Горбунов В.Ф. Изучай сопромат самостоятельно

91

Полученное уравнение на

каждом участке изображаем

графически (строим эпюру)

Для каждого участка со-

ставляем уравнение внут-

реннего усилия:

Определяем (если нужно)

реакции связей

- на некотором расстоя-

нии Z

i

от начала участка

проводим сечение

- отбрасываем одну из

отсеченных

частей

- записываем чему равно

внутреннее усилие в

проведенном сечении

Ось балки разбиваем на

участки.

За границы участков

принимают:

-начало, конец балки;

- сечения, где приложе-

ны сосредоточенные

силы, моменты;

- начало, конец участка

распределенной

нагрузки

В

V

B

1

8

А

М=4 Нм

F=4 Н

q=2 Н/м

2 м 2 м 2 м 2 м

Z

1

Z

2

Z

3

Z

4

V

A

1

у

часток 2

у

часток

3 участок 4 участок

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, должен

быть скачок на величину этой

силы

ЭQ, Н

1

3

2

6

2

0,25

0,5 м

Уравнения равновесия балки:

; 1V ;04447228V ;0)(

ВВ

НFm

kА

==+⋅+⋅⋅−=

∑

Нм. -22-21М

0;М м; 20 q-ZVМ

Н; 3221Q Н; 1Q

м; 2Z0 ;qZV- Q 4. Участок

Нм. 2244)24(1М

Нм; 8441

м; 2Z0 ;FZM- )Z(4-VМ

H; 341F

-VQ 3. Участок

Нм. 84)22(1М ; 6М

м; 2Z0 M;-)Z(2-VМ

; 1Q 2.

. 2M

;0M ;м 2Z0 ;М

H; -1Q 1. Участок

Вычисляем. М. и Q

1V ;01224448V

;0)(

2

)2(z

)0(z4

2

Z

4BZ

)2(z)0(z

44Bz

)2(z

)0(

333Az

Az

)2(z)0(z

22Az

z

)2(z

)0(z11z

z

AА

2

4

2

4

44

4

3

22

2

11

1

=⋅=

=≤≤=

=⋅+−=−=

≤≤+=

−=⋅+−+−=

−=−⋅−=

≤≤++=

=+−=+=

−=−+−=−=

≤≤+=

−=−=

−=

=≤≤−=

=−=

==⋅⋅+⋅−+=

=

==

=

==

=

∑

Z

М

Нм

НVУчасток

Нм

ZV

V

дляуравненияЗаписываем

HFm

z

A

kВ

Схема 53. Алгоритм построения эпюр изгибающих моментов и

поперечных сил (основан на правиле РОЗУ)

92

На участках, где Q положительна,

эпюра М возрастает (при контроле

слева направо)

На участках, где Q отрицательна,

эпюра М убывает (при

контроле

слева направо)

По знаку производной

Q

dZ

dM

=

Эпюра М изображается кривой

выпуклостью направленной про-

тив

распределенной нагрузки

Эпюра Q изображается прямой

наклонной линией

Сосредоточенные пары сил

Сосредоточенные силы

По способу приложения

внешней нагрузки

Распределенные силы по линии

3. По величине производной

α== tgQ

dZ

dM

F

4

F

1

F

2

F

3

F

2

F

3

F

4

Эпюра Q изображается прямой параллельной нулевой линии (Q=const)

В сечениях, где приложена

сосредоточенная сила, на

эпюре М должен быть из-

лом в сторону

противопо-

ложную силе

F

1

ЭQ

Нулевая линия

На эпюре Q должен быть скачок на величину силы и в направлении силы

(при контроле слева направо)

В сечении, где приложена сосредото-

ченная пара сил, на эпюре М должен

быть скачок на величину алгебраическо-

го момента пары сил

ЭМ

q

а

в

F

1

F

1

ЭQ

С

1

М

М возрастает

ЭМ

М убывает

В сечении, где Q равна нулю, эпюра М

имеет экстремум (минимум или макси-

мум).

Q

α

D

1

D

l

Э

Q

ЭМ

2. На участках, где нет распределенной

нагрузки, эпюра М изображается пря-

мой линией, тангенс угла наклона ко-

торой равен поперечной силе Q на этом

участке

tg

Q

l

DD

1

==α

+

Схема 54. Правила контроля эпюр

93

∫

=

А

уdA ,0

значит, нейтральная линия (ось

СХ) проходит через центр тяжести сечения

x

х

max

W

М

=σ

∑

∫

=σ−=

A

xkx

0ydAM)F(m

Метод сечений

dz

Рассматриваем соотноше-

ние между удлинениями

волокон бесконечно мало-

го элемента стержня

ρ

y

dz

d

α

а

1

а

в

1

с с

1

Нейтральный слой

σ

Гипотеза плоских

сечений

Составляем уравнения равновесия

∑

∫

=σ=

A

kz

0dAF

∑

∫

=σ−=

A

ky

0xdA)F(m

Закон Гука при растяжении,

сжатии

ε

σ

Е

=

- dAy

х

A

2

J

∫

=

осевой мо-

мент инер-

ции

∫

ρ

=

A

2

х

dAy

Е

М

x

х

ЕJ

М

1

=

ρ

x

х

J

уМ

=σ

ρ

σ

у

Е

=

max

x

y

J

W =

,0хуdAJ

А

xy

∫

==

значит, оси СХ, СУ - главные

центральные оси координат поперечного сечения

Схема 55. Вывод формулы нормальных напряжений при

чистом плоском изгибе

Рассматриваем отсечен-

ную часть стержня

М

y

z

х

y

c

σ

()

ραρ

αραρ

ε

у

d

ddу

cc

abba

=

−+

=

−

=

1

11

94

Эквивалентное напряжение

re

d

σ

сравнивается с допускаемым

admred

σ

≤

σ

Определяется момент со-

противления сечения W

x

adm

x

M

W

σ

≥

Проектировочный расчет

x

max

W

M

=σ

Плоский изгиб

Чистый изгиб

Поперечный изгиб

Нормальные

Касательные

y

max

σ

х

x

max

xy

max

bJ

SQ

=τ

max

x

S

х

b

max

τ

Условие прочности по нормальным

напряжениям

x

max

W

M

=σ

ad

m

σ≤

Условие прочности по касательным

напряжениям

x

max

xy

max

bJ

SQ

=τ

ad

m

τ≤

Проверочный расчет

Максимальная величина

напряжения сравнивается с

допускаемым

x

max

W

M

=σ

ad

m

σ

≤

;

x

max

xy

max

bJ

SQ

=τ

ad

m

τ

≤

3.Определение допускаемой нагрузки

(эксплуатационный расчет)

Определяется допускаемый изги-

бающий момент

ad

m

xad

m

WМ σ

≤

Напряжения в

поперечном се-

чении балки

Схема 56. Напряжения при плоском поперечном изгибе

95

Кривизна упругой линии балки

у

))у(1(

у

J

М

1

2

3

2

x

х

′′

≈

′

+

′

=

Ε

=

ρ

Деформации при плоском изгибе

Линейные Угловые Деформации малы и упруги

Перемещения у

к

поперечных сечений

балки в направлении перпендикуляр-

ном оси балки

Угол поворота θ сечений балки

относительно своего исходного

положения

Функция у=f(z) – уравнение упругой

линии балки

)z(fу

dz

df

1

=

′

==θ

Дифференциальное уравнение упругой линии балки

хx

МуJ

=

′

Ε

Решаем дифференциальное уравнение. Получим

Уравнение углов поворота

)z(

f

у

1

=

′

=

θ

Уравнение упругой линии бал-

ки

у=f(z)

Производим проверку жесткости балки:

,fу

admmaxadm

max

θ

≤

θ

≤

Записываем уравнение

изгибающего момента

М=f(z)

Схема 57. Линейные и угловые деформации при плоском

изгибе

96

Выделим элемент. Приложим к плоскостям нормальные и

касательные напряжения

у

d

dA

σ

х

z

τ

у

в

отс

x

S

dA)d(

σ

+

σ

11

Проводим сечения n-n, m-m,

перпендикулярные оси z,

1-1, параллельное нейтраль-

ном

у

слою

F

dz

n

m

1

х

z

у

Метод сечений

Гипотезы:

плоских сечений;

касательные напряжения равномерно распре-

делены по ширине сечения (гипотеза Журав-

ского)

Заменим распределенные силы их равнодействующими

Т=

dzв

⋅

τ

; N

1

=

∫

σ

А

dA ;

N

2

=

∫∫∫

+=+=+

А AA

dNNdAddAdAd ,)(

11

σσσσ

где А – площадь отсеченной части поперечного

сечения

Q

dz

z

у

Т

Q

N

Составляем уравнение равновесия выделенного элемента:

∑

= 0F

kz

, N

2

-N

1

-T=N

1

+dN

1

-N

1

- dzв

⋅

τ

= 0,

dN

1

= dzв

⋅

τ =

∫

σ

А

dAd

x

х

J

уdM

J

уМ

d

;

=σ

Зависимость между по-

перечной силой и изги-

бающим моментом

dz

dM

x

Q =

∫∫

===τ

A

dzвJ

SdM

dzвJ

dM

A

J

уdM

вdz

1

x

отс

xx

x

уdAdA

x

отс

x

вJ

QS

=τ

Схема 58. Касательные напряжения при плоском попереч-

ном изгибе

97

Лабораторные работы

Рабочими программами предусматривается несколько лабораторных работ

на плоский изгиб:

1) работа 19. Чистый изгиб;

2) работа 20. Прямой изгиб;

3) работа №5. Перемещения в балке при прямом изгибе.

Теория и практика их проведения описана в лабораторном практикуме [1,

4]. После теоретической подготовки по учебникам [52-63] и лабораторному

практикуму проведите лабораторную работу. Напишите и

защитите отчет по

лабораторной работе.

Вопросы для самопроверки

1. Какой изгиб называется прямым чистым изгибом?

2. Какой изгиб называется плоским поперечным изгибом?

3. Какие внутренние силовые факторы возникают при чистом изгибе?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при плоском поперечном

изгибе?

5. Чему равен изгибающий момент в каком-либо

сечении балки?

6. Чему равна поперечная силы в каком-либо сечении балки?

7. Какие правила знаков используются при составлении уравнений изги-

бающих моментов и поперечных сил на каком-либо участке?

8. Что такое нейтральный слой, силовая плоскость, нейтральная линия (ней-

тральная ось), силовая линия?

9. Как взаимно расположены силовая и нейтральная

линии при прямом из-

гибе?

10. Какие гипотезы использованы при выводе формулы нормальных напря-

жений при изгибе?

11. Как изменяются нормальные напряжения по поперечному сечению балки

при плоском поперечном изгибе?

12. В каких точках поперечного сечения балки при плоском поперечном из-

гибе возникают наибольшие нормальные напряжения?

13. В

каких точках поперечного сечения балки возникают наибольше по ве-

личине касательные напряжения?

14. Какие гипотезы использованы при выводе формулы для расчета каса-

тельных напряжений в поперечном сечении балки при плоском изгибе?

15. Какие деформации возникают при чистом и поперечном изгибе?

16. Запишите дифференциальное уравнение упругой линии балки.

Для

проверки своих знаний пройдите тестовый контроль [47, 51].

Если вы справились с большинством вопросов самостоятельно, то можно

приступать к решению задач.

98

4.6.3. Самостоятельное решение задач

Прежде всего необходимо научится строить эпюры поперечных сил и из-

гибающих моментов. Необходимая для этого теория и методические указания

изложены в пособиях [7-9]. Изучите их в части, касающейся поперечного плос-

кого изгиба. Еще раз внимательно изучите правило РОЗУ.

Изучите 5-6 задач, решенных в пособиях, и попытайтесь самостоятельно

произвести расчеты, построить эпюры.

Если у вас все получается, то решайте

свои задачи на построение эпюр.

Необходимо освоить методику расчета балки на прочность и жесткость.

Для этого выберите в методических указаниях 2-3 задачи проектировочного,

проверочного и, возможно, эксплуатационного расчета.

Изучите их, добейтесь самостоятельного воспроизведения решения. Ре-

шение надо понять, а не запомнить. Если все понятно

, приступайте к решению

задач домашнего задания.

Ставить и решать проек-

тировочную, проверочную

и эксплуатационную

за-

дачи

Строить эпюры внутрен-

них силовых факторов –

изгибающего момента и

поперечной силы

Закономерности распределения

нормальных и касательных на-

пряжений в поперечном

сече-

нии балки

Определение чистого и попе-

речного плоского

изгиба

Схема 59. Результаты изучения модуля «Изгиб»

Знать

Выделять чистый и попе-

речный изгиб из сово-

купности других дефор-

маций

Условия прочности по нор-

мальным и касательным и эк-

вивалентным напряжениям

Понятие линейных и угловых

перемещений при плоском по-

перечном

изгибе

Дифференциальное уравнение

упругой линии

балки

Условие жесткости

Ставить и решать прове-

рочную и проектировоч-

ную задачи из условия

жесткости балки

Уметь

99

Основная цель данного модуля – дать представление о напряженном и

деформированном состояниях в окрестности некоторой точки и способах их

описания.

МОДУЛЬ Л

Напряженно-

деформированное

состояние в точке

Тяжел груз позна-

ний.

Положу-ка еще

один кирпич.

Введение Растяжение

Кручение Геометрия

Уровень

незнания

Введение Растяжение

Кручение Геометрия Изгиб

100

Вектор и его составляющие. Проек-

ция вектора на ось

Основные тригонометрические фор-

мулы

Анализ функции одной переменной

на экстремум

ИЗУЧИТЕ

Теоретическая механика

ИЗУЧИТЕ

в разделе «Статика»

Условия равновесия различных систем

сил

М

О

Д

У

Л

Ь

Л

Модуль Е

Сложное со-

противление

Модуль В. Сдвиг

Кручение

Модуль З

Усталость.

Модуль И

Удар

Модуль Д

Изгиб

Метод сечений (модуль А).

Деформации и напряжения при рас-

тяжении

,

сжатии

(

мо

ду

ль Б

)

Повторите

Сопротивление материа-

лов

Математика

Схема 60. Взаимосвязь модуля «Напряженно-деформированное со-

стояние в точке» с другими дисциплинами и модулями

Модуль К

Теории

предельных

состояний

(теории проч-

ности

)

Горбунов В.Ф. Изучай сопромат самостоятельно

Подождите немного. Документ загружается.