Филатов Е.Ю., Ясинский Ф.Н. Математическое моделирование течений жидкостей и газов
Подождите немного. Документ загружается.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ивановский государственный энергетический
университет имени В. И. Ленина»
Кафедра высокопроизводительных вычислительных
систем
Е. Ю. Филатов, Ф. Н. Ясинский
Математическое
моделирование течений
жидкостей и газов
Учебное пособие
Иваново 2007
2
УДК 681.326
Ф 51
Филатов Е. Ю., Ясинский Ф. Н. Математическое моделирование
течений жидкостей и газов: Учеб. пособие / Государственное
образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Ивановский государственный энергетический
университет имени В.И.Ленина». – Иваново, 2007. – 84 с.
ISBN
В пособии изложены численные методы моделирования
течений жидкостей и газов. Приведены тексты рабочих программ
для использования в курсовом и дипломном проектировании.
Предназначено для студентов и аспирантов, изучающих
численные методы, гидроаэромеханику, тепло- и массоперенос.
ISBN
© Е. Ю. Филатов,
Ф. Н. Ясинский, 2007
3
Содержание
Введение...............................................................................................4
1. Основные уравнения гидродинамики...........................................5
2. Нахождение поля давления с помощью уравнения Пуассона....7
3. Решение уравнения Пуассона......................................................10
4. Метод слабой сжимаемости для нахождения поля давления...12
5. Решение уравнений Навье-Стокса: явная схема........................13
6. Решение уравнений Навье-Стокса: неявная схема....................14
7. Граничные и начальные условия.................................................19
8. Уравнения гидродинамики в системе «вихрь – функция
тока»...................................................................................................22
9. Граничные и начальные условия в системе «вихрь – функция
тока»...................................................................................................23
10. Расчет нагрузки при гидродинамических процессах..............25
11. О моделировании турбулентных течений................................27
12. Фрагменты программ..................................................................31
12.1. Система P-U, явная схема, программа на Delphi..............31
12.2. Системы P-U и ω-ψ, неявная схема (метод переменных
направлений и расщепления), программа на Delphi..................36
12.3. Система ω-ψ, неявная схема (метод расщепления),
программа на C++.........................................................................50
12.4. Система ω-ψ, неявная схема (метод расщепления),
параллельный вариант, программа на C++.................................59
Заключение........................................................................................82
Список рекомендуемой литературы................................................83
4
Введение
Гидроаэромеханика – раздел механики сплошной среды,
являющийся частью теоретической механики и изучающий
движение жидкой и газообразной среды и взаимодействие их как
друг с другом, так и с твердыми телами. Гидродинамика – раздел
гидроаэромеханики, в котором изучается движение несжимаемых
жидкостей и их взаимодействие с твердыми телами.
В гидроаэромеханике для обозначения жидкости и газа
используют термин «жидкость». Термин «газ» употребляют для
обозначения сжимаемой среды. Под сжимаемостью понимают
способность вещества изменять свой объем при действии
всестороннего давления. Газообразная среда в нормальных
условиях, так же как и жидкая, обладает слабой сжимаемостью,
поэтому с некоторой степенью приближения ее можно
рассматривать как несжимаемую жидкость.
Наряду со свойством сжимаемости рассматривают также
реологические свойства среды, которые характеризуют
количественную связь между касательными напряжениями и
скоростями сдвига. Обычно используют две простейшие модели
жидкой или газообразной среды: идеальная (без внутреннего
трения) и вязкая (с напряжением трения, пропорциональным
скорости сдвига). В данном курсе мы будем изучать вязкую
несжимаемую жидкость.
Для исследования задач гидроаэромеханики используют
три основных подхода:
получение аналитических решений;
физический эксперимент;
использование численных методов.
Аналитические решения к настоящему времени получены
лишь для простейших задач. Они также используются в
численном моделировании для описания некоторых аспектов
5
задачи. Физический эксперимент используется по большей части
в качестве критерия правильности полученных численных
решений. Численные методы используются для моделирования
течений жидкостей и газов с помощью вычислительной техники.
Численные методы применительно к задачам гидродинамики
составяют такой раздел науки, как вычислительная
гидродинамика. Численное моделирование течений жидкостей и
газов получает в последние десятилетия все более широкое
распространение благодаря интенсивному росту
производительности вычислительной техники.
В пособии будут рассмотрены численные методы для
моделирования течений жидкостей и газов (только двумерный
случай). Кроме того, будут приведены 4 задачи с листингами
программ для их решения (раздел 12). Они написаны на языках
Delphi и C++. Последняя программа написана специально для
многопроцессорных компьютеров. В ней реализована технология
распараллеливания вычислений между процессорами.
1. Основные уравнения гидродинамики
Для того чтобы решить задачу гидродинамики, нужно
составить уравнение движения применительно к
рассматриваемой жидкости. Для этого применяют Второй закон
Ньютона к элементарному объему жидкости δV массой δm имеем:
.grad mFPVUm
dt
Ud
m
(1.1)
В левой части формулы – произведение массы δm
элементарного объема жидкости и ее ускорения (
U
– скорость, t
– время). В правой части – действующие на этот объем силы:
сила вязкого трения (ν – кинематическая вязкость, в этом пособии
за исключением раздела 11 будем считать ее постоянной), сила,
возникающая из-за разности давлений P, и прочие силы
mF
.
6
Напомним, что
;grad
z
A
k
y
A
j
x
A
iA
(1.2)
.
2
2
2
2
2
2
z
A
y
A
x
A
A
(1.3)
Разделив обе части уравнения (1.1) на δm и раскрыв
полный дифференциал:
dt
dz
z
U
dt
dy
y
U
dt
dx
x
U
t
U
dt
Ud
z
U
U
y
U
U
x
U
U
t
U
zyx
(1.4)
(здесь U
x
, U
y
, U
z
– проекции скорости
U
на оси Ox, Oy, Oz),
получим:
.grad
1
FPU
z
U
U
y
U
U
x
U
U
t
U
zyx
(1.5)
Здесь ρ – плотность среды.
Спроецируем уравнение (1.5) на ось Ox:
z
U
U
y
U
U
x
U
U
t
U
x
z
x
y
x
x
x
.
1
2
2
2
2
2
2
x
xxx
F
x
P
z
U
y
U
x
U
(1.6)
2-й, 3-й и 4-й члены левой части уравнения (1.6) называют
конвективной составляющей, а 1-й член правой части –
диффузионной составляющей. Уравнения при проекциях на оси
Oy и Oz записываются аналогичным образом. Эти уравнения
называются уравнениями Навье-Стокса. Для того чтобы система
стала полной, к этим уравнениям добавляется еще уравнение
неразрывности, означающее, что если жидкость несжимаемая, то
при любом движении ее объем сохраняется:
.0div
z
U
y
U
x
U
U
z
y
x
(1.7)
Уравнения Навье-Стокса (1.6) для трех проекций и
уравнение неразрывности (1.7) вместе с начальными и
7
граничными условиями образуют полную систему, которой
можно описать движение жидкости.
Алгоритм решения задачи гидродинамики следующий. В
начальный момент времени заданы начальные значения полей
скорости
U
, давления P и прочих сил
F
. Имея поле скорости,
находим поле давления P в новый момент времени, а из него с
помощью уравнений Навье-Стокса – поле скорости
U
в новый
момент времени. Эти действия повторяются итеративно. Для того
чтобы найти поле давления, также необходимо решить
уравнение. Далее мы предложим два метода нахождения поля
давления из поля скорости. А затем рассмотрим, как решаются
уравнения Навье-Стокса.
2. Нахождение поля давления
с помощью уравнения Пуассона
Далее мы будем рассматривать только двумерный случай.
Распространить изложенную теорию в системе «давление –
скорость» на трехмерный случай достаточно просто.
Запишем уравнения Навье-Стокса в двумерном случае:
;
1
2
2
2
2
x
xxx
y
x
x
x
F
x
P
y
U
x
U
y
U
U
x
U
U
t
U
(2.1)
.
1
2
2
2
2
y
yyy
y
y
x
y
F
y
P
y
U
x
U
y
U
U
x
U
U
t
U
(2.2)
Продифференцируем первое уравнение по x, второе – по y
и суммируем их:
2
2
2
y
U
x
U
y
U
x
U
y
D
U
x
D
U
t
D
yy
xx
yx
,
1
2
2
2
2
2
2
2
2
y
F
x
F
y
P
x
P
y
D
x
D
y
x
(2.3)
8
где
.div
y
U
x
U
UD
y
x
(2.4)
Хотя, согласно уравнению неразрывности, D должно быть
равно 0, тем не менее, здесь мы не можем опускать D: именно это
уравнение (2.3) заменит уравнение неразрывности (1.7) и именно
оно будет отвечать за то, чтобы дивергенция скорости стремилась
к 0.
Из уравнения (2.3) получим уравнение Пуассона:
2
2
2
y
U
x
U
y
U
x
U
P
yy
xx
.div
FD
y
D
U
x
D
U
t
D
yx
(2.5)
С помощью этого уравнения из известного поля скоростей
находится поле давления.
Для решения уравнений гидродинамики будем
использовать метод сеток. Для простоты примем
рассматриваемую область жидкости прямоугольной. Наложим на
эту область сетку размером (N
x
+2)×(N
y
+2). Узлы с индексами 0 и
N
x
+1, 0 и N
y
+1 будем считать граничными, а остальные
(1..N
x
)×(1..N
y
) – внутренними. Шаг сетки возьмем равным h,
одинаковым по горизонтали и вертикали.
Напомним, что каждый (k+1)-й шаг по времени мы
находим сначала поле давления P
k+1
(из полей скоростей на
предыдущем шаге U
x
k
и U
y
k
), а из него – поля скоростей U
x
k+1
и
U
y
k+1
. Кроме того, перед вычислением поля давления P
k+1
нам
необходимо вычислить также поле дивергенции скорости D
k+1
(из
полей скоростей на предыдущем шаге U
x
k
и U
y
k
).
Составим разностную схему для правой части уравнения
Пуассона.
Для повышения устойчивости при вычислении
дивергенций скорости используют следующую схему:
h
UUUU
D
k
ji
x
k
ji
x
k
ji
x
k
ji
x
k
ji
4
1,11,11,11,1
1
,
9
.
4
1,11,11,11,1
h
UUUU
k
ji
y
k
ji
y
k
ji
y
k
ji
y
(2.6)
Для слагаемого
t
D
строится схема
.
k
D
t
D
(2.7)
Здесь D
k+1
как бы приравнивается к 0, что обеспечивает
выполнение уравнения неразрывности.
Для повышения устойчивости при вычислении слагаемых
x
D
U
x
и
y
D
U
y
используют противоточные производные:
.0,
;0,
,
,,1
,
,
,1,
,
ji
x
jiji
ji
x
ji
x
jiji
ji
x
x
U
h
AA
U
U
h
AA
U
x
A
U
(2.8)
При таком способе, учитывая направление скорости,
производные вычисляются как бы в будущий момент времени,
что, естественно, повышает устойчивость. Противоточные
производные компактно можно записать так:
.
22
,,1
,,
,1,
,,
h
AA
UU
h
AA
UU
x
A
U
jiji
ji
x
ji
x
jiji
ji
x
ji
x
x
(2.9)
Такая запись противоточных производных позволяет
избежать использования условий, однако несколько увеличивает
время выполнения программы.
В итоге получаем такую разностную схему для правой
части уравнения Пуассона (2.5):
k
ji
k
ji
y
k
ji
y
k
ji
y
k
ji
y
k
ji
x
k
ji
x
k
ji
x
k
ji
x
D
h
UU
h
UU
h
UU
h
UU
,
2
1,1,
,1,11,1,
2
,1,1
2
22
2
2
10