Голичев И.И. Лабораторный практикум по курсу «Численные методы»

Подождите немного. Документ загружается.

2 7

0,22238103A A 

;

3 6

0,52553242x x 

;

3 6

0,31370664A A 

;

4 5

0,18343464x x 

4 5

0,36268378A A 

Задание. Вычислить

 



dxxf

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

1. Составить подпрограмму-функцию

 

для вычисления значений

подынтегральной функции

 

2. Составить головную программу и печать результатов.

3. Произвести вычисления на ЕС ЭВМ.

Варианты заданий.





dxex

14.





cos

27.





sin

3sin

xdxe





dxxe

15.







dxe

28.

 







sincos dxxx

 





1ln x

16.







dxe

29.

 





cossin



dxxx





dxex

17.







dxe

30.





1.0

sin



dxe





dxex

18.

 





1cos dxxx

 





dxe

19.

 





1sin dxxx





cos

20.



lncos xdxx





sin

21.





dxex





cos

22.

 





cos

sincos



dxxe

10.





sin

23.





1.0

11.





dxe

24.

 





cos dxxch

12.





dxe

25.





cos

2cos xdxe

13.





sin

26.







cos

Лабораторная работа № 4.

Тригонометрическая интерполяция

Пусть функция

 

задана на отрезке

 



2,0

таблицей значений

 

равностоящих узлах

 









 

12,...,2,1  Ni

. Тригонометрическим

многочленом степени

называют многочлен

   







kkM

kxbkxa

sincos

Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении

тригонометрического интерполяционного много члена наименьшей степени,

удовлетворяющего условиям

   

12,...,1,  NixfxP

iiM

. Можно показать, что

решением этой задачи является тригонометрический многочлен

   







kkN

kxbkxa

sincos

, (1)

коэффициенты, которого вычисляются по следующим формулам:

 











 























cos



, (2)

 























sin



Широкие возможности тригонометрической интерполяции следуют из

этого факта, что с возрастанием

многочлен

 

аппроксимирует

 

возрастающей точностью, т.е.

 

   





NxPxf

,0sup

2,0



это утверждение справедливо для достаточно широкого класса функций. Этим

тригонометрическая интерполяция существенно отличается от алгебраической

интерполяции на системе равноотстоящих узлов. При алгебраическом

интерполировании разность между функцией

 

и интерполяционном

многочленом может быть как угодно большой всюду, кроме узлов

интерполяции. Тригонометрическое интерполирование полностью свободно от

этого недостатка.

Задание. Построить интерполяционный тригонометрический многочлен,

аппроксимирующий функцию

 

, заданную таблицей значений в точках

 









 

12,...,2,1  Ni

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

1. Составить головную программу.

2. Провести вычисления на ЕС ЭВМ.

Варианты заданий.

Построить интерполяционный тригонометрический многочлен,

аппроксимирующий функцию, заданную в точках

 









 

12,...,2,1  Ni

таблицей значений

Вариант 1 1.00; 1.803; 3.085; 4.776; 6.434; 7.347; 7.027; 5.652; 3.897;

2.381; 1.347; 7.422; 0.419; 0.256; 0.176; 0.142; 0.136; 0.155;

0.209; 0.324; 0.554

Вариант 2 7.38; 6.76; 5.22; 3.47; 2.07; 1.16; 0.64; 0.36; 0.23; 0.16; 0.13;

0.13; 0.16; 0.23; 0.37; 0.64; 1.16; 2.08; 3.48; 5.22; 6.76

Вариант 3 –1.24; –1.17; –1.08; –0.96; –0.84; –0.79; –0.8; –0.9; –1.1; –1.21;

–1.02; –1.28; –1.32; –1.34: –1.36; –1.37; –1.37; –1.36; –1.35;

–1.33; –1.30

Вариант 4 –3.0; –3.58; –4.12; –4.56; –4.86; –4.99; –4.94; –4.73; –4.36;

–3.86; –3.30; –2.7; –1.64; –1.26; –1.05; –1.00; –1.13; –1.43;

–1.87; –2.43

Вариант 5 1.0; 1.05; 90.6; 520.4; 1714.7; 2915.0; 2439.2; 1020.6; 230.7;

32.17; 3.29; 0.3; 0.03; 0.004; 0.001; 0.0003; 0.0006; 0.002; 0.01;

0.09; 0.9

Вариант 6 2980.1; 2089.3; 742.4; 146.6; 18.6; 1.8; 0.16; 0.02; 0.003; 0.001;

0.001; 0.001; 0.002; 0.003; 0.018; 0.9; 1.22; 18.6; 146.6; 742.5;

2089.7

Вариант 7 1.0; 1.34; 1.75; 2.18; 2.53; 2.71; 2.65; 2.37; 1.97; 1.54; 1.16; 0.86;

0.64; 0.5; 0.42; 0.37; 0.36; 0.39; 0.45; 0.56; 0.74

Вариант 8 2.71; 2.6; 2.28; 1.86; 1.44; 1.07; 0.8; 0.46; 0.42; 0.4; 0.37; 0.37;

0.4; 0.48; 0.6; 1.07; 1.44; 1.86; 2.28; 2.6

Вариант 9 –1.32; –1.28; –1.26; –1.24; 1.25; –1.25; –1.25; –1.26; –1.27;

–1.29; –1.29; –1.33; –1.34; –1.37; –1.37; –1.37; –1.37; –1.36;

–1.36; –1.35; –1.34

Вариант 10 –4.0; –4.2; –4.5; –4.7; –4.9; –5.0; –4.9; –4.9; –4.8; –4.6; –4.4;

–4.1; –3.8; –3.5; –3.1; –3.0; –3.0; –3.0; –3.1; –3.2; –3.4; –3.7

Вариант 11 1.0; 2.4; 5.4; 10.4; 16.3; 19.9; 18.6; 13.4; 7.7; 3.6; 1.6; 0.64; 0.27;

0.13; 0.07; 0.05; 0.05; 0.06; 0.09; 0.18; 0.4

Вариант 12 20.0; 17.5; 11.9; 6.4; 2.9; 1.2; 2.9; 0.5; 0.2; 0.1; 0.06; 0.05; 0.05;

0.06; 0.1; 0.5; 1.0; 1.2; 2.9; 6.4; 11.9; 17.5

Вариант 13 –1.1; –0.8; –0.3; 0.3; 0.7; 0.8; 0.7; 0.5; 0.04; –0.6; –0.9; –1.1;

–1.27; –1.32; –1.35; –1.37; –1.37; –1.36; –1.34; –1.3; –1.2

Вариант 14 –2.0; –2.8; –3.7; –4.3; –4.7; –4.9; –4.5; –4.1; –3.3; –2.4; –1.5;

–0.6; –0.04; 0.6; 0.92; 0.99; 0.79; 0.34; –0.3; –1.1

Вариант 15 1.1; 3.2; 9.5; 22.8; 41.4; 53.9; 49.4; 31.9; 15.2; 5.7; 1.8; 0.55;

0.17; 0.06; 0.03; 0.02; 0.01; 0.02; 0.04; 0.1; 0.3

Вариант 16 –0.78; –1.22; –1.34; –1.39; –1.42; –1.43; –1.42; –1.41; –1.37;

–1.3; –1.1; –0.1; 1.1; 1.2; 1.33; 1.36; 1.37; 1.35; 1.3; 1.17; 0.65

Вариант 17 54.5; 45.7; 27.2; 12.1; 4.3; 1.3; 0.4; 0.13; 0.05; 0.03; 0.02; 0.02;

0.03; 0.05; 0.13; 0.41; 1.3; 4.3; 12.1; 21.2; 45.7

Вариант 18 –0.78; 0.18; 0.89; 1.13; 1.21; 1.18; 1.04; 0.63; –0.38; –1.01;

–1.22; –1.3; –1.35; –1.36; –1.37; –1.36; –1.33; –1.27; –1.1

Вариант 19 –1.0; –2.1; 3.2; –4.1; –4.7; –4.9; –4.8; –4.4; –3.7; –2.7; –1.6; –0.4;

0.7; 1.7; 2.4; 2.9; 3.0; 2.7; 2.1; 1.2; 0.2

Вариант 20 1.0; 4.36; 16.7; 49.8; 105.0; 146.3; 130.9; 75.9; 30.0; 8.75; 2.1;

0.47; 0.11; 0.03; 0.01; 0.007; 0.006; 0.009; 0.02; 0.05; 0.2

Вариант 21 148.4; 118.8; 62.6; 22.5; 6.21; 1.45; 0.33; 0.08; 0.02; 0.01; 0.007;

0.007; 0.01; 0.02; 0.08; 0.32; 1.45; 6.2; 22.6; 62.2; 119.0

Вариант 22 0.0; 0.97; 1.23; 1.32; 1.36 1.37; 1.36; 1.34; 1.28; 1.13; 0.64;

–0.64; –1.13; –1.28; –1.34; –1.37; –1.36; –1.32; –1.23; –0.9; –0.2

Вариант 23 –0.0001; –1.47; –2.8; –3.9; –4.65; –4.98; –4.87; –4.33; –3.4;

–2.16; –0.74; 0.74; 2.17; 3.14; 4.33; 4.87; 4.98; 4.65; 3.9; 2.8; 1.4

Вариант 24 1.0; 5.8; 29.3; 108.9; 266.44 396.7; 347.1; 180.5; 59.2; 13.5; 2.4;

0.4; 0.07; 0.01; 0.005; 0.003; 0.002; 0.004; 0.009; 0.03; 0.1

Вариант 25 403.4; 309.0; 142.2; 42.1; 8.9; 1.56; 0.26; 0.05; 0.01; 0.0044;

0.0026; 0.0026; 0.0044; 0.01; 0.05; 0.263; 1.56; 8.95; 42.1; 142.2;

309.9

Вариант 26 0.78; 1.22; 1.34; 1.39; 1.42; 1.43; 1.42; 1.41; 1.37; 1.3; 1.1; 0.1;

–1.1; –1.2; –1.33; –1.36; –1.37; –1.35; –1.3; 1.17; –0.65

Вариант 27 1.0; –0.77; –2.3; –3.6; –4.6; –4.9; –4.8; –4.1; –3.1; –1.6; 0.1; 1.9;

3.6; 5.1; 6.2; 6.84; 6.98; 6.58; 5.69; 4.4; 2.7

Вариант 28 1.0; 7.8; 51.5; 238.1; 675.9; 1075.4; 920.1; 429.3; 110.8; 20.8;

2.83; 0.35; 0.04; 0.01; 0.002; 0.001; 0.001; 0.001; 0.004; 0.02;

0.12

Вариант 29 1.10; 1.32; 1.40; 1.43; 1.45; 1.46; 1.44; 1.42; 1.37; 1.25; 0.76;

–0.8; –1.22; –1.33; –1.36; –1.37; –1.35; –1.29; –1.1; –0.1

Вариант 30 2.0; –0.06; –1.9; –3.4; –4.9; –4.8; 4.0; –2.7; –1.1; 0.95; 3.0; 5.0;

6.7; 8.1; 8.8; 8.9; 8.5; 7.47; 5.94; 4.06

Лабораторная работа № 5.

Метод простых итераций решения уравнения

 

0xf

Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

решения уравнения

 

0xf

состоит в замене исходного уравнения

эквивалентным ему уравнением

 





и построении последовательности

 





1

, сходящейся при

n

к точному решению. Сформулируем

достаточные условия сходимости метода простых итераций.

Теорема. Пусть функция

 



определена и дифференцируема на

 

ba,

причём все её значения

 

 

bax ,



. Тогда, если существует число

, такое, что

 

1' qx



на отрезке

 

ba,

, то последовательность

 





1

 

,...2,1,0n

сходится к единственному на

 

ba,

решению уравнения

 





при любом

начальном значении

 

bax ,



, т.е.

 







xx limlim

 

0



 

ba,



При этом, если на отрезке

 

ba,

производная

 



положительна, то





nnn



если

 



отрицательна, то

1



nnn

xxx



Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге

значения

1n

, вычисляем

 

1





. Если





 1n

, полагают



выполняют очередную итерацию. Если же





 1n

, то вычисления

заканчивают и за приближённое значение корня принимают величину



Погрешность полученного результата зависит от знака производной

 

0' x



корень найден с погрешностью

 

qq 1



, если

 

0' x



, то погрешность не

превышает



Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим

графики функций

xy 

 





. Корнем



уравнения

 





является абсцисса точки пересечения кривой

 





с прямой

xy 

(рис. 1).

Взяв в качестве начальной произвольную точку

 

bax ,



, строим ломаную

линию (рис.3 а, б). Абсциссы вершин этой ломанной представляют собой

последовательные приближения корня



. Из рисунков видно, что если

 

0' x



на отрезке

 

ba,

, то последовательные приближения

 

1





колеблются

около корня



, если же производная

 



положительна, то последовательные

приближения сходятся к корню монотонно.

При использовании метода простых итераций основным моментом

является выбор функции

 



в уравнении

 





, эквивалентном исходному.

Для метода итераций следует подбирать функцию

 



так, чтобы

 

1' qx



При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности

 

корню



тем выше, чем меньше число

Пример. Найти корни уравнения

010  xe

с точностью

0,0001





Корни уравнения



легко отделяются графически. Они являются

абсциссами точек пересечения графика

ey 

с прямой

xy 10

. Из

приведенного (рис. 2) графика видно, что первый корень лежит на отрезке

 

1,0

, а второй – на отрезке

 

6,2

. Для определения первого корня заменим исходное

уравнение эквивалентным

0,1

x e

; здесь

 

0,1

x e





 

' 0,1

x e





. На отрезке

 

1,0

1'0 



, т.е.

0,1q 

. В качестве начального приближения выбираем

x

Вычисления прекращаем, когда

 





. Последовательные приближения в

этом случае таковы:

0,271828Е 00

0,131236Е 00

0,114024Е 00

0,112078Е 00

0,111860Е 00

0,111835Е 00

Так как

6 6 5

0,1 0,00004

0,000005

1 0,1 9

x x x



    



то принимаем

0,11183





. В этом результате все знаки верные.

Для определения второго корня представляем исходное уравнения в виде

xx 10ln

. Здесь

 

xx 10ln



 

xx 1' 



и при

2x

производная

 



оценивается сверху:

 

' 1 0,5x x



 

, т.е.

0,5q 

. Если в качестве начального

приближения взять

x

, то получаем следующие последовательные

приближения:

0,299573Е 01

0,339977Е 01

0,352629Е 01

0,356283Е 01

0,357314Е 01

0,357603Е 01

0,357684Е 01

0,357706Е 01

0,357713Е 01

Принимаем

3,5771





с погрешностью 0,0001, так как

9 9 8 9 8

0,0001

x x x x x



     



Задание. Используя подпрограмму ЫШЕУК, найти корень уравнения

 

0xf

заданной точностью

0,0001.





Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения

 

0xf

2. Преобразовать уравнение

 

0xf

к виду

 





так, чтобы в некоторой

окрестности

 

ba,

корня



производная

 



удовлетворяла условию

 

1' qx



. При этом следует помнить, что чем меньше

, тем быстрее

последовательные приближения сходятся к корню.

3. Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке

 

ba,

4. Составить подпрограмму функцию для вычисления значений

 



5. Составить головную программу и печать результатов вычислений.

6. Провести вычисления по программе.

Варианты заданий.

Найти корень

 

0xf

при заданных значениях коэффициентов.

№

варианта

f(x) a b c d

 

bxtgaxxf 

1.5773 2.3041 – –

2 2.2082 3.2258 – –

3 3.7855 5.5300 – –

4 9.1483 13.3641 – –

5 5.9937 8.7558 – –

6 7.8864 11.5207 – –

   

cbxaxxf ln

7.622 8.59 0.5 –

8 6.0976 6.872 1.0 –

9 4.5732 5.154 1.5 –

10 3.9634 4.4868 2.0 –

11 3.0488 3.436 2.5 –

12 1.5244 1.718 3.0 –

 

cxbxaxf  sin

9.33 6.977 7.25 –

14 7.667 5.983 6 –

15 6.67 5.387 5.25 –

16 5.67 4.794 4.5 –

17 4.33 4.008 3.5 –

18 2.67 3.044 2.25 –

 

xacxf





0.9737 0.5067 – –

20 0.9286 0.5185 – –

21 0.5458 0.5391 – –

22 0.7593 0.5683 – –

23 0.5909 0.6286 – –

24 0.4474 0.6909 – –

25 0.1667 0.8571 – –

26 0.7308 0.5778 – –

27 0.833 0.5455 – –

 

dcxbxaxxf 

0.1697 –0.5693 –1.6 3.73

29 1.039 –3.145 –1.94 8

30 4.6839 –14.04 –2.448 23.5

Лабораторная работа № 6.

Приближённое решение уравнения

 

0xf

методом Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения

 

0xf

, то эффективным методом повышения точности является метод

Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной

последовательности

   

nnnn

xfxfxx '





, сходящейся к корню уравнения

 

0xf

. Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Теорема. Пусть

 

определена и дважды дифференцируема на

 

ba,

причём

   

0bfaf

, а производные

 

xf '

 

xf "

сохраняют знак на

отрезке

 

ba,

. Тогда, исходя из начального приближения

 

bax ,



удовлетворяющего неравенству

   

xfxf

, можно

построить последовательность

   

nnnn

xfxfxx '





,...,2,1,0n

сходящуюся к единственному на

 

ba,

решению



уравнения

 

0xf

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию.

Если через точку с координатами

  

xfx ;

провести касательную, то абсцисса

точки пересечения этой касательной с осью

и есть очередное приближение

1n

корня уравнения

 

0xf

Для оценки погрешности

-n ого

приближения корня можно

воспользоваться неравенством





nnn



где

– наибольшее значение модуля второй производной

 

xf "

на отрезке

 

ba,

;

– наименьшее значение модуля первой производной

 

xf '

на

отрезке

 

ba,

. Таким образом, если





 1nn

, то

 

2mMx





. Последнее

соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после

каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении

удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо

найти корень с точностью



, то итерационный процесс можно прекращать,

когда

2101

2 Mmxx







Опишем один шаг итераций. Если на

 

1n

-м шаге очередное

приближение

1n

не удовлетворяет условию окончания процесса, то

вычисляем величины

 

1n

 

n

и следующее приближение корня

   

111





nnnn

xfxfxx

. При выполнении условия

211

2 Mmxx







величину

принимаем за приближённое значение корня



, вычисленное с

точностью



Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное

приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую

крутизну. В том случае процесс быстро сходится. Если же численное значение

производной

 

xf '

вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может

оказаться очень долгим.

Задание. Составить программу приближённого вычисления корня уравнения

 

0xf

для заданной дважды дифференцируемой функции

 

с точностью



и произвести вычисления на ЕС ЭВМ.

Порядок выполнения лабораторной работы на ЭВМ.

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения

 

0xf

Убедиться, что на найденном отрезке

 

ba,

функция

 

удовлетворяет

условиям сходимости метода Ньютона.

2. Выбрать начальное приближение корня

 

bax ,



так, чтобы

   

xfxf

3. Оценить снизу величину

 

 

xfm

'min



, оценить сверху величину

 

 

xfM

"max



4. По заданному



выбрать значение



для условия окончания

итерационного процесса

201

2 Mm





5. Составить головную программу и печать результатов.

6. Провести вычисления по программе.