Грин В.М. Учебное пособие - Основы инженерного эксперимента

Подождите немного. Документ загружается.

3.2 Дисперсионный анализ

Напомним, что при дисперсионном анализе имеется один или несколько управ-

ляемых факторов и одна функция отклика. Необходимо установить, значимо ли (в стати-

стическом смысле) влияние каждого фактора на функцию отклика, и упорядочить факторы

(если их несколько) по степени влияния на функцию отклика.

Вспомним пример 2 из главы 1.

Необходимо оценить влияние

шагов в трубном пучке S

и S

на интенсивность те-

плообмена (значение критерия Нуссельта Nu).

Основная идея дисперсионного анализа заключается в следующем. Величина откли-

ка

в каждой точке (

) есть сумма некоторой средней величины

µ,

отклонений

, вызванных отдельными факторами, их взаимодействиями

и случайными отклоне-

ниями

, вызванными неконтролируемыми факторами:

ij=

µ+ β

+ γ

+ Z.

Если упростить задачу, предположив, что эффекты взаимодействия отсутствуют

(необходим предварительный анализ), отклонения, вызванные факторами, имеют одинако-

вые дисперсии, случайные отклонения

распределены по нормальному закону, модель ре-

зультатов наблюдения упрощается, можно проводить статистический анализ:

ij=

µ+ β

+ γ

+ Z.

Переходим к построению матрицы условий эксперимента. Выберем по 4 уровня для

факторов S

и S

=(2d, 2,5d, 3d, 3,5d),

=(1,5d, 2d, 2,5d, 3d),

где

– диаметр трубы.

Полный факторный план включает n=4х4=16 экспериментов:

Номер опыта Значение S

Значение S

Отклик Nu

1 S

2 S

3 S

4 S

5 S

6 S

7 S

8 S

9 S

10 S

11 S

12 S

13 S

14 S

15 S

16 S

Проводим эксперимент, результаты заносим в протокол.

Суммируем значения откликов по уровням факторов и находим средние по строкам

и столбцам.

Общая средняя

3,53=Y

Составляем таблицу дисперсионного анализа.

Суммы квадратов отклонений, вызванные влиянием j-го фактора, вычисляем по

формуле:

)(()(

∑

−=

ijj

YYXS

где i – номер уровня, j – номер фактора, r – число уровней (r=4),

- средние по

строкам и столбцам.

4,246))3,535,58()3,536,54()3,535,52()3,536,47(()(

2222

=−+−+−+−=XS

5,313))3,533,60()3,536,53()3,537,50()3,535,48(()(

2222

=−+−+−+−=XS

Общая сумма квадратов отклонений вычисляется по формуле:

∑∑

−=

YYS

)(

где k – количество факторов (k=2).

=599,8.

Остаточная сумма квадратов отклонений, обусловленная случайными факторами,

равна

8,39)()(

222

=−−= XSXSSS

Вычисляем средние квадраты

)(

−

)(

−

)1)(1(

−−

1,82

4,246

==s

5,104

5,313

==s

4,4

8,39

==s

Вычисляем наблюдаемое значение критерия Фишера-Снедекора:

F =

6,18

4,4

1,82

==F

6,23

4,4

5,104

==F

Наконец, по таблицам распределения Фишера-Снедекора (приложение Б) для веро-

ятности ошибки

α=

0,05, числа факторов

=2, числа степеней свободы

(r-1)(r-1)=

9 нахо-

дим

Fкр

=4,26.

Результаты сводим в таблицу.

Поскольку наблюдаемое значение для первого и второго факторов больше крити-

ческого, следует признать оба фактора значимыми, причем фактор S2 оказывает на отклик

несколько большее влияние.

В следующем примере, наоборот, следует признать влияние факторов незначимым.

3.3 Регрессионный анализ

Итак, при регрессионном анализе ставится задача на основе данных эксперимента оты-

скания функциональной зависимости математического ожидания отклика M(Y) от значе-

ний одного или нескольких факторов:

M(Y)=f(X1) или M(Y)=f(X1,X2) и т.д.

Этот этап начинают, как правило, с линейного регрессионного анализа. Предполагает-

ся, что наблюдаемое в опыте значение отклика Y можно мысленно разделить на две части:

одна из них закономерно зависит от X, то есть является функцией X, другая часть – слу-

чайна по отношению к X. Отклик можно представить в виде

)(XfY

где

- некоторая случайная величина. Иногда

называют ошибкой эксперимен-

та, связывая ее присутствие с несовершенством метода измерения Y. Возникает задача об

отыскании функции отклика

f(X).

Класс функций, в котором ищется функция

f(X),

часто

определяется физической сущностью происходящих процессов. Это могут быть экспонен-

ты, степенные функции, но начинают подбор и анализ, как правило, с линейной функции

bxaXf

)(

Прежде чем переходить к определению коэффициентов

, проводят вычисление

коэффициента корреляции, величина которого позволяет судить об обоснованности приня-

тия линейной модели.

Коэффициентом корреляции называют величину

∑∑

∑

−−

yyxx

)()(

))((

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале [-1,1]. Чем больше

абсолютная величина коэффициента корреляции, тем с большим основанием можно

предполагать наличие линейной зависимости между переменными. В этом случае можно

переходить к определению коэффициентов линейной зависимости, например, методом

наименьших квадратов. В пакете Microsoft Excel функции вычисления коэффициента кор-

реляции и построения линейной регрессии являются встроенными.

Если предполагается нелинейная зависимость

от

, то с помощью преобразова-

ний нередко удается привести зависимость к линейной и воспользоваться далее инструмен-

тами определения коэффициентов в линейном уравнении регрессии.

Например, при экспериментальном исследовании процессов теплообмена [2] ищут

зависимость величины критерия Нуссельта от величины критерия Рейнольдса в виде:

cNu Re=

Проведя логарифмирование выражения

Relglglg ncNu

и обозначив

Y=lg Nu, A=lg c, X=lg Re

, ,приходим к установлению линейной зави-

симости вида

nXAY

Пусть имеются результаты 20 измерений независимой переменной X и зависимой

переменной Y. Открываем электронные таблицы EXCEL, в верхней части листа

формируем заголовок, в ячейки A5 – C25 заносим таблицу.

Вычислим коэффициент корреляции между переменными X и Y. Для этого в ячейку

B28 сначала занесем текст «Коэффициент корреляции».

Затем в

ячейку E28 через главное меню «Вставка – Функция – Статистические»

вставим функцию КОРРЕЛ.

Для заполнения окна «Массив1» выделим столбец значений X, а окна «Массив2» -

столбец значений Y.