Готовский М.А. Основы научных исследований теплогидродинамических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Рр

будет

лишь

фигурировать

члене

оpl

ot.

результате

интегрирования

получим

следующее

уравнение

(66)

РИС.13.

Контрольный

объем

для

уравнения

неразрывности

Если

теперь

вместо

составляющих

скорости

под

ставить

их

выражения

из

формул

(62), (63)

то

после

группировки

получим

следующее

уравнение

для

сеточных

значении

(67)

где

(68)

•

Равенство

величины

нулю

соответствует

выполнению

уравнения

неразрыв

ности

для

приближенного

поля

скоростей

давлений.

Пока

это

равенство

не

соблюдается,

необходимо

введение

поправок.

Теперь

можно

описать

процедуру

расчета

поля

течения

виде

последова

тельности

выполняемых

операций:

Задание

поля

давлений

Решение

системы

уравнений

движения

вида

(55)

для

получения

первого

приближения

поля

скоростей

Решение

уравнения

(67)

для

Расчет

из

уравнения

(56).

Расчет

и.

помощью

формул

(62-64).

Представление

скорректированного

давления

как

нового

р*

повторение процедуры,

начиная

п.2.

Мы

не

будем

вдаваться

детали

описанного

алгоритма.

Однако

один

вопрос

все

же

должен

быть

рассмотрен.

Дело

том,

что

все

записанные

уравнения

относятся

окрестности

не

которого

узла

сетки.

При

решении

задачи

целом

уравнения

должны

записываться

для

всех

узлов.

То

есть

нам

необходимо

решать

систему

линейных

алгебраических

уравнений

для

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

а"

«, I ,

1=1

/",)

значений

функций

узлах

сетки.

Эта

задача

является

одной

из

классических

задач

алгебры

ее

решение

виде

частного

определителей

входит

школьный

курс

алгебры.

Однако,

прямое

использование

этих

формул

вычислительной

практике

является

слишком

тру

доемким.

Поэтому

существует

ряд

существенно

более

удобных

способов.

Мы

здесь

рассмотрим

лишь

один

из

них,

который

является

одним

из

наиболее

часто

используемых

на

практике.

Это

метод

Гаусса-Зайделя.

Этот

метод

чрезвычайно

прост,

но

сходится

лишь

тех

случаях,

когда

матрица

коэффициентов

удовлетворяет

специальному

условию

«диагонального

преобладания».

счастью,

системы,

получаемые

при

численном

решении

уравнений

теплоотдачи

гидродинамики,

заведомо

удовлетворяют

этому

условию,

поскольку

уравнение

для

каждого

узла

входят

лишь

значения

функции

соседних

точках.

Обычно

матрице

заполненными

оказываются

3-5

диагоналей.

Метод

реализуется

следующим

образом:

Задается

начальное

приближение

(при

этом

значение

одной

из

неизвестных

можно

не

задавать).

Из

каждого

уравнения

определяется

неизвестная,

коэффициент

перед

которой

имеет

наибольшую

абсолютную

величину

она

определяется

через

остальные.

Процесс

повторяется

итерационно

до

тех

пор,

пока

значения

неизвестных

на

двух

последовательных

итерациях

не

будут

отличаться

на

заданную,

достаточно

малую

величину.

Проиллюстрируем

метод

на

простом

примере.

Пусть

мы

имеем

систему

3х

- 2z = 5

5у

+ Z = 8

-х

3у

+ 7z = 2

Приводим

ее

виду

= 1/3 (5 -

+ 2z)

= 1/5(8 -

5у

- z)

z = 1/7 (2

-Зу

х)

Далее, задавая

последовательные

приближения,

находим

х,

у,

Предположим,

что

для

каждого

уравнения

максимальный

коэффициент

находится

на

главной

диагонали.

Тогда

достаточное

условие

сходимости

метода

Гаусса-Зайделя

формулируется

следующим

образом.

Если

а"

«, 1

для

всех

хотя

бы

для

одного

/=1

/",1

то

метод

сходится.

Но

он

может

сходиться

при

менее

жестких

условиях.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Некоторые

современные

модели

турбулентности

Еще

Прандтль

отметил,

что

модель

пути

смешения

слишком

упрощает

сложную

картину

формирования

турбулентного

течения.

частности,

одномерное

представление

масштаба

турбулентных

пульсаций

не

учитывает

того

фактора,

что

даже

при

однонаправленном

осредненном

движении

интенсивность

турбулентных

пульсаций

определяется

всеми

тремя

компонентами

пульсаций

скорости.

качестве

примера

недостатков

модели

Прандтля

можно

привести

оцен

ку

турбулентной

вязкости

центральной

части

трубы,

которая

там

стремится

нулю.

Поэтому,

если

наши

потребности

не

ограничиваются

описанием

процес

сов,

протекающих

вблизи

стенки,

то

необходимо

использовать

более

слож

ные

модели.

Для

удобства

дальнейшего

представления

рассматриваемых

задач

введем

более

компактную

форму

записи

уравнений

гидродинамики

теплообмена.

Пространственные

координаты будем

записывать

виде

х.,

Xj ,

Xk,

где

i, j,

принимают

значения

1,2, 3.

Нижние

индексы

обозначают

производ

ные

по

соответствующей

координате.

При

наличии

симплексе

повторя

ющихся

индексов

подразумевается,

что

по

ним

про

изводится

суммирование.

При

использовании

введенных

правил

система

уравнений

гидродинамики

для

несжимаемой

жидкости

будет

выглядеть

следующим

образом

(1)

ди

)

дх}

ди,

lдр

+И.--=-

+---T·.

дх}

рдх,

дх

, J

Уравнения

движения

можно

также

записать

виде

+~(UjUk)=_lap

+~~T.k

j·

рдх

(2)

Везде подразумевается

суммирование

от

до

по

индексу

Все

функции,

входящие

рассматриваемую

систему

для

турбулентного

движе

НИЯ,состоят

из

осредненной

пульсационной

части.

При

выделении

этих

частей

осреднении

по

времени

мы

получим

уравнения

Рейнольдса,

кото

рые

отличаются

от

уравнений

для

ламинарного

течения

наличием

так

назы

ваемых

рейнольдсовых

напряжений

(3)

--------

-------

Для

несжимаемой

жидкости

удобно

ввести

кинематический

аналог рейнольд

совых

напряжений,

который

является

квадратом

некоторой

скорости

г,

ко

торая

называется

скоростью

касательных

напряжений

или

динамической

скоростью

Если

уравнение

(2)

умножить

на

и.,

то

получим

уравнение

(4)

[дИ

+~(ии

)J=и[-~+2-~rl

д!

дх

, J k I

рах,

дх)

Jl)

(4)

Если

поменять

местами

индексы

полученные

уравнения

сложить

затем

осреднить

по

времени,ТО

мы

можем

получить

после

ряда

преобра

зований

уравнение

для

рейнольдсовых

напряжений

LRik:

(5)

левой

части

этого

уравнения

стоит

полная

производная

от

рейнольдсовых

напряжений

LRik.

Первый

член

правой

части

имеет

весьма

сложную

струк

туру

интерпретируется

как

градиент

некоторого

диффузионного

потока,

обусловленного

различными

видами

взаимодействия

турбулентном

потоке.

Член

описывает

обмен

энергией

между

пульсациями

давления

турбулентного

трения.

Член

определяет

так

называемое

порождение

турбулентности

(передачу

энергии

от

осредненного

движения

пульсационному).

Наконец,

cik

диссипативный

член,

характеризующий

преобразование

энергии,

подведенной

пульсационному

течению,

частно

сти,

перенос

энергии

от

крупномасштабных

вихрей

мелкомасштабным

вихрям,

которых

происходит

вязкая

диссипация.

Это

уравнение

не

является

замкнутым,

поскольку

величины,

входящие

правую

часть,

неизвестны.

Для

замыкания

уравнения

необходимо

моделирование

этих

членов

на

основе

использования

эмпирических

данных

различных

упрощающих

предпо

ложений

подчас

даже

эвристического

характера.

Частным

случаем

уравнения

(5)

является

уравнение

для

кинетической

энергии

турбулентных

пульсаций

(6)

Оно

получается,

если

принять

уравнении

(5) i = k

просуммировать

по

всем

i = k

умножить

на

1/2.

результате

приходим

следующему

уравнению

для

кинетической

энергии

турбулентных

пульсаций

ak ak

+U. = D

ах

-&5"

t .

Х}

(7)

Это

уравнение

отличается

от

(5)

лишь

отсутствием

члена,

соответствующего

что

вполне

логично.

Остальные

члены

правой

части

соответствуют

аналогичным

членам

уравнении

(5).

Анализ

отличий

этих

выражений

друг

от

друга

не

входит

нашу

задачу,

поскольку,

как

будет

видно

из

дальнейше

го,

их

аппроксимация

никоим

образом

не

связана

этими

отличиями.

Чтобы

преодолеть

ограниченность

гипотезы,

пути

смешения были

раз

работаны

модели

турбулентности,

позволяющие

учитывать

перенос

турбу

лентности

помощью

уравнения

(5).

При

этом

характерный

масштаб

скоро

сти

выражении

для

турбулентной

вязкости

стали

определять

через

k ;

/12

VT =

(8)

где

константа

для

развитой

турбулентности;

L -

линейный

масштаб.

Таким

образом,

мы

можем

получить

уравнение

относительно

которое

содержит

порождение

турбулентности

диссипативную

функцию

Е,

Равенство

этих

двух

величин

определяет

локальное

равновесие

турбу

лентности.

Чтобы

замкнуть

задачу,

вводят

следующие

соотношения

для

диффузи

онного

диссипативного

членов

D =

(vt

G"k

ах,

где

(J'k,

со

эмпирические

константы.

Формула

носит

название

формулы

Колмогорова-Прандтля.

(9)

(10)

учетом

всего

вышесказанного

уравнение

переноса

турбулентной

энергии

записывается

виде

ak ak

)

ах}

[( V

)

ak]

3/2

у+...

- + +

D k I L

дх}

G"k

ах}

(11)

При

этом

кинематическая

турбулентная

вязкость

выражается

как

k/12

L = cDel& .

Линейный

масштаб

определяется

помощью

эмпирических

соотношений.

Что

касается

величины

Р,

то

выражение

для

нее

имеет

вид

, ,

ди;

ди~

-(uiu

)

'ij

. (12)

дх дх

) )

Отметим,

что

все

определяемые

величины

уравнениях

(6-12)

берутся

расчете

на

единицу

объема,

что

достигается

путем

деления

на

плотность

р.

Поэтому,

как

уже

говорилось

выше,

касательное

напряжение

1ij

имеет

размерность

квадрата

скорости

г.

первоначальных

схемах

использовалось

лишь

уравнение

(11)

для

аппроксимации

этого

члена

привлекалась

модель

пути

смешения.

Однако,

мы

не

будем

рассматривать

вариант

одним

уравнением,

сразу

перейдем

схеме

двумя

уравнениями.

качестве

второго

уравнения

рассматривается

уравнение

для

диссипации

Е,

которое

также

можно

получить

из

уравнения

движения

(1).

Для

этого

ура

в-

нение

надо

продифференцировать

по

х,

Умножая

результат

на

ди;

дх

осредняя

по

времени,

получим

де

+и.

= D

+Р

(13)

)

ах

дх

е'

. )

Индекс

указывает

на

отличие

величин

РеИ

Ее

уравнении

(7).

Система

уравнений

(11)

(13)

совокупностью

выражений

для

некоторых

входящих

них

величин

коэффициентов

составляет

так

называемую

к-е

модель

турбулентности,

которая

70-80-е

годы

являлась

основой

разраба

тываемых

коммерческих

пакетов

для

решения

задач

гидродинамики

тепло

массообмена.

Система

(14)

представляет

собой

стандартную

k-E

модель

ди~

+ CD k

3/2/

+и

[

(у+

) ] +

,..

д:

)

дх)

'Х)

де

ди~

+и

[(у+

] +

Се)

'i)

(14)

at )

дх)

дх

«,

дх)

Позже

стали

появляться

новые

версии

модели,

которые

выражаются

модификации

формул

для

коэффициентов,

содержащихся

последней

строке.

Модель,

выражаемая

системой

(14),

пригодна

лишь

для

чисто

турбу

лентных

течений,

то

есть,

когда

влияние

вязкости

на поле

осредненных

скоростей

пренебрежимо

мало

Вблизи

стенок,

где

местные

числа

Рейно

льдса

ReT

малы

вязкие

эффекты

превалируют

над

турбулентными,

необхо

димо

использование

какого-либо

особого

подхода.

Одним

из

наиболее

распространенных

подобных

подходов

является

использование

пристенных

функций

(ПФ)

Как

известно,

пристенная

область

течения

может

быть

разбита

на

зоны

вязкий

подслой,

буферный

слой

логарифмический

слой.

Перечисленные

участки

занимают

около

20%

толщины

турбулентного

пограничного

слоя

(ПТС),

но

содержат

порядка

80%

энергии

турбулентности.

Одно

из

важных

свойств

внутренней

области

заключается

том,

что

профиль

скорости

слабо

зависит

от

числа

Рейнольдса,

продольного

градиента

давления

прочих

внешних

условий,

хотя,

другой

стороны,

эти

условия

могут

вызвать

уменьшение

толщины

внутренней

области

вплоть

до

полного

ее

вырождения.

Отмеченное

свойство

послужило

основой

для

построения

некоторых

универсальных

соотношений

ПФ,

связывающих

параметры

течения

расстоянием

от

стенки.

Наряду

универсальностью

профиля

скорости

во

внутренней

области,

метод

ПФ

опирается

на

использование

гипотезы

локальном

равновесии

энергии

турбулентных

пульсаций,

также

свойства

локальной

изотропности

диссипирующих

вихрей.

Рассмотрим

основные

положения

метода

ПФ.

Пусть

ближайший

стенке

расчетный

узел

находится

логарифмическом

слое

ТПС

на

расстоянии

ур от

стенки.

Тогда

для

значения

энергии

этой

точке

турбулентных

пульсаций

скорости

диссипации

ер

имеем

Ер

(c~1/2

k//

)/(kyp)

1w/C~1/2

, (15)

где

1\\

трение

на

стенке.

Принимая

приближенно

Ут

дu

ду

Ут

дu

ду

~\'

Ут,

определяем

Ут

по

формулам

Ут

ICj.ll/4

l 2

[и

«,

где

I-длина

пути

смешения.

Из

условия

локального

равновесия

(дu

ду

); =

Ep/(c~1/2

) .

Тогда

(дu

ду

(C~I/2

)/(KYp) =

u/(кур)

Важно

отметить,

что

ер,

'И'

неизвестные

величины.

Поэтому

опреде

ляется

не

из

соотношения

(15),

из

соответствующего

уравнения

переноса,

считая,

что

градиент

на

стенке

направлении

нормали

ней

равен

нулю.

Тогда

поток

диффузии

через

грань,

совпадающую

со

стенкой

равен

нулю.

Определив

можно

использовать

(15)

для

расчета

трения

на

стенке,

комбинируя

его

логарифмическим

профилем

скорости.

Тогда

получаем

соотношение

14k

12-

1 1-

l' /

(Еу.;

) ,

(16)

где

эмпирическая

константа

для

логарифмического

профиля,

равная

8,8

для

гладкой

стенки.

Практически

для

расчетов

используется

двухслойная

схема.

Если

11,6,

то

применяется

уравнение

(16).

противном

случае

считают,

что

точка

находится

ламинарном

подслое

~\'

уиь/у».

Упрощенная

процедура

используется

также

для

расчета

сеточных

ана

логов

членов,

описывающих

порождение

турбулентности

(Р)

диссипацию

с.

Простейший

вариант

таков:

l"w

L1x

ер

Бур

+ ,

где

L1x-

продольный

размер

контрольного

объема,

и;

продольная

скорость

на

верхней

границе

контрольного

объема,

ер

l"w

312

(Кур).

Таким

образом,

при

построении

модели

турбулентного

течения

ядре

потока,

для

описания

пристенной

области

оказывается

достаточно

упрощенного

подхода.

Однако,

некоторых

случаях

оказывается

необхо

димым

использовать

более

сложные

аппроксимации

для

пристенной

области.

Надо

сказать,

что

синтез

двух

подходов,

из

которых

один

обеспечивает

описание

течения

пристенной

области,

другой

вдали

от

стенки,

является

общепринятым

методом

анализа

сложных

задач турбу

лентного

течения.

Кратко

описанная

выше

к-в

модель

не

оставляет

возможностей

для

аналитических

решений.

Составление

алгоритмов

численных

решений

для

системы

уравнений

(14)

представляет

собой

достаточно

сложную

задачу,

для

решения

которой

требуется

профессиональная

подготовка

значительные

затраты

времени.

Поэтому

для

реального

внедрения

этих

методов

расчетную

практику

потребовалось

создание

так

называемых

коммерческих

пакетов,

которых

рутинные

операции,

связанные

конкретным

построе

нием

дискретных

аналогов

уравнений,

выполняются

автоматически,

а за

пользователем

остается

лишь

постановка

задачи

некоторых

случаях

выбор

ряда

конкретных

деталей

используемой

модели,

которые

его

точки

зрения

важны

для

рассматриваемой

задачи.

Первый

такой

пакет

SIMPLE

был

создан

под

руководством

одного

из

создателей

расчетной

теплогидродинамики

проф.

Б.Сполдинга.

Позже

появился

целый

ряд

подобных

пакетов

STAR-CD, FLUENT

др.

Имеется

также

ряд

двухпараметрических

моделей

k-co,

которых

вместо

диссипации

используется

завихренность.

Однако,

их

описание

потребовало

бы

использования

громоздких

выражений,

восприятие

которых

рамках

краткого

курса

было

бы

затруднительным.

Отметим

лишь

то

обстоятельство,

что

они

оказываются

удобными

для

решения

задач,

которых

более

важно

качество

описания

пристенной

области.

последних

моделях

турбулентности

намечается

уже полный

отход

от

понятия

турбулентной

вязкости,

поскольку

градиентная

концепция

турбулентного

переноса

оказывается

непригодной

при

рассмотрении

сложных

задач.

---------

-----

----------------------

--------------

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ

СПИСОК

Седов

Л.И.

Методы

подобия

размерностей

механике

[Текст]

Л.И.Седов

М.:

Наука,

1987 - 430

с.

Баренблатт

Г.И.

Подобие,

автомодельность,

промежуточная

асимптотика.

[Текст]/

Г.И.Баренблатг

Л.:

Гидрометеоиздат,

1970. -207

с.

Мигай

В.К.

Моделирование

теплообменного

энергетического

оборудования.

[Текст]

В.К.МигаЙ

Л.:

Энергоатомиздат

ЛО,

1987. - 264

с.

Новиков

И.И.,

Боришанский

В.М.

Теория

подобия

термодинамике

теплопередаче

[Текст]

И.И.Новиков,

В.М.БоришанскиЙ

М.:

Атомиздат,

1979.- 184

с.

Вентцель

Е.С.

Теория

вероятностей

[Текст]

Е.С.Вентцель

М.:

ФМЛ,

1962. - 564

с.

Гуревич

Э.И.

Тепловые

испытания

исследования

электрических

машин

[Текст]/

Э.И.Гуревич

Л.:

Энергия,

1977. - 294

с.

Зайдель

А.Н.

Погрешности

измерений

физических

величин

[Текст]

А.Н.ЗаЙдель

Л.:Наука,

1985. - 112

с.

Андерсон

Д.,

Таннехил

Д.,

Плетчер

Р.

Вычислительная

гидромеханика

теплообмен.

T.l

[Текст]

перевод

англ.

под

ред.

г.Л.Подвидза.

М.:

Мир,

1990 -384

с.

Патанкар

С.

Численные

методы

решения

задач

теплообмена

гидродинамики

жидкости

[Текст]

перевод

англ.

под

ред.

В.Д.Виленского.

М.:

Энергоатомиздат,

1984. - 152

с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение..................................................................

Раздел

1.Роль

моделирования,

анализа

размерностей

подобия

изучении

процессов

тепломассобмена

... 5

1.1

1.2

1.3

1.4

1.4.1

1.4.2

1.4.3

1.4.4

1.4.5

1.5

1.6

1.7

1.8

1.8.1

1.8.2

1.9

1.1

1.11

1.11.1

1.11.2

1.12

Введение

проблему

Понятие

размерности

Единицы

измерения.

Структура

функциональных

связей

между

физическими

величинами

П-теорема

Букингама

Примеры

приложения

теории

размерности

решению

конкретных

задач

Задача

нестационарной

теплопроводности

Движение

вязкой

жидкости

прямолинейной

трубе

Теплоотдача

тела

потоке

жидкости

Заполнение

сосуда

через

подводящую

трубу

Распространение

взрывной

волны

от

атомного

взрыва

Использование

теории

размерности

подобия

при

моделировании

Метод

подобия,

базирующийся

на анализе

уравнений

процесса,

приведенных

безразмерному

виду

Турбулентность

аналогия

Рейнольдса.........

. .

Подобные

(автомодельные)

решения

уравнений

теплогидродинамики

Использование

метода

подобия

для

решения

нестационарного

уравнения

теплопроводности

Автомодельное

решение

для

пограничного

слоя

на

бесконечной

пластине

Термодинамическое

подобие

закон

соответственных

состояний

.............•.

Использование

термодинамического

подобия

для

описания

процессов,

протекающих

на

линии

насыщения

Использование

термодинамического

подобия

для

описания

теплообмена

при

наличии

фазового

перехода

(кипение

конденсация)

Теплоотдача

при

пузырьковом

кипении

Теплоотдача

при

конденсации

Проблемы

моделирования

теплогидравлических

процессов

при

их

экспериментальном

исследовании

'" .