Голичев И.И. Лабораторный практикум по курсу «Численные методы»

Так как

0,0

,,



v

Nk

v

Nk

va

, то получаем

0

,



v

Nk

V

.

При

1v

получаем

,,

1

,

1

1,

1

1,

C

F

v

C

B

a

mk

mm



1...2,1,,

1

1,

1

,

1

1,

1

,

1

1,

1

,













Nm

aAC

FvA

v

aAC

B

a

mkmm

mkmkm

mk

mkmm

m

mk

,

0

1

,



mN

V

.

Обратный ход прогонки

После того как будут найдены все

1...2,1,0,,

1

,,,

 NmVva

mk

v

mk

v

mk

найдём

все неизвестные

,

, 1,...1,

v

k m

V m N 

по формуле

, , , 1 ,

,

v v v v

k m k m k m k m

V a V v



 

1,...2,1  Nm

.

Таким образом вычисляются

0,0;1,...2,1,

,0,,



v

Nk

v

k

v

mk

VVNmV

известно

из краевых условий.

При

1v

получаем

1 1 1 1 2 1

, , . 1 ,

, 1...1;

k m k m k m k m

V a V v m N





   

6. Оформление результатов работы.

Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две

последовательные итерации с совпадающими первыми четырьмя знаками и

значение точного решения на сетке.

41

Лабораторная работа № 13.

Решение задачи Дирихле для линейного эллиптического

уравнения с переменными коэффициентами

1. Постановка задачи

1) Методом переменных направлений решить задачу Дирихле для

уравнения

       

0,,,,

2121

2

212

21

211

1

































xxfUxxq

x

U

xxk

xx

U

xxk

x

, (1)

,0



U

(2)

в области

  

10,10:,

2121

 xxxxD

, где



– граница квадрата

D

.

 

   

 

  

2

11

2

221

2

112

2

21121

188, xxxxxxxxxxxxxf 

 

2

1,

1

211

x

xxk 

,

 

2

1,

2

212

x

xxk 

,

 

121

1, xxxq 

,

   

2211

11 xxxxU 

– точное решение задачи (1), (2).

2. Разностная аппроксимация задачи

Пусть

  

10,10:,

2121

 xxxxD

– замкнутый квадрат,



– его граница,

 

21

, xxf

– заданная на

D

достаточно гладкая функция. Задача Дирихле состоит

в следующем. Требуется найти непрерывную на

D

функцию

 

21

, xxU

,

удовлетворяющую на открытом квадрате

D

уравнению (1) и обращается в

0

на границе квадрата.

Функции

       

2121212211

,,,,,,, xxfxxqxxkxxk

достаточно гладкие,

удовлетворяющие условиям

 



22111

,0 cxxkc 

,

(3)

 

2211

,0 dxxqd 

Задача Дирихле (1), (2) имеет единственное решение

 

21

, xxU

. Положим

Nh 1

,

khx

k



1

,

mhx

m



2

,

 

mkkm

xxff

21

,

. Построим сетки

  

Nmkxxw

mkh

...1,0,:,

21



  

1...2,1,:,'

21

 Nmkxxw

mkh

hhh

www '

*



(

*

h

w

– множество узлов, лежащих на



)

Заменим исходную дифференциальную задачу (1), (2) разностной

задачей.

mkmkmk

mkmk

mk

mkmk

mk

mkmk

mk

mkmk

mk

fyq

h

yy

a

h

yy

a

hh

yy

a

h

yy

a

h

,,,

1,,

1

,

,1,

2

1,

,1,

1

,

,,1

1

,1

11









































1...2,1,  Nmk

, (4)

42

0

,



mk

y

на

*

h

w

(5)





























2

,,,

2

212

2

,211

1

,

h

xxkax

h

xka

mkmkmkmk

,

 

mkmk

xxff

21,

,

,

 

mkmk

xxqq

21,

,

.

Введём обозначения:





















h

yy

a

h

yy

a

h

y

mkmk

mk

mkmk

,1,

1

,

,,1

1

,1,1

1

, (6)





















h

yy

a

h

yy

a

h

y

mkmk

mk

mkmk

1,,

2

,

,1,

2

1,,2

1

, (7)

mkmkmk

yyy

,2,1,



.

3. Метод переменных направлений для задачи Дирихле

Напишем для задачи (4), (5) двухслойную разностную схему переменных

направлений или дробных шагов

mk

v

mkmk

v

mk

v

mk

v

mk

v

mk

fyqyy

yy

,

1

,,

1

,2

21

,1

1

,

21

,

2











, (8)

mk

v

mkmk

v

mk

v

mk

v

mk

v

mk

fyqyy

yy

,

21

,,,2

21

,1

21

,,

2











,

(9)

,...2,1,1,...2,1,  vNmk

.

В разностной схеме (8), (9) шаг



по времени делится на два полушага.

Разностное уравнение (8) отвечает первому полушагу, в нём величины

1

,

v

mk

V

и

1

,2





v

mk

V

считаются уже известными (в частности,

0

,

0, , 0,1,...

k m

y k m N 

), а

неизвестные имеют верхний индекс

21v

. Правая часть задана. Перепишем

разностное уравнение (8), предварительно умножив его на

2





, следующим

образом:

21

,

21

,1

2

1

,1

21

,

2

1

,1

2

1

,

21

,1

2

1

,

222

1

2



























v

mk

v

mk

v

mk

mkmk

v

mk

Fy

h

a

y

h

a

h

a

y

h

a



(10)

где

 

1 2 1 1 1

, 2 , , , , ,

2

v v v v

k m k m k m k m k m k m

F y f q y y



   

    

известно, и присоединим к разностному уравнению краевые условия

0,0

21

,

21

,0



 v

mN

v

m

yy

(11)

в соответствии с условием (5).

Разностная задача (10), (11) распадается на

1N

независимых

трёхточечных разностных краевых задач, отвечающих каждому

фиксированному значению

m

,

1,...2,1  Nm

. Разностная краевая задача (10),

(11) решается методом прогонки при каждом

m

отдельно. Прогонка

осуществляется по индексу

k

, то есть в направлении оси

1

x

.

43

После того как найдены все неизвестные

21

,

v

mk

V

на промежуточном слое

с номером

21v

, переносим их в разностном уравнении (9), соответствующем

второму полушагу, вправо. Это разностное уравнение переписываем в виде

v

mk

v

mk

v

mk

mkmk

v

mk

Fy

h

a

y

h

a

h

a

y

h

a

,1,

2

1,

,

2

,

2

1,

2

,

222

1

2

























,

(12),

где

 

21

,

21

,,,

21

,1,

2





v

mk

v

mkmkmk

v

mk

v

mk

yyqfVF



известно, и присоединяем к уравнению (12) в соответствии с условием (5),

краевые условия

0,0

,0,



v

Nk

v

k

VV

. (13)

Задача (12), (13) тоже распадается на

1N

независимых трёхточечных

разностных краевых задач, отвечающих каждому фиксированному

k

,

1...2,1  Nk

. Каждая такая задача решается методом прогонки. Прогонка

осуществляется теперь уже по индексу

m

, то есть в направлении оси

2

x

.

4. Алгоритм решения задачи Дирихле

Как уже было замечено выше, будем искать решение задачи Дирихле для

эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в области

  

10,10:,

2121

 xxxxD

1) Начальные условия

N

– натуральное число,

Nh 1

шаг по

1

x

и по

 

mkkmmk

xxffmhxkhxx

21212

,,,, 

.

,...2,1,0,1,...2,1.0,0,0,0

,0,,,0

 vNkyyyy

v

Nk

v

k

v

mN

v

m

0

,

0

k m

y 

1,...2,1,  Nmk

– начальное приближение. Полагаем

sin( ).h h

 



2) Прогонка в направлении оси

1

x

Решим методом прогонки при каждом фиксированном

1...2,1  Nm

систему уравнений (10)

21

,

21

,1

2

1

,1

21

,

2

1

,1

2

1

,

21

,1

2

1

,

222

1

2



























v

mk

v

mk

v

mk

mkmk

v

mk

Fy

h

a

y

h

a

h

a

y

h

a



,

где

 

1 2 1 1 1

, 2 , , , , ,

2

v v v v

k m k m k m k m k m k m

F y f q y y



   

    

известно. Обозначим

1,...2,1,

2

,

22

1,

2

1

,1

2

1

,1

2

1

,

2

1

,





Nk

h

a

B

h

a

h

a

C

h

a

A

mk

k

mkmk

k

mk

k



,

тогда уравнение (10) можно записать в виде:

1 2 1 2 1 2 1 2

1, , 1, ,

v v v v

k k m k k m k k m k m

A y B y C y F

   

 

  

, (10*)

где

 

1

,

1

,,,

1

,2

21

,

2





v

mk

v

mkmkmk

v

mk

v

mk

yyqfyF



,

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном

1,...2,1  Nm

.

44

Прямой ход прогонки

Вычислим коэффициенты

1...2,1,

21

,

21

,





Nkvb

v

mk

v

mk

21

,011

21

,

21

,01

21

,1

21

,011

1

21

,1













v

m

v

mk

v

m

v

m

v

m

v

m

bAC

FvA

v

bAC

B

b

Так как

0,0

21

,0

21

,0



 v

m

v

m

va

, то получаем

1 2

,

1 2 1 2

1

1, 1,

1 1

, ,

v

k m

v v

m m

F

B

b v

C C



 



 

1 2 1 2

1, ,

1 2 1 2

, 1,

1 2 1 2

1, 1,

, .

v v

k k m k m

v v

k

k m m

v v

k k k m k k k m

A v F

B

b v

C A b C A b

 



 



 

 

После того, как будут вычислены коэффициенты

1...2,1,

21

,

21

,





Nkvb

v

mk

v

mk

вычислим

1 2

,

v

N m

y



1 2 1 2 1 2

, , 1,

1 2

,

1 2 1 2

, 1,

1

v v v

N m N m N m

v

N m

v v

N m N m

v b v

y

b b

  



 









Так как

0,0

21

,

21

,



 v

mN

v

mN

vb

, то получаем

1 2

,

0

v

N m

y





.

При

1v

получаем

,

2

,

1

,

211

,1

1

211

,1

C

f

v

C

B

b

mk

mm







1...2,1,

2

,

211

,1

,

211

,1

211

,

211

,1

211

,















Nk

bAC

f

vA

v

bAC

B

b

mkkk

mk

mkk

mk

mkkk

k

mk



Обратный ход прогонки

После того как будут найдены все

1 2 1 2 1 2

, , ,

, , 0, 1,2... 1

v v v

k m k m N m

b v y k N

  

  

найдём

все неизвестные

1 2

,

, 1...1

v

k m

y k N



 

по формуле

1 2 1 2 1 2 1 2

, , 1, ,

, 1,2,..., 1.

v v v v

k m k m k m k m

y b y v k N

   



   

Таким образом вычисляются

1 2 1 2 1 2

, 0, ,

, 1,2,... 1; 0, 0

v v v

k m m N m

y k N y y

  

   

в силу

граничных условий.

3) Прогонка в направлении оси

2

x

Решим методом прогонки при каждом фиксированном

1...2,1  Nk

систему

уравнений (12)

45

v

mk

v

mk

v

mk

mkmk

v

mk

Fy

h

a

y

h

a

h

a

y

h

a

,1,

2

1,

,

2

,

2

1,

2

,

222

1

2

























,

где

 

21

,

21

,,,

21

,1,

2





v

mk

v

mkmkmk

v

mk

v

mk

yyqfVF



известно из предыдущих

вычислений. Обозначим

1,...2,1,

2

,

22

1,

2

1,

2

,

2

1,

2

,





Nm

h

a

B

h

a

h

a

C

h

a

A

mk

m

mkmk

m

mk

m



и перепишем систему уравнений (12) в виде:

, 1 , , 1 ,

v v v v

m k m m k m m k m k m

A y B y C y F

 

  

, (12*),

где

 

21

,

21

,,,

21

,1,

_

2





v

mk

v

mkmkmk

v

mk

v

mk

yyqfyF



.

Прогонка осуществляется при каждом фиксированном

1,...2,1  Nk

.

Прямой ход прогонки

Вычислим коэффициенты

1...2,1,,

,,

 Nmvb

v

mk

v

mk

1 ,0 ,

1

,1 ,1

1 1 ,0 1 1 ,0

,

v v

k k m

v v

k k

v v

k k

A v F

B

b v

C Ab C A b



 

 

.

Так как

0,0

0,0,



v

k

v

k

vb

, то получаем

,

1

,1 ,1

1 1

, ,

v

k m

v v

k k

F

B

b v

C C



 

, 1 ,

, ,

, 1 , 1

, .

v v

m k m k m

v v

m

k m k m

v v

m m k m m k k m

A v F

B

b v

C A b C A b



 



 

 

После того, как будут вычислены коэффициенты

1...2,1,,

,,

 Nmvb

v

mk

v

mk

вычислим

,

v

k N

y

, , , 1

,

, , 1

1

v v v

k N k N k N

v

k N

v v

k N k N

v b v

y

b b









Так как

0,0

,,



v

Nk

v

Nk

vb

, то получаем

,

0

v

k N

y 

.

При

1v

получаем

,,

1

,

1

1,

1

1,

C

F

v

C

B

b

mk

mm



1 1

, 1 ,

1 1

, ,

1 1

, 1 , 1

, , 1, 2... 1,

m k m k m

m

k m k m

m m k m m m k m

A v F

B

b v m N

C A b C A b



 



   

 

Обратный ход прогонки

После того как будут найдены все

1

, , ,

, , 0, 1, 2... 1

v v

k m k m k N

b v y m N  

найдём

все неизвестные

,

, 1...1

v

k m

y m N 

по формуле

46

, , , 1 ,

, 1, 2,..., 1

v v v v

k m k m k m k m

y b y v m N



   

Таким образом вычисляются

0,0;1,...2,1,

,0,,



v

Nk

v

k

v

mk

bbNmb

известно

из начальных условий.

5. Оформление результатов работы

Результаты вычислений представить в виде трех таблиц: две последние

итерации с совпадающими первыми четырьмя знаками и значений точного

решения на сетке.

47

Лабораторная работа № 14

Решение первой начальной краевой задачи для уравнения

теплопроводности по схеме Кранка-Николсона

1. Постановка задачи

Используя метод простых итераций, метод Чебышева и метод

наискорейшего спуска найти по схеме Кранка-Николсона приближенное

решение задачи:

 

2 2

1 2

2 2

1 2

, , ,f x x t

t x x

  

  

  

  

(1)

   

0, ,x g x





(2)

 

, 0.t x







(3)

Пусть

   

1

2 2

1 1 2 2

at x

x x x x





   

, где

1 0,1a n 

(n- номер варианта). Найти

   

1 2 1 2

, , , ,f x x t q x x

при которых



является точным решением задачи (1) – (3).

При найденных

f

и

q

найти приближенное решение задачи (1) – (3), используя

схему Кранка-Николсона и перечисленные выше методы решения стационарных

задач.

2. Теоретическая часть

Сведем задачу к разностной задаче, используя схему Кранка-Николсона и

разностное приближение оператора Лапласа.

1 1

2

k k k k

k

A f

   



 

 

 

, (4)

0

g





, (5)

0

h

k







, (6)

где

 

   

1, , 1, 1, , 1,

2 2

( ) , ( 2), ( ) , ,

( ) , , , , .

i j i j i y i y i j i j

k

ij k ij ij

ij ij

y y y y y y

Ay f f t h f t f t g g

h h

f t f t ih jh g g ih jh

   

   

     

 

Из (4) получим, что

1

,

2 2

k k k

E A E A f

 

  



   

    

   

   

обозначая

1

,

2

E A A



 

 

 

 

получим операторное уравнение

1

,

k k

A F







где

.

2

k k k

F E A f



 

 

  

 

 

Таким

образом, решение задачи (4) – (6) сводится к последовательному решению

операторных уравнений

48

1 0

1

,

k k

A F q

 



 

(7)

на временной сетке (по временным слоям). Для собственных значений оператор

A

получаем оценки

min 1 min 1

( ) 1 ( ) 1 9 ,

2

A A



   

    

(8)

max 1 max 2

2

4

( ) 1 ( ) 1 .

2

A A

h

 

  

    

Решение уравнения (7) при фиксированном

k

(на временном слое

1k 

) будем

искать итерационными методами

1 1

1

,

k k

n n

n

A F

 





 





 

(9)

полагая

1

0

,

k k

 





где

k



– последняя итерация

k

n



на предыдущем временном

слое.

3. Алгоритм метода простых итераций

В итерационном процессе (9) полагаем

1 0 1 2

2 ( )

n

   



  

. Учитывая (8),

получаем

0

2

4

2 2 9 .

h



 

 

  

 

 

. (10)

Итерационный процесс (9) принимает вид:

1 1 1 1

1 0 1 0 0

, ,

k k k k k k

n n n

A F

      

   



   

(11)

 

1 1 1

1

( ) .

2

k k k

n ij ij n

ij

A A



  

  

 

Полагая

0

,q





получим

0 0

2

F g Ag f



  

.

4. Алгоритм метода Чебышева

В итерационном процессе (9)

1n





вычисляется по формуле

 

1 0 0 1

1 , 0,..., 1,

n n

t n N

  

 

   

(12)

где

0



вычисляется по формуле (10), а

 

2 1

0

2 1

, cos , 0,..., 1.

2

n

t n N

N

 

 



 





   



(13)

Здесь N фиксированный параметр, например можно положить N=5. По формуле

1 1 1 1

1 1 1 1 0

,

k k k k k k

n n n n n

A F

      

   

  

   

(14)

и находим

1

.

k

N





Далее повторяем итерационный процесс (14), полагая

1 1

0

k k

N

 

 



.

Процесс продолжаем до совпадения первых четырех знаков в последних

итерациях.

49

5. Алгоритм метода скорейшего спуска

Итерационный процесс осуществляется по формуле (14), где параметры

n



вычисляются по формуле

   

1 1 1 1

1 1

, , ,

k k k k

n n n n n

r r A r r



   





1 1

1

.

k k k

n n

r A F



 

 

В новых обозначениях (14) можно записать в виде:

1 1 1 1

1 1 0

, .

k k k k k

n n n n

r

    

   

 

  

(15)

6. Оформление результатов работы

Найти приближенное решение задачи (1) - (3) указанными выше методами

при

0,5t 

, полагая

0,1.





Результаты вычислений по каждому методу

представить в виде трех таблиц: две последовательные итерации

5 5

1

,

n n

 



с

совпадением первых четырех знаков и значение точного решения

U

на сетке при

0,5.t 

Учебное издание

Голичев Иосиф Иосифович

50

Голичев И.И. Лабораторный практикум по курсу «Численные методы»

Подождите немного. Документ загружается.