Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур
Подождите немного. Документ загружается.
общем случае имеет вид
(
)
Φ=
∂∆∂−=Γ
ς
ς
/)(
c
iF
, где
∆
F(ζ) - активационный барьер
нуклеации зародышей кристаллической фазы из раствора с пересыщением ζ [286]. Во-
вторых
моноцентрического к полицентрическому зарождению изации на
границе жидкость-кристалл может давать слабое возраст
больших радиусов [286]. Наконец, следует иметь в виду, что при наличии диффузии
адатомов в каплю совершенно необязательно выполнение условия ζ<Φ, естественного для
>Φ может осуществляться при сильной накачке
каплю за счет диффузионного механизма при низких
пересыщениях газообразной среды. Математически он соответствует отрицательному
первому
слагаемому, но положительному значению функции y в левой части уравнения
(4.102).
IV.9. Зависимость длины вискеров от условий роста
Рассмотрим зависимость длины вискеров от условий роста и характеристик
ансамбля начальных капель при диффузионном росте как наиболее распространенном в
современных технологиях газофазной [268,278] и молекулярно-пучковой [192,193,270]
эпитаксий. Зависимость длины вискера от его радиуса была подробно рассмотрена выше.
фиксированного радиуса R при заданном количестве
осажденного материала H от
их среднего радиуса <R>, определяемых условиями активации
материала V. Для простоты не будем рассматривать постоянный адсорбционно-
десорбционный вклад в скорость роста ε-γ<1, считая, что рост стимулирован, в основном,
, даже без учета эффекта Гиббса-Томсона при росте нановискеров,
стимулированном диффузией адатомов, логарифмический по R эффект перехода от
центров кристалл
ание длины вискеров в области
адсорбционного роста. Случай ζ
полупроводникового материала в
В данном параграфе будем интересоваться зависимостью длины вискеров
плотности капель N
W
и
поверхности, а также ростовой температурой поверхности T и скорости осаждения
299
диффузией адатомов с поверхности подложки или с боковой поверхности вискера на его
вершину.
В случае газофазной эпитаксии при больших отношениях длины вискера к
диффузионной длине на его боковой поверхности (L/λ
f
>>1) из (4.69), (4.81) при sinα=1 и
ε-γ =0 имеем
⎥
⎤
⎢
⎡
⎟
⎞
⎜
⎛
−=∝≅ 1exp
2
0
0
T
GHL
fff
f
λλ
λ
;
⎦
⎣
⎠⎝
T
R
Tk2
(4.117),
– значение
диффузионной длины при температуре T
0
. Следовательно, зависимость диктуется
температур
f
.
поверхности и не зависит ни от плотности капель, ни от скорости осаждения.
Рассмотрим теперь случай молекулярно-пучковой эпитаксии (sinα=0) при R
>>λ ,
когда функция R
*
в формуле (4.69) либо не зависит от R (1/R диффузия, R>>λ
s
), либо ведет
себя как 1/R (1/R
2
диффузия, R<<λ
s
). Пренебрегаем нуклеацией на боковой поверхности
диффузионных длин на поверхности λ
и параметров ε, ε от условий роста [284,285].
Рассмотрим случай, когда длина вискера много меньше диффузионной длины адатома на
боковой поверхности, когда можно пренебречь десорбций. Пренебрегаем также
нуклеацией на боковых стенках. Тогда общее условие связи (4.85) принимает вид
EE
G
B
f
D
f
A
f
−
≡
(4.124)
Данная температурная зависимость следует из формулы λ
f
0
L(T)
ным поведением λ
Длина вискеров убывает с увеличением температуры
W s
вискеров. Применим результаты п. IV.6 для исследования зависимости эффективных
f 1
>=<
1
R
N
W
π
*
R
ε
R
меньше, чем характерные радиусы вискеров и двумерных островков,
послойном росте в каждом слое на поверхности подложки, то
вероятность ε
1
ухода адатома на вискеры пропорциональна их периметру на единицу
(4.125)
где
⎩
⎨
⎧
>>
<<
≅
R
R
R
ss
ss
λλ
λλ
,/2
,2
*
(4.126)
Если λ
s
много
образующихся при
300
площади поверхности P
W
=2πN
W
<R>. Аналогично, вероятность ε
2
встраивания в растущий
слой пропорциональна периметру границы слоя на единицу площади поверхности,
енному по времени. Согласно формуле (2.50) Главы II, соответствующим образом усредн
для круглых островков периметр границы слоя в режиме полной конденсации, когда
значение ε
2
не слишком мало, определяется выражением
τ
τπτ
−
= eNP
II
)(
. Здесь N
I
есть поверхностная плотность островков и τ – безразмерное время, выраженное в
единицах характерного времени формирования сплошного слоя. Усредняя P
I
(τ) по τ,
получаем
∫
∞
−
=≅
0
2/3
2/1
2
I
x
II
NedxxNP
π
π
Поверхностная плотность островков в режиме полной конденсации увеличивается при
увеличении скорости осаждения и при понижении температуры поверхности согласно
(2.29)
(4.127)
V T
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
∝
Tk
VN
B
Ds
I
exp
(4.128)
те
⎞
⎛
+Λ E
s
23
2
плота конденсации двумерного «пара» адатомов и E
D
s
– энергия
поверхностной диффузии. Наконец, вероятность ε
3
десорбции с поверхности обратно
пропорциональна диффузионной длине одиночного адатома на поверхности
s
.
Температурная зависимость λ
s
определяется обычной аррениу овской
формулой
]2/)exp[( TkEE −∝
λ
, где E
A
есть энергия активации десорбции.
Выражения для ε и ε
, следующие из приведенного анализа, имеют вид
Здесь Λ
s
есть активации
λ
0
0
с
0
B
s
D
s
As
s
1
0
)(1
1
sIW
sW
PP
P
λ
λ
ε
++
+
=
0
(4.129)
0
1
)(1
sIW
sW
PP
P
λ
λ
ε
++
=
0
(4.130)
301
В рассматриваемом случае R
*
=2λ
s
, условие (4.125) дает результат для ε λ
s
вида λ
s
=
1
/P
W
.
Сравнивая это выражение с (4.130), получаем
0
0
)(1
sIW
s
s
PP
λ
λ
λ
++
=
ности подложки от периметра
аррениусовской температурной
(4.131)
Зависимость диффузионной длины адатома на поверх
капель, температуры и скорости осаждения, следующая из
зависимости λ
s
0
и выражения (4.127) для P
I
, имеет вид
1
1
−
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
−
,
R
s
<<
0
0
0
0
0
00
exp
(
1
1exp),(
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
⎜
⎝
⎛
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
T
T
G
T
T
T
F
V
V
VTPP
s
s
sIWs
λ
λ
λ
Параметры
(4.132)
0
Tk
F
B
Ds
s
≡
и
)2/3( E
s
+Λ
0
2 Tk
E
G
B
s
DA
s
≡
определяются значениями активационных
барьеров и теплоты конденсации на поверхности, а также реперной температурой T
0
.
Величина N
I
(T
0
,V
0
) есть значение плотности островков при значениях температуры T
0
и
потока V
0
, λ
s
(T
0
) есть диффузионная длина одиночного адатома при T=T
0
. Вероятности ε
1
и ε после определения диффузионной длины λ
находятся по формулам
P
E
s
−
s
sW
λ
ε
=
1
и
0
1
s
s
λ
λ
εε
+=
.
s
W 2
-2
2
1
В противоположном случае, когда величина λ
много больше радиусов основания
вискеров и островков, но меньше, чем расстояние между ними, вероятность ε
1
будет
примерно пропорциональна плотности вискеров N
, вероятность ε – плотности островков
N
I
, а вероятность ε
3
- величине (2πλ
s
0
) . Повторяя рассуждения, приведенные выше для 1/R
диффузии, в случае 1/R
диффузии выражения для ε и ε принимают вид
2
0
)(21
sW
N
λπ
λπ
ε
++
+
=
(4.133)
2
0
))((21
sIW
NN
2
0
1
)(2
sW
N
λπ
ε
=
(4.134)
2
0
))((21
sIW
NN
λπ
++
302
В рассматриваемом случае, условие (4.125) при R
*
=2λ
s
2
/R, дает
Ws
N
πελ
2/
1
2
=
, что
совместно с (4.134) приводит к результату для эффективной диффузионной длины
2
0
0
))((21
s
NN
λπ
λ
++
=
sIW
s
λ
(4.135)
Зависимость λ
s
от N
W
, T и V при 1/R
2
диффузии имеет вид
2/1
0
1
−
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
T
T
s
,
R
s
>>
2
0
0
0
2
0
2
00
2exp
]([
1
12exp),(22
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎡
−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+= G
T
T
T
F
V
V
VTNN
s
sIWs
λ
ππλ
λ
(4.136)
Вероятности ε
1
и ε находятся по формулам
2
1
2
sW
N
λπε
=
,
2
0
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
s
s
λ
λ
ε
.
енках λ
=
ε
Типичное поведение диффузионной длины на боковых ст
х
диффузионных длин на поверхности подложки λ
s
при изменени пературы
поверхности показано на Рис. 86. Расчет проводился по формулам (4.132), (4.136) для
гипотетической системы вискеров с параметрами: N
W
=2*10 см
-2
, <R>=50 нм, G
f
=G
s
=20 и
F
s
=35, имеющей значения плотности островков N
I
(T
0
)=2*10
9
см
-2
, диффузионной длины на
боковых стенках λ
(T )=3 мкм, диффузионной длины одиночного адатома на
подложки λ
s
0
(T
0
)=6 мкм при температуре T
0
=550
0
C, выращиваемой при постоянной
скорости осаждения V=V
0
. Рисунок 86 показывает, что в выс
величина λ
s
лимитируется десорбцией, поэтому λ
s
уменьшаетс
обычная диффузионная длина. В низкотемпературной об я
пренебрежимо мала, уменьшение температуры (и увеличени к
возрастанию плотности островков N
I
. При постоянной плотности вискеров N
I
приводит к тому, что адатомы просто не успевают достигнуть границы вискеров,
поскольку их захватывают растущие островки. Это означает, что при низких температурах
величина λ
s
лимитируется нуклеацией на поверхности и поэтому увеличивается при
увеличении T. В результате такой конкуренции, температурная зависимость λ
s
и R
*
f
и эффективны
и тем
8
f 0
поверхности
окотемпературной области
я при увеличении T как
ласти, где десорбци
е потока) приводит
, увеличение
303
представляет собой функцию с максимумом, в отличие от λ
f
, которая всегда убывает при
увеличении T. Для рассматриваемой гипотетической системы этот максимум достигается
в диапазоне температур 580-630
0
С. Поэтому рассмотрение комбинированного роста,
проведенное в п. IV.8, относится к высокотемпературной области.
поверхности подложки λ
Рис.85. Температурная
длины адатома на боковых
стенках вискеров λ
зависимость
диффузионной
1) и эффективной
зионной длины на
2
3)
f
(кривая
диффу
s
в
случае 1/R (кривая 2) и 1/R
(кривая диффузии для
параметров, приведенных в
тексте.
поверхности подложки
(кривые без максимума).
Рис.86. Вероятности ε
ухода
с максимумом) и ε ухода с
Сплошные линии – 1/R
2
1
адатома на вискеры (кривые
диффузия, пунктирные
линии – 1/R диффузия.
304
Вероятность ухода адатома на висеры ε
, приведенная на Рис. 86, повторяет
температурное поведение λ
. Для рассматриваемой гипотетической системы, величина ε
существенно больше в случае 1/R
1
s 1
2
диффузии, достигая примерно 90% в точке максимума
в сравнении с менее чем 10% в случае 1/R диффузии. Скорость вертикального роста на
подложке, описываемая функцией 1-ε, велика в низкотемпературной области и стремится
к нулю при T>650
0 2 0
соответствует насыщению кривых ε(T) на Рис. 86. Разность вероятностей ε(T) ухода
1
T
температ поверхности
-пучковой эпитаксии с 1/R
скорость роста вискеров определяется формулой (4.86) при R
*
=2λ
s
и sinα=0. Поскольку мы
6) с начальным условием L(H=0)=0 имеет вид
C в случае 1/R диффузии и при T>700 C в случае 1/R диффузии, что
частиц с поверхности и ε
(T) их ухода на вискеры равна доле частиц, десорбированных с
поверхности, стремится к единице при достаточно высоких .
При исследовании зависимости длины вискеров от уры
необходимо также учитывать, что при повышении T возрастает число адатомов,
десорбирубщихся с боковых стенок, в результате чего диффузионный вклад в скорость
роста
уменьшается. Рассмотрим сначала случай молекулярно
и всегда
диффузией с поверхности подложки на вискеры. Тогда, согласно результатам п. IV.6,
пренебрегаем постоянным по R адсорбционно-десорбционным членом, результат
интегрирования (4.8
f
f
R
H
λ
s
L
λ
λ
)/sinh( =
(4.137)
Рис.85, где λ
s
увеличивается при увеличении температуры
высоких температурах и низких
условиях, λ
s
всегда
уменьшается при увеличении скорости осаждения V. Рассмотрим теперь два предельных
случая зависимости длины вискера от T, следующих из уравнения диффузионного роста в
2
В типичном для молекулярно-пучковой эпитаксии и других технологий вакуумного
осаждения случае, когда де ности подложки мала, мы находимся в
низкотемпературной области
сорбция с поверх
поверхности T. Если же рост производится при настолько
плотностях капель, что эффективная диффузионная длина адатома начинает определяться
десорбцией, λ
s
будет п T. При прочих равных убывать ри росте
305
случае 1/R диффузии (4.137), справедливого для любой длины вискера. Пусть температура
поверхности настолько низкая, что L/λ
f
<<1 и все адатомы, пришедшие на боковую
поверхность вискера, успевают достичь его вершины. Тогда зависимость длины вискеров
от T полностью определяется процессами сбора адатомов с поверхности, то есть L(T)
ведет себя как λ
s
(T) и не зависит от λ
f
(T):
)(T
L
s
λ
2
R
H
s
λ
∝≅
(4.138)
Отметим, что при очень низких температурах начинает сказываться нуклеация на боковой
поверхности вискера,
нежелательный эффект будет приводить к еще большему уменьшению длины и к
конусообразной форме вискеров. В противоположном случае высоких температур
диффузионная длина λ
мала (L/λ >>1) и большинство адатомов десорбируется с боковой
поверхности, не успевая достигнуть вершины вискера. Тогда
которая не учитывается в диффузионной модели роста. Этот
f f
)(
4
ln T
H
L
ff
f
s
λλ
λ
∝
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≅
(4.139)
то есть длина убывает с
R
λ
увеличением T примерно как λ
f
(T), а зависимость от λ
s
только
2
логарифмическая.
Аналогичные выводы относительно температурной зависимости длины вискеров
можно получить и в случае 1/R
диффузии с поверхности подложки к основанию вискера.
Для этого рассмотрим основное уравнение роста (4.69), считая, что sinα=0, а функция G в
(4.71) определена согласно
(
)
)/ln(/ RRG
ss
λ
λ
=
. Прямое интегрирование (4.69) при ε-γ=0
в этом случае дает результат
[]
HLRLRR
f
s
λ
λ
λλνλλ
2
2
1)/cosh()/sinh()/ln( =−+
где ν=σ
fffs
2
(4.140)
f
D
s
/σ
s
D
f
. При 0/ →
f
L
λ
и 0/ →
s
R
λ
это уравнение сводится к
306
2
2
)/ln(
2
s
s
RR
λ
λ
Таким образом, при малой десорбции с боковых
2
s
HL
λ
∝≅
(4.141)
граней зависимость L от условий роста
иктуед тся поведением λ
s
. В низкотемпературной области при чисто диффузионном росте
длина вискера увеличивается при повышении температуры поверхности и при
уменьшении скорости осаждения. В области высоких температур, когда L/λ
f
>>1, из
(4.140) получаем
ff
L
λλ
∝
≅
ln
(4.142)
ак и в случае 1/R диффузии, в высокотемпературной области длина вискера не зависит
от скорости осаждения и уменьшается при увеличении температуры примерно как λ
f
.
других технологий высоковакуумного осаждения температурная ы
вискеров при прочих равных условиях должна иметь максим
оптимальной температуре [201,281]. Об экспериментальном по
результата см. п. IV.10.
В качестве иллюстрации полученных результатов, на
зависимости длины вискеров от их радиуса
, полученные в результат я
(4.140) для случая 1/R
2
диффузии с поверхности подложки. К
постоянной толщине осаждения H=1000 нм. Пары значений λ
f
в
подписях к рисунку, моделируют такое увеличение температуры ом
иффузионная длина на боковых гранях монотонно убывает, а диффузионная длина на
оверхности подложки сначала возрастает, а потом стабилизируется на значении,
пределяемом плотностью вискеров. При этом считается, что десорбция с поверхности в
ассматриваемом диапазоне температур пренебрежимо мала. Как видно
из Рис. 87,
кривые L(R) при повышении T сначала возрастают во всем диапазоне изменения R
f
s
R
H
νλ
λ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
4
К
Указанные соображения показывают, что в случае молекулярно-пучковой эпитаксии и
зависимость длин
ум при определенной
дтверждении данного
Рис. 87 приведены
е решения уравнени
ривые получены при
и λ
s
, приведенные
T, при котор
д
п
о
р
307
(к е
(кривая 4) и после этого начинают имости L(R) меняются и по форме,
ст оле у
та ного г Э) и
пуч МПЭ) й сведе цу 9. О ли длин
выращиваемых методом
газофазной эпитаксии, будет мала по сравнению с диффузионной
длиной на боковых стенках вискеров, то поведение L будет качественно тем же, что и при
высоковаку
адатомов
ривые 1, 2 и 3), затем достигают критической кривой при некоторой температур
убывать. Завис
ановясь б е пологими при величении T.
рассмотрения для Резуль ты проведен азофазной (ГФ молекулярно-
ковой ( эпитакси ны в Табли тметим, что ес а вискеров,
умном осаждении. В этом случае скорость роста будет определяться сбором
с поверхности подложки, а не с боковой поверхности вискеров.
Рис.87. Теоретические
кривые L(R),
ν=1 и H=1000 нм, при
нм и λ
s
=120 нм (3),
λ
s
=240 нм (6).
соответствующие
постоянным значениям
λ
f
=10000 нм и λ
s
=30 нм
(кривая 1), λ
f
=5000 нм
и λ
s
=60 нм (2), λ
f
=2500
λ
f
=1250 нм и λ
s
=240 нм
(4), λ
f
=625 нм и λ
s
=240
нм (5), λ
f
=312 нм и
308