Горбунов В.Ф. Изучай сопромат самостоятельно

Подождите немного. Документ загружается.

121

3. Нарисуйте графики функций

,sin xy

y cos

. Чему равен период этих

функций?

4. Чему равны производные от функций

,sin xy

y cos

Теоретическая механика

1. Чему равен момент силы относительно точки?

2. Запишите условия равновесия плоской произвольной системы сил.

Сопротивление материалов

Ответьте на вопросы самоконтроля модулей «Введение», «Растяжение,

сжатие», «Геометрические характеристики плоских сечений», «Изгиб» (см. с.

41 55, 80, 97).

Устойчивость стержня за

пределом линейной упруго-

сти материала

Практический метод расчета сжатых стержней на устойчивость

Формула Эйлера для определения критической силы

Пределы применимости формулы Эйлера Критическое напряжение

Хрупкое раз-

рушение

Напряжения в стержне не превышают предел

пропорциональности,

Потеря прочности

Пластическое

течение

Переход к упругому равновесию

при другой форме оси стержня

Сжатие стержня

Опасное состояние Потеря устойчивости упругого равновесия

Упругое равновесие

Формула Ясинского для расчета

критического напряжения

Схема 74. Устойчивость сжатых стержней

122

Схема 75. Понятие устойчивости (упругого равновесия)

4.10.2. Изучение теории

Перед тем как изучать материал данного модуля по учебникам и конспек-

там лекций, внимательно рассмотрите информационно – логическую схему 74.

Используя ее как путеводитель по теории, изучите проблему устойчивости.

Для повторения материала используйте структурно-логические схемы 75-

78. Не забывайте использовать технологическую схему 15.

Упругое равновесие

Равновесие между внешними и вызываемыми ими внутренними силами

упругости

FF f

При любом малом воз-

действии тело не воз-

вращается в первона-

чальное состояние уп-

ругого равновесия

Неустойчивое Критическое Устойчивое

При любом малом

воздействии тело

возвращается в пер-

воначальное состоя-

ние упругого равно-

весия

Тело может сохранить

первоначальную фор-

му упругого равнове-

сия, но может и поте-

рять ее от незначи-

тельного воздействия

Критическая нагрузка, F

сr

Устойчивость

[52], глава 15

Рекомендуем прочитать

[54], глава 14

[59], глава 12 [60], глава 10

123

Формула Эйлера

EJn

π=

=≠

nкl

0,sinкi ;0с

При Z=l, У=0

кzsinсу

0с

;0cosc0sinс0

При Z=0,

У=0;

Находим корни характеристиче-

ского уравнения

кir ,кir

−

Решение дифференци-

ального уравнения

ищем в виде

кzcoscкzsinсу

Составляем характеристическое уравнение

0кr

Однородное дифференциальное уравнение второго

порядка с постоянными коэффициентами

0уку

′′

Упругое равновесие М

=М

FууEJ

−=

′′

−=

′′

Момент внешних сил от-

носительно сечения В

=-Fу

Момент внутренних

сил в сечении В

= уEJ

′′

Кривизна упругой линии стержня

′′

≈=

у=f(z

)

Рассматриваем изогнутое состояние прямолинейного упругого стерж-

ня, нагруженного центрально приложенной сжимающей силой F

Исходные предпосылки

Стержень находится в упругой стадии нагружения

≤

Решаем диффе-

ренциальное

уравнение

0кlsinс

Деформации малы

Схема 76. Формула Эйлера для определения критической силы

124

Гибкость,

i E

σ≤

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=σ

Коэффициент

приведения

длины

Условия закрепления

Радиус инерции

Напряжения в сжимаемом

стержне при F

σ≤

==σ

Деформации малы

Исходные предпосылки Эйлера

Стержень находится в упругой

стадии нагружения:

σ≤σ

Критическая величина гибкости

уxcr

=λ=λ=λ

Пределы применимости

формулы Эйлера

λ≥

Схема 77. Пределы применимости формулы Эйлера

Критическое напряжение

Формула Ясинского

λ−=

ва

сr

Опасное состояние

Гибкость стержня

уcr

ucr

σ=σ

Малая

λλ p

Средняя

cr0

λλλ pp

Большая

=λ≥λ

=σ

Потеря устойчивости

Хрупкое разрушение

без потери устойчи-

вости

Пластическое течение

без потери

устойчи-

вости

Схема 78. Критическое напряжение при сжатии и гибкость

стержня

125

4. Вычисляем допускаемое напряжение при расчете на устойчивость

ϕσ

Коэффициент

при проверке ус-

тойчивости и определении допус-

каемой наг

ру

зки

Если

1ii +

ϕ≈ϕ

Если

≠

′

11. Повторяем цикл вы-

числений (10, 1, 2, 3),

приняв

2)(

112

′

6. Стержень устойчив

если

adm

ϕσ≤σ

10. Определяем пло-

щадь сечения

adm

FA σϕ=

9. Выбираем форму и

размеры сечения

Проверка на устой-

чивость

(

)

Определение допус-

каемой нагрузки

(

)

8. Принимаем 5,0

=ϕ

Подбор сечения

(8, 9, 10, 1, 2, 3, цикл, 4, 5, 6)

1.Определяем наименьшее значение осевого

момента инерции J

min

и радиус инерции

AJi

minmin

5. Вычисляем на-

пряжение в попе-

речном сечении

стержня:

AF=σ

3. В зависимости

от материала и

гибкости по табли-

це определяем

Стержни средней гибкости

Стержни большой гибкости

Обобщенное условие устойчивости сжа-

тых стержней:

adm

ϕσ≤=σ

Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения

основного допускаемого

напряжения

2. Вычисляем гибкость стержня

7. Допускаемая нагрузка

adm

ϕσ≤

Коэффициент

′

пер-

вого цикла вычислений

Схема 78. Обобщенное условие устойчивости. Основные типы задач

126

Методические указания

Обратите внимание на то, что явление потери устойчивости наблюдается

уже при напряжении, не превышающем предела пропорциональности, при ко-

тором невозможно разрушение от потери прочности. Однако детали машин и

элементы конструкций при этом напряжении могут мгновенно потерять устой-

чивость и разрушиться. В этом основная опасность потери устойчивости. На-

ступление этого состояния существенно зависит от гибкости стержня. При

большой гибкости для расчета критических напряжений используется формула

Эйлера, для средней гибкости – эмпирическое уравнение Ясинского.

Решение проектировочной задачи (подбор сечения) производится мето-

дом последовательных приближений.

Чтобы оценить уровень знаний, ответьте на вопросы самоконтроля.

Вопросы для самоконтроля

1. В чем заключается явление

потери устойчивости сжатого стержня?

2. Какая сила называется критической?

3. По какой формуле рассчитывается критическая сила для стержня боль-

шой гибкости?

4. Что произойдет с величиной критической силы, если длину стержня уве-

личить в три раза?

5. Что называется гибкостью стержня?

6. Каковы пределы применимости формулы Эйлера?

7. Зависит ли

величина критической силы от условий закрепления стержня?

Как это учитывается в расчетах?

8. По какой формуле рассчитывается критическое напряжение для стержней

малой и средней гибкости?

9. Запишите условие устойчивости сжатого стержня.

10. Расскажите последовательность решения проектировочной задачи (под-

бор поперечного сечения) из условия устойчивости.

Лабораторные работы

Теория устойчивости

сжатых стержней проверяется студентами при вы-

полнении лабораторной работы «Продольный изгиб». По лабораторному прак-

тикуму [1] изучите теорию и технику проведения экспериментальных исследо-

ваний, подготовьте ответы на вопросы лабораторного практикума.

Под руководством преподавателя или лаборанта проведите эксперимен-

тальные исследования, обработайте результаты и напишите отчет.

При подготовке и проведении лабораторной работы не

забывайте зада-

вать самому себе и преподавателю любимые вопросы студента-почемучки (см.

схему 13).

127

Самостоятельное решение задач

Начните с изучения методических указаний по расчету на устойчивость

[19-20]. Подробно разберитесь с одним - двумя примерами. Постарайтесь само-

стоятельно воспроизвести решение этих задач. Непременно пользуйтесь техно-

логической картой (см. схему 15).

Если вы без затруднений воспроизвели решение, то можете приступать к

решению домашних задач, РПР, курсовой работы.

Схема 79. Результаты изучения модуля «Устойчивость»

Знать

Уметь

Понятие устойчивости

Формулу Эйлера для расчета

критической силы и критиче-

ского

нап

яжения

Пределы применимости фор-

мулы Эйлера

Влияние условий закрепления

стержня на

критическую силу

Практический метод расчета

на устойчивость

Рассчитывать стержни на ус-

тойчивость с применением

формул Эйлера и

Ясинского

Рассчитывать стержни на устойчи-

вость с использованием обобщенно-

го условия устойчивости

128

Основные цели данного модуля:

1) дать общие представления об усталости материалов;

2) освоить теорию и простейшие методики детерминированных (не стати-

стических) методов расчета на выносливость.

МОДУЛЬ З

Усталость

Что я, железный

что ли. Устал!

Вот бы узнать ре-

цепт, от устало-

сти.

Введение Растяжение

Кручение Геометрия

Введение Растяжение

Кручение Геометрия

Изгиб

НДС Теории

Сложное

сопротивление

Устойчивость

129

Влияние микроструктуры материала на

механические характеристики

материалов

Тригонометрические,

логарифмические функции

Математика

Модуль И

Удар

Определение напряжений при растяже-

нии, сжатии (модуль Б), кручении

(модуль В), изгибе (модуль Д), изгибе с

кручением (модуль Е)

Теории предельных состояний

(теории

прочности)

Повторите

Сопротивление материалов

Детали машин

Курсовое и

дипломное

проектирование

Материаловедение

Технология

машиностроения

Схема 80. Взаимосвязь модуля «Усталость» с другими дисциплинами

и м

одул

ями

Расчет

конструкций

130

4.11.1. Входной контроль знаний

Прежде чем приступить к изучению модуля, необходимо проверить ми-

нимальный уровень знаний, необходимый для его изучения и понимания.

Математика

1. Нарисуйте графики функций

,sin xy

y cos

2. Нарисуйте графики функций

,sin аxy

cos .

3. Нарисуйте график функции

.ln xy

Конструктивно-технологические факто-

ры, влияющие на предел выносливости

Диаграммы предельных

амплитуд и напряжений цикла

Предел выносливости (усталости)

Циклическая долговечность N

Разрушение

Сопротивление усталости

Процесс накопления повреждений

и разрушения

Многоцикловая

10N f

Малоцикловая

10N ≤

Повторно-переменное нагружение

Переменные по величине

и знаку напряжения

Усталость

Развитие

трещины

Долом

Усталостная

долговечность

Периодическое Блочное

Циклы нагружения

Повреждение материала

Зарождение

трещины

Кривая усталости

материала

Характеристики периодическо-

го цикла нагружения

Коэффициент запаса прочности

Схема 81. Сопротивление материалов действию повторно-

переменных напряжений

Случайное