Гуменникова Ю.В., Лаврусь О.Е. (сост.) Методические указания и контрольные задания по предмету Элементы векторной алгебры для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения
Подождите немного. Документ загружается.
21
базис. Любой вектор
a
в пространстве можно разложить по базису
1
e
,
2
e
,
3
e
, т.е.
представить
a
в виде линейной комбинации базисных векторов:
a
= x
1
e
+ y
2
e
+ z
3
e
,
где x, y, z – координаты вектора
a
в базисе
1
e
,
2
e
,
3
e
.
Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и
имеют единичную длину. Обозначают этот базис
i ,
j
, k .
Задание 3
Доказать, что векторы
a
, b ,
c
образуют базис, и найти координаты вектора d в
этом базисе.
3.1.
a
= (5, 4, 1), b = (–3, 5, 2),
c
= (2, –1, 3), d = (7, 23, 4).
3.2.
a
= (2, –1, 4), b = (–3, 0, –2),
c
= (4, 5, –3), d = (0, 11, –14).
3.3.
a
= (–1, 1, 2), b = (2, –3, –5),
c
= (–6, –3, –1), d = (28, –19, –7).
3.4.
a
= (1, 3, 4), b = (–2, 5, 0),
c
= (3, –2, –4), d = (13, –5, –4).
3.5.
a
= (1, –1, 1), b = (–5, –3, 1),
c
= (2, –1, 0), d = (–15, –10, 5).
3.6.
a
= (3, 1, 2), b = (–7, –2, –4),
c
= (–4, 0, 3), d = (16, 6, 15).
3.7.
a
= (–3, 0, 1), b = (2, 7, –3),
c
= (–4, 3, 5), d = (–16, 33, 13).
3.8.
a
= (5, 1, 2), b = (–2, 1, –3),
c
= (4, –3, 5), d = (15, –15, 24).
3.9.
a
= (0, 2, –3), b = (4, –3, –2),
c
= (–5, –4, 0), d = (–19, –5, –4).
3.10.
a
= (3, –1, 2), b = (–2, 3, 1),
c
= (4, –5, –3), d = (–3, 2, –3).
3.11.
a
= (5, 3, 1), b = (–1, 2, –3),
c
= (3, –4, 2), d = (–9, 34, –20).
3.12.
a
= (3, 1, –3), b = (–2, 4, 1),
c
= (1, –2, 5), d = (1, 12, –20).
3.13.
a
= (6, 1, –3), b = (–3, 2, 1),
c
= (–1, –3, 4), d = (15, 6, –17).
3.14.
a
= (4, 2, 3), b = (–3, 1, –8),
c
= (2, –4, 5), d = (–12, 14, –31).
3.15.
a
= (–2, 1, 3), b = (3, –6, 2),
c
= (–5, –3, –1), d = (31, –6, 22).
3.16.
a
= (1, 3, 6), b = (–3, 4, –5),
c
= (1, –7, 2), d = (–2, 17, 5).
3.17.
a
= (7, 2, 1), b = (5, 1, –2),
c
= (–3, 4, 5), d = (26, 11, 1).
3.18.
a
= (3, 5, 4), b = (–2, 7, –5),
c
= (6, –2, 1), d = (6, –9, 22).
3.19.
a
= (5, 3, 2), b = (2, –5, 1),
c
= (–7, 4, –3), d = (36, 1, 15).
3.20.
a
= (11, 1, 2), b = (–3, 3, 4),
c
= (–4, –2, 7), d = (–5, 11, –15).
3.21.
a
= (9, 5, 3), b = (–3, 2, 1),
c
= (4, –7, 4), d = (–10, –13, 8).
3.22.
a
= (7, 2, 1), b = (3, –5, 6),
c
= (–4, 3, –4), d = (–1, 18, –16).
3.23.
a
= (1, 2, 3), b = (–5, 3, –1),
c
= (–6, 4, 5), d = (–4, 11, 20).
3.24.
a
= (–2, 5, 1), b = (3, 2, –7),
c
= (4, –3, 2), d = (–4, 22, –13).
3.25.
a
= (3, 1, 2), b = (–4, 3, –1),
c
= (2, 3, 4), d = (14, 14, 20).
3.26.
a
= (3, –1, 2), b = (–2, 4, 1),
c
= (4, –5, –1), d = (–5, 11, 1).
3.27.
a
= (4, 5, 1), b = (1, 3, 1),
c
= (–3, –6, 7), d = (19, 33, 0).
3.28.
a
= (1, –3, 1), b = (–2, –4, 3),
c
= (0, –2, 3), d = (–8, –10, 13).
22
3.29.
a
= (5, 7, –2), b = (–3, 1, 3),
c
= (1, –4, 6), d = (14, 9, –1).
3.30.
a
= (–1, 4, 3), b = (3, 2, –4),
c
= (–2, –7, 1), d = (6, 20, –3).
Пример решения задания 3
Доказать, что векторы
a
= (3, – 1, 0), b = (2, 3, 1),
c
= (– 1, 4, 3) образуют базис, и
найти координаты вектора
d = (2, 3, 7) в этом базисе.
Вычисляем
022
341
132
013
≠=
−
−
=cba
.
Следовательно, векторы
a
, b ,
c
образуют базис, и вектор d линейно выражается через
базисные векторы:
d = α
a
+ βb + γ
c
или в координатной форме
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=γ+β
=γ+β+α−
=
γ
−
β
+α
.
,
,
73
343
223
Решаем полученную систему по формулам Крамера. Находим:
Δ = 22,
()
317
433
122 −
=αΔ
= 66,
()
370
431
123
−
−
=βΔ
= – 44,
()
717
333
222
=γΔ
= 66,
()
Δ
αΔ
=α
= 3,
()
Δ
β
Δ
=β
= – 2,
()
Δ
γ
Δ
=γ
= 3, поэтому
d = (3, – 2, 3) = 3
a
– 2b + 3
c
.◄
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= – 2
j
+ 3 k , b = 3 i – 2
j
.
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (– 2, 0, 1), d = (1, 2, – 3).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 1, | b | = 2, (
a
– b )
2
+ (
a
+ 2 b )
2
= 20.
23
4. Выяснить, при каком значении
α
вектора
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (3, – 1, 4), b = (2,
α
, – 5),
c
= (1, 0, 2).
5. Даны три вектора
a
= (3, – 2), b = (– 5, 1),
c
= (0, 4). Найти:
3
a
2
– 4
a
⋅b + 5 b
2
– 6b ⋅
c
– 2
c
2
.
Вариант 2
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= 2i – 3
j
+ k , b = i +2
j
– 4 k .
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (4, – 5, 1), d = (3, 2, – 4).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 2, | b | = 3, (2
a
– 3b )
2
– (
a
+ 4 b )
2
= 69.
4. Выяснить, при каком значении
α
векторы
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (4, – 2,
α
), b = (– 5, 1, 3),
c
= (2, 4, – 3).
5. Даны три вектора
a
= (3, – 2, 4), b = (2, 1, 3),
c
= (3, 0, 2). Найти вектор
x
,
удовлетворяющий одновременно трем уравнениям:
a
⋅
x
= – 5, b ⋅
x
= 1,
c
⋅
x
= 1.
Вариант 3
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= 3i – 2
j
– k , b = – 2 i +
j
– 7 k .
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (2, – 8, 1), d = (– 3, – 1, 2).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 4, | b | = 1, (3
a
+ 2b )
2
+ (
a
– 5b )
2
= 189.
4. Выяснить, при каком значении
α
вектора
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (3, – 1, 4), b = (1, – 4, 0),
c
= (
α
, 3, 2).
5. Найти угол между векторами
a
= 2
m
+ 4
n
, b =
m
–
n
, где
m
и
n
– единичные
векторы, образующие угол в 120
о
.
Вариант 4
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= 6i – 4
j
+ k , b = 2 i + 3
j
– 4 k .
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (– 4, 5, 2), d = (3, 4, – 6).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 3, | b | = 5, (
a
– 3b )
2
+ (2
a
+ 4 b )
2
= 595.
4. Выяснить, при каком значении
α
векторы
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (
α
, 2, – 5), b = (3, 1, 1),
c
= (4, – 1, 0).
24
5. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a
= (2, 1, 0) и b = (0, – 1, 1).
Вариант 5
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= 7i – 4
j
+ 2 k , b = i + 3
j
– 4 k .
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (9, 5, – 4), d = (3, 2, 6).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 5, | b | = 4, (4
a
– b )
2
– (3
a
– 2b )
2
= 77.
4. Выяснить, при каком значении
α
векторы
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (– 1, 5, – 7), b = (4, 2,
α
),
c
= (3, 5, 1).
5. Какой угол в треугольнике с вершинами A(1, 2, – 3), В(4, – 1, 3) и С(5, 4, – 4) прямой?
Вариант 6
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= i + 2
j
– 3 k , b = 3 i – k .
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (3, – 4, 11), d = (– 2, 5, 3).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 4, | b | = 3 , (2
a
– 5b )
2
– (
a
+ 2 b )
2
= 93.
4. Выяснить, при каком значении
α
векторы
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (2, 1, – 1), b = (4, – 2, 1),
c
= (
α
, – 3, – 2).
5. Векторы
a
и b образуют угол π/3. Зная, что |
a
| = 3 и |b | = 4, найти длину вектора
c
= 3
a
+ 2 b .
Вариант 7
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= 4i –
j
+ 6 k , b = 2 i – 3 k .
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (3, 7, – 5), d = (1, 4, – 9).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 4, | b | = 1, (
a
– 3b )
2
– (2
a
– 2b )
2
= – 48.
4. Выяснить, при каком значении
α
векторы
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (4, – 3, 3), b = (2,
α
, – 1),
c
= (1, 0, 3).
5. Даны векторы
a
= 3i – 6
j
– k , b = i + 4
j
– 5 k ,
c
= 3i + 4
j
+ 2 k . Найти проекцию вектора
a
+
c
на вектор b +
c
.
Вариант 8
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= – 3i + 2
j
+ 2 k , b = i + 2
j
+ 4 k .
25
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (3, – 6, 5), d = (1, 4, 4).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 5, b = 4, (3
a
– b )
2
– (
a
+ 3 b )
2
= 0.
4. Выяснить, при каком значении
α
векторы
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (3, – 2, 1), b = (1, – 5, 2),
c
= (
α
, 4, – 1).
5. Силы
f
1
= 4i + 7
j
+ 3 k и f
2
= 3i – 5
j
+ k приложены к одной точке. Найти величину
работы, которую производит равнодействующая этих сил при прямолинейном
перемещении из точки M
1
(5, 3, – 7) в точку M
2
(4, – 1, 4).
Вариант 9
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= 3i + 2
j
– 2 k , b = i –
j
+ 3 k .
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (– 7, – 5, 1), d = (3, – 4, – 2).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 7, | b | = 2, (
a
+ 4 b )
2
+ (3
a
– 7b )
2
= 274.
4. Выяснить, при каком значении
α
векторы
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (2, – 3, 5), b = (1, – 4,
α
),
c
= (2, 1, – 3).
5. Вектор
x
перпендикулярен к векторам
a
= (2, 3, – 1), b (1, – 2, 3) и удовлетворяет
условию
x
=⋅(2i –
j
+ k ) = – 6. Найти вектор
x
.
Вариант 10
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a
и b :
a
= i – 6
j
– 2 k , b = 5 i + 4
j
.
2. Найти проекцию вектора
c
на направление вектора d :
c
= (5, 4, – 1), d = (2, – 4, 6).
3. Найти угол между векторами
a
и b при указанных условиях:
|
a
| = 3, | b | = 6 , (5
a
– 2b )
2
– (
a
+ 3 b )
2
= 270.
4. Выяснить, при каком значении
α
векторы
a
, b и
c
будут компланарны:
a
= (1, 1,
α
), b = (– 1, 3, 1),
c
= (2, 1, – 3).
5. Вектор
x
, перпендикулярный к оси Oz и вектору
a
= (8, – 15, 3), образует острый угол
с осью Ox. Зная, что |
x
| = 51, найти координаты
x
.
Вариант 11
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
a
.
a
= i – 2
j
+ 3 k , b = – i – 2
j
– 2 k .
26
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (4, – 7, 1), t = 264 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
= 5
m
– 4
n
, b =
m
+ 2
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (5, 2, 0), b = (2, 5, 0),
c
= (1, 2, 4).
5. Векторы
a
и b взаимно перпендикулярны, а вектор
c
образует с ними углы, равные
π/3. Зная, что |
a
| = | b | = 2, |
c
| = 1, найти (2
a
– b )⋅(
c
–
a
).
Вариант 12
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
a
.
a
= – 4i – 9
j
+ 2 k , b = i – 4
j
+ k .
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (5, – 3, – 1), t = 315 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
= 3
m
+ 2
n
, b =
m
–
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (– 12, 2, – 4), b = (– 4, 2, 3),
c
= (– 3, 4, – 3).
5. Даны два вектора
a
= (3, – 1, 5) и b = (1, 2, – 3). Найти вектор
x
при условии, что он
перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям:
x
⋅
a
= 9,
x
⋅b = – 4.
Вариант 13
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
b .
a
= 3i – 2
j
+ 4 k , b = 4
j
– 4 k .
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (4, 5, – 6), t = 308 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
=
m
+
n
, b = 2
m
–
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (0, 1, – 1), b = (1, 0, – 1),
c
= (3, 2, 0).
5. Даны точки А(2, 3, 4), В(3, 2, 5), С(1, – 1, 2) и D(3, 2, – 4). Найти проекцию вектора
(
AB + AD ) на вектор (
AC
+
D
B ).
27
Вариант 14
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
a
.
a
= 4i – 3
j
– k , b = i + 2
j
+ 3 k .
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (3, – 5, 7), t = 1328 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
=
m
+ 2
n
, b = 5
m
– 4
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (– 5, 6, – 8), b = (– 2, – 3, 1),
c
= (– 3, 1, 1).
5. Векторы
a
и b взаимно перпендикулярны. Вектор
c
образует с ними углы, равные
π/3. Зная, что |
a
| = 3, | b | = 5, c = 2, вычислить
(3
a
– 2b )⋅( b + 3
c
).
Вариант 15
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
a
.
a
= 4i – 3
j
+ k , b = 2 i – 3
j
+ 3 k .
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (4, – 2, 2), t = 10 6 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
=
m
– 2
n
, b = 5
m
+ 4
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (4, 4, – 6), b = (1, 3, 1),
c
= (0, – 2, 0).
5. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a
= 2
m
+
n
и b =
m
– 2
n
, где
m
и
n
– единичные векторы, угол между которыми равен 60
о
.
Вариант 16
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
b .
a
= 5i + 2
j
+ 3 k , b = 5 i + 2 k .
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (5, 6, – 7), t = 3 110 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
28
a
= 3
m
– 2
n
, b =
m
+ 4
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (1, 2, – 1), b = (0, 2, 2),
c
= (– 1, 1, – 2).
5. Векторы
a
и b взаимно перпендикулярны, а вектор
c
образует с ними углы, равные
π/3. Зная, что |
a
| = | b | = 2 и |
c
| = 1, вычислить (
a
+ b +
c
)
2
.
Вариант 17
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
b .
a
= 4i +
j
+ k ,b = 2i +
j
– k .
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (5, – 3, 9), t = 2 115 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
= 2
m
– 3
n
, b =
m
–
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (– 1, 3, 3), b = (0, 4, 2),
c
= (3, 3, – 4).
5. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a
=
m
+ 2
n
и b = 2
m
–
n
, где
m
и
n
– единичные векторы, угол между которыми равен 60
о
.
Вариант 18
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
b .
a
= 3i – 2
j
+ 4 k , b = i + 3
j
– k .
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (5, – 3, 1), t = 5 35 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
= 2
m
+
n
, b =
m
–
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (– 3, 6, 2), b = (– 4, – 1, – 5),
c
= (1, 0, 5).
5. Даны три вектора
a
= (4, 3, – 2), b = (6, 5, 1),
c
= (2, – 3, 0). Найти вектор
x
,
перпендикулярный вектору
c
и удовлетворяющий условиям:
a
⋅
x
= 4, b ⋅
x
= 35.
Вариант 19
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
b .
a
= – 3i + 4
j
+ 2 k , b = 2i + 3
j
+ 3 k .
29
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (7, – 4, 2), t = 4 69 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
= 2
m
+ 4
n
, b =
m
–
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (3, – 2, 1), b = (1, 4, 0),
c
= (5, 2, 3).
5. Векторы
a
и b образуют угол, равный π/3. Зная, что |
a
| = 6, | b | = 2, вычислить
(2
a
– b )(
a
+ 3 b ).
Вариант 20
1. Параллелограмм построен на векторах
a
и b . Найти его высоту, опущенную на
сторону, совпадающую с вектором
a
.
a
= i – 5
j
+ 4 k , b = 2 i –
j
.
2. Вектор
x
, коллинеарный вектору
a
, образует острый угол с осью Oz. Найти
координаты вектора, если |
x
| = t.
a
= (3, – 1, 7), t = 6 59 .
3. Найти угол между векторами
m
и
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и указанные векторы
a
и b
взаимно перпендикулярны.
a
= 3
m
– 4
n
, b =
m
+
n
.
4. Найти объем пирамиды, построенной на векторах
a
, b и
c
:
a
= (– 3, 0, – 2), b = (– 1, – 1, 3),
c
= (– 4, – 1, 0).
5. Векторы
a
и b образуют угол 2/3π. Зная, что |
a
| = 11 и |b | = 2, вычислить
(2
a
+ 3b )⋅(2
a
– b ).
Вариант 21
1. Найти |
a
×b |, если |
a
| = k, |b | = l,
a
⋅b = p:
k = 29 , l = 61 , p = 36.
2. Вектор
x
перпендикулярен вектору b и оси Oz. Найти координаты вектора
x
, если
x
a
= 6:
a
=(4, 2, – 2), b =(5, 1, – 3).
3. Найти проекцию вектора
a
= (1, 2, 3) на вектор b = (2, 1, 0).
4. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах
a
, b и
c
, если за
основание взят параллелограмм, построенный на векторах
a
и
c
:
a
= (2, 3, – 1), b = (– 2, 4, 5),
c
= (3, – 1, 4).
5. Векторы
a
и b образуют угол 2/3π. Зная, что |
a
| = 3 и |b | = 4, вычислить
(3
a
+ 2b )⋅(
a
– 2b ).
30
Вариант 22
1. Найти |
a
×b |, если |
a
| = k, |b | = l,
a
⋅b = p:
k =
74 , l = 20 , p = 20.
2. Вектор
x
перпендикулярен вектору
a
и оси Oy. Найти координаты вектора
x
, если
x
b = 3:
a
= (7, 5, 2), b = (0, 4, 3), p = 26 .
3. Найти проекции
AB на
BC
:
A(1, 1, 0), B(1, – 1, 1), C(2, 0,1).
4. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах
a
, b и
c
, если за
основание взят параллелограмм, построенный на векторах
a
и b :
a
= (3, 6, 0), b = (– 2, 4, – 2),
c
= (5, 2, –1).
5. Дан треугольник с вершинами А(– 1, 5, 1), В(1, 1, – 2) и С(– 3, 3, 2). Определить его
угол при вершине С.
Вариант 23
1. Найти |
a
×b |, если |
a
| = k, |b | = l,
a
⋅b = p:
k =
45 , l =
14
, p = 5.
2. Вектор
x
перпендикулярен вектору b и оси Oy. Найти координаты вектора
x
, если
a
x = 5:
a
=(4, 3, – 1), b =(3, 4, 8).
3. Найти проекцию вектора
a
= (4, – 1, 3) на вектор b = (2, 3, 5).
4. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах
a
, b и
c
, если за
основание взят параллелограмм, построенный на векторах
a
и b :
a
= (– 4, 5, – 4), b = (– 4, 0, 2),
c
= (– 3, 3, – 5).
5. Найти длину вектора
a
= 3
m
– 4
n
, зная, что
m
и
n
– взаимно перпендикулярные орты.
Вариант 24
1. Найти |
a
×b |, если |
a
| = k, |b | = l,
a
⋅b = p:
k =
33 , l = 59 , p = 25.
2. Вектор
x
перпендикулярен вектору b и оси Oz. Найти координаты вектора
x
, если x
a
= 4:
a
= (2, 0, 2), b = (4, – 6, 0).
3. Найти длину вектора
a
= 2
m
–
n
, если |
m
| = |
n
| = 1 и угол между ними равен 60
о
.
4. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах
a
, b и
c
, если за
основание взят параллелограмм, построенный на векторах
a
и b :
a
= (– 1, – 2, 5), b = (– 4, – 2, 5),
c
= (1, – 3, – 2).
5. Векторы
a
и b образуют угол π/6. Зная, что |
a
| = 3 и |b | = 1, вычислить угол между
векторами (
a
+ b ) и (
a
– b ).
Вариант 25
1. Найти |
a
×b |, если |
a
| = k, |b | = l,
a
⋅b = p:
k =
46 , l = 38 , p = – 24.