Грин В.М. Учебное пособие - Основы инженерного эксперимента
Подождите немного. Документ загружается.
11
В ячейку А7 занесем надпись «Среднее значение». Поставим курсор на ячейку B7.
В меню выберем «Вставка – функция»
после чего в открывшемся окне выберем СРЗНАЧ (среднее значение):
нажимаем ОК.
12
Нажав левую кнопку мыши, выделяем столбец B1-B5.
Нажимаем ОК, в ячейке В7 получаем среднее значение.
В ячейку А9 занесем надпись «Стандартное отклонение». Поставим курсор на ячей-
ку B9.
В меню выберем «Вставка – функция»
13
после чего в открывшемся окне выберем СТАНДОТКЛОН (стандартное отклоне-
ние):
нажимаем ОК.
Нажав левую кнопку мыши, выделяем столбец B1-B5.
Нажимаем ОК, в ячейке В9 получаем стандартное отклонение S..
Итак,
y
=10,52,
s
=0,444.
Согласно теории статистики, истинное значение Y заключено в интервале:
14
∆
+
<
<
∆
−
yYy
,
где
msmPt /*),(=∆
. (3)
t(P,m)
– значение критерия Стьюдента при заданной вероятности ошибки
P
(на-
пример, 0,05, эту величину часто рекомендуют применять) и количестве измерений
m
.
Таблица значений критерия Стьюдента приведена в приложении А. В электронных табли-
цах Microsoft Excel также несложно получить нужное значение.
В ячейку А11 занесем надпись «Критерий Стьюдента». Поставим курсор на ячейку
B11.
В меню выберем «Вставка – функция»
после чего в открывшемся окне выберем СТЬЮДРАСПОБР (обратное распределе-
ние Стьюдента). Зададим вероятность ошибки
P=0,05
и число степеней свободы (
m-1
).
нажимаем ОК.
В ячейке В11 получаем значение критерия Стьюдента.
15
В ячейку А13 занесем текст «интервал».
В ячейке В13 запрограммируем формулу (3).
Таким образом, значение
Y=10,52±0,55
.
Задача 2
. Задана предельная погрешность оценки значения отклика
∆
. Найти необходи-
мое число измерений
m
.
Здесь определяющим является значение S – оценка стандартного отклонения. Как его оце-
нить? Например, можно провести небольшое количество опытов, допустим, m=5, и вычис-
лить S по формуле (2). Разумеется, при постоянных значениях факторов.
Далее остается определить
m
из уравнения (3).
Пусть вероятность ошибки, как и прежде,
P=0,05,
предельная погрешность
∆=0,06
(ес-
ли измерение отклика ведется в относительных единицах, то это - 6%),
S=0,03
.
По формуле (3), и, соответственно, таблицам (Приложение А) находим значение необхо-
димого числа опытов.
Покажем, как это можно сделать в таблицах Microsoft Excel.
В верхнем левом углу таблицы занесем исходные данные.
16
Ниже заносим
В ячейку С6 заносим формулу (3) для вычисления
∆.
Копируем ячейку С6 в буфер, затем выделяем ячейки С7 – С16 и нажимаем «вста-
вить». Формула из С6 скопирована.
Получили значения погрешности при заданном
S
для различного числа опытов.
Можно выбрать любое число опытов, начиная с того, при котором погрешность не превы-
шает заданной. В нашем случае берем
m+1= 5
.
В дальнейшем изложении будем предполагать, что мы всегда используем полный
факторный план эксперимента. Обсуждение различных неполных факторных планов выхо-
дит за рамки данного пособия, их можно найти в литературе, например, [3].
17
Контрольные вопросы.
1. Что такое факторное пространство?
2. Что такое матрица условий эксперимента?
3. Что такое матрица наблюдений?
4. Что такое активный и пассивный эксперимент?
5. Перечислите требования к управляемым факторам.
6. Что такое план и протокол эксперимента?
7. Что такое полный и неполный факторный план?
8. Составьте полный факторный план для двух факторов, первый из них имеет 3
уровня, второй – 4. Сколько опытов содержит матрица условий эксперимента?
А в общем случае?
9. В каких случаях необходимо неоднократное измерение отклика?
10. Напишите формулы для среднего значения и стандартного отклонения.
11. Изложите постановку и идею решения задачи оценки погрешности при
заданном числе опытов.
12. Изложите постановку и идею решения задачи определения необходимого числа
опытов при заданной погрешности.
3 Обработка результатов эксперимента
3.1 Проверка статистических гипотез
Вспомним пример 1 из главы 1.
Имеется два способа формирования гранул для сжигания топлива в кипящем
слое. Является ли какой-либо из способов более предпочтительным с точки зрения прочно-
сти получающихся гранул, или способы дают практически одинаковые результаты?
Количественной оценкой прочности гранул может служить величина напряжения
разрушения гранулы при испытании ее на прессе (или другим способом). Напряжение из-
меряется отношением величины приложенной силы к площади гранулы (н/м
2
).
Имеем типичную задачу проверки статистических гипотез с помощью эксперимента.
Формулируем основную гипотезу H
0
: «Оба способа равнозначны с точки зрения прочно-
сти гранул». Конкурирующая гипотеза H
1
тогда будет звучать так: «Один из способов дает
гранулы более высокой прочности, чем другой».
Эксперимент будет состоять в разрушении нескольких образцов гранул, полученных
двумя способами, с фиксацией величины напряжения разрушения. Сколько опытов прово-
дить?
Статистика рекомендует провести сначала небольшое число экспериментов, скажем,
5, над однотипными образцами. По методике, изложенной в задаче 2
главы 2, определяется
необходимое число экспериментов. Пусть у нас получилось
m
=20.
Проводим эксперимент и результаты заносим в таблицу EXCEL.
18
В ячейках В24 и С24 вычислим средние значения,
а в ячейках В26 и С26 – стандартные отклонения
В результате получаем
Итак,
40,2
1
=x
,
58,2
2
=
x
,
278,0
1
=
s
,
184,0
2
=
s
.
19
Согласно теории статистики, необходимо вычислить объединенную оценку диспер-
сии по формуле:
)1/())1()1((
212
2
21
2
1
2
−+−+−= mmmsmss
.
В таблицах EXCEL формула программируется следующим образом:
Получаем значение
S
2
=0,054.
Далее вычисляется так называемое наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента по
формуле:
21
21
21
mm
mm
s
xx
T
н
+
−
=
.
В таблицах EXCEL формула программируется следующим образом:
Получаем значение
Tн=2,46.
Задавшись надежностью 95%, по таблицам находим критическое значение
t
-
критерия Стьюдента
Tк
:
Tк=2,02.
Окончательно имеем:
20
Согласно теории статистики, если наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента
больше критического
Tн>Тк
, нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается, в про-
тивном случае – принимается.
С
В результате обработки наших данных получилось, что второй способ формирова-
ния гранул с вероятностью 95% дает существенно более прочные гранулы.
Следующий пример приводит к противоположному выводу.