Елисеев В.В. Механика деформируемого твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.

1.3 О простейших задачах математиче ской физики

Уравнения (1.3.3) – (1.3.5), как и (1.2.15) – (1.2.17), линейны. Для них спра-

ведлив закон суперпозиции: решение от суммы воздействий равно сумме

решений от каждого воздействия в отдельности. Иногда этого достаточ-

но — как в электростатике при заданном распределении зарядов. Точеч-

ный заряд q, находящийся в начале координат, создаёт поле с потенциалом

ϕ = q/4πε

r — решение (1.2.16) с учётом теоремы Гаусса. Для зарядов с

плотностью ρ(r)

ϕ(r) =

4πε

ρ(r

)

|r − r

. (1.3.9)

Заметим, что в механике деформируемого тела многие уравнения нели-

нейны, и закона суперпозиции для них нет.

Хорошо поставленная задача должна иметь единственное решение.

Невозможность двух решений линейной задачи доказывается от противно-

го. Рассмотрим пример: стационарную теплопроводность с заданной тем-

пературой на границе. Предположив существование двух решений, для их

разности получим однородную задачу:

∆θ

= 0, θ



= 0. (1.3.10)

Используя далее тождества

∇·(θ∇θ) = θ∆θ + |∇θ|

θ∂

θ dO =

(θ∆θ + |∇θ|

) dV , (1.3.11)

обнаруживаем

|∇θ

dV = 0 ⇒ θ

= const = 0.

Едва ли не самый известный метод решения краевых задач математи-

ческой физики носит имя Фурье. В одномерной задаче теплопроводности

θ (a

≡ κ/c), θ(0, t) = θ(l, t) = 0, θ(x, 0) = θ

(x) (1.3.12)

рассматриваются частные решения с разделением переменных:

θ = ϕ(x)T (t) ⇒ ϕ

/ϕ =

T /a

T = const ≡ −λ. (1.3.13)

Учитывая граничные условия, приходим к простейшей задаче Штурма —

Лиувилля

+ λϕ = 0, ϕ(0) = ϕ(l) = 0 (1.3.14)

с набором собственных значений и собственных функций

= n

(n = 1, 2, . . .), ϕ

2/l sin nπx/l. (1.3.15)

Математические средства

Система ϕ

ортонормирована и полна — практически любую функцию

можно разложить в ряд по ϕ

dx = δ

, u(x) =

∞

k=1

(x), u

uϕ

dx. (1.3.16)

Определив из (1.3.13) T

(t), получим решение (1.3.12)

θ(x, t) =

∞

k=1

−λ

(x), (1.3.17)

где постоянные C

находятся по θ

(x) в виде (1.3.16).

Примерно через сто лет после Фурье был предложен более общий ме-

тод собственных функций — уже для неоднородных задач. Решение урав-

нения (1.3.5) при условиях θ(0, t) = θ

(t), θ(l, t) = θ

(t) ищется сразу в

виде ряда θ =

(t)ϕ

(x), и обыкновенные дифференциальные уравне-

ния для τ

получаются после умножения (1.3.5) на ϕ

и интегрирования по

частям:





(θ

− θϕ

)



θϕ





bϕ

dx = c ˙τ

⇒

⇒ c ˙τ

+ κλ

= κ [θ

(t)ϕ

(0) − θ

(t)ϕ

(l)] + b

(t). (1.3.18)

А это уравнение решается через интеграл Дюамеля:

˙τ + ωτ = f(t) ⇒ τ (t) = τ(0)e

−ωt

f(y)e

ω( y−t)

dy. (1.3.19)

Необходимо отметить, что при неоднородных граничных условиях ря-

ды по собственным функциям сходятся хуже — неравномерно.

В настоящее время сложные аналитические решения уступают место

более эффективным численным.

1.4 Функции комплексного переменного

Комплексное число имеет три формы представления:

z = x + iy = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|e

iϕ

1.4 Функции комплексного переменного

где i — мнимая единица, x = Re z и y = Im z — вещественная и мнимая

части, |z| =

+ y

— модуль z, ϕ = arg z — аргумент. Сложение и

умножение производятся по правилам

+ z

= x

+ x

+ i(y

+ y

= x

− y

+ i(x

+ y

) = |z

||z

i(ϕ

+ϕ

)

Сопряжённое число

¯z = x − iy ⇒ x = (z + ¯z)/2, y = (z − ¯z)/2i.

Функции

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (1.4.1)

будем предполагать аналитическими (регулярными, голоморфными). Это

значит — дифференцируемыми и представимыми степенными рядами:

f(z) =

∞

k=0

(z − a)

;

= f (a), C

= f

(a), C

= f

(a)/2, . . . (1.4.2)

Ряды Тейлора (1.4.2) позволяют ввести sin z, ln(1+z) и т. д. Оказывается,

у ряда есть круг сходимости |z − a| 6 r, граница которого определяется

особыми точками f(z) или точками ветвления. Особая точка z

называ-

ется полюсом, если lim

z→z

f(z) = ∞ и существенно особой, если предел не

существует. Например, для e

1/z

точка z = 0 — существенно особая.

Значение z

есть точка ветвления, если в её окрестности теряется одно-

значность — f(z) получает приращение при обходе вокруг z

. Например:

√

z =

|z|



cos

+ i sin



, ln z = ln |z| + iϕ;

при обходе точки z = 0 функция ln z получает приращение 2πi. Полагая

−π < ϕ 6 π, получим

√

z = ±

|z| при ϕ = π и −π. Для однозначно-

сти в комплексной плоскости проводят линии разреза от точки ветвления,

различая значения функции на берегах разреза.

Неоднозначность и необходимость разрезов возникает в результате про-

цедуры аналитического продолжения функции посредством степенных ря-

дов.

Математические средства

Вещественная и мнимая части регулярной функции (1.4.1) должны быть

сопряжёнными гармоническими функциями, связанными условиями Коши

— Римана:

∆u = ∆v = 0, ∂

u = ∂

v, ∂

u = −∂

v. (1.4.3)

Это следует из различных представлений производной

(z) = ∂

f = ∂

u + i∂

v = ∂

f/i = ∂

v − i∂

u. (1.4.4)

В векторной форме

∇u = ∇v × k (k = i × j). (1.4.5)

Для определённых интегралов (по линии между z

и z

) сохраняется

формула Ньютона — Лейбница

f(z) dz = F (z)



, F

= f. (1.4.6)

Отсюда можно заключить, что по замкнутому контуру

f(z) dz = 0. (1.4.7)

Однако, эта знаменитая теорема Коши верна лишь при отсутствии у f(z)

особых точек внутри контура. В противном случае она нарушается из-за

неоднозначности первообразной. Например:

= 2πi (1.4.8)

для любого контура с точкой z = 0 внутри (приращение ln z).

В окрестности особой точки z = a вместо (1.4.2) имеем ряд Лорана

f(z) =

∞

k=−∞

(z − a)

= . . . +

−2

(z − a)

−1

z − a

+ C

(z − a) + . . .

(1.4.9)

У существенно особой точки присутствуют все члены с k < 0. У полюса

порядка n — члены с k > −n, у простого полюса — с k > −1. Важнейшую

роль играет коэффициент

−1

= Res f(a) —

1.4 Функции комплексного переменного

вычет функции в точке z = a.

Все члены ряда Лорана имеют однозначную первообразную

(z − a)

k+1

/(k + 1) — кроме одного. Поэтому

f(z) dz = 2πi

Res f (a

) — (1.4.10)

теорема о вычетах. Мы пришли к ней при одной особой точке, но верно

и обобщение.

Частным случаем (1.4.10) является интегральная формула Коши

2πi

f(z)

z − a

dz = f (a). (1.4.11)

В случае простого полюса C

−1

= lim

z→a

f(z)(z − a). Если f (z) =

P (z)/Q(z) — отношение аналитических функций, то

−1

= P (a)/Q

(a) — (1.4.12)

по правилу Лопиталя. Для полюса второго порядка

−1



f(z)(z − a)



z=a

. (1.4.13)

Одной из областей применения функций комплексного переменного

является операционное исчисление. Преобразованием Лапласа или изоб-

ражением функции f(t) (t > 0) называется интеграл

(p) =

∞

f(t)e

−pt

dt, (1.4.14)

определённый сначала при достаточно больших Re p, а затем аналитически

продолженный. Дифференцированию оригинала f (t) соответствует алгеб-

раическая операция с изображением:

f(t) =

F (t), f

(p) = pF

(p) − F (0). (1.4.15)

Поэтому задача Коши

˙u + au = f(t), u(0) = u

(1.4.16)

в изображениях решается так

− u

+ au

= f

⇒ u

+ u

p + a

. (1.4.17)

Математические средства

Найти оригинал по изображению можно разными способами. Самый

общий — по формуле Римана — Меллина

f(t) =

2πi

C+i∞

C−i∞

(p)e

dp. (1.4.18)

Здесь часто помогает теорема о вычетах (1.4.10). Весьма полезна теорема о

свёртке:

(p) = u

(p)v

(p) ⇒ f(t) =

u(τ)v(t − τ) dτ ≡ u ∗ v. (1.4.19)

Учитывая, что 1/(p + a) — изображение e

−at

, получим из (1.4.17) решение

задачи (1.4.16) в виде интеграла Дюамеля (1.3.19).

1.5 Элементы вариационного исчисления

Иоганн Бернулли и Леонард Эйлер ставили и решали задачи об экстремуме

величин

I[u] =

f(x, u, u

) dx, (1.5.1)

называемых функционалами. Имеем обобщение понятия функции — отоб-

ражение u(x) в число I.

Ключевым является понятие вариации: это задаваемое нами бесконеч-

но малое приращение величины, совместимое с заданными ограничениями

— связями. Вариации определяются по правилам исчисления бесконечно

малых:

δf(x) = f

(x)δx, δF (x

) =

∂F

∂x

δx

. (1.5.2)

Вариация функционала (1.5.1) такова

δI =



∂f

∂u

δu +

∂f

∂u

δu



dx =

∂f

∂u

δu





∂f

∂u

− (

∂f

∂u

)



δu dx. (1.5.3)

Необходимое условие экстремума гладкой функции

δF (x

) = 0 ⇒ ∂F/∂x

= 0. (1.5.4)

1.5 Элементы вариационного исчисления

Первое из этих равенств — простейшее вариационное уравнение. Из него

следует столько обычных равенств, сколько независимых вариаций. Для

функционала имеем

δI =

Φδu dx = 0 ⇒ Φ = 0. (1.5.5)

В этом утверждении — основная лемма вариационного исчисления. Вари-

ант доказательства: δu(x) = Φ(x)δε ⇒

dx = 0 ⇒ Φ = 0.

Если в задаче об экстремуме (1.5.1) заданы значения u(x) на концах x =

a, b, то δu(a) = δu(b) = 0, и из равенства δI = 0 по основной лемме

получаем знаменитое уравнение Эйлера

∂f

∂u

−



∂f

∂u



= 0. (1.5.6)

Для произвольной функции f это уравнение не интегрируется анали-

тически. Однако в важном случае f (u, u

) имеем первый интеграл:

f − u

∂f

∂u

= C = const

(x) =

∂f

∂u

∂f

∂u

− u

∂f

∂u

− u



∂f

∂u



= 0

, (1.5.7)

вместо второго порядка (1.5.6) получили первый.

Если значения u(x) на концах не заданы, получаем естественные гра-

ничные условия: ∂f/∂u

= 0 при x = a, b.

Изложенное легко обобщается на случай с высшими производными:

I[u] =

f(x, u, u

, u

) dx;

δI =

∂f

∂u

−



∂f

∂u



δu



∂f

∂u

δu



∂f

∂u

−



∂f

∂u





∂f

∂u



δu dx = 0. (1.5.8)

Математические средства

Равенство нулю подчёркнутого выражения — уравнение Эйлера. Внеинте-

гральные члены равны нулю при заданных на концах u и u

, или же дают

естественные граничные условия.

Случай нескольких аргументов u

(x) (k = 1, . . . , n):

I[u

] =

f(x, u

, u

) dx;

δI =





∂f

∂u

δu





∂f

∂u

− (

∂f

∂u

)



δu





= 0. (1.5.9)

Уравнения Эйлера образуют систему.

Обратимся к вариационным по становкам для уравнений с частными

производными. Смешанной краевой задаче для уравнения Пуассона

∆u = 0, u



= u

, ∂



= q, (O

∪ O

= O = ∂V ) (1.5.10)

соответствует вариационная пост ановка

δI = 0, I[u] =



|∇u|

+ fu



dV −

qu dO, u



= u

. (1.5.11)

Граничное условие на части поверхности O

— естественное, а на части

обеспечиваем сами. Проварьируем функционал (1.5.11):

δI =

(∇u·∇δu + f δu) dV −

qδu dO =

(f − ∆u) δu dV +

(∂

u − q) δu dO = 0





∂

uδu dO =

n ·∇uδu dO =

(∆uδu + ∇u ·∇δu) dV





(1.5.12)

До сих пор ограничения были лишь на границах — в краевых условиях.

Рассмотрим теперь задачи на условный экстремум. Для них эффективен

1.5 Элементы вариационного исчисления

метод множителей Лагранжа, который для обычных функций выглядит

так:

δf(x

) = 0, g

) = 0; f

≡ f +

δf

∂f

∂x

∂g

∂x

δx

= 0 ⇒ (. . .) = 0. (1.5.13)

Имеем ограничения с функциями g

(α = 1, . . . , m), вариации δx

(k =

1, . . . , n) должны удовлетворять условиям

(∂g

/∂x

)δx

= 0. Независи-

мы лишь n − m вариаций. Но множители Лагранжа λ

подбираются так,

чтобы выражения (. . .) при зависимых вариациях обратились в нуль. Для

независимых вариаций эти выражения должны равняться нулю.

Каждому ограничению отвечает свой множитель Лагранжа. Вводя λ

мы получаем задачу без ограничений (для f

В качестве иллюстрации рассмотрим изопериметрическую задачу —

две точки в плоскости x, y требуется соединить линией заданной длины

так, чтобы площадь под графиком y(x) была наибольшей:

S[y] =

y dx → max,

1 + y

dx = l = const . (1.5.14)

Решение:

[y] =

(y, y

) dx, f

= y + λ

1 + y

∂f

∂y

∂f

∂y

. (1.5.15)

Здесь имеем уравнение первого порядка. В результате его интегрирования

(методом введения параметра) найдём y(x) в виде дуги окружности.

Однако здесь, как и выше, рассматривало сь лишь условие стационар-

ности δI = 0, что недостаточно для экстремума. Имеем минимум, если

вторая вариация

I ≡ δ(δI) > 0 (1.5.16)

и максимум, если < 0. В задаче (1.5.11)

I[u] =

|∇δu|

dV > 0. (1.5.17)

Математические средства

Заметим, что δ

u ≡ 0.

Иногда экстремум устанавливается без варьирования — доказательством

соответствующего неравенства.

Вариационные постановки очень часто служат основой вычислитель-

ных алгоритмов. Знаменитый метод Ритца позволяет найти приближён-

ное решение без уравнений Эйлера. Для задачи с функционалом (1.5.1) при

заданных на концах u

и u

приближённое решение ищем в виде

(x) = u

− u

b − a

(x − a) +

(x), ϕ

(a) = ϕ

(b) = 0. (1.5.18)

Граничные условия удовлетворены при любых значениях варьируемых па-

раметров α

. Функционал превращается в функцию I

(α

δI

(∂I/∂α

)δα

= 0 ⇒ ∂I/∂α

= 0. (1.5.19)

Координатные функции ϕ

(x) можно задавать по разному, например

= sin kπ(x − a)/(b − a). Но для машинных методов предпочтительнее

финитные функции (рис. 4).

k-1

k+1

Рис. 4

Параметры α

непосредственно связаны со зна-

чениями решения в узлах u(x

), интеграл равен

сумме однотипных интегралов по «конечным эле-

ментам». Метод элементов (МКЭ) является основ-

ным средством расчёта конструкций.

Для построения приближённого решения вари-

ационной задачи не обязательно подставлять ап-

проксимацию типа (1.5.18) в функционал. Следуя Галёркину, можно исхо-

дить из вариационного уравнения:

Φδu dx = 0, u

dx = 0 (1.5.20)

(Φ

вычисляется по u

). Такой метод иногда называется проекционным. Он

эффективен и в тех случаях, когда функционала нет, а есть лишь вариаци-

онное уравнение.

Формулировки законов природы в виде утверждений об экстремуме

функционалов называются вариационными принципами. Например, прин-

цип Ферма в геометрической оптике: между двумя точками в неоднород-

ной среде свет распространяется так, чтобы время было минимальным.