Елисеев В.В. Механика деформируемого твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.

5.8 Нелинейно-упругие оболочки

С такими тензорами легко перейти к начальному состоянию в уравнении

баланса сил:

ν ·T dl +

−1

q dO = 0 ⇒ ∇

◦

·T

◦

+ q = 0,

◦

= JG ·T = τ

◦

+ µ

◦

·B + Q

◦

N, Q

◦

= JG ·Q = Q

◦

. (5.8.14)

Чтобы сделать подобное для уравнения баланса моментов, запишем его в

интегральной форме с тензором µ

= µ × N :

ν ·(µ

− T × R) dl +

−1

(N × m

+ R × q) dO = 0 ⇒

∇·µ

+ T

+ J

−1

N × m

= 0 ⇒ (∇·µ)

⊥

+ Q = J

−1

; (5.8.15)

ν ·(µ

◦

− T

◦

× R) dl

◦

(N × m

+ R × q) dO

◦

= 0 ⇒

∇

◦

·µ

◦

+ JT

+ N × m

= 0 ⇒ (∇

◦

·µ

◦

)

⊥

+ F ·Q

◦

= m

. (5.8.16)

Отметим, что знак (⊥) относит ся к деформированному состоянию

⊥

= 0).

Наложение малой деформации на конечную удобнее рассматривать с

тензорами Пиола, поскольку операции δ и ∇

◦

переставимы, а δ и ∇ — нет.

Пример: осесимметричная деформация круглой пластины. Используем

полярные координаты q

= r, q

= θ; орты касательных к координатным

линиям e

и e

, причём e

(θ) = e

, e

(θ) = −e

, e

×e

= k. В начальной

конфигурации

r(q

) = re

(θ), r

= e

= r

, r

= re

, r

∇

◦

= e

∂

, a = e

+ e

, n = k, b = 0. (5.8.17)

В деформированном состоянии

R(q

) = R(r)e

(θ) + w(r)k, R

= R

+ w

= Re

, A

= R

+ w

≡ s

= 0, A

= R

, N =

k − w

= R

·N =

(−R

+ w

), B

= 0,

, R

× N =

141

Тонкие тела

, B = B

+ B

. (5.8.18)

Градиент и тензоры деформации:

F = (R

+ w

k)e

C =



− 1) e



− 1





K = B

. (5.8.19)

Тензоры Пиола

◦

= τ

◦

+ τ

◦

k + τ

◦

∂Π

∂C

, τ

◦

∂Π

∂C

, τ

◦

∂Π

∂C

;

◦

= T

◦

+ . . . , T

◦

= τ

◦

(µ

◦

+ µ

◦

) − Q(r)

◦

= τ

◦

(µ

◦

+ µ

◦

) + Q

◦

= τ

◦

+ µ

◦



◦

= Q(r)e



. (5.8.20)

Из уравнения баланса сил (5.8.14) получим

◦



◦

− T

◦



+ q

= 0, T

◦

+ q

= 0, (5.8.21)

а (5.8.16) преобразуем к виду



− ∇

◦

·µ

◦



·R

= s

Q. (5.8.22)

Осталось задать энергию Π(C, K

); это проблема, поскольку квадра-

тичная аппроксимация годится только при малых деформациях.

5.9 Тонкостенные стержни

Сечения т аких стержней — узкие криволинейные полоски (рис. 20). Име-

ем нечто промежуточное между обычными стержнями и оболочками. Для

тонкостенных стержней важны не только силы и моменты, но и «бимо-

менты».

142

5.9 Тонкостенные стержни

Рис. 20

Уравнения можно вывести вариационным ме-

тодом с аппроксимацией

u(x, z) = U (z) + θ(z) × x + α(z)W (x)k. (5.9.1)

В теории без сдвига U

⊥

= θ

⊥

× k. В задаче Сен-

Венана α = θ

, а функция депланации W нахо-

дится из условий (4.8.16, гл. 4). Примем

u = U (z) + θ

k × x +



−U

⊥

·x + θ



k (5.9.2)

и рассмотрим постановку

(f ·δu − δΠ

) dF +

p ·δu(x, z

) dF = 0,

u(x, 0) = 0, Π

= µ



ε··ε +

1 − 2ν



(5.9.3)

(конец z = 0 закреплен, а z = z

— свободен и нагружен силами p).

Перемещениям (5.9.2) соответствует деформация

ε = ε

kk + θ

(∇Φ × kk)

, ε

≡ U

− U

⊥

·x + θ

W — (5.9.4)

с функцией напряжений Φ из п. 4.8:

∇W = (∇Φ + x) × k. (5.9.5)

Найдём «одномерную» энергию:

dF =



+ µθ

|∇Φ|



dF =

= E



F U

+ U

⊥

·J ·U

⊥

+ Iθ

− 2θ

⊥

·J ·η



+ µCθ

= 2Π



, U

⊥

, θ



= E

1 − ν

(1 + ν)(1 − 2ν)

, I ≡

dF , (5.9.6)

а прочие интегралы — как в п. 5.4.

143

Тонкие тела

Работы нагрузок в объёме и на торце:

f ·δu dF = q ·δU + m ·(k × δU

⊥

+ kδθ

) + bδθ

q =

f dF , m =

x × f dF , b =

W dF ; (5.9.7)

p ·δu dF = Q

·δU + M



k × δU

⊥

+ kδθ



+ B

δθ

. (5.9.8)

Подставив (5.9.6) – (5.9.8) в (5.9.3), придём к одномерной задаче со следую-

щими уравнениями Эйлера и естественными условиями

+ q

= 0, Q

∂Π

∂U

= E

F U

; z = z

: Q

= Q

;

⊥

+ q

⊥

= 0, M

⊥

+ k × Q

⊥

+ m

⊥

= 0,

⊥

= k ×

∂Π

∂U

⊥

= E

k × J ·



⊥

− ηθ



;

z = z

: Q

⊥

= Q

1⊥

, M

⊥

= M

1⊥

;

+ m

= 0, M

∂Π

∂θ

− B

− b,

∂Π

∂θ

= µCθ

B =

∂Π

∂θ

= E



Iθ

− U

⊥

·J ·η



;

z = z

: M

= M

, B = B

. (5.9.9)

Здесь обычные уравнения растяжения-сжатия. Изгиб связан с кручени-

ем из-за вектора η. Все качественные особенно сти тонкостенного стержня

— в задаче кручения с уравнением четвертого (а не второго) порядка и

двумя силовыми факторами — моментом и бимоментом (B).

Сложный асимптотический анализ трёхмерной задачи подтверждает

вышеизложенное (но вместо E

будет E) [32]. В качестве W выступает

секториальная площадь ω(s) (это характерно и для технических расчётов):

ω(s) =

( dr × r ·k) — (5.9.10)

удвоенная площадь, «заметаемая» вектором r при возрастании дуговой ко-

ординаты s. Такое выражение W последует из (5.9.5), если пренебречь сла-

гаемым ∇Φ. Решая задачу кручения асимптотическим методом, можно это

144

5.9 Тонкостенные стержни

обосновать. Начало отсчёта s

находится из условия

W dF = 0 ⇒

ω ds = 0 — (5.9.11)

всегда выполнимого, поскольку W определена с точностью до аддитивной

постоянной.

Библиография

Прикладная сторона механики тонких тел представлена в книгах В. Л. Би-

дермана [6] и Л. Г. Доннела [31].

Асимптотическое происхождение моделей стержней, пластин и оболо-

чек описано А. Л. Гольденвейзером [21], В. Л. Бердичевским [5] и автором

[32].

Множество конкретных вопросов теории оболочек рассмотрено

В. С. Черниной [113], В. В. Новожиловым, К. Ф. Черных и Е. М. Михайлов-

ским [71] и С. П. Тимошенко с С. Войновским-Кригером [96]. Интересна и

книга А. П. Филина [107].

О тонкостенных стержнях можно прочесть у В. З. Власова [16].

145

Глава 6

Динамика упругих тел

6.1 Колебания упругих тел

Общие законы теории колебаний (п. 2.8) справедливы и для систем с рас-

пределёнными параметрами. Рассмотрим задачу динамики линейно упру-

гого тела, содержащую уравнения (4.1.1, гл. 4), начальные условия и соот-

ношения на границе

= u

(r, t), n ·τ



= p(r, t). (6.1.1)

Применяя преобразование Лапласа (1.4.14, гл. 1), можно получить задачу

статики для изображений, но такой подход не всегда эффективен.

При свободных колебаниях анализ начинают с решения u(r, t) =

U(r) sin ωt. Это главные, или нормальные колебания, U — форма или мо-

да, ω — собственная частота. Имеем задачу на собственные значения:

∇·T + ω

ρU = 0, T =

C··∇U, U |

= 0, n ·T



= 0; (6.1.2)

нетривиальные решения U

(r) существуют лишь для собственных частот

(k = 1, 2, . . .). Заметим, что если тело «плохо закреплено» и может

перемещаться как твёрдое, спектр содержит ω = 0 соответствующей крат-

ности (свободное тело имеет 6 нулевых частот в пространственной задаче

и 3 — в плоской).

С помощью теорем статики линейно упругого тела (п. 4.2) можно до-

казать, что ω

вещественны и неотрицательны, а формы ортогональны в

следующем смысле:

6= ω

ρU

·U

dV = 0 —

146

6.1 Колебания упругих тел

ведь согласно теоремам Клапейрона и взаимности работ

ρ |U |

dV = 2

Π dV,



− ω



ρU

·U

dV = 0. (6.1.3)

Нормируя формы, получим

ρU

·U

dV = δ

. (6.1.4)

Вместо разложений (2.8.5, гл. 2) в конечномерном пространстве теперь

имеем бесконечные ряды

u(r) =

∞

k=1

(r), α

ρu ·U

dV — (6.1.5)

главные координаты. Для равномерной сходимости необходимо u|

= 0.

Произвольное свободное движение является суперпозицией главных коле-

баний — как в (2.8.6, гл. 2).

Вынужденные кол ебания при закреплении на O

могут быть представ-

лены разложением (6.1.5) с коэффициентами α

(t). Обыкновенные уравне-

ния для α

следуют из теоремы взаимности:

(f − ρ

u)·U

dV +

p ·U

dO =

ρU

·u dV ⇒

⇒ ¨α

+ ω

= β

(t) ≡

f ·U

dV +

p ·U

dO.

(6.1.6)

В случае «кинематического» возбуждения на O

полагаем

u = u

◦

(r, t) + u

, где заданное нами u

◦

удовлетворяет условию на O

— то-

гда для

u имеем всё вышеизложенное.

Заметим, что форма U

в разложении (6.1.5) не возбуждается, если обоб-

щённая сила β

= 0 — при этом не будет и резонанса. Так можно объяснить

эффект динамического гашения колебаний — рассматривая перемещения

на границе части конструкции как заданные (кинематические) воздействия

на неё.

Классические построения внешне безупречны, однако при их реали-

зации возникают осложнения. Неизбежное демпфирование связывает фор-

мы, система перестает быть набором невзаимодействующих осцилляторов.

147

Динамика упругих тел

Это сильно проявляется при высокой плотности собственных частот, ко-

гда соседние резонансные пики на амплитудно-частотной характеристике

сливаются. При этом возрастает роль погрешностей: дл

ины, углы, массы,

жёсткости и др. в действительности являются случайными величинами, и

многие собственные частоты теряют определённость.

Вариационный подход позволяет обойтись без определения ω

и U

Имеем вариационное уравнение

[(f − ρ

u)·δu − δΠ] dV +

p ·δu dO = 0, u|

= u

. (6.1.7)

приближённое решение:

u = u

◦

(t)ϕ

(r), δu =

δa



(f − ρ

u)·ϕ

− τ ··∇ϕ



dV +

p ·ϕ

dO = 0 — (6.1.8)

система обыкновенных дифференциальных уравнений для a

(t). В методе

конечных элементов используются финитные координатные функции ϕ

и матрицы коэффициентов разрежены.

6.2 Волны в упругой среде

Рассмотрим свободное движение однородной изотропной среды. Уравне-

ние в перемещениях

(λ + µ)∇∇·u + µ∆u = ρ

u (

6.2.1)

не является волновым. Однако оно имеет решение в виде продольных волн:

u(x, y, z, t) = u(x, t)i, c

= ¨u, c

= (λ + 2µ)/ρ. (6.2.2)

Существуют и поперечные волны — с иной скоростью c

u = u(x, t)j, c

= ¨u, c

= µ/ρ. (6.2.3)

Однако, это весьма частные случаи.

Более общие положения: волновыми процессами являются объёмное

расширение (θ = ∇·u) — со скоростью c

и поворот (ω = ∇ × u/2) — со

скоростью c

. Это следует из (6.2.1) при операциях (∇·) и (∇×).

148

6.2 Волны в упругой среде

Но самое глубокое утверждение таково: любое решение (6.2.1) предста-

вимо в виде

u = ∇ϕ + ∇ × ψ, ∇·ψ = 0, c

∆ϕ = ¨ϕ, c

∆ψ =

ψ. (6.2.4)

Доказательство можно найти в [88]. Скалярный потенциал ϕ связан с

объёмным расширением, а векторный потенциал ψ — с вращением:

∇·u = ∆ϕ = θ, ∇ × u = −∆ψ = 2ω. (6.2.5)

Общий случай есть суперпозиция волн расширения и вращения.

Этих представлений недостаточно при наличии границ. Однородные

граничные условия (u = 0, или n·τ = 0, или иные) не удовлетворяются в

бегущих от некоего источника волнах. На границе возникают новые волны

— отражённые. Суперпозиция падающих и отраженных волн может дать

сложную интерференционную картину.

Вдоль границы распространяются поверхностные волны. Рассмотрим

плоскую динамическую деформацию полупространства y > 0. Потенци-

алы таковы: ϕ = ϕ(x, y, t), ψ = ψ(x, y, t)e

. Для гармонических волн с

частотой ω и волновым числом k имеем







Φ(y)

Ψ(y)



i(kx−ωt)

, Φ

= ν

Φ, Ψ

= ν

Ψ, ν

= k

−

(6.2.6)

Отношение ω/k = c называется фазовой скоростью. Предполагаем

c < c

(< c

) — тогда ν

> 0, и функции Φ и Ψ затухают при y → ∞:

Φ = Φ

−ν

, Ψ = Ψ

−ν

. (6.2.7)

Константы Φ

и Ψ

пока произвольны.

Граница y = 0 свободна от напряжений:

= 0 ⇒



− 2c



∆ϕ + 2c

∂

(∂

ϕ − ∂

ψ) = 0,

= 0 ⇒ 2∂

∂

ϕ +



∂

− ∂



ψ = 0. (6.2.8)

Отсюда следует линейная а лгебраическая однородная система для Φ

; приравняв нулю её определитель, получим

(2 − η)

= 4

(1 − η)(1 − θη), η ≡ c

, θ ≡ c

. (6.2.9)

Это уравнение определяет скорость поверхностных волн Рэлея. При из-

менении коэффициента Пуассона от 0 до 0.5 отношение c/c

находится в

промежутке (0.874; 0.955) [86].

149

Динамика упругих тел

Независимость фазовой скорости от длины волны означает отсутствие

дисперсии. В данном случае это следует и из соображений размерности:

безразмерная величина η не может зависеть от размерного k.

Поверхностные волны являются причиной разрушений при землетря-

сениях вдали от эпицентра, поскольку затухают медленнее «объёмных»

волн расширения и вращения.

6.3 Динамика стержней

Инерционными характеристиками стержня служат плотность ρ(s), вектор

эксцентриситета ε(s, t) и тензор инерции I(s, t). Выражение (2.2.8, гл. 2)

определяет кинетическую энергию стержня на единицу «длины» s. В ли-

нейной модели Коссера уравнения динамики таковы

+ q = ρ(

u +

θ × ε), M

+ r

× Q + m = I ·

θ + ρε ×

u. (6.3.1)

При этом ε и I

соответствуют начальному состоянию — как и тензоры в

соотношениях упругости.

Для криволинейных стержней обычно достаточно предельно упрощён-

ной классической модели:

+ q = ρ

u, M

= Q × r

, M = a ·θ

, u

= θ × r

. (6.3.2)

Но для прямого стержня при растяжении-сжатии и кручении это не годит-

ся.

Представления о главных колебаниях, собственных частотах, ортого-

нальных формах и главных координатах справедливы и в линейной дина-

мике стержней. При главных колебаниях для амплитуд имеем

+ ω

ρ(U + Θ ×ε) = 0, M

+ r

×Q + ω

(I ·Θ + ρε ×U ) = 0 — (6.3.3)

выглядит как в статике. По теореме взаимно сти



ρ(U

+ Θ

× ε)·U

+ (I ·Θ

+ ρε × U

)·Θ



ds ≡ A

= A

(6.3.4)

так что условие ортогональности с нормировкой таково



ρ (U

·U

+ ε ·(U

× Θ

+ U

× Θ

)) + Θ

·I ·Θ



ds = δ

. (6.3.5)

150