Елисеев В.В. Механика деформируемого твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.

8.4 Балки и диски

|σ

| = σ

— предел текучести. Пластическая деформация начинается при

y = ±h/2, когда M = M

. С ростом нагрузки будет (M > M

)

= −σ







1, y > η

y/η, |y| 6 η

−1, y < −η

, Ev

η = σ

M = 2σ







dy +

h/2

by dy







≡ M

(η). (8.4.1)

Координата η границы упругой зоны находится по изгибающему моменту

обращением функции M

. Тогда подчёркнутое равенство определит v

Несущая способность в сечении исчерпывается при M = M

∗

≡ M

(0).

В этом предельном случае v

→ ∞ — образуется излом, «пластический

шарнир».

Пример: консольная балка прямоугольного сечения с силой P на сво-

бодном конце (x = l). Имеем Q = P , M = P (l − x), b = const,

(η) = σ



−



, M

∗

, M

∗

Пластическое течение начнется в заделке (x = 0, y = ±h/2) при P l =

. Далее зона пластичности примет (в пло скости xy) параболические

очертания:

η =

αx + β, α =

, β =

− αl. (8.4.2)

По выражению v

в (8.4.1) находим прогиб:

= v

(0) +

η(x)

, v

(0) = 0, v(0) = 0, v =

dx.

Это — в зоне пластичности x < x

≡ l − M

/P . При x > x

имеем обыч-

ную упругую балку: v

= 12P (l−x)/Ebh

. На границе x = x

непрерывны

v и v

Предельная нагрузка P

∗

= M

∗

/l — в заделке образуется пластический

шарнир.

Обратимся к другой элементарной задаче — о вращающемся диске. Тон-

кий круглый диск радиусом a, толщиной h и плотностью ρ вращается во-

круг центра в своей плоскости с угловой скоростью ω. Имеем равновесие

181

Малые пластические деформации

в подвижной системе при плоском напряжённом состоянии с балансом сил

(hσ

)

(σ

− σ

) + ω

ρhr = 0 (8.4.3)

и уравнением совместно сти ε

= (rε

)

В упругой стадии (при ω < ω

) Eε

= σ

− νσ

, Eε

= σ

− νσ

и для σ

получается уравнение второго порядка с условиями σ

(a) = 0,

(0) ограничено. Оно легко интегрируется при степенном законе измене-

ния толщины h = h

. Будет σ

> σ

> 0 с наибольшими напряжениями

в центре (для h = const).

Но интереснее пластическая стадия. Норма Мизеса приводит к слож-

ным выкладкам, а норма Треска — к элементарному решению:

= σ

, σ

= σ

, σ

= 0 ⇒ σ

= 2k,

rσ

+ (n + 1)σ

= 2k − ω

ρr

⇒

⇒ r

n+1

n + 1

n+1

−

n + 3

n+3

+ const . (8.4.4)

В предельном состоянии это верно и при r = a. Для h = const найдём

∗

= 6k/ρa

8.5 Кручение

Стадия линейной упругости при кручении цилиндра описана в п. 4.8. Она

продолжается до M = M

, пока в некоторой точке на контуре сечения не

станет

|τ | ≡ |∇ϕ| = k (8.5.1)

Рис. 27

(орт оси z обозначим e

). С ро-

стом M зона пластичности рас-

ширяется, могут образоваться

новые очаги у других точек

контура, в предельном состоя-

нии (M = M

∗

) «упругое яд-

ро» может превратиться в ли-

нию (рис. 27).

Решение в зоне пластичности оказывается неожиданно простым:

ϕ = kn, τ = ∇ϕ × e

= kl, (8.5.2)

182

8.6 Плоская деформация

где n — расстояние до границы по нормали, l — орт касательной — как в

(4.8.8, гл. 4). Докажем справедливость такого решения, рассматривая линии

поля ∇ϕ:

∇ϕ = k(cos θe

+ sin θe

), ∂

∂

ϕ = ∂

∂

ϕ ⇒ ∇ϕ·∇θ = 0.

Это означает постоянство θ на линиях поля — они прямые, причём нор-

мально к контуру, т. е. ∇ϕ = −kn (орт n направлен наружу).

Выражение крутящего момента (4.8.9, гл. 4) сохраняется (без

). Пре-

дельное значение вычисляется с функцией (8.5.2). Для квадратного сече-

ния со стороной a: M

∗

= ka

/3 (соответствует объёму пирамиды высотой

ka/2).

Рассмотрим перемещения в пластической зоне. Для найденных напря-

жений

S = 0, поэтому справедлива деформационная теория с форму-

лой (8.2.13). Действуя как в (4.8.11, гл. 4), получим

∇u

⊥

= 0 ⇒ u

⊥

= U (z) + ω(z)e

× x;

∂

= 0 ⇒ u

= u

(x);

∇u

+ U

+ ω

× x = 2Ψτ .

(8.5.3)

Это верно и в упругом ядре, где Ψ = 1/2µ, поэтому ω

= α для всего

сечения. Можно не искать Ψ, а просто спроектировать (8.5.3) на нормаль

(ведь τ ·n = 0):

∂

= −n ·U

+ αl ·x — (8.5.4)

осталось интегрирование по n. Для кругового сечения l ·x = 0.

8.6 Плоская де формация

Определение (4.9.1, гл. 4) сохраняется. Материал будем считать несжимае-

мым, жёстко-пластическим и без упрочнения:

ε =



0, τ (S) < k

λS, τ = k

. (8.6.1)

Обозначим (только в этом п.) tr τ = 3σ. Имеем

˙ε

= ∂

˙u

= 0 = λS

⇒ σ

= σ =

(σ

+ σ

). (8.6.2)

183

Малые пластические деформации

Следовательно,

(σ

− σ

) = −S

; S

= τ

⇒ τ(S) =

(σ

− σ

)

+ τ

(8.6.3)

Условие текучести тождественно удовлетворено в переменных σ и θ:

= σ − k sin 2θ, σ

= σ + k sin 2θ, τ

= k cos 2θ, (8.6.4)

где θ + π/4 есть угол между первой главной осью τ и о сью x. Для доказа-

тельства найдём сначала главные напряжения:



− Λ τ

− Λ 0

0 0 σ

− Λ



= 0 ⇒ σ

1,3

= σ ± k, σ

= σ. (8.6.5)

Плоская часть тензора напряжений

⊥

= σ

+ σ

; e

= i cos γ + j sin γ, γ = θ + π/4,

= −i sin γ + j cos γ; σ

= i ·τ

⊥

·i ⇒ (8.6.4).

При равновесии без объёмных сил

∇·τ

⊥

= 0 ⇒ ∂

σ − 2k(cos 2θ ∂

θ + sin 2θ ∂

θ) = 0,

∂

σ + 2k(cos 2θ ∂

θ −sin 2θ ∂

θ) = 0 — (8.6.6)

система квазилинейных уравнений.

Введём два семейства «линий скольжения α и β» с наклоном к оси x

под углами θ и θ + π/2 соответственно. Это линии с наибольшими каса-

тельными напряжениями, равными k. Уравнения (8.6.6) — гиперболического

типа, и линии скольжения являются их характеристиками (п. 1.3). Про-

стое, хотя и нестрогое, доказательство: оси x, y «местной декартовой си-

стемы» направим по касательным к линиям α и β; тогда θ = 0, и (8.6.6)

примут вид

∂

(σ − 2kθ) = 0, ∂

(σ + 2kθ) = 0. (8.6.7)

Величины в скобках постоянны на линиях α и β соответственно — таковы

условия на характеристиках.

Поскольку (8.6.6) нелинейны, характеристики не определяются заранее,

а строятся вместе с решением. Бе з компьютера это можно сделать лишь

в простейших задачах — например, о клине под действием односторон-

него давления (рис. 28). Угол при вершине 2γ > π/2. Угадывается поле

184

8.6 Плоская деформация

Рис. 28

линий скольжения из двух прямо-

угольных треугольников (OAB и

OCD) и сектора OBC. В треуголь-

никах линии прямые; в секторе —

радиусы и концентрические окруж-

ности. На границах OA и OD ка-

сательное напряжение равно нулю,

поэтому линии скольжения состав-

ляют с ними угол π/4.

Необходимо выяснить, какой яв-

ляется линия ABCD — α или β. Ес-

ли имеет место некий изгиб клина, то сторона OA растянута, а OD — сжа-

та. Следовательно, на OA σ

= σ + k > 0, σ

= σ − k = −p. На OD

= σ + k = 0, σ

= σ − k < 0. Имеем β-линию, на которой

σ + 2kθ = const ⇒ k − p + 2kθ

= −k + 2kθ

;

− θ

= 2γ −

⇒ p = 2k



1 + 2γ −



. (8.6.8)

Это предельная нагрузка (p

∗

). Однако решение вызывает вопросы и

требует комментариев. Предположили, что ниже ABCD — «жёсткая» зона,

где τ(S) < k. Но в жёсткой зоне принципиально невозможно найти напря-

жения. . . Всё прояснится далее, когда рассмотрим теоремы о предельной

нагрузке.

В случае острого угла (2γ < π/2) вместо сектора BOC будет линия

разрыва, а вместо (8.6.8) — условия непрерывности σ

и τ

на этой линии:

− k sin 2θ

= σ

− k sin 2θ

, cos 2θ

= cos 2θ

;

= k − p, σ

= −k, θ

= π/4 + γ = π − θ

⇒

⇒ = 2k(1 − cos 2γ). (8.6.9)

Рассмотрим теперь осесимметричное поле напряжений — например, в

цилиндре под действием внутреннего давления. Напряжения σ

и σ

—

главные, линии скольжения составляют угол π/4 с ортами e

и e

. При

> 0, σ

< 0 будет

α : dr = r dϕ ⇒ ϕ = ln r + const = θ − π/4;

σ − 2kθ = const ⇒ σ = 2k ln r + const . (8.6.10)

Это можно получить и другим путём — как в задаче о шаре (п. 8.3).

185

Малые пластические деформации

Заметим, что линии скольжения являются логарифмическими спираля-

ми: r = C exp(±ϕ).

Обратимся к скоростям (v =

u). Согласно (8.6.1)

˙ε

= ∂

= −λk sin 2θ = −∂

, ∂

+ ∂

= 2λk cos 2θ ⇒

⇒ ∂

+ ∂

= 0, (∂

+ ∂

) tg 2θ = ∂

− ∂

. (8.6.11)

Эта система линейна, поскольку θ найдено. Можно показать, что она —

гиперболического типа, характеристиками служат линии скольжения, и на

них

˙ε

= l ·

ε ·l = 0. (8.6.12)

Рассуждение как при выводе (8.6.7) не пройдёт, понадобятся криволинейные

координаты.

8.7 Изгиб жёстко-пластических пластин

Вспомним изгиб линейно упругих пластин как материальных поверхно-

стей (п. 5.7). В классической теории Кирхгофа роль тензора деформа-

ции играет κ = ∇∇w, основным силовым фактором служит тензор µ =

∂Π/∂κ, а условия равновесия при нагрузке силами имеют вид

∇·µ = −Q, ∇·Q = −q. (8.7.1)

В зоне пластичности изменится лишь связь µ и κ. Не вызывают сомне-

ний аналогичные (8.2.1) соотношения:

κ = κ

+ κ

, κ

∂Π

∂µ



0, f(µ) < k

λ ∂f/∂µ, f = k

. (8.7.2)

Вспоминая элементарную теорию пластического изгиба балки (п. 8.4), сле-

дует выбрать модель с упрочнением, где k меняется по определённому

закону. Связь µ и

определяется принципом Мизеса

µ··

→ max (f (µ) = k). (8.7.3)

Основой по-прежнему является принцип виртуальной работы (5.7.8, гл. 5),

откуда следуют и граничные условия.

186

8.7 Изгиб жёстко-пластических пластин

Рис. 29

Представление µ как интеграла по тол-

щине (5.7.14, гл. 5) подсказывает, что функция

текучести — та же, что и F(τ ) при плоском

напряжённом состоянии. Одно из главных на-

пряжений равно нулю, два других обозначим σ

и σ

. Тогда условию Треска соответствует ше-

стиугольник (рис. 29). При σ

> σ

> 0 будет

= σ

, 0 = σ

, F

(τ ) = σ

/2 = k — имеем

отрезок AB; так же строятся другие отрезки.

Посмотрим условие Мизеса:

= σ

− (σ

+ σ

)/3 = (2σ

− σ

)/3, S

= (2σ

− σ

)/3,

= −(σ

+ σ

)/3 ⇒ τ =

(σ

− σ

+ σ

)/3. (8.7.4)

Условие τ = k определяет эллипс, вписанный в шестиугольник Треска при

= 2k — и описанный при σ

= k

√

Далее считаем модель жёстко-пластической без упрочнения: κ

= 0,

k = const. В «жёстких» зонах f(µ) < k и напряжённое состояние не опре-

деляется. В зонах течения f = k, и в случае известных перерезывающих

сил Q для трёх компонент µ

αβ

имеем ещё два дифференциальных уравне-

ния, т. е. полную систему.

Остановимся на осесимметричной задаче:

µ = µ

(r)e

+ µ

(r)e

, Q = Q(r)e

, w = w(r),

= w

, κ

, µ

(µ

− µ

) = −Q, Q

Q = −q. (8.7.5)

По виду уравнения моментов ясно, что предпочтительнее условие Тре ска.

Для сплошной пластины

Q = −

rq dr — (8.7.6)

элементарное условие баланса сил. Пусть q > 0 — пластина прогибается

«вверх», и µ

, µ

отрицательны. При r = 0 будет µ

= µ

— точка E

на шестиугольнике (рис. 29) — с изменёнными обозначениями. Если на

внешнем радиусе шарнирная опора, то µ

(a) = 0, и при изменении r от 0

до a «перемещаемся» от E до F —

(rµ

)

= −µ

− rQ ⇒ µ

a =

(a − r)rq dr (8.7.7)

187

Малые пластические деформации

(после интегрирования по частям). Для постоянной нагрузки

∗

= 6µ

. (8.7.8)

Скорость прогиба находится из выражений κ

и κ

при ассоциирован-

ном законе течения. На участке EF

˙κ

= 0 ⇒ ˙w = C

r + C

— (8.7.9)

форма конуса.

При заделке на внешнем радиусе w

(a) = 0 ⇒ κ

(a) = 0, что возможно

лишь на AB (или ED). С возрастанием r от 0 до a «движемся» по EF A:

EF для 0 < r < ρ и F A при r > ρ. В случае q = const Q = −qr/2.

Уравнение моментов интегрируется сначала при r < ρ по формулам (8.7.7)

(ρ в роли a). Далее r > ρ:

= −µ

+µ

, µ

⇒ µ



1 + ln



−ρ

). (8.7.10)

Но q = 6µ

/ρ

— имеем уравнение для a/ρ с корнем 1.37. В итоге

∗

= 11.3µ

. (8.7.11)

8.8 Вариационные принципы для жёстко-плас-

тического тела

Принципы минимума потенциальной энергии и дополнительной работы в

теории упругости (п. 4.6) имеют свои аналоги в механике жёстко-пласти-

ческого тела без упрочнения.

Экстремальное свойство поля скоростей (v =

u). Функционал

(v) =



τ ··

ε − f ·v



dV −

p ·v dO (v|

≡ v

) (8.8.1)

имеет минимум на истинном поле скоростей. Как и в п. 4.6, рассматрива-

ется трёхмерное тело с нагрузкой f в объёме и p на части поверхно сти

; на остальной части O

заданы скорости — это условие должно быть

обеспечено. Заметим, что τ определяется тензором скоро стей деформаций

ε = D = ∇v

согласно закону Мизеса

τ ··D → max ⇔ (τ − τ

)··D > 0 (F (τ ) = k). (8.8.2)

188

8.8 Вариационные принципы для жёстко-пластического тела

Для обоснования принципа достаточно рассмотреть разность

) − J

(v) =



··D

− τ ··D − f ·(v

− v)



dV −

−

n ·τ ·(v

− v) dO. (8.8.3)

Учтено, что (v

− v)|

= 0 и введено истинное τ . Используя теорему о

дивергенции и уравнение баланса сил в объёме, получим

− J

(τ

− τ )··D

dV > 0. (8.8.4)

Принцип установлен. Представляет интерес процедура с варьировани-

ем:

δJ



δτ ··D + τ ··δD − f ·δv



dV −

p ·δv dO;

τ ··D = ∇·(τ ·v) − ∇·τ ·v, δv|

= 0 ⇒

δJ

δτ ··D − (∇·τ + f ) ·δv

dV +

(n ·τ − p) ·δv dO = 0. (8.8.5)

Подчёркнутое слагаемое тоже равно нулю — ассоциированный закон или

жёсткая зона (D = 0).

«Поле сравнения» v

должно удовлетворять условиям не только на O

но и на поверхностях разрыва — должна быть непрерывна нормальная ком-

понента v

Экстремальное свойство поля напряжений. Функционал с ограниче-

ниями

(τ ) =

n·τ ·v

dO, ∇·τ + f = 0, n ·τ



= p, F (τ ) 6 k (8.8.6)

имеет максимум на истинном поле напряжений. Можно увидеть аналогию

с принципом дополнительной работы, если поменять знак и учесть, что в

идеальной пластичности без упрочнения «Π

(τ ) = 0».

189

Малые пластические деформации

Рассмотрим разность:

− J

n ·(τ − τ

)·v

dO =

n ·(τ − τ

)·v dO =



∇·(τ − τ

)·v + (τ − τ

)··D



dV > 0. (8.8.7)

Не является необходимой, но представляет интерес вариационная про-

цедура с множителями Лагранжа:

δJ

n ·δτ ·v

dO −

∇·δτ ·Λ dV =

n ·δτ ·(v

− Λ) dO +

δτ ··∇Λ

dV = 0. (8.8.8)

Очевидно, Λ = v. В жёсткой зоне («внутри поверхности текучести») δτ

произвольно — ∇Λ

= 0. В состоянии текучести ∇Λ

«ортогонально» δτ

— ассоциированный закон.

8.9 Теоремы о предельной нагрузке

Уточним понятие предельной нагрузки. Рассмотрим постановку

∇·τ + mf = 0, n ·τ



= mp, v|

= 0,

F (τ ) 6 k, (τ − τ

)··D > 0. (8.9.1)

Коэффициент нагрузки m монотонно возрастает от нуля. С ним растут и

напряжения. Но подчёркнутое неравенство их ограничивает. Точная верх-

няя граница (супремум) m

∗

есть коэффициент предельной нагрузки. Две

теоремы позволяют оценить m

∗

сверху и снизу.

Кинематическая теорема основана на неравенстве (8.8.4). На истинном

поле скоростей J

= 0 — благодаря закреплению на O

. Поэтому

) > 0 ⇒ m 6

··D

f ·v

dV +

p ·v

≡ m

. (8.9.2)

190