Есипов Ю.В., Самсонов Ф.А., Черемисин А.И. Мониторинг и оценка риска систем защита - объект

Подождите немного. Документ загружается.

Определение возможностной меры реализации происшествий 71

Если рассмотреть все операции сигнатур

S и

S над любыми соот-

ветствующими элементами множеств базиса

и множеств ()М

, то

между ними прослеживаются отношения соответствия типа (3.19). А это

доказывает, что базис

гомоморфен базису

МЗН

: АА.→

Отметим, что обратное неверно, поскольку в базисе

заданы мно-

жества и операции, которым нет аналогов в базисе

Из теоремы 1 вытекает следующая лемма.

Лемма 1. В множествах базисов

имеются классы предста-

вителей, в рамках которых попарно группируются параметрические пока-

затели и частично эквивалентные им возможностные меры реализации

термов и функторов опасности.

Доказательство. Если базисы

БН

, А гомоморфны с направлением

ЗН

А ,→ то между их элементами (множествами и их элементами) су-

ществуют отношения рефлексивности, асимметричности и транзитивно-

сти. Такое сочетание отношений характеризуется [29] как отношение на-

правлений

xxvii

(частичной) эквивалентности. Следовательно, при сущест-

вовании относительно выбранных исходов классов эквивалентных

представителей базисов

ЗН

,А параметрическим показателям отказа из

базиса

всегда найдется эквивалентная возможностная мера этого ис-

хода из базиса

. Что и требовалось доказать. Обратное может быть

неверно.

Теорема 2. Если множествам базиса (3.10) как элементам алгебры

решеток

:X,Y,E определены множества функций принадлежности:

( ) ( ( )) ( ) ( ( ))

XmtkexYmtlky

,M ,

μω ω μω

() ( ())

E mtlk e

μω

= где 01 1x,y,e, ,E,X ,Y

=∨ ⊆,

то базис Заде для введенных дискретных нечетких множеств

′

гомо-

морфен булевому базису

рр ЗД

: АА.

′

→

Доказательство теоремы проведем по аналогии с теоремой 1. Учтем

существование соответствия (кроме выполнения закона комплементарно-

сти) между сигнатурами базисов Буля и Заде. Тогда при выполнении усло-

вия теоремы об определении соответствующих пар множеств:

() () ()

XYE

X,M ;Y,M ,E,M

ωω

, —

можно установить следующие прямые соответствия по операциям, на-

пример,

Раздел 3

min( () ())

YM,M,

→∩

распространив их затем на все операции сигнатур

S и

S .

Таким образом, доказано, что существует гомоморфизм вида

рЗД

А .→

Отметим, что обратное неверно, поскольку, например, в операции

(

min ) значения пересечений функций принадлежности могут неодно-

значно выражать конъюнкции элементов:

mtk mtk

y,mM,tT,kN.

∩

∀∈ ∈ ∈

На основании теоремы 2 сформулируем лемму 2.

Лемма 2. Элементы множеств базисов

БД

относительно вы-

бранного исхода могут находиться в отношении направленной эквива-

лентности вида:

1()

ωε

=→ =

где

— некоторое число,

[

]

01,.

∈

Теорема 3. Базисы

НЗД

, А

изоморфны,

НЗД

А ,↔

если изо-

морфны образующие их четкие непрерывные

и дискретные

бази-

сы, т. е. если

рМ

А↔

, то

НЗД

А .↔

Доказательство. Из теорем 1 и 3 следует, что

рЗД

А→

ЗН

А .→ Так как

рМ

↔

, то тогда и

ДЗН

А .↔

Что и требовалось доказать.

3.5. Аналитический метод определения

возможностной меры реализации

предпосылок опасности

3.5.1. Постановка и общий алгоритм решения задачи

Рассмотрим задачу об установлении возможностной меры реализа-

ции происшествий по критерию опасности сначала в общем виде.

Пусть показатель

G опасности системы есть заданная на сигнатуре

S базиса множеств функция от подмножеств, выражающих частные

показатели

G,G:

Определение возможностной меры реализации происшествий 73

(( ) ( (01)))

G Ф GS,R R,GI , ,=∈= (3.21)

где

() ()

G,G — в множественно-параметрической форме выраже-

ния критериев выявления опасности, формулы (1.29), п. 1.4;

Ф — заданная (найденная) функция связности предпосылок в системе

как функция от частных показателей элементов, причём сигнатура

S —

общая для непрерывных и дискретных величин.

Пусть на основе показателя (3.21) критерий выявления опасности

имеет вид:

()0

(!)

G Ф G,G .

〉=

≠ (3.22)

Иначе говоря, возможность реализации опасности существует, если

показатель G принимает ненулевые (любые положительные) значения

0G〉

xxviii

, обозначаемые как

(!)

G . При этом налагаемые на частные показа-

тели условия вида

〉

можно считать краевыми условиями зада-

чи.

Далее, известны множества нормированных функций принадлежно-

сти

(),M()

подмножеств-пересечений

G и

, причем:

( ) ( ( )),

μλ

где

iBM, : R,

∈∀Λ∈

(3.23)

( ) ( ( )),

μω

где 01

iBT, : ,

∀Ω = ∨ (3.24)

где

ВМ ,ВТ

— соответственно подмножества видов параметров и видов

факторов, описывающих независимые непрерывные

и дискретные

Ω нечёткие величины. Требуется определить возможностную меру реали-

зации опасности в системе.

Решение:

1. Обозначим возможностную меру как

()

(!)

ωλ

≠

2. Определим граничные условия. Из условия задачи известно, что не-

прерывные нечёткие величины

заданы на носителе — области

вещественных чисел, описываемой переменной

. Дискретные не-

чёткие величины

заданы на носителе 01

∨ .

Частный критерий опасности

〉

выполняется тогда и только тогда,

когда

〉 , см. (1.26), п. 1.4. Поэтому, применительно к непрерывным не-

четким величинам можно записать:

Раздел 3

〉

↔

∀Λ ∃ 〉 (3.25)

что совпадает с формой записи предикатов.

Другой частный критерий выполняется тогда и только тогда, когда:

↔

∀Ω ∃ = (3.26)

Таким образом, определяющие значение возможностной меры гра-

ничные условия имеют вид:

(10)

(!)

ωλ

≠

〉 (3.27)

3. На основании теорем о гомоморфизме базиса Заде булевому и множе-

ственно-параметрическому базисам в формуле (3.21) произведем за-

мену элементов и операций, т. е. выполним гомоморфные преобразо-

вания. При этом с учётом формул (3.23), (3.24) получим выражение

показателя безопасности в виде функции принадлежности:

(() ())

НМ

G В Y

M ФМ,М .

= (3.28)

4. Используя правило нахождения возможностной меры по функции

принадлежности и подставляя граничные условия в (3.27), возможно-

стную меру определим как:

(10)(10)sup((10))

(!)

MB,BT

,. , M ,

Πωλωλ ωλ

≠

〉=〉= =〉

. (3.29)

Таким образом, в общем виде задача решена.

Рассмотрим её приложения на конкретных примерах.

3.5.2. Формальное определение возможностной

меры реализации опасности

Пример 1. Пусть, с учётом формул для критериев опасности (1.26),

(1.28), п. 1.4, множественная форма показателя опасности, формула (3.21),

принимает вид:

0GBIBISIRSR,

=〉∪∩∪∩ (3.30)

где

S,IR — дискретные нечёткие величины, S,R — непрерывные не-

чёткие величины, описываемые функциями принадлежности:

() () () () () () 01

IS IR BI S R B

, , ,,,, ,R

μωμωμωμλμλμλω λ

∨∈.

Определение возможностной меры реализации происшествий 75

Тогда, на основе выполнения этапа 3 алгоритма задачи, рассмотрен-

ного в п. 3.4.1, функция принадлежности показателя опасности определя-

ется как:

max ( ( ) ( )) max ( min ( ( ) ( ))

G BI B IS IR

BM ,BT BM ,BT

,,,

μωμλ μωμω

min( () ()))

(3.31)

Выполняя затем этапы 2 и 4 алгоритма, окончательно получим выра-

жение для возможностной меры реализации предпосылки опасности:

(10)sup(10)

(!)

,,.

Πωλ μωλ

〉

〉= = 〉 (3.32)

Пример 2. Рассмотрим пример гомоморфного преобразования из бу-

левого базиса в базис Заде и определения возможностной меры реализа-

ции предпосылки, а также, для сравнения, преобразования из булевой в

вероятностную форму реализации предпосылки.

Пусть критерий реализации предпосылки задан в виде равенства еди-

нице выходной булевой функции ПОЭ

12 3

x(x x ) ,

∨= (3.33)

где

,y — логические переменные, принимающие значения 0 и 1.

Представим, что

— дискретные нечёткие величины с функциями

принадлежности

() 123

,i , ,.

Граничные условия задачи имеют вид:

1y = при 1.

Тогда, выполняя этапы 3, 4 алгоритма, определим выражение значе-

ния ВМ опасности:

(1)sup(min((1)

Πω μω

max( ( 1) ( 1)))),

= . (3.34)

Отметим, что, как в примере 1, для получения численных значений

возможностных мер необходимо знание характеристик функций принад-

лежности или, по крайней мере, знание их значений в точках, указывае-

мых граничными условиями, и в точках пересечения функций принадлеж-

ности.

По правилам перехода решётки к замещению ее вероятностной фор-

мой [8] преобразуем выражение (3.33) и

получим:

12 13 123

(1)

rob

P y pp pp pp p

=+− =

12 3 23

()pp p pp ,

+− (3.35)

Раздел 3

где

123

p,p ,p — есть вероятность равенства единице независимых пере-

менных

123

,x ,x , т. е. (1)

ppx .

= Pro

xxix

(…) — оператор вероятности.

Из выражения (3.35) видно, что преобразование решётки в вероятно-

стную форму не является гомоморфным и содержит вычитаемое

123

pp p.

Это согласуется с утверждением о вложенности мер, представленном в

виде формулы (3.3).

3.5.3. Возможностная мера реализации

однопараметрической предпосылки

Определим возможностную меру в однопараметрической модели от-

каза элемента «воздействие — восприимчивость» при условии, что функ-

ции принадлежности

(),()

λμλ

, где

r,s, R

∈

, заданы, имеют общую

область изменения носителя

, на которой находятся точка пересечения

функций

() ()

λμλ

и точка перегиба одной из функций, например,

()

, рис. 3.2. Тогда такая задача может интерпретироваться как задача

сравнения двух нечётких интервалов с помощью показателей типа «воз-

можность нечётких событий

r≥ и

r〉 », [11]:

[

Pos( )

())supmin(()sup())

ssr

r, ,

Πμλμλ

≥

≤

∞= =

sup min ( ( ) ( ))

(3.36)

Pos( ) sup inf min( ( ) 1 ( ))

r,,

≥

〉= − (3.37)

где

— максимально возможное значение воздействия; r,r — соответст-

венно минимальное и максимальное возможные значения параметра вос-

приимчивости;

Pos( )

⋅

— обозначение оператора возможностной меры.

При этом значение оператора

Pos( )

r≥

на основании формулы

(3.36) находится по точке пересечения функций принадлежности

()

, точка 1, рис. 3.2. Значение оператора Pos ( )

r≥ (формула (3.37))

определяется в точке пересечения функции принадлежности

()

функцией необходимости

() 1 ()

− , точка 2, рис. 3.2.

Рассмотренный вариант пересечения нечётких параметров

и r при

анализе возникновения отказа считается общим. Однако на практике при

Определение возможностной меры реализации происшествий 77

асимптотическом анализе достаточно ограничиться нахождением меры

типа

Pos( )

r≥ , описываемой формулой (3.37).

Рис. 3.1

Рис. 3.2

xxx

3.6. Метод установления возможностной

меры реализации предпосылок опасности

по нечеткой информации о системе

3.6.1. Формулировка задачи

Известно, что на всех этапах жизненного цикла технической системы

имеются свои причины, размывающие четкие знания о системе.

Напомним, что с точки зрения анализа и оценки риска нечеткость ин-

формации о системе зависит от: 1) полноты описания функционирования

объекта и условий среды; 2) погрешности получения информации о пара-

метрах процесса, составляющими

которой являются: методологическая,

Раздел 3

методическая и информационная; 3) достоверности моделирования и

представления данных в виде базисов множеств.

Сформулируем с позиции полученных выше результатов задачу об

установлении количественных соотношений между возможностной мерой

реализации предпосылок и функций опасности и составляющими нечет-

кой информации о системе. При этом за основу возьмем параметрическую

модель отказа: «нечеткое воздействие

S — нечеткая восприимчивость

».

В общем виде задача заключается в определении зависимости меры

неопределенности комплекса явлений отказа, описываемых множествами

B, S, R,

()

(

)

max max max

POF,,v,Dv ,D ,

ηθ θ

Λ≥ = → → → , (3.38)

где

B S R, B,S,R, R

∩Λ∈,

— характеристики формы функций принадлежности

(

)

(

)

l, l

μμ

v — характеристики полноты описания задачи,

D — достоверность модели,

— характеристики погрешности получения информации.

При этом условия

max max maxv,D,

→→→ представляют собой

требования методологии возможностного анализа и оценки риска систе-

мы: полнота и достоверность максимальны, при условии, что погреш-

ность

, описывающая неопределенность разброса параметров S и R ,

считается максимально возможной.

3.6.2. Выбор и описание краевых условий

Требование полноты описания задачи может быть достигнуто анали-

зом полного набора вариантов причинно-следственных связей предпосы-

лок (моделей и реализаций в рамках каждой модели) относительно исхода

— активного отказа объекта.

На основе предыдущих результатов разделов 2 и 3 полнота определя-

ется представительностью множества параметров воздействий на входах

потенциально опасных элементов объекта

()

mtlk

Ss= и множества пара-

метров восприимчивости этих элементов объекта

(

)

mtk

Rr=

. При этом

«методологическая» погрешность анализа появления отказа может быть

обусловлена выбором и рассмотрением только параметрической модели

отказа элементов объекта. Но поскольку возможностная оценка системы

подразумевает учет всех возможных физических факторов и полное опи-

Определение возможностной меры реализации происшествий 79

сание восприимчивости объекта к ним, то очевидно, что «методологиче-

ской» погрешности в анализе отказа в системе нет.

Тогда полнота описания задачи может быть сведена к анализу воз-

можных вариантов соотношения параметров воздействий и восприимчи-

вости в рамках принятой модели.

Получение информации о параметрах модели «

S —

» связано с их

измерением, преобразованием и представлением в принятой системе дан-

ных. В свою очередь, измерение параметров сопровождается инструмен-

тальной

и методической

погрешностями. Информация о преобра-

зовании параметров факторов несет в себе ошибки и неточности опреде-

ления параметров преобразования факторов в конструкции объекта,

которые могут быть описаны в виде погрешности

представления мно-

жества

. Погрешности представления параметров относительно отказа

физически характеризуются как пространственные

, временные

энергетические

, спектральные

, угловые

, компонентные

погрешности описания параметров

S и R .

Достоверность знаний о безопасности системы обуславливается пол-

нотой описания условий задачи и здесь представляется в виде достовер-

ности установления класса безопасности системы [16, 60], в ходе которого

требование максимума достоверности оценки

maxD → при допущении о

наличии ошибки первого рода сводится к условию минимизации (равен-

стве нулю) ошибки необнаруженного отказа

min

→

, при котором [25,

35]

min

1max

≈− → . (3.39)

Рис. 3.3

Раздел 3

Выразим погрешность

преобразования параметров S в виде

мультипликативной погрешности. Погрешность измерения и представле-

ния любых параметров модели выразим через аддитивные погрешности.

Как и в [11], нечеткий параметр опишем интервалом, содержащим ядро и

области размытости, рис. 3.3. Тогда нечеткие параметры модели можно

представить в виде:

RiR

∈

=±Δ Δ=

∑



(3.40)

SiS

SfS

∈

=±ΔΔ=

∑



[

]

∈

−+

iR iS

,, R

δδε

∈

[

)

01,

∈

(3.41)

где

R,S



— ядра нечетких параметров S и R ,

,ΔΔ — суммарные аддитивные погрешности представления парамет-

ров

S и R ,

iR iS

— составляющие аддитивные погрешности измерения и пред-

ставления этих параметров,

,I — множество номеров составляющих

погрешности,

— действительное, сколь угодно малое положительное число, меньшее

единицы.

Следовательно, выражения (3.40), (3.41) описывают формальное за-

мещение «четких» параметров

S и R нечеткими множествами, заданны-

ми на носителях:

⎡

⎤

−Δ +Δ

⎣

⎦



с ядром в



, (3.42)

fS fS

δδ

⎡⎤

−

Δ+Δ

⎣⎦



с ядром в

(

)

1 S

−



. (3.43)

Предположим, что в области ядер выполняется условие нормальности

нечетких множеств:

(

)

(

)

μμ

≡ . За пределами ядра на носителе

функции принадлежности меньше единицы, например для

R :

(

)

≤<.

В рамках теории возможностей и теории вероятностей для известной

системы можно использовать следующие правила выбора формы функции

принадлежности нечеткой величины:

1) если явления исследованы экспериментально, то ФП определяется на

основе обработки результатов экспериментов;

Есипов Ю.В., Самсонов Ф.А., Черемисин А.И. Мониторинг и оценка риска систем защита - объект - среда

Подождите немного. Документ загружается.