Гуменникова Ю.В., Лаврусь О.Е. (сост.) Методические указания и контрольные задания по предмету Элементы векторной алгебры для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения
Подождите немного. Документ загружается.
11
c
· d = 30 – 3 – 18 = 9, |
d
| =
549936 =++
,
то
54
9
пр =BC
AB
;
г) Имеем: λ =
3
1
,
λ
+
+
=
1
BA
M
rr
r
. Следовательно,
2
7
3
1
1
1
3
1
5
−=
+
⋅+−
=
M
x
,
4
7
3
1
1
3
1
41
=
+
⋅+
=
M
y
,
4
21
3
1
1
1
3
1
6
=
+
⋅+
=
M
z
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
4
21
4
7
2
7
,,M
;
д) Имеем:
a = (29, 11, – 6), b = (5, – 1, 6),
998=a
, ba ⋅ = 98. Тогда
()
ba
ba
ba
⋅
⋅
=^cos
=
()
2
2
2
615998
98
+−+⋅
=
62998
98
⋅
= 0,394,
(
)
ba ^∠
= arccos 0,394;
е) Имеем:
d = (6, 3, – 3), d = 54 . Тогда
54
6
cos ==
d
d
x
α
,
54
3
cos ==
d
d
y
β
,
54
3
cos −==
d
d
z
γ
.
Делаем проверку:
1coscoscos
222
=++
γβα
,
1
54
9
54
9
54
36
=++
.◄
6. Векторное произведение векторов и его приложения
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
a
, b ,
c
с общим началом в точке
O называется правой, если кратчайший поворот от вектора
a
к вектору b , наблюдаемый
из конца вектора
c
, происходит против движения часовой стрелки. В противном случае
тройка называется
левой.
a
c
b
a
c
b
Векторным произведением векторов
a
и b называется вектор
c
, обозначаемый
c
=
a ×
b , который удовлетворяет следующим трем условиям:
1)
(
)
basinbac
v
∧
⋅⋅= ;
2)
c
⊥
a
,
c
⊥b ;
3) тройка
a
, b ,
c
– правая.
Основные свойства векторного произведения векторов:
12
1)
a ×
b = – ( b
× a
);
2) (
λ
a
)
×
b = λ(
a ×
b ) =
a ×
(λb );
3)
a ×
(b +
c
) =
a ×
b +
a × c
;
4)
a ×
b = 0
⇔
a
||b ;
5) |
a ×
b | = S, где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах
a
и b ,
имеющих общее начало в точке
O.
a
0
S
bac ×=
b
Если
a
= (x
1
, y
1
, z
1
), b = (x
2
, y
2
, z
2
), то векторное произведение
a ×
b выражается через
координаты данных векторов
a
и b следующим образом:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−==×
22
11
22
11
22
11
222
111
yx
yx
,
zx
zx
,
zy
zy
zyx
zyx
kji
ba
.
С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий момент
M силы
F
, приложенной к точке B тела, закрепленного в точке A: M =
B
A
× F
.
M
A
B
F
Пример. Вычислить координаты вращающего момента
M силы
F
= (3, 2, 1),
приложенной к точке
A(– 1, 2, 4), относительно начала координат O.
►Имеем
123
421−=×=
kji
FOAM
= (– 6, 13, – 8).◄
7. Смешанное произведение векторов и его приложения
Смешанным произведением векторов
a
, b ,
c
называется число (
a ×
b )·
c
.
Основные свойства смешанного произведения векторов:
13
1) (
a ×
b )·
c
=
a
·(b
× c
), поэтому смешанное произведение можно обозначить проще:
a
b
c
;
2)
a
b
c
= b
c
a
=
c a
b = – b
a c
= –
c
b
a
= –
a c
b ;
3)
a
b
c
= 0
⇔
a
, b ,
c
компланарны.
Если
a
= (x
1
, y
1
, z
1
), b = (x
2
, y
2
, z
2
),
c
= (x
3
, y
3
, z
3
), то
a
b
c
=
333
222
111
zyx
zyx
zyx
.
4) геометрический смысл смешанного произведения заключается в следующем:
a
b
c
= ± V, где V – объем параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах,
взятый со знаком «+», если тройка векторов
a
, b ,
c
– правая, или со знаком «–», если
она левая;
a
0
+V
c
b
a
0
–V
c
b
Объем
V
пар
параллелепипеда, построенного на векторах
a
, b и
c
, и объем V
пир
образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам
V
пар
= cba , V
пир
= cba
6
1
.
Задание 2
2.1. Даны векторы
a
, b и
c
. Необходимо:
а) вычислить смешанное произведение трех векторов;
б) найти модуль векторного произведения;
в) вычислить скалярное произведение двух векторов;
г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора;
д) проверить, будут ли компланарны три вектора.
2.1.1.
a
= 2i – 3
j
+ k , b =
j
+ 4 k ,
c
= 5i + 2
j
– 3 k ;
а)
a
, 3 b ,
c
; б) 3
a
, 2
c
; в) b , – 4
c
; г)
a
,
c
; д)
a
, 2 b ,
c
.
2.1.2.
a
= 3i + 4
j
+ k , b = i – 2
j
+ 7 k ,
c
= 3i – 6
j
+ 21 k ;
а) 5
a
, 2 b ,
c
; б) 4b , 2
c
; в)
a
,
c
; г) b ,
c
; д) 2
a
, – 3b ,
c
.
2.1.3.
a
= 2i – 4
j
– 2 k , b = 7 i + 3
j
,
c
= 3i + 5
j
– 7 k ;
а)
a
, 2b , 3
c
; б) 3
a
, – 7b ; в),
c
, – 2
a
; г)
a
,
c
; д) 3
a
, 2 b , 3
c
.
14
2.1.4.
a
= – 7i + 2 k , b = 2i – 6
j
+ 4 k ,
c
= i – 3
j
+ 2 k ;
а)
a
, – 2b , – 7
c
; б) 4b , 3
c
; в) 2
a
, – 7
c
; г) b ,
c
; д) 2
a
, 4 b , 3
c
.
2.1.5.
a
= – 4i + 2
j
– k , b = 3 i + 5
j
– 2 k ,
c
=
j
+ 5 k ;
а)
a
, 6 b , 3
c
; б) 2b ,
a
; в)
a
, – 4
c
; г)
a
, b ; д)
a
, 6 b , 3
c
.
2.1.6.
a
= 3i – 2
j
+ k , b = 2
j
– k ,
c
= – 3i + 2
j
– k ;
а)
a
, – 3b , 2
c
; б) 5
a
, 3
c
; в) – 2
a
, 4 b ; г)
a
,
c
; д) 5
a
, 4 b , 3
c
.
2.1.7.
a
= 4i –
j
+ 3 k , b = 2i + 3
j
– 5 k ,
c
= 7i + 2
j
+ 4 k ;
а) 7
a
, – 4 b , 2
c
; б) 3
a
, 5
c
; в) 2b , 4
c
; г) b ,
c
; д) 7
a
, 2 b , 5
c
.
2.1.8.
a
= 4i + 2
j
– 3 k , b = 2i + k ,
c
= – 12i – 6
j
+ 9 k ;
а) 2
a
, 3 b ,
c
; б) 4
a
, 3 b ; в) b , – 4
c
; г)
a
,
c
; д) 2
a
, 3 b , – 4
c
.
2.1.9.
a
= – i + 5 k , b = – 3i + 2
j
+ 2 k ,
c
= – 2i – 4
j
+ k ;
а) 3
a
, – 4 b , 2
c
; б) 7
a
, – 3
c
; в) 2b , 3
a
; г) b ,
c
; д) 7
a
, 2 b , – 3
c
.
2.1.10.
a
= 6i – 4
j
+ 6 k , b = 9i – 6
j
+ 9 k ,
c
= i – 8 k ;
а) 2
a
, – 4 b , 3
c
; б) 3b , – 9
c
; в) 3
a
, – 5
c
; г)
a
, b ; д) 3
a
, – 4b , – 9
c
.
2.1.11.
a
= 5i – 3
j
+ 4 k , b = 2i – 4
j
– 2 k ,
c
= 3i + 5
j
– 7 k ;
а)
a
, –4b , 2
c
; б) – 2b , 4
c
; в) – 3
a
, 6
c
; г) b ,
c
; д)
a
, –– 2 b , 6
c
.
2.1.12.
a
= – 4i + 3
j
– 7 k , b = 4i + 6
j
– 2 k ,
c
= 6i + 9
j
– 3 k ;
а) – 2
a
, b , – 2
c
; б) 4b , 7
c
; в) 5
a
, – 3 b ; г) b ,
c
; д) – 2
a
, 4 b , 7
c
.
2.1.13.
a
= – 5i + 2
j
– 2 k , b = 7i – 5 k ,
c
= 2i + 3
j
– 2 k ;
а) 2
a
, 4 b , – 5
c
; б) – 3b , 11
c
; в) 8
a
, – 6
c
; г)
a
,
c
; д) 8
a
, – 3 b , 11
c
.
2.1.14.
a
= – 4i – 6
j
+ 2 k , b = 2i + 3
j
– k ,
c
= –i + 5
j
– 3 k ;
а) 5
a
, 7 b , 2
c
; б) – 4b , 11
a
; в) 3
a
, – 7
c
; г)
a
, b ; д) 3
a
, 7 b , – 2
c
.
2.1.15.
a
= – 4i + 2
j
– 3 k , b = – 3
j
+ 5 k ,
c
= 6i + 6
j
– 4 k ;
а) 5
a
, – b , 3
c
; б) – 7
a
, 4
c
; в) 3
a
, 9 b ; г)
a
,
c
; д) 3
a
, – 9b , 4
c
.
2.1.16.
a
= – 3i + 8
j
, b = 2i + 3
j
– 2 k ,
c
= 8i + 12
j
– 8 k ;
а) 4
a
, – 6 b , 5
c
; б) – 7
a
, 9
c
; в) 3b , – 8
c
; г) b ,
c
; д) 4
a
, – 6 b , 9
c
.
2.1.17.
a
= 2i – 4
j
– 2 k , b = – 9 i + 2 k ,
c
= 3i + 5
j
– 7 k ;
а) 7
a
, 5 b , –
c
; б) – 5
a
, 4 b ; в) 3b , – 8
c
; г)
a
,
c
; д) 7
a
, 5 b , –
c
.
2.1.18.
a
= 9i – 3
j
+ k , b = 3i – 15
j
+ 21 k ,
c
= i – 5
j
+ 7 k ;
а) 2
a
, – 7b , 3
c
; б) – 6
a
, 4
c
; в) 5b , 7
a
; г) b ,
c
; д) 2
a
, – 7b , 4
c
.
2.1.19.
a
= – 2i + 4
j
– 3 k , b = 5i +
j
– 2 k ,
c
= 7i + 4
j
– k ;
а)
a
, – 6b , 2
c
; б) – 8 b , 5
c
; в) – 9
a
, 7
c
; г)
a
, b ; д)
a
, – 6b , 5
c
.
2.1.20.
a
= – 9i + 4
j
– 5 k , b = i – 2
j
+ 4 k ,
c
= – 5i + 10
j
– 20 k ;
а) – 2
a
, 7 b , 5
c
; б) – 6b , 7
c
; в) 9
a
, 4
c
; г) b ,
c
; д) – 2
a
, 7 b , 4
c
.
2.1.21.
a
= 2i – 7
j
+ 5 k , b = – i + 2
j
– 6 k ,
c
= 3i + 2
j
– 4 k ;
а) – 3
a
, 6 b , –
c
; б) 5b , 3
c
; в) 7
a
, – 4b ; г) b ,
c
; д) 7
a
, – 4 b , 3
c
.
2.1.22.
a
= 7i – 4
j
– 5 k , b = i – 11
j
+ 3 k ,
c
= 5i + 5
j
+ 3 k ;
а) 3
a
, – 7b , 2
c
; б) 2b , 6
c
; в) – 4
a
, – 5
c
; г)
a
,
c
; д) – 4
a
, 2 b , 6
c
.
15
2.1.23.
a
= 4i – 6
j
– 2 k , b = – 2 i + 3
j
+ k ,
c
= 3i – 5
j
+ 7 k ;
а) 6
a
, 3 b , 8
c
; б) – 7b , 6
a
; в) – 5
a
, 4
c
; г)
a
, b ; д) – 5
a
, 3 b , 4
c
.
2.1.24.
a
= 3i –
j
+ 2 k , b = – i + 5
j
– 4 k ,
c
= 6i – 2
j
+ 4 k ;
а) 4
a
, – 7b , – 2
c
; б) 6
a
, – 4
c
; в) – 2
a
, 5 b ; г)
a
,
c
; д) 6
a
, – 7 b , – 2
c
.
2.1.25.
a
= – 3i –
j
– 5 k , b = 2i – 4
j
+ 8 k ,
c
= 3i + 7
j
– k ;
а) 2
a
, – b , 3
c
; б) – 9
a
, 4
c
; в) 5b , – 6
c
; г) b ,
c
; д) 2
a
, 5 b , – 6
c
.
2.1.26.
a
= – 3i + 2
j
+ 7 k , b = i – 5 k ,
c
= 6i + 4
j
– k ;
а) – 2
a
, b , 7
c
; б) 5
a
, – 2
c
; в) 3b ,
c
; г)
a
,
c
; д) – 2
a
, 3 b , 7
c
.
2.1.27.
a
= 3i –
j
+ 5 k , b = 2i – 4
j
+ 6 k ,
c
= i – 2
j
+ 3 k ;
а) – 3
a
, 4 b , 5
c
; б) 6b , 3
c
; в)
a
, 4
c
; г) b ,
c
; д) – 3
a
, 4 b , – 5
c
.
2.1.28.
a
= 4i + 5
j
– 4 k , b = 5 i –
j
,
c
= 2i + 4
j
– 3 k ;
а)
a
, 7 b , – 2
c
; б) – 5
a
, 4 b ; в) 8
c
, – 3
a
; г)
a
,
c
; д) – 3
a
, 4 b , 8
c
.
2.1.29.
a
= – 9i + 4 k , b = 2i – 4
j
+ 6 k ,
c
= 3i – 6
j
+ 9 k ;
а) 3
a
, – 5 b , – 4
c
; б) 6b , 2
c
; в) – 2
a
, 8
c
; г) b ,
c
; д) 3
a
, 6 b , .– 4
c
.
2.1.30.
a
= 5i – 6
j
– 4 k , b = 4 i + 8
j
– 7 k ,
c
= 3
j
– 4 k ;
а) 5
a
, 3 b , – 4
c
; б) 4b ,
a
; в) 7
a
– 2
c
; г)
a
, b ; д) 5
a
, 4 b , – 2
c
.
2.2. Вершины пирамиды находится в точках
A, B, C и D. Вычислить:
а) площадь указанной грани;
б) площадь сечения, проходящего через середину ребра
l и две вершины пирамиды;
в) объем пирамиды
ABCD.
2.2.1.
A( 3, 4, 5), B(1 , 2, 1), C(– 2, – 3, 6), D(3, – 6, – 3);
а)
ACD; б) l = AB, C и D.
2.2.2.
A(– 7, – 5, 6), B(– 2, 5, – 3), C(3, – 2, 4), D(1, 2, 2);
а)
BCD; б) l = CD, A и B.
2.2.3.
A(1, 3, 1), B(– 1, 4, 6), C(– 2, – 3, 4), D(3, 4, – 4);
а)
ACD; б) l = BC, A и D.
2.2.4.
A(2, 4, 1), B(– 3, – 2, 4), C(3, 5, –2), D(4, 2, – 3);
а)
ABD; б) l = AC, B и D.
2.2.5.
A(– 5, – 3, – 4), B(1, 4, 6), C(3, 2, – 2), D(8, – 2, 4);
а)
ACD; б) l = BC, A и D.
2.2.6.
A(3, 4, 2), B(– 2, 3, – 5), C(4, – 3, 6), D(6, – 5, 3);
а)
ABD; б) l = BD, A и C.
2.2.7.
A(– 4, 6, 3), B(3, – 5, 1), C(2, 6, – 4), D(2, 4, – 5);
а)
ACD; б) l = AD, B и C.
2.2.8.
A(7, 5, 8), B(– 4, –5, 3), C(2, –3, 5), D(5, 1, – 4);
а)
BCD; б) l = BC, A и D.
2.2.9.
A(3, – 2, 6), B(– 6, – 2, 3), C(1, 1, – 4), D(4, 6, – 7);
а)
ABD; б) l = BD, A и C.
16
2.2.10. A(– 5, – 4, – 3), B(7, 3, – 1), C(6, – 2, 0), D(3, 2, – 7);
а)
BCD; б) l = AD, B и C.
2.2.11.
A(3, – 5, – 2), B(– 4, 2, 3), C(1, 5, 7), D(– 2, – 4, 5);
а)
ACD; б) l = BD, A и C.
2.2.12.
A(7, 4, 9), B(1, – 2, – 3), C(– 5, – 3, 0), D(1, – 3, 4);
а)
ABD; б) l = AB, C и D.
2.2.13.
A(– 4, – 7, – 3), B(– 4, – 5, 7), C(2, – 3, 3), D(3, 2, 1);
а)
BCD; б) l = BC, A и D.
2.2.14.
A(– 4, – 5, – 3), B(3, 1, 2), C(5, 7, – 6), D(6, – 1, 5);
а)
ACD; б) l = BC, A и D.
2.2.15.
A(5, 2, 4), B(– 3, 5, – 7), C(1, – 5, 8), D(9, – 3, 5);
а)
ABD; б) l = BD, A и C.
2.2.16.
A(– 6, 4, 5), B(5, – 7, 3), C(4, 2, – 8), D(2, 8, – 3);
а)
ACD; б) l = AD, B и C.
2.2.17.
A(5, 3, 6), B(– 3, – 4, 4), C(5, – 6, 8), D(4, 0, – 3);
а)
BCD; б) l = BC, A и D.
2.2.18.
A(5, – 4, 4), B(– 4, – 6, 5), C(3, 2, – 7), D(6, 2, – 9);
а)
ABD; б) l = BD, A и C.
2.2.19.
A(– 7, – 6, – 5), B(5, 1, – 3), C(8, – 4, 0), D(3, 4, – 7);
а)
BCD; б) l = AD, B и C.
2.2.20.
A(7, – 1, – 2), B(1, 7, 8), C(3, 7, 9), D(– 3, – 5, 2);
а)
ACD; б) l = BD, A и C.
2.2.21.
A(5, 2, 7), B(7, – 6, – 9), C(– 7, – 6, 3), D(1, – 5, 2);
а)
ABD; б) l = AB, C и D.
2.2.22.
A(– 2, – 5, – 1), B(– 6, – 7, 9), C(4, – 5, 1), D(2, 1, 4);
а)
BCD; б) l = BC, A и D.
2.2.23.
A(– 6, – 3, – 5), B(5, 1, 7), C(3, 5, – 1), D(4, – 2, 9);
а)
ACD; б) l = BC, A и D.
2.2.24.
A(7, 4, 2), B(– 5, 3, – 9), C(1, – 5, 3), D(7, – 9, 1);
а)
ABD; б) l = BD, A и C.
2.2.25.
A(– 8, 2, 7), B(3, – 5, 9), C(2, 4, – 6), D(4, 6, – 5);
а)
ACD; б) l = AD, B и C.
2.2.26.
A(4, 3, 1), B(2, 7, 5), C(– 4, – 2, 4), D(2, – 3, – 5);
а)
ACD; б) l = AB, C и D.
2.2.27.
A(– 9, – 7, 4), B(– 4, 3, – 1), C(5, – 4, 2), D(3, 4, 4);
а)
BCD; б) l = CD, A и B.
2.2.28.
A(3, 5, 3), B(– 3, 2, 8), C(– 3, – 2, 6), D(7, 8, – 2);
а)
ACD; б) l = BD, A и C.
17
2.2.29. A(4, 2, 3), B(– 5, – 4, 2), C(5, 7, – 4), D(6, 4, – 7);
а)
ABD; б) l = AD, B и C.
2.2.30.
A(– 4, – 2, – 3), B(2, 5, 7), C(6, 3, – 1), D(6, – 4, 1);
а)
ACD; б) l = BC, A и D.
2.3. Сила F приложена к точке
A. Вычислить:
а)
р
аботу силы F в случае, когда точка ее
приложения, двигаясь прямолинейно,
перемещается в точку
B;
б) модуль момента силы F относительно точки
B.
2.3.1. F = (5, – 3, 9),
A(3, 4, – 6), B(2, 6, 5).
2.3.2. F = (– 3, 1, – 9),
A(6, – 3, 5), B(9, 5, – 7).
2.3.3. F = (2, 19, – 4),
A(5, 3, 4), B(6, – 4, – 1).
2.3.4. F = (– 4, 5, – 7),
A(4, – 2, 3), B(7, 0, – 3).
2.3.5. F = (4, 11, – 6),
A(3, 5, 1), B(4, – 2, – 3).
2.3.6. F = (3, – 5, 7),
A(2, 3, – 5), B(0, 4, 3).
2.3.7. F = (5, 4, 11),
A(6, 1, – 5), B(4, 2, – 6).
2.3.8. F = (– 9, 5, 7),
A(1, 6, – 3), B(4, – 3, 5).
2.3.9. F = (6, 5, – 7),
A(7, – 6, 4), B(4, 9, – 6).
2.3.10. F = (– 5, 4, 4),
A(3, 7, – 5), B(2, – 4, 1).
2.3.11. F = (4, 7, – 3),
A(5, – 4, 2), B(8, 5, – 4).
2.3.12. F = (2, 2, 9),
A(4, 2, – 3), B(2, 4, 0).
Даны три силы P, Q, R, приложенные к точке
A. Вычислить:
а)
р
аботу, производимую равнодействующей этих
сил, когда точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается в точку
B;
б) величину момента равнодействующей этих сил
относительно точки
B.
2.3.13. P = (9, – 3, 4), Q = (5, 6, – 2), R = (– 4, – 2, 7),
A(– 5, 4, – 2), B(4, 6, – 5).
2.3.14. P = (5, – 2, 3), Q = (4, 5, – 3), R = (– 1, – 3, 6),
A(7, 1, – 5), B(2, – 3, – 6).
2.3.15. P = (3, – 5, 4), Q = (5, 6, – 3), R = (– 7, – 1, 8),
A(– 3, 5, 9), B(5, 6, – 3).
2.3.16. P = (– 10, 6, 5), Q = (4, – 9, 7), R = (5, 3, – 3),
A(4, – 5, 9), B(4, 7, – 5).
2.3.17. P = (5, – 3, 1), Q = (4, 2, – 6), R = (– 5, – 3, 7),
A(– 5, 3, 7), B(3, 8, – 5).
2.3.18. P = (– 5, 8, 4), Q = (6, – 7, 3), R = (3, 1, – 5),
A(2, – 4, 7), B(0, 7, 4).
18
2.3.19. P = (7, 5, – 2), Q = (3, 4, – 8), R = (– 2, – 4, 3),
A(– 3, 2, 0), B(6, 4, – 3).
2.3.20. P = (3, – 4, 2), Q = (2, 3, – 5), R = (– 3, – 2, 4),
A(5, 3, – 7), B(4, – 1, – 4).
2.3.21. P = (4, – 2, – 5), Q = (5, 1, – 3), R = (– 6, 2, 5),
A(– 3, 2, – 6), B(4, 5, – 3).
2.3.22. P = (7, 3, – 4), Q = (9, – 4, 2), R = (– 6, 1, 4),
A(– 7, 2, 5), B(4, – 2, 11).
2.3.23. P = (9, – 4, 4), Q = (– 4, 6, – 3), R = (3, 4, 2),
A(5, – 4, 3), B(4, – 5, 9).
2.3.24. P = (6, – 4, 5), Q = (– 4, 7, 8), R = (5, 1, – 3),
A(– 5, – 4, 2), B(7, – 3, 6).
2.3.25. P = (5, 5, – 6), Q = (7, – 6, 6), R = (– 4, 3, 4),
A(– 9, 4, 7), B(8, – 1, 7).
2.3.26. P = (7, – 6, 2), Q = (– 6, 2, – 1), R = (1, 6, 4),
A(3, – 6, 1), B(6, – 2, 7).
2.3.27. P = (4, – 2, 3), Q = (– 2, 5, 6), R = (7, 3, – 1),
A(– 3, – 2, 5), B(9, – 5, 4).
2.3.28. P = (7, 3, – 4), Q = (3, – 2, 2), R = (– 5, 4, 3),
A(– 5, 0, 4), B(4, – 3, 5).
2.3.29. P = (3, – 2, 4), Q = (– 4, 4, – 3), R = (3, 4, 2),
A(1, – 4, 3), B(4, 0, – 2).
2.3.30. P = (2, – 1, – 3), Q = (3, 2, – 1), R = (– 4, 1, 3),
A(– 1, 4, – 2), B(2, 3, – 1).
Пример решения задания 2
2.1. Даны векторы
a
= 4 i + 4 k , b = – i + 3
j
+ 2 k ,
c
= 3i + 5
j
.
Необходимо:
а) вычислить смешанное произведение векторов
a
, b и 5
c
;
б) найти модуль векторного произведения 3
c
и b ;
в) вычислить скалярное произведение векторов
a
и 3b ;
г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны векторы
a
и b ;
д) проверить, будут ли компланарны векторы
a
, b и
c
.
► а) Так как 5
c
= 15i + 25
j
, то
()
02515
231
404
5 −=⋅× cba
= – 100 – 180 – 200 = – 480;
19
б) Поскольку 3
c
= 9i + 15
j
, то
231
01593
−
=×
kji
bc
= 30i + 27 k + 15 k – 18
j
= 30i – 18
j
+ 42 k .
в) Находим:
3
b = – 3 i + 9
j
+ 6 k ,
a
·3b = 4·(– 3) + 0·9 + 4·6 = 12;
г) Так как
a
= (4, 0, 4), b = (– 1, 3, 2) и
2
4
3
0
1
4
≠≠
−
,
то векторы
a
и b не коллинеарны. Поскольку
a
·b = 4·(– 1) + 0·3 + 4·2 ≠ 0,
то векторы
a
и b не ортогональны;
д) Векторы
a
, b ,
c
компланарны, если
cba
= 0. Вычисляем:
053
231
404
−=cba
= – 20 – 36 – 40 ≠ 0,
т. е. векторы
a
, b ,
c
не компланарны. ◄
2.2. Вершины пирамиды находится в точках
A(2, 3, 4), B(4, 7, 3), C(1, 2, 2) и D(– 2, 0, – 1).
Вычислить:
а) площадь грани ABC;
б) площадь сечения, проходящего через середину ребер AB, AC. AD;
в) объем пирамиды ABCD.
► а) Известно, что
ACABS
ABC
×=
2
1
. Находим:
A
B = (2, 4, – 1),
A
C = (– 1, – 1, – 2),
211
142
−−
−=×
kji
ACAB
r
=
kji 259 ++−
.
Окончательно имеем:
110
2
1
259
2
1
222
=++=
ABC
S
;
б) Середины ребер AB, AC и AD находятся в точках K(3; 5; 3,5), M(1,5; 2,5; 3), N(0; 1,5;
1,5). Далее имеем:
KNKMS ×=
2
1
сеч
, KM = (– 1,5; – 2,5; – 0,5), KN = (– 3; – 3,5; – 2),
20
2533
505251
−−−
−−−=×
,
,,,
kji
KNKM
=
k,j,i, 25251253 −−
,
87517
2
1
25251253
2
1
222
сеч
,,,,S =++=
;
в) Поскольку
()
ADACABV ⋅×=
6
1
пир
,
A
D = (– 4, – 3, –5),
()
534
211
142
−−−
−−−
−
=⋅× ADACAB
= 11,
то
6
11
=V
. ◄
2.3. Сила F = (2, 3, – 5) приложена к точке A(1, – 2, 2). Вычислить:
а)
р
аботу силы F в случае, когда точка ее
приложения, двигаясь прямолинейно,
перемещается в точку B(1, 4, 0);
б) модуль момента силы
F относительно точки B.
► а) Так как A =
F·s, s =
A
B = (0, 6, – 2), то
F·
A
B = 2·0 + 3·6 + (– 5)·(– 2) = 28;
б) Момент силы
M =
B
A ·F,
B
A = (0, – 6, 2),
BA ·F =
532
260
−
−
kji
=
kji 12424 ++
.
Следовательно, |
M| = 46412424
222
=++ . ◄
8. Понятие базиса
Если для системы n векторов
i
a
равенство
0
1
=λ
∑
=
n
i
ii
a
верно только в случае, когда λ
i
= 0, то эта система называется линейно независимой. Если
же данное равенство выполняется для λ
i
, хотя бы одно из которых отлично от нуля, то
система векторов
i
a
называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные
векторы, или три компланарных вектора, всегда линейно зависимые.
Три упорядоченных линейно независимых вектора
1
e
,
2
e
,
3
e
в пространстве
называются базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует