Грунин О. М, Савицкий Л.В. Электроэнергетические системы и сети. Сборник задач
Подождите немного. Документ загружается.
121
Рис. 5.9 Рис. 5.10
Если учесть, что задающий ток узла i равен
i
*
ii
i
*
i
*
i
U3
jQP
U3
S
,
то уравнение баланса токов для любого из расчетных узлов имеет вид:
1inбаз
i
*
i
*
niniii22i11i
U
U
S
U...U...UU
, i=1, 2,...,n. (5.9)
Система нелинейных (относительно узловых напряжений) уравнений
(5.9) решается численными методами, наиболее эффективным среди
которых является метод Ньютона-Рафсона. Подробно этот и другие
методы численного решения систем нелинейных уравнений
установившегося режима рассматриваются в курсе "Математические
задачи энергетики".
Ниже излагаются лишь некоторые способы расчета
приближенного потокораспределения. Рассмотрим три случая:
1. Если схема замещения электрической сети содержит
проводимости на землю, то систему (5.9) можно представить в
матричной форме
1n
B
1n
G
баз
U
Q
P
баз
U
1
"
U
'
U
GB
BG
, или в
развернутом виде (5.10).
i
k
İ
ik
İ
ik
Ś
ik
Ý
ik
=g
ik
-jb
ik
Z
ik
=R
ik
+jX
ik
Ú
i
=U
’
i
+jU
’’
i
Ú
k
=U
’
k
+jU
’’
k
İ
i
n
1
2
i
n+1
Ý
in
Ý
in+1
Ý
i2
Ý
i1
Ý
i0
122
Если расчет режима выполняется целиком на ЭВМ, то матрица
узловых проводимостей и вектор правых частей в (5.10) формируются
программно на основе исходных данных о топологии сети,
сопротивлениях ветвей и нагрузках узлов. Когда в специальном
математическом обеспечении компьютера программ
потокораспределения нет, то матрица коэффициентов и векторов
правых частей формируются вручную, а система (5.10) решается на
ЭВМ по одной из стандартных программ.
g
11
g
12
...
g
1n
b
11
b
12
...
b
1n
U
1
P
1
g
1n+1
g
21
g
22
...
g
2n
b
21
b
22
...
b
2n
U
2
P
2
g
2n+1
... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
g
n1
g
n2
...
g
nn
b
n1
b
n2
...
b
nn
U
n
баз
U
1
P
n
-U
баз
g
nn+1
b
11
b
12
...
b
1n
-g
11
-g
21
...
-g
1n
U
1
Q
1
b
1n+1
(5.10)
b
21
b
22
...
b
2n
-g
21
-g
22
...
-g
2n
U
2
Q
2
b
2n+1
... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
b
n1
b
n2
...
b
n1
b
n2
-g
22
...
-g
nn
U
n
Q
n
b
nn+1
Решением системы (5.10) является вектор узловых напряжений,
на основе которых вычисляют потоки мощности, токи, потери
мощности и напряжения в ветвях схемы замещения сети.
2. Если схема замещения сети не содержит проводимостей на
землю, то расчет потокораспределения упрощается, если в (5.9)
принять потенциал балансирующего узла равным нулю. Тогда, решая
систему линейных уравнений
Q
P
баз
U
1
Е
Е
GB
BG
, (5.11)
123
определяют вектор узловых потенциалов
т
, а напряжение
любого узла получают как
баз
''
к
'
кк
UjEЕU
, (5.12)
где
''
к
и
'
к
- к-е элементы подвекторов
''
и
'
в (5.11).
3. Если сеть однородна (или принимается таковой) и ее схема
замещения не содержит проводимостей на землю, то расчет
приближенного потокораспределения значительно упрощается.
Вместо одной системы (5.11), состоящей из 2n уравнений, для
определения вещественных
'
E и мнимых
''
E составляющих
узловых потенциалов достаточно решить две системы (5.13) и (5.14),
каждая из которых содержит по n уравнений. Системы (5.13) и (5.14)
различаются между собой только правыми частями
;P
баз
U
1
'
(5.13)
Q
баз
U
1
"
, (5.14)
где А - симметричная матрица размером nn. Для трехузловой схемы
(узел 3 - балансирующий), изображенной на рис. 5.11, матрица А
имеет структуру, представленную на рис. 5.12.
Рис. 5.11 Рис. 5.12
Другими словами, матрица А формируется как и матрицы узловых
1 1
12 13
l l
1
12
l
1
12
l
1 1
12 23
l l
l
13
2
1
3
l
12
l
23
124
проводимостей G и В, но вместо проводимостей g
ij
или b
ij
подставляются значения 1/l
ij
.
После решения систем (5.13) и (5.14) узловые напряжения
вычисляют по формуле (5.12).
Как только определены узловые напряжения, для любой ветви i-
k, ток вычисляют по соотношениям (5.8), поток мощности S
ik
=P
ik
+jQ
ik
рассчитывают по формулам:
ik БАЗ ik i k ik i k
ik БАЗ ik i k ik i k
U g U U b U U
Q U b U U g U U
' ' " "
' ' " "
;
,
(5.15)
а потери мощности S
ik
=P
ik
+jQ
ik
- по формулам:
ik ik i k i k
ik ik i k i k
g U U U U
Q b U U U U
' ' " "
' ' " "
;
.
2 2
2 2
(5.16)
Отметим, что результат не изменится, если в формулы (5.8),
(5.15) и (5.16) вместо вещественных
U
'
и мнимых
U
"
составляющих напряжений подставить значения вещественных
'
и
мнимых
"
составляющих узловых потенциалов.
Если в любом из изложенных способов расчета режимов
напряжение балансирующего узла U
баз
не задано, то оно принимается
равным номинальному напряжению сети.
5.5 Примеры решения задач
Пример 5.5.1. Потребитель, ток которого 240 А и коэффициент
мощности cosφ =0.8, питается по двум линиям 10 кВ. Одна линия
125
воздушная, выполнена проводом АС-95/16 протяженностью 5 км;
другая линия кабельная, выполнена кабелем 3хАПвВ-150,
протяженностью 2км. Определить нагрузку каждой линии, а так же
потери напряжения в нормальном и аварийном режимах, если
напряжения пунктов питания одинаковы.
Решение. По приложениям П1.14,П1.15 и П1.8 определяем погонные
сопротивления: для кабеля r
0
= 0,206 Ом/км, x
0
= 0,164 Ом/км (при
горизонтальной укладке трех одножильных кабелей в траншее); для
ВЛ r
0
= 0,306 Ом/км, x
0
= 0,329 Ом/км (для Dср = 1 м). Вычисляем
сопротивление линий:
Z
k
= (r
0
+jx
0
)l
k
= (0,206+j0,164)·2 = 0,412+j0,308 Ом;
Z
в
= (r
0
+jx
0
)l
в
= (0,306+j0,329)·5 = 1,53+j1,654 Ом.
Комплексное значение тока нагрузки определяем как
I = I(cos φ - jsin φ ) = 240(0,8 - j0,6) = 192 – j144 A.
Найденные величины укажем на схеме (рис 5.13).
Рис. 5.13
Сопротивление Z
AB
=Z
K
+Z
B
=(0,412+j0,328)+(1,53+j1,654)=1,942+j1,973
Ом.
Нагрузку линии определяем по «правилу моментов», которое в
данном примере совпадает с правилом нахождения токов в
параллельных ветвях:
I
K
= I·Z
B
/Z
AB
= (192-j144)(1,53+j1,645)/(1,942+j1,973) = 159-j112 A;
I
B
= I·Z
K
/Z
AB
= (192-j144)(0,412+j0,328)/(1,942+j1,973) = 33-j32 А.
126
Выполняя проверку I
K
+I
B
=I или (159-j112)+(33-j32)=192-j144 А,
убеждаемся в соблюдение балансов токов в узле 1. Значения токов
линии указаны на рис. 5.13.
Наибольшая потеря напряжения определяется от источника питания
до точки потокораздела (узел 1). В примере ∆U
A1
= ∆U
B1
, поэтому
достаточно определить потерю напряжения для одного из участков,
например для кабельной линии:
∆U
A1
=
3
(I
A1
R
A1
+I
″
A1
X) = 3 (159·0,412+112·0,328) = 177 В, где I
A1
,I
″
A1
- активный и реактивный токи участка А – 1.
В качестве аварийного рассмотрим случай, при котором потеря
напряжения окажется наибольшей – отключение кабельной линии:
ав
1В
U = 3 (I
1
R
B1
+I
″
1
X
B1
) = 3 (192·1,53+144·1,645) = 919 В.
В аварийном режиме потеря напряжения возросла с 1,77% до 9,19%,
т.е. увеличилось на 7,42% (от U ном).
Пример 5.5.2. Найти приближенное распределение мощностей в сети,
схема которой приведена на рис. 5.14. Линии выполнены проводами
АС-185/29 (r
0
=0,162 Ом/км, x
0
=0,413 Ом/км, b
0
= 2,9 мкСм/км).
Приведенные к шинам 110 кВ нагрузки подстанций (МВ·А) и длины
участков (км) указанны на схеме. Расчеты выполнить для случаев: 1.
Напряжения источников питания одинаковы (U
а
= U
в
); 2. Напряжения
различаются, при этом U
а
= 114 кВ, а U
в
= 112 кВ.
Рис. 5.14
127
Решение. Определяем зарядные мощности участков, используя
среднее для сети напряжение U = (U
а
+ U
в
)/2 = (114+112)/2 = 113кВ:
Q
c
A1
= U
2
b
0
l
A1
= (113)
2
2,9·10
-6
·30 = 1,12 МВар.
Для других участков получим: Q
c
12
= 0,74 МВар; Q
c
B2
= 1,48 МВар.
Расчетные нагрузки подстанций 1 и 2 равны:
S
1
= S
пр1
– j0,5(Q
c
A1
+ Q
c
12
) = 50+j30,93-j0,5(1,12+0,74) = 50+j30 МВ·А;
S
2
= S
пр2
– j0,5(Q
c
12
+ Q
c
В2
) = 10+j9,11-j0,5(0,74+1,48) = 10+j8 МВ·А.
Общее сопротивление сети Z
АВ
определим как
Z
АВ
= (r
0
+jx
0
)l
AB
= (0,162+j0,413)90 = 14,6 + j37,2 Ом.
Случай 1. Напряжения источников А и В одинаковы. Мощность
головного участка S
'
A1
определяем по «правилу моментов» для
однородных сетей:
S
'
A1
= (S
1
l
1B
+S
2
l
2b
)/l
AB
= [(50+j30)60+(10+j8)40)]/90 = 37,8+j23,6 МВ·А.
Нагрузки остальных участков определим, используя 1-ый закон
Кирхгофа в форме узловых балансов мощностей:
S
'
21
= S
1
– S
'
A1
= (50+j30)-(37,8+j23,6) = 12,2 + j6,4 МВ·А;
S
'
B2
= S
2
+ S
'
21
= (10+j8)+(12,2+j6,4) = 22,2 + j14,4 МВ·А.
Найденное распределение мощностей в сети является экономичным.
Вычислим наибольшую потерю напряжения в сети:
∆U
'
max
=∆U
'
A1
=(P
'
А1
r
0
+ Q
'
A1
х
0
)l
A1
/U
А
=(37,8·0,162+23,6·0,413)30/114=
4,2 кВ.
Случай 2. Напряжения U
а
= 114 кВ; U
в
= 112 кВ; в сети (от А к В)
протекает уравнительная мощность, которая накладывается на ранее
найденное потокораспределение.
Уравнительную мощность вычисляем по формуле
S
ур
= U(U
а
– U
в
)/
*
Z
AB
= 113(114-112)/(14,6-j37,2) = 2,1 + j5,2 МВ·А.
Нагрузку головного участка А-1 определим как
S
A1
= S
'
A1
+ S
ур
= (37,8+j23,6)+(2,1+j5,2) = 39,9+j28,8 МВ·А.
Мощность других участков найдем, используя либо 1-й закон
Кирхгофа, либо применяя правило наложения. Например,
128
S
21
= S
1
– S
A1
= (50+j30)-(39,9+j28,8) = 10,1+j1,2 МВ·А или
S
21
= S
'
21
– S
ур
= (12,2+j6,4) – (2,1+j5,2) =10,1+j1,2 МВ·А.
Аналогично определяется S
B2
= 20,1+j9,2 МВА. Приближенное
распределение мощностей для случая 2 и расчетные нагрузки
подстанций 1 и 2 (МВА) приведены на рис. 5.15.
Рис. 5.15
Наибольшая потеря напряжения в сети равна
∆U
max
= ∆U
A1
= (P
А1
r
0
+Q
A1
х
0
)l
A1
/U
А
= (39,90,162+23,60,413)30/114 =
4,8 кВ.
Появление S
ур
в однородной сети (из-за разницы напряжении
питающих пунктов) увеличивает не только нагрузочные потери
мощности, но и ведет к росту потерь напряжения (с 4,2 до 4,8 кВ).
Пример 5.5.3. Определить приближенное распределение мощностей в
сети 110 кВ. Нагрузки подстанции (МВА) и длин участков (км)
указанны на схеме (рис. 5.16.).
129
Рис. 5.16
Решение. Примем потенциал Е
в
=Е
в
+jЕ
″
в
узла В равным нулю.
Потенциалы остальных узлов определяем из решения системы
линейных уравнений вида АЕ
=P и AE
″
=Q, где векторы Р=(Р
1
; Р
2
; Р
3
)
t
=(36; 40; 48)
t
и Q = (Q
1
; Q
2
; Q
3
)
t
= (26; 28; 30)
t
в качестве своих
элементов содержат значения активных и реактивных нагрузок узлов.
Генерацию в каком-либо узле можно было бы считать отрицательной
нагрузкой. Векторы E
=(E
1
; E
2
; E
3
)
t
и E
=(E
1
; E
2
; E
3
)
t
представляют
массивы вещественных (продольных) и мнимых (поперечных)
составляющих узловых потенциалов. Матрица А является аналогом
матрицы узловых проводимостей (см. рис. 5.11 и 5.12). Для схемы по
рис. 5.16. матрица А формируется в виде
А=
Подставляя значения длин участков в эту форму, запишем уравнение
режима АЕ
= P и AE
= Q в числовом виде:
-(1/l
1B
+1/l
12
) 1/l
12
0
1/l
12
-(1/l
21
+1/l
B2
+1/l
23
) 1/l
23
0 1/l
32
-(1/l
3B
+1/l
32
)
130
30
28
26
Е
Е
Е
083,005,00
05,0162,0045,0
0045,0101,0
и
48
40
36
Е
Е
Е
083,005,00
05,0162,0045,0
0045,0101,0
"
3
"
2
"
1
'
3
'
2
'
1
Решая эти системы, получим E
=(-699;-761;-1033)
t
и E
=(-490;-517; -670)
t
.
Для любой i-j-ой ветви схемы перетоки активной (P
ij
) и реактивной
мощности (Q
ij
) вычисляем по формулам P
ij
= (E
i
-E
j
)/L
ij
и Q
ij
= (E
i
-E
j
)/L
ij
.
Например, для ветви В-1 получим:
P
B1
= (E
B
-E
1
)/L
B1
= (0+699)/18 = 38,8 МВт,
Q
B1
= (E
B
-E
1
)/L
B1
= (0+490)/18 = 27,2 Мвар.
Рис. 5.17
Результат вычисления потоков мощностей остальных участков
указаны на схеме (рис. 5.17). Нагрузка узла В определяется как сумма
мощностей по отходящим линиям или как сумма нагрузок расчетных
узлов 1, 2 и 3. Проверка правильности найденного
потокораспределения, помимо соблюдения балансов мощностей в
узлах, выполняется по 2-му закону Кирхгофа и сводится к
установлению для контуров схемы условий: ∑ P
ij
L
ij
= 0; ∑ Q
ij
L
ij
= 0,
где P
ij
, Q
ij
- активная и реактивная мощности участка ij, значения