Храмов Г.Н. Опасные природные процессы
Подождите немного. Документ загружается.
60
вероятности появления каждого конкретного значения случайной
величины, рис. 15.
Рис. 15. Закон распределения случайной величины.
На этом рисунке заштрихованная область соответствует
вероятности того, что случайная величина
X примет значение
меньше заданного значения
x
(определяется по формуле (2.2)); ][
X
M
- математическое ожидание величины X .
Математическим ожиданием случайной величины X
называется ее среднее значение, вычисляемое по соотношениям
∫
+∞
∞−
= dxxxfXM )(][ - для непрерывных случайных
величин
(2.5)
i
i
i
pxXM
∑
=][ - для дискретных случайных
величин
Дисперсией непрерывной случайной величины называется
величина, характеризующая разброс значений случайной величины
относительно ее математического ожидания.
∫
+∞
∞−
−= dx)x(f])X[Mx(]X[D
2
(2.6)
61
Дисперсией дискретной случайной величины называется
математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной
случайной величины
i
i
i
pXMxXD ⋅−=
∑
2
])[(][
(2.7)
В соотношениях (2.5),(2.7) значения
i
p - это вероятности величин
i
x .
Вероятность попадания случайной величины
X
на участок,
протяженностью от
α
до
β
, находится по соотношению
∫
=−=≤≤
β
α
αββα
dxxfFFXP )()()()( (2.8)
Средним квадратическим отклонением
σ
случайной величины
X
называется корень квадратный из дисперсии
][][ XDX =
σ
(2.9)
§ 2.2 Нормальный закон распределения
случайной величины. Распределение Пуассона.
Во многих случаях распределение случайной величины
подчиняется нормальному закону распределения.
Непрерывная случайная величина
X
называется
распределенной по нормальному закону, если плотность ее
распределения подчинена зависимости [8]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−⋅
⋅
=
2
2
2
])[(
exp
2
1
)(
σ
σπ
XMx
xf
(2.10)
62
Используя подстановку
σ
][XMx
t
−
= , вероятность попадания
случайной величины
X
, распределенной по нормальному закону, в
интервал
()
β
α
, можно представить в виде
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−=Φ−Φ=<<
∫∫
∞−∞−
21
)
2
exp()
2
exp(
2
1
)()()(
22
21
yy
dt
t
dt
t
yyXP
π
βα
(2.11)
где
σ
β
][
1
XM
y
−
= ,
σ
α
][
2
XM
y
−
= .
Интеграл вида
∫
∞−
−=Φ
x
dt
t
x )
2
exp(
2
1
)(
2
π
(2.12)
часто встречается в задачах теории вероятностей. Его значение -
табулированная функция Лапласа [8]. На практике удобнее
пользоваться аппроксимационными зависимостями [28,29].
Для оценки вероятности поражения объекта профессором
Яковлевым В.В. рекомендовано использовать аппроксимацию,
предложенную Евстифеевым Ф.А. [28,29]
)(5,0 zP
xX
Φ
+
=
<
, (2.13)
где функция )(zΦ определена только для положительных значений
аргумента [28,29].
[
]
zzz 8,037,0exp(15,0)(
2
−−−=Φ (2.14)
Поскольку функция Лапласа обладает свойством симметрии,
принимается
63
)()( zz
Φ
−
=
−
Φ (2.15)
Вероятность поражения объекта
)(5,0 zP
xX
Φ
±
=
<
(2.16)
Для удобства пользования последнее соотношение можно представить
в виде
)(5,0 zP
xX
Φ
+
=
<
при 0>z
)(5,0 zP
xX
Φ
−
=
<
при 0
<
z (2.17)
)]8,037,0exp(1[5,0)(
2
zzz −−−=Φ
В формулах (2.17) нормированное отклонение
z находится по
соотношению
σ
][ XMx
z
−
= (2.18)
Учитывая особенности нормального закона распределения, для
которого вероятность реализации случайной величины, значения
которой не превосходят
σ
3][
−
X
M
, составляет 0,0014, а вероятность
реализации случайной величины, значения которой не превосходят
σ
3][ +X
M
, составляет 0,9984, можно сказать, что в случае, если
значение случайной величины укладываются в интервал
()
σ
σ
3][,3][ +− XMXM , то вероятность ее реализации равна единице.
С учетом этого допущения, значения нормированного
отклонения
z , математического ожидания
M
и
среднеквадратического отклонения
σ
при определении вероятности
поражения объекта при землетрясении находятся по соотношениям
64
2
minmax
II
M
+
=
6
minmax
II
−
=
σ
(2.19)
σ
MI
z
−
= ,
где
max
I - максимальное значение параметра, определяющего
нижнюю границу значений безусловного поражения объекта;
min
I
- минимальное значение параметра, определяющего
верхнюю границу значений безопасности объекта;
I
- воздействующее значение параметра (интенсивность
землетрясения), для которого рассчитывается вероятность
поражения объекта.
Распределением Пуассона обычно описывается распределение
дискретной случайной величины.
Случайная величина называется распределенной по закону
Пуассона, если она принимает счетное множество возможных
значений
N
,...3,2,1,0 с вероятностями [8]
λ
λ
−
= e
N
NP
N
!
)(,
λ
...3,2,1
=
N
, (2.20)
где
λ
- параметр распределения;
N
- число рассматриваемых событий.
Примеры пользования соотношениями (2.17), (2.20) приводятся в
следующем параграфе.
65
§ 2.3. Построение параметрического и
координатного законов поражения
.
Параметрическим законом поражения называется зависимость
вероятности поражения объекта от заданных значений характеристик
поражающего фактора (в рассматриваемом случае – интенсивности
землетрясения).
Алгоритм построения параметрического закона поражения [28]:
-
определить значения поражающего фактора, характеризующие
безопасность и безусловное поражение объекта;
-
задаться количеством рассматриваемых точек и
соответствующими значениями воздействующего фактора в
каждой точке выбранного интервала;
-
по формулам (2.19) вычислить для каждого заданного значения
воздействующего фактора соответствующие константы
нормального закона распределения;
-
по формуле (2.17) найти вероятности поражения объекта,
соответствующие каждому значению поражающего фактора;
-
построить график изменения вероятности поражения объекта при
различных значениях воздействующего фактора.
Пример. Определить вероятность поражения промышленного здания при
воздействии
землетрясения интенсивностью
5,7
=
I
балла, если
величина
I
,
определяющая нижнюю границу значений безусловного поражения
данного
здания, составляет 9 баллов, безопасное значение
6=
I
баллов.
Решение. 1. По формулам (2.19) вычисляем значения параметров нормального
закона распределения
5,7
2
69
=
+
=M
баллов
5,0
6
69
=
−
=
σ
балла
66
0
5,0
5,75,7
=
−
=z
.
2. По третьему соотношению (2.19) вычисляем значение функции
(
)
zΦ .
()
[
]
0)08,0037,0exp(15,0
2
=−−−=Φ z
3. Вероятность поражения здания находим по первому соотношению
(2.19).
5,005,0
=
+
=
P
Пример. При условиях предыдущего примера построить
параметрический
закон поражения.
Решение. 1. В пределах диапазона значений интенсивности
землетрясения от
6
min
=
I баллов до 9
max
=
I баллов зададимся несколькими
значениями
I
с
шагом, например, 0,5 балла. Для каждого значения
I
находим
вероятность
поражения здания (по аналогии с предыдущим примером).
Результаты
расчетов сведены в табл. 9.
Таблица 9.
Характеристики параметрического закона поражения.
Интенсивность
землетрясения,
балл
Нормированное
отклонение,
z
Вероятность
поражения
6,0 -3 0,002
6,5 -2 0,033
7,0 -1 0,155
7,5 0 0,500
67
8,0 1 0,845
8,5 2 0,977
9,0 3 0,998
2. Строим график параметрического закона поражения.
Рис. 16. Параметрический закон поражения.
Координатным законом поражения называется зависимость
вероятности поражения объекта от координат источника воздействия
и объекта поражения.
Случайной величиной, как правило, является расстояние между ними.
В большинстве случаев с увеличением расстояния вероятность
поражения объекта уменьшается. Таким образом в отличие от
параметрического закона поражения максимальному значению
аргумента (максимальному расстоянию) будет соответствовать
граница безопасности, а минимальному – граница безусловного
поражения.
P
J,
балл
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1, 0
6
7
8
9
68
Алгоритм построения координатного закона поражения
практически соответствует алгоритму построения параметрического
закона, за исключением формулы вычисления вероятности
поражения, которая в данном случае принимает вид [28]
)(5,0 zP
rR
Φ−=
<
при 0>z
)(5,0 zP
rR
Φ+=
<
при 0
<
z (2.21)
,
2
minmax
RR
M
+
=
,
6
minmax
RR
−
=
σ
σ
][RMr
z
−
=
где
R
- случайная величина расстояния между источником
воздействия и объектом поражения (при землетрясении под
величиной
R
подразумевается расстояние
L
, рис. 7);
r
- заданное значение расстояния.
Пример.
Построить координатный закон поражения кирпичных
многоэтажных
зданий при землетрясении, если безопасное расстояние для
данного типа
зданий составляет 120 км, а на расстоянии 30 км (и меньших
расстояниях)
имело место полное разрушение зданий.
Решение. 1. По формулам (2.21) вычисляем значения констант
нормального
закона распределения
M
и
σ
.
75
2
30120
=
+
=M км, 15
6
30120
=
−
=
σ
км
2.
В пределах диапазона значений расстояний от 30 км до 120 км
зададимся
несколькими значениями
r
, например, с шагом 10 км. Для
каждого
r
находим значение параметра
z и величину
P
. Результаты расчетов
сведены
в табл. 10.
69
Таблица 10.
Характеристики координатного закона поражения
Расстояние,
км
Нормированное
отклонение,
z
Вероятность поражения
30 -3,00 0,998
40 -2,33 0,990
50 -1,67 0,953
60 -1,00 0,845
70 -0,33 0,633
80 0,33 0,368
90 1,00 0,155
100 1,67 0,047
110 2,33 0,010
120 3,00 0,002
3. Строим график координатного закона поражения, рис. 17.
Рис. 17. Координатный закон поражения.
Самостоятельный интерес представляет оценка вероятности
дискретной случайной величины.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1, 0
Р
30
60
90
12 0
R,
км