Фафурин В.А., Терюшов И.Н. Автоматизация технологических процессов и производств
Подождите немного. Документ загружается.
Рис.7.4. Функциональная схема автоматизации процесса
полимеризации этилена
Упрощенная технологическая схема производства полиэтилена
при высоком давлении представлена на рис.7.4. Исходным сырьем
служит газ этилен, который поступает из газгольдера Г в компрессор
первого каскада K-I, сжимается там до 30-35 МПа (300-350
2
/ смкг
),
а затем поступает в компрессор второго каскада К-2, где давление газа
поднимается до 150 МПа (1500
2
/ смкгс
) далее газ поступает в
приемную емкость E-1, из которой через впускной клапан (поз.1) и
фильтр тонкой очистки двумя потоками подается в трехзонный
реактор с перемешивающим устройством. Верхний поток,
предварительно нагретый в теплообменнике Т, подается в верхнюю
зону реактора, а нижний вводится между нижней и средними зонами.
Полимеризация проходит при давлении 110-150 МПа (110-1150
2
/ смкгс
), температуре 170-250
С
и в присутствии
незначительного количества инициатора (кислорода¸ перекиси
дитретичного бутила, перекиси декумила и других органических
перекисей). Инициатор вводится в газ либо до его сжатия перед
компрессором, либо после сжатия непосредственно перед реактором.
Выделяющееся при реакции тепло отводится с газом, полимером и
через стенки реактора. В нижней части реактора реакция
полимеризации заканчивается, газ и полимер охлаждаются. За один
проход газа через реактор в полимер превращается 10-15% этилена.
Образовавшийся полимер вместе с непрореагировавшим газом через
регулирующий клапан (поз.6) поступает в следующий аппарат –
отделитель О, где при давлении 300
2
/ смкгс
происходит разделение
полимера и газа. Полиэтилен из нижней части отделителя через
клапан (поз.8) выгружается в шнековый приемник Е-2, а газ через
клапан (поз.7) попадает в циклон Ц, где очищается от мелких частиц
полимера, а затем возвращается в газгольдер Г. Полученный продукт
из приемника поступает на переработку.
Реактор Р в этой схеме является потенциально опасным
объектом. В нем протекает сильно экзотермическая химическая
реакция полимеризации при высоких значениях давления и
температуры. Свойством собственного самовыравнивания реактор не
обладает. Как будет показано ниже, реактор при работе может
находиться в 3-х стационарных состояниях, причем состояние,
соответствующее его оптимальному температурному режиму,
является неустойчивым. Процесс полимеризации протекают с
большой скоростью, при высоких значениях температуры и давления.
Это обуславливает жесткие требования к поддержанию температуры и
давления в устойчивой для процесса области. При выходе этих
параметров за допустимые пределы начинается реакция разложения с
последующим взрывом.
Высокая скорость химической реакции полимеризации при
большом количестве выделяющегося тепла, высоком давлении в
аппарате, отсутствие свойств самовыравнивания и неустойчивость
тепловых режимов работы налагают высокие требования к точности и
быстродействию работы АСР, входящих в РСУ, надежности и
быстродействию схемы ПАЗ.
7. Математическое описание и устойчивость режимов
работы реактора полимеризации
7.1. Математическое описание процесса
Поведение реактора полимеризации этилена может быть
описано системой уравнений материального и теплового балансов. В
соответствии с кинетикой полимеризация этилена математическая
модель реактора полимеризации включает три уравнения
материальных балансов [2]:
а) для монометра
MM
V
G
PMeA
dt
dM
о
RT/E
p
p
; (16)
б) для радикалов и полимера
2
PеAMIeA
dt
dP
RT/Е
об
RT/E
и
оби
; (17)
в) для инициатора
II
V
G
MIeA
dt
dI
RT/E
и
и
0
, (18)
где M,P,I – концентрация манометра, радикалов и инициаторов;
обри
А,А,А
- предэкспоненциальные множители для реакций
инициирования, роста и обрыва цепи;
обри
Е,Е,Е
- энергии
активации для реакций инициирования, роста и обрыва цепи;
00
I,M
-
начальные концентрации манометра и инициатора; R – универсальная
газовая постоянная; T – температура реакции; V - объем реактора; G-
подача газа; t - время.
Обычно исследование процесса полимеризации этилена при
высоком давлении проводится при допущении о квазистационарном
протекании реакции, т.е. предполагается, что концентрация активных
радикалов P за рассматриваемый период не меняется и скорости
реакций инициирования и обрыва цепи равны. При этом условии
0/ dtdP
. Принимая такое допущение, достаточно рассматривать
лишь два уравнения материального баланса: для манометра (16) и
инициатора (18). Концентрация мономера M в ходе процесса
полимеризации изменяется незначительно, так как количество
этилена, превращенного в полимер, составляет 10-12% для всего
реактора. Поэтому, принимая концентрацию манометра постоянной,
получим одно уравнение материального баланса (18), в котором
первый член правой части показывает изменение концентрации
инициатора вследствие протекания химической реакции, а второй –
вследствие протока смеси через реактор.
При составлении уравнения теплового баланса необходимо
учитывать тепло, выделяющееся в результате протекания
экзотермической реакции, приход и уход тепла с газом и
образующимся продуктом и теплоотвод через стенки реактора. Тогда
уравнение теплового баланса можно записать следующим образом:
cp
RT
p
u
pp
TT
V
Sh
TTC
V
G
IMeA
A
A
Q
dt
dT
C
в
2
1
2
3
/
2
1
об
(19)
где
p
C,
-плотность и теплоемкость смеси; T – температура смеси;
p
Q
- тепловой эффект химической реакции; S - поверхность
теплопередачи реактора; h – коэффициент теплопередачи;
в
T
-
входная температура смеси;
с
T
- температура стенки реактора; E=(2
обир
ЕЕЕ
)/2 – энергия активации суммарной реакции; V - объем
реактора.
Таким образом, математическая модель реактора полимеризации
этилена может быть составлена из двух дифференциальных уравнений
(18) и (19).
Для удобства исследования приведем систему уравнений (18) и
(19) к безразмерному виду. Сделаем следующую подстановку:
p
вpc
и
CρGhS
TCρGThS
T;
RT/Eexp
AuM
β;
I
α
;tβτ;TT
RT
E
θ;Iαx
0
00
0
2
0
1
(20)
где x – безразмерная концентрация инициатора; θ- безразмерная
температура смеси; τ - безразмерное время.
С учетом выражений (20) получаем:
;xλxe
τd
dx
θ
1
(21)
;θθμexB
τd
θd
θ/
0
21
0
(22)
;
βV
G
λ
(23)
;BIB
/
о
21
0
(24)
;
ρ
/
2
0
0
21
2
1
0
RTCA
RT
EE
eEMA
A
A
Q
B
pи
и
p
б
и
p
(25)
;
GCρ
hS
λμ
p
1
(26)
.
CρGhS
θCρGθhS
θ
p
вp
0
(27)
Для управления реактором важно выявить области различных
режимов его работы в зависимости от значения входных параметров,
а именно от входной температуры газа и входной концентрации
инициатора. Изменением этих параметров можно осуществлять тот
или иной режим работы реактора.
7.2. Состояния равновесия системы
Для исследования статики реактора приравняем производные в
уравнениях (21) и (22) нулю, т.е
.0
d
d
d
dx
(28)
Тогда получим
;0x1eх
S
S
S
(29)
,0exB
0S
2/1
0
S
(30)
где
s
x
и
s
- координаты состояний равновесия.
Из полученных алгебраических уравнений (29) и (30) находим
связь установившейся температуры в реакторе
s
с входной
температурой смеси
0
:
.
e
eB
2
1
0
S0
S
S
(31)
Статическая характеристика (31) для различных значений
входной концентрации инициализатора
)I(BB
000
показана на
рис.7.5. из которого видно, что рассматриваемая система может иметь
одно или три состояния равновесия. Значения стационарной
температуры в реакторе, соответствующие заданной величине
0
,
определяются абсциссой точек пересечения кривой (31) с прямой
const
0
.
Рис.7.5. Статические характеристики процесса полимеризации
При
1
00
BB
статическая характеристика является однозначной
монотонной кривой и, следовательно, в системе при данном значении
0
возможно только одно состояние равновесия. При
II
00
BB
кривая
)(
s00
имеет два экстремума, следовательно для
определенных значений
0
в системе возможны три различных
состояния равновесия (
1
s
,
II
s
,
III
s
) и какое из них в
действительности будет иметь место, зависит от начальных условий.
При увеличении
0
(если
0
>
III
s
) в системе опять возможно
только одно состояние равновесия. Значения параметров, при которых
происходит изменение числа состояний, называются
бифукарционными. Такими значениями являются
1
0
и
III
0
. Если
медленно и непрерывно изменять входную температуру
0
, то в
бифуркационных точках будут происходить скачкообразные
переходы системы из одного состояния равновесия в другое. При
увеличении
0
от 0 до
III
0
(0<
0
<
III
0
) состояния равновесия
будут на участке кривой DE. Переход с участка кривой OB на участок
DE осуществляется в точке бифуркации B при
0
=
III
0
. При
обратном движении, т.е. при уменьшении
0
с участка кривой EC в
точке бифуркации С при
0
=
1
0
переходим на участок OA.
Следовательно, зависимость равновесной температуры
s
от входной
0
имеет гистерезисный характер, что характерно для систем с
несколькими состояниями равновесия.
7.3. Исследование устойчивости состояний равновесия
системы
Для изучения устойчивости состояний равновесия
воспользуемся первым методом Ляпунова.
Запишем исходную систему дифференциальных уравнений:
)x1(ex
d
dx
; (32)
)(exB
d
d
0
2/1
0
. (33)
Правые части уравнений (32), (33) являются аналитическими
функциями в некоторой области около рассматриваемого состояния
равновесия с координатами
s
x
и
s
. Поэтому их можно разложить в
ряд Тейлора относительно этого состояния равновесия. Обозначая
правую часть уравнения (32) через P(
s
x
,
s
), будем иметь
0),x(P)x1(ex
ssSs
S
; (34)
0)(exB
0s
2/1
s0
S
; (35)
Находим коэффициенты ряда Тейлора:
S
e
x
)x(P
a
s
ss
11
; (36)
S
eх
)x(P
a
S
s
ss
12
; (37)
S
exB
2
1
x
),x(
a
2/1
0
s
ss
21
;
(38)
S
exB
x
),x(
a
2/1
S0
s
ss
22
. (39)
Характеристическое уравнение системы имеет вид
0
2
; (40)
где
21122211
aaaa
;
(41)
)aa(
2211
. (42)
Как уже указывалось решение системы будет устойчивым, если
корни характеристического уравнения имеют отрицательные
действительные части, т.е. условиями устойчивости являются
0
;
0
; (43)
Граница устойчивости соответственно определится из условий
0
, (44)
0
. (45)
Кривая
0
является границей состояний равновесия типа
«седла»,: при
0
состояние равновесия будет «седлом», так как
корни характеристического уравнения получаются вещественными и с
равными знаками. Устойчивость состояний равновесия типа «узел»
или «фокус» определяется знаком
.
Кривые
0
и
0
разделяют плоскость параметров
системы на области, имеющие различный характер, устойчивости
состояний равновесия, области различных режимов работы реактора.
Для построения кривой
0
подставим в уравнение (44)
значение коэффициентов ряда Тейлора
21122211
a,a,a,a
. Получим
0eexBexB
2
1
SSS
2/1
S0
2
2/1
S0
. (46)
Наибольший интерес представляет выделить области различных
режимов работы химического реактора в плоскости параметров
00
,B
, т.е. определить, какие режимы могут существовать в системе
в зависимости от начальной концентрации инициатора и входной
температуры смеси. Однако получить зависимости
)(BB
o00
или
)B(
o00
для условия
0
в явном виде нельзя. Эта связь может
быть задана параметрическими уравнениями
)(BB
S00
;
)(
S00
.
Чтобы получить параметрическое уравнение
)(BB
S00
для
кривой
0
, используем уравнения (34) и (46). Определяя из них
значения
S
x
и решая совместно полученные уравнения, найдем
S
SS
S
e
ee
2
1
)e(
x
2
0
, (47)
где
2
00
Bx
.
Определим второе параметрическое уравнение
)(
s00
. Из
уравнения (46) найдем
S
ex
2/1
S
и подставим его в выражение (35).
После преобразований получим
S
S
e
2
1
e
S0
(48)
Уравнение (47) и (48) являются параметрическими уравнениями
(с параметром
S
), определяющими границу устойчивости
0
в
плоскости параметров
00
,x
.
Кривая
0
в плоскости параметров
00
,x
показана на
рис.7.6. Она имеет вид клина с точкой возврата первого рода K.
Рис. 7.6. Граница устойчивости
0
на плоскости
параметров
00
,x
При построении кривой
0
также воспользуемся
параметрическим заданием функции
)(BB
s00
и
)(
s00
.
Подставив в выражение для
значения коэффициентов ряда
Тейлора
11
a
и
22
a
, получим
0exBe
SS
2/1
s0
. (49)