Головань С., Гуриев С., Макрушин А. Теория контрактов. Сборник задач с решениями
Подождите немного. Документ загружается.
(P
T
,W
T
) (P
B
,W
B
)
λ(P
T
− c)+(1− λ)(P
B
− c) → max
P
T
,P
B
,W
T
,W
B
≥0
v − θ
T
P
T
− W
T
≥ 0,
v − θ
B
P
B
− W
B
≥ 0,
v − θ
T
P
T
− W
T
≥ v − θ
T
P
B
− W
B
,
v − θ
B
P
B
− W
B
≥ v − θ
B
P
T
− W
T
.
P
T
P
B
v − θ
B
P
B
− W
B
≥ 0
P
T
v − θ
B
P
B
− W
B
≥ v − θ
B
P
T
− W
T
≥ v − θ
T
P
T
− W
T
≥ 0.
P
B
≥ P
T
θ
T
(P
B
− P
T
) ≥ θ
B
(P
B
− P
T
)=⇒ (θ
T
− θ
B
)(P
B
− P
T
) ≥ 0.
P
B
W
B
(P
∗
B
,W
∗
B
)
W
∗
B
> 0 W
B
=0 P
B
=
1
θ
B
(θ
B
P
∗
B
+ W
∗
B
)=P
∗
B
+
W
∗
B
θ
B
(P
B
,W
B
)
W
∗
B
=0
(P
∗
T
,P
∗
B
,W
∗
T
,W
∗
B
) v−θ
T
P
∗
T
−W
∗
T
> 0
(P
T
,P
∗
B
,W
T
,W
∗
B
)
v − θ
B
P
∗
T
− W
∗
T
= v − θ
T
P
T
− W
T
,
v − θ
T
P
∗
T
− W
∗
T
>v−θ
T
P
T
− W
T
> 0.
P
T
= P
∗
T
+ ε W
T
= W
∗
T
+ θ
B
ε>0 ε
W
∗
T
=0 p
T
∗ = P
∗
B
P
T
P
B
P
T
P
B
v/θ
B
v/(θ
T
− θ
B
)
P
T
= P
B
W
B
=0 W
T
= v − θ
T
P
T
λP
T
+(1− λ)P
B
− c → max
0≤P
T
≤
v
θ
T
,P
T
≤P
B
≤
v
t
B
v − θ
B
P
B
≥ (θ
T
− θ
B
)P
T
.
λ
1−λ
>
θ
T
−θ
B
θ
B
P
∗
B
= P
∗
T
=
v
θ
T
W
∗
B
= W
∗
T
=0
λ
1−λ
<
θ
T
−θ
B
θ
B
P
∗
B
=
v
θ
B
P
∗
T
=0 W
∗
B
=0 W
∗
T
= v
λ
1−λ
=
θ
T
−θ
B
θ
B
P
T
≥ 0 P
B
≥ 0 θ
B
P
B
+(θ
T
− θ
B
)P
T
= v
W
T
W
B
λ
1−λ
<
θ
T
−θ
B
θ
B
P
∗
=
v
θ
B
W
∗
=0 π
1
=(1− λ)
v
θ
B
− c
π
2
=
v
θ
T
− c
π
1
>π
2
x [0, 2]
[0, 1]
c
U(w, c)=u(w)−c
u(w)=1− e
−w
,
E
L
x =
1
0
xdF
L
(x)=
x
2
2
1
0
=
1
2
.
E
H
x − w =
2
0
xdF
H
(x) − w =
x
2
4
2
0
− w =1− w,
u(w) ≥ c w<1
c<1 − e
−1/2
w(x)
2
0
(x − w(x)) dF
H
(x) → max
w(·)
2
0
(1 − e
−w(x)
) dF
H
(x) − c ≥
1
0
(1 − e
−w(x)
) dF
L
(x),
2
0
(1 − e
−w(x)
) dF
H
(x) − c ≥ 0.
L =
2
0
(x − w(x))f
H
(x)+λ(e
−w(x)
(f
L
(x) − f
H
(x)) − c)+µ(1 − e
−w(x)
)f
H
(x) dx.
− f
H
(x) − λe
−w(x)
(f
L
(x) − f
H
(x)) + µe
−w(x)
f
H
(x)=0,
2
0
(1 − e
−w(x)
)f
H
(x) dx −
1
0
(1 − e
−w(x)
)f
L
(x) dx = c,
1
0
(1 − e
−w(x)
)f
H
(x) dx = c.
λ>0,µ>0 f
L
=1,f
H
=1/2,x∈ [0, 1] f
L
=0,f
H
=1/2,x∈ (1, 2]
e
−w(x)
=
1
µ − λ
,x∈ [0, 1],
e
−w(x)
=
1
µ + λ
,x∈ (1, 2].
λ µ
2
0
e
−w(x)
dF
H
=
1
0
1
2
1
µ − λ
dx +
2
1
1
2
1
µ + λ
dx =
1
2
1
µ − λ
+
1
µ + λ
,
1
0
e
−w(x)
dF
L
=
1
0
1
µ + λ
dx =
1
µ + λ
.
1
µ − λ
=1,
1
µ − λ
+
1
µ + λ
=2− 2c.
e
−w(x)
=
1
µ − λ
=1,x∈ [0, 1],
e
−w(x)
=
1
µ + λ
=1− 2c, x ∈ (1, 2].
w(x)=0,x∈ [0, 1],
w(x)=−ln(1 − 2c) > 0,x∈ (1, 2].
1
0
(x − w(x)) dF
H
(x)=1+
1
2
ln(1 − 2c).
c ≤
1
2
1 −
1
e
.
x x
1
>x
0
=0
x
1
p
H
p
L
0 <p
L
<p
H
< 1
c [0,x
1
]
F (c)
w ≥ 0
c
p
c p
c
c
p
L
x
1
p
H
(x
1
− w
1
)+(1−p
H
)(x
0
− w
0
) → max
w
0
,w
1
p
H
w
1
+(1− p
H
)w
0
− c ≥ p
L
w
1
+(1− p
L
)w
0
,
w
1
,w
0
≥ 0,
c = Ec =
x
1
0
xdF(x).
p
H
w
1
+(1− p
H
)w
0
→ min
w
0
,w
1
(w
1
− w
0
)(p
H
− p
L
) ≥ c,
w
1
,w
0
≥ 0.
w
1
>w
0
w
0
=0 w
1
w
0
w
0
=0,w
1
=
c
p
H
− p
L
.
p
H
(x
1
− w
1
)=p
H
x
1
−
p
H
c
p
H
− p
L
.
x
1
≥
p
H
c
(p
H
− p
L
)
2
.
w
0
,w
1
w
0
> 0
c c ≤ w
1
(p
H
− p
L
)
F (w
1
(p
H
− p
L
))
F (w
1
(p
H
− p
L
))p
H
(x
1
− w
1
)+
1 − F (w
1
(p
H
− p
L
))
p
L
(x
1
− w
1
) → max
w
1
.
f(w
1
(p
H
− p
L
))(p
H
− p
L
)
2
(x
1
− w
1
)=p
L
+ F (w
1
(p
H
− p
L
))(p
H
− p
L
).
(p
H
− p
L
)
2
(x
1
− w
1
)=p
L
+ w
1
(p
H
− p
L
)
2
=⇒ w
1
=
x
1
2
−
p
L
2(p
H
− p
L
)
2
.
x
x = θa θ ∈ [0, 1] a ≥ 0
[0, 1]
c(a)=a
2
/2
w(x)
θ
θa − c(a)=θa −
a
2
2
→ max
a
.
a
∗
(θ)=θ.
θ
w(θa) −
a
2
2
≥ w(θa
) −
a
2
2
,a= a
.
w(θa) −
a
2
2
≥ 0.
x = θa
E{x − w(x)}→max
w(x)
a = i arg max
a
{w(θa
) − c(a
)},
w(x) − c(a) ≥ 0,
x = θa.
w(x)=αx
a
∗
= αθ x
∗
= αθ
2
w(x
∗
)=α
2
θ
2
1
0
αθ
2
− α
2
θ
2
dθ → max
α
.
α
∗
=0.5,w
∗
(x)=0.5x
x
∗
(θ) − w
∗
(x
∗
(θ)) =
θ
2
2
−
θ
2
4
=
θ
2
4
> 0.
√
w − a w
a a =2 a =1
q
1
=40 q
2
= 100
q
2
3/4
q
2
1/2
4
E
a
q − w(a) → max
a
,
w(a)=a 10 + 75 −4=81> 69 = 20 +50 −1
a =2
q
1
4
(q
1
− w
1
)+
3
4
(q
2
− w
2
) → max
w
1
,w
2
1
4
√
w
1
+
3
4
√
w
2
− 2 ≥
1
2
√
w
1
+
1
2
√
w
2
− 1,
1
4
√
w
1
+
3
4
√
w
2
− 2 ≥ 4.
w
1
+3w
2
→ min
w
1
,w
2
√
w
2
−
√
w
1
≥ 4,
√
w
1
+3
√
w
2
≥ 24.
√
w
1
√
w
2
√
w
1
=24− 3
√
w
2
w
1
=9w
2
−
144
√
w
2
+ 576
w
2
− 12
√
w
2
→ min
w
1
,w
2
√
w
2
≥ 7.
1 −
6
√
w
2
−
λ
2
√
w
2
=0,
λ ≥ 0,
√
w
2
− 7 ≥ 0,λ(
√
w
2
− 7) = 0.
λ =0
√
w
2
=6
√
w
2
=7
λ =2
w
1
=9,w
2
=49
W =
1
4
(40 − 9) +
3
4
(100 − 49) =
31 + 153
4
=46.
1
2
(q
1
− w
1
)+
1
2
(q
2
− w
2
) → max
w
1
,w
2
1
4
√
w
1
+
3
4
√
w
2
− 2 ≤
1
2
√
w
1
+
1
2
√
w
2
− 1,
1
2
√
w
1
+
1
2
√
w
2
− 2 ≥ 4.
w
1
+ w
2
→ min
w
1
,w
2
√
w
2
−
√
w
1
≤ 4,
√
w
1
+
√
w
2
=10.
w
2
− 10
√
w
2
→ min
w
2
√
w
2
≤ 7.
√
w
2
=5
w
2
= w
1
=25
W =20+50− 25 = 45 < 46
a
1
a
2
C =
1
2
(c
11
a
2
1
+ c
22
a
2
2
+2c
12
a
2
a
2
)
x
1
= a
1
+ γa
2
+ ε
1
x
2
= a
2
+ ε
2
ε
1
ε
2
σ
2
1
σ
2
2
CE = µ −
r
2
σ
2
µ σ
2
CE ≥ ¯u x
1
+ x
2
c
12
= γ =0
ε
1
σ
2
1
= ∞
c
12
γ
ε
2
σ
2
2
= ∞
c
12
γ
w = α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ β = α
1
(a
1
+ γa
2
+ ε
1
)+α
2
(a
2
+ ε
2
)+β.
u = w − C µ ≡
E
[u]=
E
[w] − C(a
1
,a
2
)
σ
2
=Var[u]=α
2
1
σ
2
1
+ α
2
2
σ
2
2
max
a
1
,a
2
,α
1
,α
2
,β
E
[x
1
+ x
2
− w]= max
a
1
,a
2
,α
1
,α
2
,β
(a
1
+(1+γ)a
2
−
E
[w]),
µ −
r
2
σ
2
≥ u.
E
[w] ≥
r
2
(α
2
1
σ
2
1
+ α
2
2
σ
2
2
)+C(a
1
,a
2
)+u
α
1
= α
2
=0 w = β = C(a
1
,a
2
)+u
(a
1
,a
2
) = arg max
a
1
,a
2
[a
1
+(1+γ)a
2
− C(a
1
,a
2
)].
1
1+γ
= C
a
1
a
2
,
C =
c
11
c
12
c
12
c
22
a
1
a
2
= C
−1
1
1+γ
.
(a
∗
1
,a
∗
2
) = arg max
a
1
,a
2
α
1
a
1
+(α
1
γ + α
2
)a
2
+ β −
r
2
(α
2
1
σ
2
1
+ α
2
2
σ
2
2
) − C(a
1
,a
2
)
.
10
γ 1
α
1
α
2
= C
a
∗
1
a
∗
2
=⇒
α
1
α
2
=
10
−γ 1
C
a
∗
1
a
∗
2
.
β
β =
r
2
(α
2
1
σ
2
1
+ α
2
2
σ
2
2
)+C(a
∗
1
,a
∗
2
) − α
1
a
∗
1
− (α
1
γ + α
2
)a
∗
2
+ u,
β
Π=a
∗
1
+(1+γ)a
∗
2
−
r
2
(α
2
1
σ
2
1
+ α
2
2
σ
2
2
) − C(a
∗
1
,a
∗
2
)
=
1
1+γ
a
∗
−
r
2
α
Σα −
1
2
a
∗
Ca
∗
=
1
1+γ
a
∗
−
a
∗
2
rC
1 −γ
01
Σ
10
−γ 1
+ I
Ca
∗
→ max
a∗
,
Σ =
σ
2
1
0
0 σ
2
2
I =
10
01
1
1+γ
= {rCΩ + I}Ca
∗
,
Ω =
1 −γ
01
Σ
10
−γ 1
=
σ
2
1
+ γσ
2
2
−γσ
2
2
−γσ
2
2
σ
2
2
a
∗
≡
a
∗
1
a
∗
2
= C
−1
{rCΩ + I}
−1
1
1+γ
.
c
12
= γ =0 C
−1
=
1
c
11
0
0
1
c
22
a
∗
1
a
∗
2
=
1
c
11
(1+rc
11
σ
2
1
)
1
c
22
(1+rc
22
σ
2
2
)
,
α
1
α
2
=
1
1+rc
11
σ
2
1
1
1+rc
22
σ
2
2
.
β