Головань С., Гуриев С., Макрушин А. Теория контрактов. Сборник задач с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
a ∈ [1, 1/3]
a x(a) ≥ a x(a)=(1+a)/4
y
2
=
0,
θ
2
− θ
1
< (1 + a)/4
1, θ
2
− θ
1
≥ (1 + a)/4
EW =Eθ
1
+E(θ
2
− θ
1
)y
2
=
1
2
+
1+a
x
dθ
2
θ
2
−x
0
dθ
1
[θ
2
− θ
1
]
=
1
3
(1 + a)
3
−
1
2
x(1 + a)
2
−
1
6
(1 + a − x)
3
−
1
3
x
3
+
1
2
x
3
+
1
2
=
1
3
(1 + a)
3
−
1
2
x(1 + a)
2
−
1
6
1+a −
1+a
4
3
−
1
3
1+a
4
3
+
1
2
1+a
4
3
+
1
2
=
1
2
+
9(1 + a)
3
64
.
E{x − w(x)}
E{w(x) − C(a)} C(a)
a ∈ [0, 1] C
(a) > 0 C
(a) > 0 C
(0) = 0 C
(1) = ∞ x
X a 0 1−a
a
∗
a
w(x)
a
∗
w(x) ≥ 0
a
∗
E{x − C(a)}
a
aX +(1− a)0 − C(a) −→ max
a
a ∈ [0, 1],
X = C
(a).
a a
∗
aw(X)+(1− a)w(0) − C(a) −→ max
a
a ∈ [0, 1].
w(X) − w(0) = C
(a).
aX −aw(X) − (1 − a)w(0) −→ max
w(X),w(0)
w(X) − w(0) = C
(a),
aw(X)+(1− a)w(0) − C(a) ≥ 0.
w(X)
w(0)
w(X) − w(0) = C
(a
∗
)=X,
a
∗
w(X)+(1− a
∗
)w(0) = C(a
∗
).
w(X)=C(a
∗
)+(1− a
∗
)X>0,
w(0) = C(a
∗
) − a
∗
X<0.
aX −aw(X) − (1 − a)w(0) −→ max
w(X),w(0)
w(X) − w(0) = C
(a),
aw(X)+(1− a)w(0) − C(a) ≥ 0,
w(X, ),w(0) ≥ 0.
w(X) >w(0)
w(0) < 0 w(0)
w(X) w(0)
aX − aC
(a) −→ max
a
a
∗∗
X −aC
(a
∗∗
) − C
(a
∗∗
)=0.
C
(a)
C
(a
∗∗
)=X − a
∗∗
C
(a
∗∗
) <X= C
(a
∗
).
a
∗
>a
∗∗
q θq − t t θ = {θ
θ} θ = θ π θ θ θ/θ < 1/(1 − π)
q
2
/2
θq −
q
2
2
−→ max
q
q q
∗
(θ)=θ
(p,q) (p, q)
π
p −
q
2
2
+(1− π)
p −
q
2
2
−→ max
p,q
θq − p ≥ 0,
θq − p ≥ 0,
θq − p ≥ qθ − p,
θq − p ≥ qθ −p.
θ>θ
p
∗
= θq,p
∗
= θq − θq + θq.
π
θq −
q
2
2
+(1− π)
θ
q − θq + θq −
q
2
2
−→ max
q,q
.
π(θ − q)+(1− π)(θ −θ)=0,
(1 − π)(
θ − q)=0.
q
∗
= θ, q
∗
= θ +
1 − π
π
(θ
− θ).
θ
q
∗
θ q
∗
q
∗
θ q
1
q
2
q
2
q
∗
θ
x θ
q
∗
θ q
1
π
2
=
π
π +(1− π)(1 − x)
.
(p
2
,q
2
,q
∗
,p
∗
2
)
π
2
θ
q
1
(q
1
θ − p
1
)+δ(q
2
θ − p
2
)=q
∗
θ − p
∗
1
, θq
1
= p
1
.
q
1
x
(1 − π)x
p
∗
1
−
θ
2
2
+ δ
θ
2
2
+(1− π)(1 − x)
p
1
−
q
2
1
2
+ δ(p
∗
2
−
θ
2
2
)
+
+π
p
1
−
q
2
1
2
+ δ(p
2
−
q
2
2
2
)
−→ max
q
1
,x
θ
b
1+α + β
x α 1 − x 0
y 1+α 1 − y t =0
t =1 x
y x
2
y
2
t =2
x y
x y
p
x y
p p
x y
x y
α ∈ [0, 1] β ∈ [0, 1]
α β
θ
b
= α θ
s
=1+α
xy[1 + α + β]+x(1 − y)β +(1− x)yα − x
2
− y
2
−→ max
x,y
.
y[1 + α + β]+(1− y)β − yα − 2x =0,
x[1 + α + β] − xβ +(1− x)α − 2y =0,
⇔
y + β =2x,
x + α =2y.
y
∗
=
β +2α
3
,x
∗
=
2β + α
3
.
W
∗
= xy + βx + αy − x
2
− y
2
=
α
2
+ β
2
+ αβ
3
.
p =(v + c)/2
U
B
= E
v − c
2
+
− x
2
−→ max
x
,
U
S
= E
v − c
2
+
− y
2
−→ max
y
.
1
2
[xy + βx + αy] − x
2
−→ max
x
,
1
2
[xy + βx + αy] − y
2
−→ max
y
.
1
2
[y + β]=2x,
1
2
[x + α]=2y,
=⇒ x
∗
=
4α + β
15
,y
∗
=
α +4β
15
.
W =
(4α + β)(α +4β)
225
+
(4α + β)β
225
+
(α +4β)α
225
−
(α +4β)
2
225
−
(α +4β)
2
225
=
=
47α
2
+47β
2
+31αβ
225
.
p p ∈ (1 +
α, 1+α + β]
U
B
= x(1 + α + β −p)+(1− x)(α − p) − x
2
−→ max
x
,
U
S
= yp +(1− y)(p − 1 − α) − y
2
−→ max
y
.
x
∗
=
1+β
2
,y
∗
=
1+α
2
,W=
(1 + α)
2
+(1+β)
2
4
− 1.
p ∈ [0,α) p ∈ [α, 1+α]
p v = α, c =1+α
U
B
= x(1 + α + β − p)+(1− x)y(α − p) −x
2
−→ max
x
,
U
S
= yp + x(1 − y)(p − 1 − α) − y
2
−→ max
y
.
x(1 + α − p) − 2y + p =0,
−2x + y(p − α)+(1+α + β − p)=0.
x
∗
=
2(1 + α + β − p)+p(p − α)
4 − (1 + α − p)(p − α)
,y
∗
=
(1 + α + β − p)(1 + α − p)+2p
4 − (1 + α − p)(p − α)
.
βx − x
2
−→ max
x
.
x =
β
2
,W=
β
2
4
.
x =0
αy − y
2
−→ max
y
.
y =
α
2
,W=
α
2
4
.
v =2+18xβ c =20−18yσ
β σ
t =1/2 v c x y
[0, 1]
β,σ = {0, 1} β σ q = {0, 1}
β σ x y
p
0
,p
1
2+18xβ > 20 − 18yσ ⇐⇒ xβ + yσ > 1.
Ω(β,σ)={(x, y): xβ + yσ > 1}.
W =
Ω(β, σ)
18xβ +18yσ − 18dxdy − β − σ −→ max
β, σ
.
(β = σ =1) (β =
σ =0)
W =
1
0
1
1−x
18xβ +18yσ − 18dydx − 2=1.
(p
0
,p
1
) p
q
q k = p
1
−p
0
v>k>c ⇒ q =1,p= p
1
,
⇒ q =0,p= p
0
.
U
B
= −p
0
+
v>k>c
v − kdxdy− β,
U
S
= p
0
+
v>k>c
k − cdxdy− σ.
v>c (0, 1), (1, 0)
(0, 0)
(1, 1) β =1,σ =1
U
B
= −p
0
− 1+
2+18x>k>20−18y
2+18x − kdxdy=
= −p
0
− 1+
1
k−2
18
1
20−k
18
2+18x − kdxdy=
(k − 2)(k − 20)
2
648
− p
0
− 1.
U
S
= p
0
− 1+
2+18x>k>20−18y
k − 20 + 18ydxdy=
= −p
0
− 1+
1
k−2
18
1
20−k
18
k − 20 + 18ydxdy=
(k − 2)
2
(20 − k)
648
+ p
0
− 1.
(1, 1)
(k−2)(k−20)
2
648
− p
0
− 1 ≥−p
0
,
(k−2)
2
(20−k)
648
+ p
0
− 1 ≥ p
0
,
⇔
(k − 2)(k −20)
2
≥ 648,
(k − 2)
2
(20 − k) ≥ 648.
k
(k − 2)(20 − k) ≥ 648
2
3
=36
3
√
9.
k ∈
11 −
!
81 − 36
3
√
9, 11 +
!
81 − 36
3
√
9
,
(1, 1)
U
S
= p
0
+
k>c
k − cdxdy− σ,
U
B
= −p
0
− 1+
v>c
v − cdxdy−
k>c
k − cdxdy− β.
U
S
= p
0
+
1
0
20−k
18
1k − 20 + 18yσ dx dy − σ,
U
B
=18
Ω(β, σ)
xβ + yσ − 1 dx dy − U
S
− σ − β.
(1, 1), (1, 0), (0, 1)
U
S
(1,1)
= p
0
+
20−k
18
1k − 20 + 18ydxdy−1=p
0
− 1+
(k − 2)
2
36
,
U
B
(1,1)
=3− p
0
− 1 −
(k − 2)
2
36
,
U
S
(1,0)
= p
0
,
U
B
(0,1)
= −p
0
−
(k − 2)
2
36
.
U
B
(1,1)
>U
B
(0,1)
U
S
(1,1)
>U
S
(1,0)
⇔
(k − 2)
2
36
≥ 1,k∈ [2, 20],
k ∈ [8, 20].
k ∈ [8, 20]
c>0 n θ
i
[0, ∞) F (θ) p
p
p
∗
p
∗
p ≥ 0
cF
n
(p)+n
∞
p
(θF
(θ)+F (θ) − 1)F
n−1
(θ)dθ.
b(θ)
θ
q = q(b
1
,...,b
n
)
b
1
b
n
Q(b
1
)=E
−1
[q(b
1
,b(θ
2
),...,b(θ
n
)] ≡ E
θ
2
,...,θ
n
[q(b
1
,b(θ
2
),...,b(θ
n
)].
b
1
b b
b(θ
1
) b
1
b
1
∈ b(R)
Q(x)=E
−1
[q(b(x),b(θ
2
),...,b(θ
n
)].
b x b(x) >
b(θ
i
) i =2,...,n θ
2
,...,θ
n
<x
P {θ
2
,...,θ
n
<x} =
n
"
i=2
P {θ
i
<x} = F
n−1
(x).
Π(x, θ
1
)=θ
1
P {b(θ
2
),...,b(θ
n
) <b(x)}−Q(x)=θ
1
F
n−1
(x) − Q(x).
x θ
1
b arg max
x
Π(x, θ
1
)=θ
1
θ
1
[F
n−1
(x)]
− Q
(x)=0 x = θ
1
θ
1
≥ p θ
1
= p
θ
1
F
n−1
(θ
1
) − Q(θ
1
)=0
Q(θ
1
) − Q(p)=
θ
1
p
θ[F
n−1
(θ)]
dθ
= θF
n−1(θ)
θ
1
p
−
θ
1
p
F
n−1
(θ)dθ
= θ
1
F
n−1
(θ
1
) − pF
n−1
(p) −
θ
1
p
F
n−1
(θ)dθ.