Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур

Подождите немного. Документ загружается.

функцию: f(R)≈δ(R-<R>), и формулы (4.69), (4.85) приводят к результату для скорости

роста

⎥

⎦

⎤

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+><><

LLRR

fffs

)/tanh(sin2

)/cosh(

)/sinh()/cosh()/ln(

λαλ

λνλλλ

(4.88)

=σ

/σ

обычно имеет значение порядка единицы. Сравнивая (4.88)

формулой (4.78), убеждаемся, что в случае R<<λ

<<R

связь между λ

и ε

⎢

⎣

⎡

−=

γε

Величина ν

при

L/λ

<<1 с

имеет

вид

WWs

NNR

RRR

22)/ln(2

)/ln(

)

≅=

(4.89)

, что случаи, когда функция R

не зависит от R или пропорциональна

ют тривиальному усреднению в (4.85), а именно <R

R>/<R>=2

/(ln

2/1

Заметим

1/R,

соответству

или

2λ

/<R>. , (4.89) для

диффузионных

/<R>), то

диффузионный то есть

осуществляется

чае 1/R и

1/R

диффузии совпадают

для регулярных рмулы при

больших н роста

dHdL

Именно для этих частных случаев и справедливы формулы (4.87)

длин. Видно, что если в (4.89) положить ln(λ

/R)≈ln(λ

радиус сбора оказывается обратно пропорциональным R,

рост по закону 1/R

. Сравнивая законы для скорости роста в слу

с поверхности подложки на вискры (4.86), (4.88) видим, что они

ансамблей вискеров с одинаковым радиусом R=<R>. Обе фо

длинах вискеров переходят в простейший диффузионный зако

R/sin

>>Rln(λ

/R).

Формулы и III-V

нановискеров Типичные

зависимости различных

ради

, поскольку в (4.88) всегда выполнено условие νλ

(4.86)-(4.89) широко применяются для моделирования роста Si

в различных условиях осаждения (см. п. IV.10-IV.12).

длины вискера от количества осажденного материала Н при

усах R и от радиуса R при различных H, полученные в результате интегрирования

279

ур ния с 1/R диффузией (4.86), в отсутствие десорбции на боковых стенках авне (sinα=0)

приведены на Рис. 82.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

2.5

3.0

1.5

2.0

Relative effective thickness H/λ

Relative length L/λ

ϕ=1

ϕ=10

ϕ=25

ϕ=100

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

H 0.1λ

H=0.3λ

H=0.9λ

Relative Length oL/λ

Relative radius R/R

Рис 82 а) – Зависимости длины вискера L/λ

от толщины осаждения H/ λ

при трех различн

радиусах (

ϕ≡

/R(

); б) – зависимости длины вискера L/λ

от радиуса R/R

при различн

толщинах осаждения H/ λ

280

IV.7. Комбинированный рост по механизму «пар-жидкость-кристалл»

нестационарная теория комбинированного

ть-кристалл» [201], учитывающая все

отдельности. При построении модели

В данном параграфе рассматривается

роста нановискеров по механизму «пар-жидкос

кинетические факторы, рассмотренные выше по

будем учитывать следующие процессы (Рис. 83):

(1) Адсорбция и десорбция на поверхности капли;

(2) Диффузия адатомов в каплю с поверхности подложки и с боковых стенок вискеров;

(3) Нуклеация

и послойный рост кристалла из пересыщенного раствора в капле;

(4)

(

Для определенности будем говорить , например Si или

GaAs. В случае роста III-V вискеров считаем, что рост лимитируется поступлением

вещества III группы в каплю, так что

возможно использовать однокомпонентную модель.

О катализаторе роста для краткости иногда будем говорить как об Au. Как и ранее,

считаем, что, независимо от механизма поступления атома полупроводникового

материала в каплю (прямое попадание или диффузия), он сначала растворяется в жидкой

капле, а затем кристаллизуется на поверхности под каплей, то есть рост происходит по

механизму «пар-жидкость-кристалл». Нуклеацией на боковых стенках вискера

пренебрегаем. Концентрацию раствора считаем постоянной по объему капли.

Учет нестационарных эффектов необходим для объяснения ряда экспериментальных

данных, в частности, заострения вискеров по достижении некоторой длины [270,201,278].

личество Au в капле

Рост неактивированной поверхности;

5) Изменение во времени концентрации раствора в капле и, как следствие – изменение

азмера капли.

о полупроводниковых вискерах

Поэтому, в отличие от Рис.73, вискер, изображенный на Рис.83 имеет переменный

диаметр. При этом мы считаем, что

изменение диаметра капли и вискера вызвано только

изменением частиц полупроводникового материала в капле, а ко

281

Substrate

1/τ

j (L)

diff

(0)

1/τ

Vsinα

Growi

supersaturation ζ

ng Si nanowire

Au-Si liquid alloy with

Si atoms

Рис.

орость латерального роста

двумерных зародышей, V

=dL

/dt – поток атомов из жидкой в твердую фазу (пример роста

83. Формирование нановискера: слева – адсорбция, десорбция, диффузия адатомов с

поверхности подложки через боковые стенки в каплю и рост подложки; справа – нуклеация

и послойный рост кристалла из жидкого раствора в капле; v – ск

Si вискеров c Au катализатором).

всегда постоянно. Это предположение, по-видимому, оправдано для роста большинства

III-V в

з боковым В

Ω

=const

лучаем связь между R и

в виде

()

искеров, тогда как в случае Si при достаточно высоких температурах может

происходить миграция олота по стенкам [279]. нашей модели, если N

=const

есть число атомов Au и N – число атомов полупроводникового материала в капле, то

x=N/(N

+N) есть концентрация полупроводникового материала в растворе, или просто

концентрация раствора. Предполагая для простоты, что капля имеет форму полусферы

радиуса R и что атомы катализатора и полупроводника занимают в жидкой фазе

одинаковый объем

Ω

, для объема капли получаем:

Ω

drop

=(2/3)

=(N

+N)

Ω

Концентрация раствора C=N/

Ω

drop

=x/

Ω

и, следовательно, пересыщение

=C/C

-1=x/x

-1,

где x

Ω

есть равновесная процентная концентрация при ростовой температуре

поверхности T. Используя очевидное соотношение V(1-x)=(2/3)

, где R

– по радиус капли Au при N=0,

3/1

11 +−

(4.90)

282

Число частиц полупроводникового материала в капле N меняется во времени

благодаря четырем процессам, изображенным на Рис. 83. Вклад каждого из них в

кинетическое уравнение для

dtdRRdtdN Ω= /)/2(/

уже был рассмотрен выше.

Эти

Диффузионный поток в каплю, являющийся суммой потоков частиц,

Нашей задачей является вывод общего нестационарного кинетического уравнения для

пересыщения раствора в капле, описывающего следующие процессы:

(1) Адсорбция и десорбция на поверхности капли. вклады равны

R V/

Ω

и -

C (

+1)/τ , соответственно.

непосредственно на боковых стенках и мигрировавших с поверхности

подложки. Этот вклад, детально рассмотренный в п.IV.5, равен

eq l

(2)

адсорбированных

(

Ω

где R

- функция, определяемая формулами (4.71), (4.72).

(3) Послойный рост из жидкого раствора на границе жидкость-кристалл под каплей

с учетом конечного размера грани. Этот процесс является стоком для частиц

полупроводникового материала в капле и равен -

R V

/Ω

, где V

=dL

/dt и L

есть длина

вискера, отсчитанная от поверхности подложки. Выражение для V

было получено в

п.IV.3, в общем случае оно определяется формулой (4.31), (4.32) с функцией α в виде (4.4),

интенсивностью нуклеации I в виде (4.37) и скоростью латерального роста зародышей v в

, представив разность химических

RVR

diff

) =

(4.91)

виде (4.38). Отметим, что до сих пор мы использовали модель разбавленного раствора,

которая соответствует метастабильности ∆µ=ln(ζ+1). Учет неидеальности раствора можно

провести в рамках

метода самосогласованного поля

потенциалов полупроводникового материала в жидкой и твердой фазе в виде

ln −−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=∆

ϕµ

(4.92)

283

Здесь

TkrV

/)(

∑∑

−=

- эффективная константа взаимодействия, суммирование

по i учитывает сортность частиц.

(4) Рост на неактивированной поверхности подложки будем по-прежнему

учитывать с помощью постоянного параметра ε: dL/dt=dL

/dt-V =V -(1-ε)V. Независимость

от времени параметра ε в нестационарной модели кажется неоправданной и является

безусловным приближением. Однако, смысл поправки на рост подложки состоит в том,

что после интегрирования V

(t) мы обязаны отнять от получившийся величины

уравнению

s L

∫

′′

tVtdL

)(

среднюю толщину слоя H

=(1-ε)Vt. Поэтому ε является интегральным

параметром, подразумевающим соответствующее усреднение по времени.

Собирая все вклады вместе, приходим к следующему кинетическому

для dN/dt

()

Rdt

ssl

ΩΩΩΩ

ц времени роста t, параметрически зависящего от

т системы материалов. Найдя

dRR

eql

222

+−+−=

πζππ

(4.93)

Поскольку R связан с

условием (4.90), это уравнение является замкнутым уравнением

для пересыщения раствора

как функ ии

температуры T, скорости осаждения V и физических констан

пересыщение

(t), находим радиус вискера R(t) по (4.9), V

(t)=V

(ζ(t),R(t)) по (4.31)

скорость роста вискера по формуле

()

VtRtV

)1()(),(

εζ

−−=

(4.94)

Уравнения (4.93), (4.94) удобно представить в следующем безразмерном виде:

RRdH

Ω

)1()()( +Φ+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−Φ=

αζζ

(4.95)

)1(

)1(1

−−

Ω

−+

−Φ

dRRdL

(4.96)

Ω+Φ+Φ dHRdH

284

Здесь H=Vt – эффективная толщина осажденного материала в момент времени t, функции

G(ζ), F(α) и параметр размерности длины R

совпадают с (4.40), (4.32) и (4.43),

соответственно, а метастабильность раствора ∆

учитывает размерную поправку на

эффект Гиббса-Томсона согласно (4.35). Таким образом, в общем случае процесс роста

вискер

78,279], различные модели

диффузионного роста вискеров [193,199,200,202,272,273]. Важно, что в рамках

ов по механизму «пар-жидкость-кристалл» контролируется следующими

параметрами:

Пересыщение газообразной фазы Φ, определяемое формулой (4.44);

2) Энергетический параметр a, определяемый по формуле (4.34);

3) Радиус Гиваргизова-Чернова R

(4.36), описывающий размерный эффект Гиббса-

Томсона;

4) Кинетический параметр размерности длины R

(4.43), определяющий отношение

характерных времен диффузии в жидкости и десорбции с поверхности капли.

5) Константа взаимодействия

, описывающая неидеальность раствора, если величина

∆µ

находится по формуле (4.92);

6) Равновесная концентрация раствора x

(T) и исло атомов катализатора в капле на

вершине рассматриваемого вискера N

;

7) Диффузионная длина на боковой поверхности вискера λ

8) Параметры начального распределения капель по размерам: <R> - средний радиус

капель и N

– их поверхностная плотность;

9) Эффективная диффузионная длина на поверхности подложки λ

, или распределение

начальных капель по размерам, нужное для ее независимого определения.

10) Параметр

, описывающий рост неактивированной поверхности подложки;

Изложенная теория комбинированного роста по механизму «пар-жидкость-

кристалл» объединяет в себе модель Гиваргизова-Чернова [186] и ее модификации

[78,185,188] теорию нуклеации на грани конечного размера [

285

изложе

д и н и

нного подхода удается объединить теорию адсорбционно-стимулированного и

диффузионного роста, которые олгое время существовал как бы езавис мо. Переход

от общей модели (4.95), (4.96) к ранее рассмотренным частным моделям производится

следующим образом:

Чисто адсорбционный рост вискеров по механизму «пар-жидкость-кристалл» с

учетом размерных эффектов Гиббса-Томсона и конечного размера грани, рассмотренный

в п. 4.3 и 4.4, осуществляется при R

/R→0, то есть для очень толстых (большие R)

малых диффузионных длинах адатомов, приводящих к малости

ионарное уравнение (4.95) в точности сводится к (4.42). Как уже

температуры, требуемые для распада химических

капли. Кроме того, исходя из требований современных

вискеров, или при очень

. В этом случае стац

указывалось, такой рост был характерен для экспериментов по газофазному осаждению

1970-х годов при больших диаметрах капель (~1 мкм), очень высоких температурах

поверхности (~1000

C для Si) и, соответственно, малых диффузионных длинах

[168,171,172,186]. Отличительная особенность этого роста – возрастающая зависимость

длины вискеров от диаметра. В дальнейшем, появление новых прекурсоров позволило

существенно снизить ростовые

соединений в температурном поле

нанотехнологий, латеральный размер вискеров был уменьшен до величины ~ 10 нм

Поэтому в ряде современных работ по газофазному выращиванию различных III-V

полупроводниковых нановискеров наблюдалась типично диффузионная убывающая

зависимость L(R) [268,278]. Вместе с тем, уменьшение скорости осаждения, увеличение

диаметра капель, использование системы материалов с малой диффузией адатомов и

некоторые другие изменения ростового процесса могут подавлять диффузионный поток и

приводить к возрастающей зависимости L(R) и

другим свойствам, характерным для

адсорбционного роста. Это наблюдалось как для газофазной эпитаксии SiGe [277], так и

для молекулярно-пучковой эпитаксии GaAs [184] и InN [191].

286

Чисто диффузионный рост вискеров всегда наблюдается в том случае, если на

всем протяжении ростового процесса пересыщение газовой фазы существенно

превосходит пере щсы ение раствора в капле. Как следует из стационарного уравнения для

корости роста (4.96), при выполнении сильного неравенства Φ>>

уравнение (4.95)

ста ю

иц в каплю. С учетом

новится ненужным, поскольку в данных условиях рост контролируется не скорость

кристаллизации жидкого раствора, а скоростью поступления част

определения для десорбционного параметра

+Φ

Ω

lseq

(4.97)

в уравнение диффузионного роста (4.69).

>>1, то есть для очень тонких нановискеров или при очень

длинах адатомов. Тогда в (4.96) мы обязаны пренебречь

стационарное уравнение (4.96) переходит

Отметим, что вне зависимости от соотношения между Φ и

, чисто диффузионный режим

наблюдается также при R

больших диффузионных

адсорбционно-десорбционным вкладом и получим уравнение (4.69), но без константы ε-γ:

LRRR

),/,/,/(

fsWs*

ть общее кинетическое уравнение (4.95). Одним из важных

Возрастание

или убывание эксперименталь теоретической зависимости L(R)

наком роста вискер

ериалов примерно в одинаковых диапазонах размеров

, а следовательно – об одном и

том же ростовом процессе,

контролироваться обоими факторами. Поэтому следующий

(4.98)

В комбинированном режиме роста, когда существенны как диффузионный поток

на вершину вискера, так и кинетика кристаллизации раствора с задержками роста,

связанными с размерными эффектами Гиббса-Томсона и конечного размера грани,

необходимо использова

вопросов здесь является получение общего вида зависимости длины вискера от радиуса.

ной или

обычно считается отличительным приз ов в области параметров, где

существенны или размерные эффекты, или диффузионные потоки. При этом часто речь

идет об одних и тех же системах мат

капель и условий осаждения

который вполне может

287

параграф посвящен исследованию вопроса о конкуренции размерных эффектов и

влияние на скорость роста

длины вискеров от радиуса капли и условий роста

диффузии адатомов, оказывающих противоположное

нановискеров.

ЛЕКЦИЯ № 15. Зависимость

IV.8 Общий вид зависимости скорости роста от радиуса

Для исследования вида зависимости скорости роста от радиуса вискера при

комбинированном росте воспользуемся стационарными уравнениями (4.95), (4.96), считая

радиус вискера постоянным в процессе роста и равным радиусу капли:

)()()1(

αζζ

⎟

⎠

⎜

⎝

=+Φ+−Φ

(4.99)

⎞

⎛

)1(

−−+

+Φ

−Φ

(4.100)

Поскольку размерные эффекты Гиббса-Томсона и конечного размера грани на вершине

рассмотрим чисто моноцентрический режим зарождения, положив в (4.99) F(α)=1. Для

вискера могут сказываться только при Φ~ζ и существенны при достаточно малых R,

простоты пользуемся приближением разбавленного раствора ∆

(ζ)=ln(

+1), хотя все

рассуждения останутся в силе для любой зависимости ∆

(ζ). Для приближенного

аналитического решения уравнения (4.99) воспользуемся тем же методом, что и в п. IV.4,

представив G(ζ) в виде

[

]

)(exp)()(

−ΦΓ

−

Как и в (4.48), большой параметр

≅ GG

(4.101)

)()1(

Φ∆+Φ

=Γ

есть критический размер

классической теории нуклеации при ζ=Φ деленный на Φ+1. Подставляя (4.101) в и

вводя вместо ζ новую переменную

, (4.99)

⎥

⎦

⎢

⎣

⎡

+Φ

Φ∆

1)(

⎤

− R

(4.102)

288