты упругой жесткости

c

ijkl

и упругой податливости

s

ijkl

образуют тензоры четвертого ранга. Как уже отмечалось, вме-

сто 81 коэффициента упругости остается 21 коэффициент.

Коэффициенты упругости

c

ijkl

и s

ijkl

в (1.125) и (1.126) удобнее

записать с помощью матричных обозначений вместо тензорных.

Тензорные обозначения: 11 22 33 23 32 31 13 12 21

Матричные обозначения: 1 2 3 4 5 6

Теперь (1.125) и (1.126) можно записать как

σ

j

= c

ij

ε

j

(i, j = 1, 2, …, 6); (1.127)

и

ε

j

= s

ij

σ

i

(i, j = 1, 2, …, 6). (1.128)

Матрицы

c

ij

и s

ij

являются взаимно-обратными, т.е. c

ij

s

jk

= δ

ik

, где

δ

ik

− единичная матрица. Вследствие симметрии кристалла некото-

рые из компонентов

c

ij

и s

ij

становятся равными нулю или равными

друг другу, а число независимых среди неравных нулю коэффици-

ентов уменьшается.

Матрицы коэффициентов упругости для кристаллов кубической

сингонии имеют вид:

44

111212

121112

121211

00000

000

c

ccc

(1.129)

44

111212

121112

121211

00000

000

s

sss

а для кристаллов гексагональной сингонии

116

117

)(00000

00000

000

1211

2

1

44

331313

131112

131211

cc

c

ccc

−

)(00000

00000

000

1211

2

1

44

331313

131112

131211

ss

s

sss

−

(1.130)

Если использовать более привычные величины:

E − модуль

Юнга,

G − модуль сдвига и ν − коэффициент Пуассона, получим

E

s

1

11

=

,

E

s

ν

−=

12

,

G

s

1

44

=

.

В кубических кристаллах вводят параметр упругой анизотропии

А = 2с

44

/(с

11

− с

12

) = 2(s

11

− s

12

)/s

44

.

Модуль Юнга в произвольном направлении. Чтобы опреде-

лить модуль Юнга в произвольном направлении, задаваемом на-

правляющими косинусами

l

1

, l

2

, l

3

, требуется преобразовать систе-

му координат так, чтобы ось

x'

1

располагалась вдоль выбранного

направления, тогда

E(l

1

, l

2

, l

3

) = 1/s'

11

.

Для кубических кристаллов

()

2

3

2

1

2

3

2

144

2

1

12111111

2

1

321

llllllssss

E

s

lll

++−−−==

′

, (1.131)

для гексагональных кристаллов

(

)

(

)

(

4413

2

3

2

333

4

311

2

311

211

1

321

ssllslsl

E

s

lll

+−++−==

′

)

е

. (1.132)

Отметим, что для кубической сингонии модуль Юнга не являет-

ся изотропным. Для ГЦК кристаллов модуль Юнга увеличивается

при движении от <100> к <111>, тогда как у ОЦК кристаллов мо-

дуль Юнга при движении от <100> к <111> уменьшается. С точки

зрения упругой анизотропии наиболее изотропным является мо-

либден, а среди ГЦК кристаллов − алюминий (табл. 1.7). Упругие

характеристики н которых гексагональных монокристаллов приве-

дены в табл. 1.8.

Для изотропных материалов параметр упругой анизотропии

А = 1, откуда вытекает соотношение

118

)(

ν+

=

12

E

G

, (1.133)

и упругие свойства изотропного тела характеризуют всего два ко-

эффициента упругости с

11

и с

12

или s

11

и s

12

.

Таблица 1.7

Упругие характеристики некоторых кубических монокристаллов

Металл

с

11

,

ГПа

с

12

,

ГПа

с

44

,

ГПа

E

001

,

ГПа

E

011

,

ГПа

E

111

,

ГПа

E

cр

ГПа

A

Al 108 61 28 63 72 76 70 1,23

Cu 168 121 75 67 130 191 127 3,21

Ag 124 93 46 43 83 120 81 3,04

Au 186 157 42 43 81 116 78 2,87

Ni 246 147 125 130 223 294 214 2,54

Pb 50 42 15 11 24 40 24 4,12

V 228 119 43 146 124 117 128 0,78

Nb 246 139 29 152 92 82 105 0,51

Ta 267 161 82 142 191 215 183 1,58

Cr 350 67 101 328 266 250 280 0,71

Mo 460 176 110 344 326 316 327 0,91

W 501 198 151 420 414 412 415 0,98

UO

2

395 121 64 338 199 175 230 0,47

α-Fe 231 135 116 132 220 283 211 2,41

Таблица 1.8

Упругие характеристики некоторых гексагональных монокристаллов

Металл

с

11

,

с

12

,

с

13

,

с

33

,

с

44

,

с

66

,

Е

ср

, с/а

Re 613 270 206 683 162 171 462 1,62

Ti 162 92 69 181 47 35 114 1,59

Be 292 27 14 336 162 133 311 1,57

Cd 114 40 60 51 20 38 63 1,62

Co 307 165 105 36 76 71 216 1,62

Hf 181 77 66 197 56 52 143 1,58

Mg 53 26 21 61 16 17 44 1,62

Zn 165 31 50 62 40 67 102 1,86

α-Zr 144 73 66 165 32 36 97 1,59

BeO 470 168 119 494 153 151 394 1,58

119

1.5.5. Матричное представление группы

Наиболее полный анализ влияния симметрии на физические

свойства кристаллов возможен при использовании матричного

представления группы.

Матричным представлением группы G, состоящей из элементов

E, A, B, …, R, является группа матриц D(G) с элементами D(E),

D(A), D(B), …, D(R) такими, что, если AB = C, то D(A)D(B) = D(C).

Матричное представление группы иногда обозначают как: Γ(G):

Γ(E), Γ(A), Γ(B), …, Γ(R).

Размерность представления − число строк или столбцов матриц

представления. Представления D'(G) и D(G) являются эквивалент-

ными, если для любого R матрицы D'(R) и D(R) связаны преобразо-

ванием подобия D'(R) = S D(G) S

−1

. Для приводимого представле-

ния любая матрица D(R) имеет квазидиагональный вид

)(0

0)(

)(

(2)

(1)

RD

RD = , (1.134)

и может быть представлена в виде прямой суммы

D(R) = D

(1)

(R)

⊕

D

(2)

(R). (1.135)

Особый интерес имеют неэквивалентные, неприводимые пред-

ставления.

Рассмотрим матричное представление физического свойства,

заданного симметричным тензором второго ранга σ. Если кристалл

обладает поворотной осью симметрии 4 вокруг оси x, то тензор σ

инвариантен относительно этого элемента симметрии, и

σ' = C

4x

σ =

1

4

−

x

C

=

222312

233313

121311

332313

232212

131211

010

100

001

010

100

001

σσ−σ

σ−σσ−

σσ−σ

=

−σσσ

σσσ

− . (1.136)

Матрицу D(C

4x

) можно получить из (1.136), записывая компо-

ненты тензоров σ и σ' в виде матриц-столбцов:

23

13

12

33

22

11

23

13

12

33

22

11

100000

001000

010000

000010

000100

000001

σ

−

=

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

σ

′

, и

D(C

4x

) =

100000

001000

010000

000010

000100

000001

−

.

Матрицу

D(C

4x

) можно представить в виде прямой суммы

D(C

4x

) = D

(1)

(C

4x

)

⊕

D

(2)

(C

4x

)

⊕

D

(3)

(C

4x

)

⊕

D

(4)

(C

4x

),

где

D

(1)

(C

4x

) и D

(2)

(C

4x

) − одномерные представления равные соот-

ветственно 1 и −1, а

D

(3)

(C

4x

) и D

(4)

(C

4x

) − двумерные представления

D

(3)

(C

4x

) =

01

10

и

D

(4)

(C

4x

) =

01

10 −

.

С использованием такой же процедуры можно получить все мат-

рицы представления

D(G), где G − группа симметрии кристалла.

Если группа

G имеет порядок h, то можно составить h − мерный

вектор

D

(i)

(R)

μν

, рассматривая в i − представлении матричные эле-

менты μν.

В теории групп доказывается

теорема ортогональности

νβμα

∗

αβμν

δδδ=

∑

ij

G

i

ji

l

h

RDRD

)()(

, (1.137)

где суммирование ведется по всем неэквивалентным, неприводи-

мым представлениям,

l

i

− размерность i − представления,

∗

− знак

комплексного сопряжения.

Следствием теоремы ортогональности является теорема о раз-

мерности представления:

∑

=

i

hl

2

, (1.138)

где суммирование ведется по всем неэквивалентным, неприводи-

мым представлениям.

Если группа

G состоит из k классов сопряженных элементов, то

для элементов одного класса след матриц один и тот же.

Характер

120

Калин Б.А. Физическое материаловедение. Том 1. Физика твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.