Евдокимова Н.Н. Алгебра и начала анализа в таблицах и схемах
Подождите немного. Документ загружается.
ДЕСЯТИЧНЫЕ
ДРОБИ
Обыкновенную
дробь,
знаменатель
которой
равен
1
О,
100,
1000
и
т.
д.
называют
десятичной
дробью.
3
51
7
10 =
0,3
100
= 0,51
1000
=
0,007
6 -
целая
часть
числа;
1 -
десятые
доли
единицы;
(
6,125
)---7
2 -
сотые
доли
единицы;
5 -
тысячные доли
единицы.
125
6125=6+-+-+--
,
10
100
1000
Свойства
десятичных
дробей
1.
Десятичная
дробь
не
изменит
величины,
если
к
ней
справа
приписать
любое
ко
личество
нулей.
2.
Десятичная
дробь
увеличится
в
10,100,
1000
и
т.
д.
раз,
если
запятую
перене
сти
на
один,
два,
три
и
т.
д.
знака
впра
во.
3.
Десятичная
дробь
уменьшится
в
10, 100,
1000
и
т.
д.
раз,
если
запятую
перенес
ти
на
один,
два,
три
и
т.
д.
знака
влево.
15,8
=
15,80
=
15,800
и
т.
д.
Число
13,21
увеличится
в
1,0
раз,
если
напи
шем:
132,1.
Число
13,21
уменьшит
ся
в
100
раз,
если
напи
шем:
0,1321.
Превращение
десятичной
дроби
в
обыкновенную
дробь
Чтобы
обратить
десятичную
дробь
в
обык
7
0,7
=
10
новенную,
достаточно
в
числителе
дроби
записать
число,
стоящее
после
запятой,
а
в
О
25
=
25
~
'
100
знаменателе
-
единицу
с
нулями,
причем
нулей
должно
быть
столько,
сколько
цифр
0,007
=
1000
справа
от запятой.
12
7
--
--
Превращение
обыкновенной
дроби
в
десятичную
Чтобы
превратить
обыкновенную
дробь
в
десятичную,
нужно
выполнить
деле
ние
числителя
на
знаменатель
«стол
биком».
Заметим,
что
при
этом
может
полу
читься
конечная
десятичная
дробь
или
бесконечная
периодическая
десятич
ная
дробь.
7
25
=
0,28
_7,0
~
50
0,28
~
200
-
200
О
1
3 =
0,333
... =
0,(3)
ПОРЯДОК
АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ДЕЙСТВИЙ
При
выполнении
арифметических
действий
соблюдается
сле
дующий
порядок:
1.
Выполняются
действия,
заключенные
в
скобки.
При
этом
вначале
производится
умножение
и
деление,
затем
сложение
и
вычитание.
2.
Выполняются
действия
без
скобок.
При
этом
также
внача
ле
производится
умножение
и
деление,
затем
сложение
и
выи-
тание.
3.
Если
выражение,
заключенное
в
скобки,
также
содержит
скобки,
то
вначале
выполняются
действия
во
внутренних
скоб
ках.
ПримеРbf.
1) 6 + (5 + 2) . 8 - 4 = 6 + 7 . 8 - 4 = 6 + 56 - 4 = 58.
2)
81
:9-2·(8-3·2)=81
:9-2·(8-6)=
=81
:9-2·2=9-4=5.
3)
9 + 2 .
(14
-
30
: (2
·4-
3)) = 25.
2·4=
8; 8 - 3 = 5;
30:
5 = 6; 14 - 6 = 8;
2·8
= 16; 9 + 16 = 25.
13
АЛГЕБРА
ВОЗВЕДЕНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
В
СТЕПЕНЬ
С
НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
a
k
=
а
.
а
.
а
.....
а
Степенью
числа
а
с
показателем
,
)
,......,
у
k,
где
k
Е
Н,
аЕ
а,
называется
k
раз
произведение
k
множителей,
каж
дый
из
которых
равен
а.
а
-
основание
степени;
4
k -
показатель
степени.
Четная
степень
отрицательного
числа
есть
число
поло
жительное
(-2)2
= 4.
Нечетная
степень
отрицательного
числа
есть
число
от
рицательное
(-2)3
=
-8.
Любая
степень
положительного
числа
есть
число
поло
жительное
25
=
32.
ПРАВИЛА
ДЕЙСТВИЯ
СО
СТЕПЕНЯМИ
а
m
.
а
П
=
а
m
+
п
т,
ПЕ
N
При
умножении
степеней
с
оди
наковыми
основаниями
показа
тели
складываются,
а
основание
остается
прежним.
х
2
.
х4
=
х
6
а
m
:
а
П
=
а
m
-
п
т,
ПЕ
N
При
делении
степеней
с
оди
наковыми
основаниями
показа
тели
вычитаются,
а
основание
остается
прежним.
х
6
_=х
2
х
4
25 : 22 = 23 = 8
(аm)п
=
аm·
п
т,
ПЕ
N
При
возведении
степени
в
сте
пень
показатели
степеней
пере
множаются,
а
основание
остает
ся
прежним.
(х
2
)3
=
х
6
(32)2 = 34 =
81
14
(а
.
Ь
.
с)п
=
а
П
.
ь
п
.
сп
1)(5·2·10)2=52.22·102=25·4·100=10000;
2)
28
·78 =
28
·78 =
22
.72 =
4.49
= 196.
146
26
·76
(~
J=
~~
(2J
22
8
1) 3 =
зз
=
27;
2)
(~J:
265
=
~:
.
265
=
12275
.
265
= 5
~
2 =
1~
.
СВОЙСТВА
СТЕПЕНИ
С
ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ,
НУЛЕВЫМ
И
ДРОБНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Отрицательная
з-2
-
_1
= 1.
(~)
~ (~
J=
з2
=
~
=
21;
степень
-
з2
9
'3
2
22
4 4
~
а-т
=
_1_
(_з)-2
=
_1_
=
1.
а
m
(_з)2
9
./
Нулевая
степень
50
=
1;
(_2)0 =
1;
(~J
=
1.
а
О
(
= 1
}
1
r
Дробная
степень
~
~
-
~
2
273
=3272 =
32
=9;
(-8)3
=
-8
=- .
т
г7
ап
=
~am
Примеры.
1) (
_з)2
. ( - ;
J.
(_6)2 = ( - 3 .; .6 J=
36.
2)
Ш
2
(
-
~
J
(-4)2
(_0,5)2
(-4)
=
и(
-
~))'
((
-
н
<-4)
J=
1 1
=16·8=2'
3)
Найдите
значение
выражения:
14101з6.84
(7.2)10·1з6·(23)4
710·210·136·212
-_о
= ==
28·79
266
28.79.
(13.2)6
28·79
·1з6·26
= 710-9·222-14 =
7·28
=
7·256
= 1792.
15
ДЕЙСТВИЯ
С
КОРНЯМИ
Арифметическим
корнем
п-й
степени
из
неотрица
тельного
числа
а
называется
неотрицательное
число
Ь,
для
которого
Ь
П
=
а.
(
Qj8.
=
Ь
при
а
?::
О;
Ь?::
О.
Например:
.J16
= 4; J25 =
5.
)
(
~
=m'~an,
a?::o~
~гт(Бrrk
=
~abc,
~
а
?::
О;
Ь
?::О;
С
?::
О
!
~abc
=
~гт(Бrrk,
--j-
а
?::
О;
Ь
?::
О;
С
?::
О
nfiП
=
(~)n,
a?::o~
!
((~)n
=
nfiП,
а?::
о}
~=~
Ь
гт(Б'
~
а?::
О;
Ь?::
О
J4 =
2·W
=
ZI64.
~lfБVC5
=
~a2bc5;
.Ja
3
b .Jab
3
= .Ja
4
b
4
=
а
2
Ь
2
.
.Ja
4
b
3
=
Ja4
JbЗ
=
а
2
JbЗ;
J75
=.J25·3
=J25.J3
=513.
m =
JЗЗ
=
(13)3.
2
(~c2d)
=
~c4d2
=
~C3Cd2
=
C~Cd2
~2:
= W
==;
= 1
~
.
.
fjiЗ
=
6:~
а
3
:
3
=
JЭ;
пt3k
=
m:~ak:n
,
~
~=if2З=J2.
а?::О
16
ОСНОВНЫЕ
СВОЙСТВА
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ДЕЙСТВИЙ
Законы
сложения
и
умножения
1.
Переместительный
закон:
а
+
Ь
=
Ь
+
а;
а
.
Ь
=
Ь
.
а
2.
Сочетательный
закон:
(а
+
Ь
) +
с
=
а
+
(Ь
+
с);
(аЬ)с
=
а(Ьс)
3.
Распределительный
закон:
(а
+
Ь
) .
с
=
а
.
с
+
Ь
.
с
Одночлены
и
многочлены
3ах4;
Одночленом
называется
выражение,
представ-
-2Ь
З
,
'
ляющее
собой
произведение
чисел,
переменных
~
п'
,
и
их
степеней.
17.
Степенью
одночлена
8х4
у
2
-
одночлен
шестой
степени;
3х
-
одночлен
первой
степени;
зывается
сумма
пока-
стандартного
вида
на-
5 -
одночлен
нулевой
степени;
зателей
переменных.
2аЬс
-
одночлен
третьей
степени.
Стандартным
видом
одночлена
называется
произведение,
составленное
из
числового
множителя
(коэффициента)
и
сте-
пеней
различных
переменных:
4а
2
Ьс;
О,8х
2
у
2
с
;
-3а
2
Ь
3
с.
Пример.
Представить
одночлен
в
стандартном
виде
и
назвать
его
коэффициент:
2а
2
ьс
2
.
(-3аЬ
3
с
2
)
.
(4аЬс
3
)
=
=
2 .
(-3)
·4·
(а
2
.
а
.
а)
.
(Ь
.
Ь
3
.
Ь)
.
(с
2
.
с
2
.
с
3
)
=
~24а
4
Ь
5
с
7
.
(используя
1
и
2
законы
умножения)
Коэффициент
одночлена
равен
(-24).
Многочленом
называется
алгебра-
ическая
сумма
одночленов.
Степенью
многочлена
стандартного
вида
называется
наибольшая
степень
одночлена,
входящего
в
этот
много-
член.
~
Например:
2а
2
-
3ах
5
- 3.
Например:
2х
2
-
5х
+
6-
многочлен
второй
степени.
~
17
Преобразование
суммы
и
разности
многочленов
,
Если
в
многочлене
все
одночлены
записаны
в
стандартном
виде
и
приведены
подобные
члены,
то
полученный
многочлен
называется
многочленом
стандартного
вида.
Преобразовать
разность
мно-
Н
(5х
2
-
4х
+ 3) -
(3х
2
-
Х
+ 2)
гочленов
в
многочлен
стан-
дартного
вида:
1.
Раскроем
скобки
по
правилу:
Если
перед
скобкой
стоит
Если
перед
скобкой
стоит
знак
«плюс»,
то
следует
со-
знак
«минус»,
то,
раскрывая
хранить
знак
каждого
сла-
скобки,
надо
знаки
слагае-
гаемого
суммы,
заключенной
мых
поменять
на
противо-
в
скобки.
положные.
2.
Приведем
подобные
члены
(слагаемые):
Чтобы
привести
подобные
слагаемые,
достаточно
сложить
их
коэффициенты
и
полученное
число
умножить
на
буквенное
выражение.
Производится
на
основе
закона
3:
5х
2
-
Зх
2
=
2х
2
;
-4х
+
х
=
-3х.
(
(5х
2
-
4х
+ 3) -
(3х2
-
х
+ 2) =
5х
2
-
4х
+ 3 -
Зх
2
+
Х
- 2 =
2х
2
-
3х
+ 1
Умножение
одночлена
на
многочлен
-
выполняется
по
распределительному
закону
3.
Например:
х(3а
-
2х)
=
3ах
-
2х
2
;
5а(6а
+
3х)
=
30а
2
+
15ах.
Умножение
многочлена
на
многочлен
Чтобы
умножить
многочлен
на
многочлен,
надо
каждый
член
первого
многочлена
умножить
на
каждый
член
второго
и
полученные
произведения
сложить.
Например:
5х(х
-
у)
+
(2х
+
у)
(х
-
у)
=
=
5х
2
-
5ху
+
2х
2
-
2ху
+
ху
-
у2
=
7х
2
-
6ху
_
у2.
18
Разложение
многочленов
на
множители
Преобразование
многочлена
в
виде
произведения
двух
или
нескольких
многочленов
(сре
2а
2
Ь
3
+
8аь
2
=
2аь
2
(аЬ
+
4)
ди
которых
могут
быть
и
одно
члены).
1.
Вынесение
общего
множителя
за
скобки
выполняется
по
распределительному
закону
3:
1)
хз
+
3х
2
+
4х4
=
х
2
(х
+ 3 +
4х
2
);
2)
4х4
-
8хЗ
+
2х
2
-
6х
=
2х(2хЗ
-
4х
2
+
Х
- 3).
2.
Группировка.
Для
этого
надо
объединить
в
группы
те
чле
ны,
которые
имеют
общие
множители,
и
вынести
общий
множи
тель
за
скобки
в
каждой
группе:
1)
ах
+
2а
-
3х
- 6 =
(ах
+
2а)
-
(3х
+ 6) =
а(х
+ 2) -
3(х
+ 2) =
=
(х
+
2)(а
- 3);
2)
х
2
-
2х
-
ху
+
2у
=
(х
2
-
ху)
+
(2у
-
2х)
=
х
(х
-
у)
-
2(х
-
у)
=
=
(х
-
2)(х
-
у).
3.
Применение
формул
сокращенного
умножения
позволяет
разложить
многочлен
на
множители:
1)
х
2
- 4 =
(х
-
2)(х
+ 2);
2)
х
2
-
6х
+ 9 =
(х
- 3)2.
Формулы
сокращенного
умножения
а
2
-
Ь
2
=
(а
-
Ь)
(а
+
Ь)
Разность
квадратов
(а
+
ь)2
=
а
2
+
2аЬ
+
Ь
2
Квадрат
суммы
(а
-
ь)2
=
а
2
-
2аЬ
+
Ь
2
Квадрат
разности
аЗ
-
Ь
3
=
(а
-
Ь)
(а
2
+
аЬ
+
Ь
2
)
Разность
кубов
аЗ
+
Ь
3
=
(а
+
Ь)
(а
2
-
аЬ
+
Ь
2
)
Сумма
кубов
(а
+
Ь)3
=
аЗ
+
3а
2
Ь
+
3аь
2
+
Ь
3
Куб
суммы
(а
-
Ь)3
=
аЗ
-
3аь
2
+
3аь
2
-
Ь
3
Куб
разности
19
Тождества
ах=Ь
1 + 1 = 2
и
уравнения
х
2
а
2
-
Ь
2
=
+
рх+
q =
о
=
(а
-
Ь)
(а
+
Ь)
ах
2
+
Ьх+
с
=
О
Тождеством
называется
равен
ство
(числовое
или
буквенное),
спра
6+3=4+5
ведливое
при
всех
числовых
значени
(а
-
Ь)(
а
+
Ь)
=
а
2 -
Ь
2
ях
входящих
в
него
букв.
Уравнением
f(x)
=
g(x)
называется
равенство,
содер
жащее
неизвестные
переменные.
По
числу
неизвестных
уравнения
разделяются
на
уравнения
с
одним,
двумя,
тремя
и
т.
д.
неизвестными.
Решением
уравнения
(корнями)
называются
все
зна
чения
переменной,
при
которых
уравнение
обращается
в
вер
ное
равенство.
Решить
уравнение
-
значит
найти
множество
его
корней
или
доказать,
что
их
нет.
Областью
определения
(ОДЗ)
уравнения
называется
множество
всех
х,
при
которых
одновременно
имеют
смысл
выражения
f(x)
и
g(x):
Пример.
Найти
область
Для
того
чтобы
найти
область
определения
уравнения:
определения
уравнения,
необ
.J
х
+ 3 = 1+
.J-x;
ходимо
найти
пересечение
I~
f
(х)
=
.J
х
+
3,
х
+ 3
~
О;
множеств,
на
которых
опре
О
1
(n =
[-3;
+00);
делены
данные
функции
f(x)
9
(х)
= 1+
.J-x,
-
х
~
О;
и
g(x).
О
2
(g)
=
(-00;
О],
Х
S
О;
D =
О
1
п О
2
=
[-3;
О].
Решая
уравнение,
заменяют
исходное
уравнение
равно
сильным
уравнением.
20
Равносильность
уравнений
Два
уравнения
называются
равносильными,
если
совпа
дают
множества
их
решений
на
данном
числовом
множестве.
Пример.
Уравнения
х
2
- 1 =
О
и
(х
-
1)(х
+ 1) =
О
равносильны,
они
имеют
корни
Х
=
1,
Х
2
=
-1.
1
Равносильность
уравнений
сохраняется
при
следующих
опе
рациях
(основные
приемы
решения
уравнений):
1.
Замена
выражения
на
тождественно
равное
ему.
2.
Перенос
слагаемых
из
одной
части
уравнения
в
другую
с
изменением
их
знака
на
противоположный.
З.
Умножение
и
деление
обеих
частей
уравнения
на
одно
и
то
же
число,
не
равное
нулю.
6(х
+
4)
= 3 -
2х
<=>
6х
+
24
= 3 -
2х
<=>
6х
+
2х
= 3 -
24
<=>
8х
= -21
21
5
х
=--=-2-
8 8
линеЙНЫЕ
УРАВНЕНИ
Уравнение
вида
ах
+
Ь
=
О,
где
а
и
Ь
некоторые
числа,
на
зывается
линейным
уравнением.
Если
а
*-
О,
Ь
рень
х
=
--о
а
то
линейное
уравнение
имеет
единственный
ко
Если
а
=
О;
Ь
*-
О,
то
линейное
уравнение
не
имеет
решений.
Если
а
=
О;
Ь
=
О,
то
х
-
любое
число.
Пример.
2х
- 3 + 4
(х
- 1) = 5
<=>
2х
- 3 +
4х
- 4 = 5
<=>
<=>
6х
= 5 + 4 + 3
<=>
6х
= 12
<=>
х
= 2.
Ответ:
{2}.
21