Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ

Под редакцией

доктора экономических наук, профессора М.В, Грачевой;

кандидата физико-математических наук, доцента Л.Н. Фадеевой;

доктора экономических наук, профессора Ю.К Черемных

Рекомендовано

Министерством образования

Российской

Федерации

в качестве учебника

для студентов

высших

учебных заведений,

обучающихся

по специальностям

экономики и управления (060000)

Рекомендовано

Учебно-методическим

центром

«Профессиональный

учебник» в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся

по специальностям

экономики и управления (060000)

ЮН ИТИ

UNITY

Москва • 2005

УДК 330.43(075.8)

ББК 65в6я73-1

М71

Рецензенты:

д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Гаврилец

(зав.

лабораторией математической социологии ЦЭМИ РАН)

д-р экон. наук, проф. К.В. Папенов

(зав.

кафедрой экономики природопользования

экономического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова).

Главный редактор издательства

кандидат юридических наук,

доктор экономических наук Н.Д. Эриашвили

Моделирование экономических процессов: Учебник

М71 для студентов вузов, обучающихся по специальностям

экономики и управления (060000) / Под ред. М.В. Грачевой,

Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. - М.: ЮНИТИ-ДАНА,

2005.

- 351с.

Агентство CIP РГБ

ISBN 5-238-00856-2

Рассмотрены теория оценивания эконометрических зависимостей,

модели оптимизации потребительского выбора, производственные функ-

ции, модели и задачи теории отраслевых рынков, модели долгосрочного

экономического равновесия, инструмент краткосрочного анализа эконо-

мики — модель IS-LM, вопросы открытой экономики, количественные

методы экономических исследований, анализ эффективности инвестици-

онного проекта, количественные подходы к риск-анализу, проблемы на-

дежности измерений с позиций надежности цен.

Для студентов и аспирантов экономических факультетов и вузов,

а также преподавателей и научных работников.

ББК 65вбя73-1

ISBN 5-238-00856-2 © Коллектив авторов, 2005

Предисловие

В учебнике приведены и проанализированы микроэкономические

и макроэкономические модели, а также основной материал по эконо-

метрике, которая представляет собой важный инструмент описания,

анализа и прогнозирования микро- и макроэкономических процессов.

Микроэкономические модели описывают задачи оптимизации

потребления и производства, а также задачи теории отраслевых рын-

ков,

которые выделились из микроэкономики и имеют до сих пор с

ней не пустое пересечение.

В учебнике представлены базовые модели макроэкономического

анализа для краткосрочных и долгосрочных промежутков. Рассмот-

рены неоклассическая модель общего экономического равновесия,

модели экономического роста (Харрода—Домара и Солоу), модели

IS-LM и модели IS-LM в открытой экономике. С помощью этих мо-

делей проанализированы основные взаимосвязи микроэкономиче-

ских и макроэкономических переменных. Особое внимание уделяет-

ся последствиям различных вариантов макроэкономической полити-

ки.

Выводы иллюстрируются конкретными макроэкономическими

примерами из хозяйственной практики России и других стран.

В главе, посвященной экономико-математическому инструмен-

тарию и анализу проектных рисков на основе изучения современных

проблем инвестиционной деятельности и внешней для проекта сре-

ды,

описывается роль анализа проектных рисков в ходе разработки

бизнес-плана проекта и управления им.

И, наконец, в учебнике рассмотрена слабо разработанная в

учебной литературе проблема экономических измерений в стои-

мостном выражении, которая включает теорию стоимости как по-

пытку обоснования надежности экономических измерений с по-

мощью рыночных цен, современную теорию стоимости и цен, оп-

тимизацию по Парето и теорию стоимости. В учебнике приведены

примеры, иллюстрирующие применение разобранных математи-

ческих методов.

При подготовке учебника был учтен многолетний опыт препо-

давания разнообразных математических моделей экономики на

экономическом факультете МГУ и опыт других экономических ву-

зов и факультетов.

Труд авторов разделился следующим образом:

глава

1 —

канд. экон. наук, доц.

Е.Н.

Лукаш;

глава 2

—

канд. экон. наук, доц. В

А.

Чахоян;

глава

3 —

д-р экон. наук, проф.

Ю.Н.

Черемных,

§§ 3.4, 3.5

—

канд. экон. наук, доц.

О. О.

Замков;

глава 4

—

д-р экон. наук

проф.

ЮЖ

Черемных;

глава 5

—

ст. препод. А.Д.

Вурос;

главы 6—8

—-

канд. экон. наук, доц. ЕЛ. Туманова,

канд. экон. наук, доц. Н.Л.

Шагас;

глава 9

—

д-р экон. наук, проф. МВ.

Грачева;

глава 10

—

д-р экон. наук, проф. Б.Л.

Воркуев.

Эконометрика:

метод наименьших квадратов

в регрессионном анализе

В данной главе рассматривается общая теория оценивания эко-

нометрических зависимостей, входящая в начальный курс эконо-

метрики. Показывается, что при определенном наборе допущений о

структуре модели метод наименьших квадратов (МНК) дает опти-

мальные оценки параметров модели и что невыполнение этих до-

пущений может привести к ошибочным выводам; закладывается

фундамент для решения различных проблем эконометрики, возни-

кающих при невыполнении этих допущений.

1.1. Экономические и статистические модели

Экономическую

модель можно определить как модель, основан-

ную на экономической теории. Экономическая теория обычно опи-

сывает устойчивые «долгосрочные» связи между переменными. На-

пример, в теории потребления рассматривается простейшая форма

зависимости потребления в период t (y

) от дохода (x

). Предполагая,

что потребление пропорционально доходу и реагирует на его изме-

нение моментально (в тот же период), можно записать, что

Уг =Pi+P

*r+8,, (1-1)

где б

—

случайная ошибка (отклонение).

Наличие случайной ошибки в уравнении (1.1) выражает тот

факт, что хотя доход и является наиболее существенным фактором,

формирующим потребление, но знания величины дохода не доста-

точно для однозначного определения величины потребления —

имеются дополнительные факторы, не учитываемые в модели явно,

действие которых приводит к отклонениям от основной (модель-

ной) зависимости. Свойства, которыми могут обладать случайные

ошибки е,, будут обсуждаться позже.

Иногда можно получить хорошую аппроксимацию поведения у,

не обращаясь ни к какой экономической теории. Одной из простых

моделей временного ряда, описывающего динамику потребления,

могла бы быть, например, так называемая авторегрессионная мо-

дель первого порядка AR(1):

= а,

+e,. (1.2)

Возможно, что в рассматриваемом случае имеется некоторая

экономическая теория, объясняющая разумность использования

уравнения (1.2), но важно подчеркнуть, что разработчик модели

временного ряда преследует несколько иную цель, чем разра-

ботчик экономической модели. Первый из них стремится к та-

кому описанию, которое является хорошим приближением пове-

дения временного ряда для зависимой переменной, и не интере-

суется причинным механизмом формирования значений этой пе-

ременной. В противоположность ему усилия разработчика эко-

номической модели направлены на объяснение поведения инте-

ресующей его переменной как результата действия на нее ряда

факторов. Следуя экономической теории, он описывает предпо-

лагаемую зависимость между экзогенными и эндогенной пере-

менными и затем пытается проверить сформулированную эконо-

мическую гипотезу, представленную, как правило, в виде неко-

торых ограничений на коэффициенты модели временного ряда.

Например, согласно теории жизненного цикла потребления при

рациональных ожиданиях разумно предположить, что в однофак-

торной модели потребления (1.2) будет выполняться соотноше-

ние а

= 1.

1.2. Временные ряды и случайные процессы

Случайный

процесс

—

это семейство случайных величин, за-

висящих от параметра /еГ, интерпретируемого как время. При

каждом конкретном значении t величина X

может в зависимости

от случая принимать одно из своих возможных значений. Так,

если мы решили ежедневно в одно и то же время суток в течение

недели записывать объем потребления электроэнергии в некото-

рой семье, то результат наблюдений можно описать набором из

семи случайных величин (по одной на каждый день недели), ко-

торые вместе составляют случайный процесс. Любая конкретная

реализация случайного процесса есть временной ряд. Любой эле-

мент временного ряда — это число, называемое

наблюдением.

Лю-

бой элемент стохастического процесса — случайная переменная.

Случайность здесь связана с тем, что запись результатов для лю-

бой другой недели даст новый конкретный набор из семи чисел.

При этом нельзя сказать заранее, каким будет точный расход

электричества в каждый из дней недели, но можно указать веро-

ятности попадания наблюдений в любые конкретные промежут-

ки возможных значений. Вообще, моделирование временного ряда

подразумевает задание такого случайного процесса, который мог

бы сгенерировать наблюдённый временной ряд. Следуя обще-

принятой практике, мы будем использовать одни и те же обоз-

начения как для элементов случайного процесса, так и для эле-

ментов временного ряда.

1.3. Свойства случайных процессов

В приведенном выше примере с потреблением электроэнергии,

выборочное

среднее значение определяется как среднее арифме-

тическое значений элементов наблюдённого временного ряда. Тео-

ретическое

среднее

значение (или

математическое ожидание)

— это

«ожидаемое» значение каждого элемента случайного процесса, т.е.

результат осреднения всех возможных значений интересующей нас

величины. Если процесс эргодический, то его начальные и цен-

тральные теоретические

моменты

(в том числе среднее, дисперсия и

т.д.) могут быть оценены «хорошо» (или, если быть точным, «со-

стоятельно»

— см. ниже) при помощи соответствующих моментов

наблюдённого временного ряда, взятого за достаточно длительный

период времени.

Пусть, например, переменная у подчиняется модели AR(1) сле-

дующего вида:

.у, =Р.у

+е,, '(1-3)-

где е,

—

случайная величина с нулевой средней и постоянной дис-

персией а

, не коррелирующая с любой другой величиной из по-

следовательности {е,, t е Z = {...,—1, 0, 1, 2,

...}},

т.е.

£(е,)

D(E

)

E(e?)

Gl; (1.4)

cov(e,, e

_j) =

для любого j

О.

Случайный процесс с подобными свойствами часто называют

«белым шумом». Класс процессов, являющихся белым шумом,

входит в более общий класс случайных процессов, а именно ста-

ционарных случайных процессов. Случайный процесс у

t e Z,

слабостационарен

, если имеет постоянные математическое ожи-

дание и дисперсию, а ковариация между любыми двумя его эле-

ментами зависит только от промежутка времени между этими

элементами:

Слабостационарный процесс часто называют также стационарным в широком

смысле.

D(y

)

E(y

)

=y(0)<«>;

(1.5)

cov(y,, y

_j)

YO)

доя

любого

Случайный процесс

строго

стационарен

если при лю-

бом

п (п = 1, 2, ...)

совместное распределение

элементов

случайного процесса

t ь

, ..., y

взятых

для

произвольных

моментов времени

< /2 < •••

< t

не

зависит

от

сдвига во време-

ни,

т.е. для любого целого числа Г и любых промежутков

\а

1У

ЬЦ.

= 1,

..., п:

P{y

e[a

..., у

е[а

, #„]}

P{y

t{+T

e[a,

Ь]

....,

t+T

e[a

]}.

В данной главе термин

стационарность

будет

основном упот-

ребляться применительно

слабой

стационарности.

Если процесс

строго стационарен

имеет конечные начальные моменты второго

порядка, то, очевидно,

он

будет слабостационарным. Обратное, во-

обще говоря, не верно. Однако важно обратить внимание, что если

процесс слабостационарен

нормально распределен,

то он

также

строго

стационарен.

Уравнение (1.3) можно записать следующим образом:

(l-pL)y

(1.6)

где

— оператор сдвига, для которого

(1-pL) явля-

ется, таким образом, полиномом первого порядка

от

оператора

сдвига.

Если уравнение (1.3) записать для периода /

•'—

1, получим

Подстановка равенства (1.7)

уравнение (1.3) даст уравнение:

=tfy

+Vs^.

Если

уравнении (1.3) заменить 7 на

—

2, т.е. перейти на два

периода назад,

подставить результат

(1.8),

то

получим выра-

жение для

через переменные

, е,, e,_i

/-2

•

Выполняя ана-

логичные подстановки лаговых значений

у,

после

—

1 замен по-

лучим

Строго стационарый случайный процесс называют также

стационарным

узком

смысле.

p>,_„

+ре

+РЧ_

РЧ-З+-+P"~4-*+P

(Ь9)

Если |р|< 1, то по мере увеличения л (w -> оо) p

неограниченно

уменьшается (р

-»0). Поэтому, переходя к пределу при я-»оо ,

получаем

И = е, +ре

е,-

ЭЧ-З

+ •••>

1Л

°)

или с использованием оператора сдвига:

=[1

р1 +

(р1)

+(р1)

+...]б

Применив к обеим частям этого уравнения оператор сдвига,

умноженный на р, и вычтя полученное выражение из (1.10), по-

лучим

(1-Р1)

=8, (1.11)

или, переходя к обратному оператору,

Поскольку s,, является белым шумом, то из (1.10) получим

E(y

)

£(е,)

р£(е

)

Я(е,-

)

...= 0 ;

Z)(^)

^(^

) =

(l +

4-p

+..)cTf

-(I-P^-'CT^

cov(y

) = ^[(e

+Ре

е,_

+..,.)-(е,-у

+'Ре,-у-1

+ РЧ-у-2 +.-)] = Р

^). (1.12)

Сравнивая выражения (1.12) с (1.5), получим, что процесс

AR(1),

заданный уравнением (1.3), является стационарным при

Фактически вся стандартная эконометрическая теория базиру-

ется на предположении о стационарности рассматриваемых процес-

сов.

Однако большое число экономических временных рядов —

особенно в макроэкономике и финансах — не обладают свойством

стационарности. Технике исследования нестационарных процессов

посвящена обширная литература (см., например, [1], [2], [4]).