Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Оптимальные экономико-математические модели

141

Что такое задачи целочисленного программирования?

Приведите примеры таких задач и назовите известные

вам методы их решения.

6. В чем сущность задач многокритериальной оптимиза-

ции? Дайте характеристику метода последовательных

уступок.

Опишите общую постановку задачи нелинейного про-

граммирования. В чем суть метода Лагранжа решения

классической оптимизационной задачи?

8. Дайте краткую характеристику задач динамического

программирования и методов их решения.

9. Раскройте основные понятия имитационного моделиро-

вания и перечислите этапы машинной имитации как

экспериментального метода изучения экономики.

10.

В чем суть методов сетевого планирования и управле-

ния? Дайте содержательную характеристику элементов

сетевого графика.

11.

Какие задачи решаются на основе сетевых моделей?

Раскройте сущность сетевого планирования в условиях

неопределенности.

Упражнения

Сформулировать двойственные задачи для задач линей-

ного программирования, приведенных в упражнениях к гл. 2.

При решении задачи оптимального использования ре-

сурсов на максимум прибыли, исходные данные которой

приведены в таблице, был получен оптимальный план: х\ =

40;

= 40; х

Тип

ресурса

Труд

Сырье

Оборудование

Цена единицы продукции

Нормы затрат ресурсов

на единицу продукции

Наличие

ресурсов

200

130

142

Глава 3

а) Сформулировать прямую оптимизационную задачу,

указать оптимальную производственную программу.

б) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оп-

тимальный план на основе теорем двойственности.

в) Проанализировать использование ресурсов в оптимальном

плане, найти норму относительной заменяемости дефицитных

ресурсов.

г) Определить, как изменится максимум общей стоимости

продукции и план выпуска при увеличении запасов сырья

на 9 ед. и одновременном уменьшении трудовых ресурсов

на 3 ед.

д) Оценить целесообразность включения в план продук-

ции четвертого вида, если цена единицы этой продукции со-

ставляет 70 ед., а на ее производство расходуется по 2 ед.

каждого типа ресурсов.

Решить следующие транспортные задачи (здесь А —

вектор мощностей поставщиков, В — вектор мощностей по-

требителей, С — матрица транспортных издержек на единицу

груза):

'6 7 3 5"

а)А=(100; 150; 50), С =

В= (75; 80; 60; 85),

12 5 6

8 10 20 1.

б) А = (300; 350; 150; 200), С =

В = (400; 400; 200),

в) А= (20; 30; 40; 20), С

В = (40; 40; 20),

з)

2 3 4

1 2

1 1,

Оптимальные экономико-математические модели 143

Найти целочисленные решения следующих задач ли-

нейного программирования методом Гомори:

а) тахДХ) = Зх

+ Зх

, б) тахДХ)

xi + Зх

> 6,

Зхх + 2х

< 36,

< 13, х\, х

= 3xi + 4лг

3^1 + 2х

< 8,

xi + 4*2 < Ю,

> 0.

С помощью метода Лагранжа найти условный экстре-

мум функционала Z:

а) Z = XiJC

при JCI

+ х

= 2;

б) Z = хх

+ х

при xi + х

= 2,

«1,

> 0;

в) Z = хх + х

при 1/хх + 1/*2

6. Сетевой график с указанием продолжительности ра-

бот в днях приведен на рисунке:

Требуется:

а) Пронумеровать события.

б) Выделить критический путь и найти его длину.

в) Определить резервы времени каждого события.

г) Определить полные резервы времени некритических работ.

Глава 4

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

АНАЛИЗА ДИНАМИКИ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

• Понятия экономических рядов динамики

• Предварительный анализ и сглаживание временных рядов эконо-

мических показателей

• Расчет показателей динамики развития экономических процессов

• Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ

4.1.

Понятия экономических рядов динамики

Динамические процессы, происходящие в экономических

системах, чаще всего проявляются в виде ряда последова-

тельно расположенных в хронологическом порядке значе-

ний того или иного показателя, который в своих изменени-

ях отражает ход развития изучаемого явления в экономике.

Эти значения, в частности, могут служить для обоснования

(или отрицания) различных моделей социально-экономиче-

ских систем, в том числе изученных в предыдущих главах.

Они служат также основой для разработки прикладных

моделей особого вида, называемых трендовыми моделями,

которые рассматриваются в гл. 5.

Прежде всего дадим ряд определений. Последователь-

ность наблюдений одного показателя (признака), упорядо-

ченных в зависимости от последовательно возрастающих

или убывающих значений другого показателя (признака),

называют динамическим рядом, или рядом динамики. Если

в качестве признака, в зависимости от которого происходит

упорядочение, берется время, то такой динамический ряд

называется временным рядом. Так как в экономических

процессах, как правило, упорядочение происходит в соответ-

ствии со временем, то при изучении последовательных наблю-

Методы и модели анализа динамики экономических

процессов

145

дении экономических показателей все три приведенных

выше термина используются как равнозначные. Составными

элементами рядов динамики являются, таким образом, циф-

ровые значения показателя, называемые уровнями этих рядов,

и моменты или интервалы времени, к которым относятся

уровни.

Временные ряды, образованные показателями, характе-

ризующими экономическое явление на определенные мо-

менты времени, называются моментными; пример такого

ряда представлен в

табл.4.1.

Таблица 4.1. Списочная численность рабочих предприятия

Дата

Списочная численность

рабочих

1/1

4100

1/П

4400

1/Ш

4200

1/IV

4600

30/IV

4800

Если уровни временного ряда образуются путем агреги-

рования за определенный промежуток (интервал) времени,

то такие ряды называются интервальными временными ря-

дами; пример приведен в табл. 4.2.

Таблица 4.2. Фонд заработной платы рабочих предприятия

Месяц Январь Февраль Март Апрель

Фонд заработной платы

рабочих, тыс. руб.

37187,5 38270,0 39380,0 42535,0

Временные ряды могут быть образованы как из абсолют-

ных значений экономических показателей, так и из средних

или относительных величин — это производные ряды, пример

такого ряда дан в табл. 4.3.

Таблица

4.3. Среднемесячная

зарабс

Месяц Январь

Средняя заработная плата

рабочих,руб. 8750

>тная

плата

Февраль

8900

рабочих

предприятия

Март Апрель

8950 9050

Под длиной временного ряда понимают время, прошедшее

от начального момента наблюдения до конечного; таким

образом, длина всех приведенных выше временных рядов

146 Глава

равна четырем месяцам. Часто длиной ряда называют

ко-

личество уровней, входящих

во

временной

ряд;

длина ряда

из табл.

4.1

равна пяти,

табл.

4.2 и

табл.

4.3 —

четырем.

Если

во

временном ряду проявляется длительная («веко-

вая») тенденция изменения экономического показателя,

то

говорят,

что

имеет место тренд. Таким образом,

под

трендом

понимается изменение, определяющее общее направление

развития, основную тенденцию временных рядов.

связи

этим экономико-математическая динамическая модель,

которой развитие моделируемой экономической системы

отражается через тренд

ее

основных показателей, называется

трендовой моделью.

Для

выявления тренда

во

временных

рядах,

также

для

построения

анализа трендовых моделей

используется аппарат теории вероятностей

математической

статистики, разработанный

для

простых статистических

совокупностей. Отличие временных экономических рядов

от

простых статистических совокупностей заключается прежде

всего

в том, что

последовательные значения уровней вре-

менного ряда зависят друг

от

друга. Поэтому применение

выводов

формул теории вероятностей

математической

статистики требует известной осторожности

при

анализе

временных рядов, особенно

при

экономической интерпретации

результатов анализа.

Предположим, имеется временной

ряд,

состоящий

из п

уровней:

Уъ2/2> Уз»---.

Уп-

В самом общем случае временной

ряд

экономических

показателей можно разложить

на

четыре структурно обра-

зующих элемента:

• тренд, составляющие которого будем обозначать

= 1,2,. ..,п;

• сезонная компонента, обозначаемая через

, t = 1,2,...,га;

• циклическая компонента, обозначаемая через

= 1,2,. ..,п;

• случайная компонента, которую будем обозначать

(

= 1,2,. ..,п.

Методы и модели анализа динамики экономических

процессов

147

Под трендом, как уже отмечалось выше, понимается ус-

тойчивое систематическое изменение процесса в течение

продолжительного времени.

Во временных рядах экономических процессов могут

иметь место более или менее регулярные колебания. Если

они носят строго периодический или близкий к нему ха-

рактер и завершаются в течение одного года, то их называют

сезонными колебаниями. В тех случаях, когда период коле-

баний составляет несколько лет, то говорят, что во времен-

ном ряде присутствует циклическая компонента.

Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются

регулярными, или систематическими компонентами времен-

ного ряда. Составная часть временного ряда, остающаяся по-

сле выделения из него регулярных компонент, представляет

собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является

обязательной составной частью любого временного ряда в

экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопут-

ствуют любому экономическому явлению. Если системати-

ческие компоненты временного ряда определены правильно,

что как раз и составляет одну из главных целей при разра-

ботке трендовых моделей, то остающаяся после выделения из

временного ряда этих компонент так называемая остаточная

последовательность (ряд остатков) будет случайной компо-

нентой ряда, т.е. будет обладать следующими свойствами:

• случайностью колебаний уровней остаточной последова-

тельности;

• соответствием распределения случайной компоненты

нормальному закону распределения;

• равенством математического ожидания случайной ком-

поненты нулю;

• независимостью значений уровней случайной последо-

вательности, то есть отсутствием существенной авто-

корреляции.

Проверка адекватности трендовых моделей основана на

проверке выполняемости у остаточной последовательности

указанных четырех свойств. Если не выполняется хотя бы

одно из них, модель признается неадекватной; при выполне-

нии всех четырех свойств модель адекватна. Данная провер-

148

Глава 4

ка осуществляется с использованием ряда статистических

критериев и рассмотрена более подробно ниже. Отметим, что

в дальнейшем мы не будем рассматривать циклическую

компоненту временных родов; укажем только, что для мо-

делирования и прогнозирования сезонных и циклических

экономических процессов используются специальные мето-

ды (индексный и спектральный анализы, выравнивание по

ряду Фурье и др.). Методы анализа сезонности и тренд-се-

зонных экономических процессов рассматриваются в § 4.4.

4.2.

Предварительный анализ и сглаживание временных

рядов экономических показателей

Предварительный анализ временных рядов экономиче-

ских показателей заключается в основном в выявлении и

устранении аномальных значений уровней ряда, а также в

определении наличия тренда в исходном временном ряде.

Рассмотрим эти операции более подробно.

Под аномальным уровнем понимается отдельное значение

уровня временного ряда, которое не отвечает потенциаль-

ным возможностям исследуемой экономической системы и

которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает суще-

ственное влияние на значения основных характеристик вре-

менного ряда, в том числе на соответствующую трендовую

модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть

ошибки технического порядка, или ошибки первого рода:

ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей,

при передаче информации и другие технические причины.

Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению.

Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут

возникать из-за воздействия факторов, имеющих объектив-

ный характер, но проявляющихся эпизодически, очень ред-

ко — ошибки второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов

используются методы, рассчитанные для статистических со-

вокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование

следующей формулы:

Методы и модели анализа динамики экономических

процессов

149

К- . ' = 2,3,...,л, (4.1)

°у

где среднеквадратическое отклонение а

рассчитывается в

свою очередь с использованием формул:

Расчетные значения А.2, ^з

и т

- Д- сравниваются с таблич-

ными значениями критерия Ирвина Ха, и если оказываются

больше табличных, то соответствующее значение yt уровня

ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина

для уровня значимости а = 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой,

приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4

^<х

2,8

2,3

1,5

1,3

1,2

1,1

100

1,0

После выявления аномальных уровней ряда обязательно

определение причин их возникновения. Если точно установ-

лено,

что они вызваны ошибками первого рода, то они устра-

няются либо заменой аномальных уровней простой средней

арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой

аномальных уровней соответствующими значениями по

кривой, аппроксимирующей данный временной ряд. Поря-

док нахождения такой кривой, т.е. трендовой модели, рас-

сматривается в гл. 5.

Для определения наличия тренда в исходном времен-

ном ряду применяется несколько методов; рассмотрим два

из них.

Метод проверки разностей средних уровней. Реализация

этого метода состоит из четырех этапов.

На первом этапе исходный временной ряд

УиУ2>Уз,---,Уп

150

Глава 4

разбивается на две примерно равные по числу уровней час-

ти:

в первой части П\ первых уровней исходного ряда, во

второй — пч остальных уровней

(j%\

n<i —

га).

На втором этапе для каждой из этих частей вы-

числяются средние значения и дисперсии:

У\ - , o-j - - ,

Tlj Щ

—

л n

— t=ni+l 2 <=ni+l

=—л—

;

=—*- .

-l

Третий этап заключается в проверке равенства

(однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-

критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетно-

го значения этого критерия:

F =

\v\hl>

если c

>ст

|„2/

2 о о

{

если а! < о~2

с табличным (критическим) значением критерия Фишера

с заданным уровнем значимости (уровнем ошибки) а. В

качестве а чаще всего берут значения 0,1 (10%-ная ошибка),

0,05 (5%-ная ошибка), 0,01 (1%-ная ошибка). Величина 1 - a

называется доверительной вероятностью.

Если расчетное значение F меньше табличного F

, то ги-

потеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к

четвертому этапу. Если F больше или равно F

, гипотеза о

равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что дан-

ный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

На четвертом этапе проверяется гипотеза об от-

сутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента.

Для этого определяется расчетное значение критерия Стью-

дента по формуле: