Дубровский В.Г. Теоретические основы технологии полупроводниковых наноструктур
Подождите немного. Документ загружается.
получаем уравнение для y вида
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ∆Φ∆
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Φ∆ )()()(
2
2
3
2/3
µµµ
a
R
Ra
R
Ra
Сравнивая (4.103) с (4.100), выражаем скорость роста вискера через y:
⎟
⎜
−
⎟
⎜
= exp
*
ye
y
(4.103)
)1(
ε
−−= y
(4.104)
Несмотря на то, что мы считаем Φ-ζ достаточно малыми, наличие диффузионного вклада
R
*
/R аппроксимацию ln(ye
y
)≈y в
широком решений для y. Тогда для y
)(
2
µ
Φ∆
dL
adH
в экспоненте уравнения (4.103) позволяет использовать
диапазоне изменения R и соответствующих им
получаем приближенное решение уравнения (4.103)
R
2
3
2/3
)()()( Φ∆Φ∆
⎥
⎦
⎢
⎣
⎟
⎠
⎜
⎝
Φ∆
µµµ
(4.105)
Подстановка (4.105) в (4.104) позволяет найти выражение для скорости роста вискера
RaaRa
y
*
2
ln +−
⎥
⎤
⎢
⎡
⎟
⎞
⎜
⎛
≅
R
)1()(
)(
ln
*
2
2/3
εµ
µ
−−+Φ∆−
⎥
⎥
⎢
⎢
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
Φ∆
≅
RaRdH
(4.106)
)(
2
3
µ
Φ∆
⎦
⎤
⎣
⎡
⎞
⎝
⎛
RRadL
В общем случае величина R
, описывающая диффузию адатомов, является функцией трех
переменных в соответствии с (4.71) и, в частности, зависит от R через отношение R/λ
. В
∆µ
режима зарождения рано или поздно превратит
полуколичественного анализа пренебрежем логарифмической зависимостью от R в
(4.106). Для определенности, значение логарифма можно взять
при среднем радиусе
ансамбля капель <R>. Введем безразмерный радиус вискера r по определению
*
s
отличие от п. 4.4, мы сохраняем линейный по
член в скорости роста (4.106), поскольку
его учет не представляет затруднений и расширяет область применимости модели.
Учитывая, что смена
логарифмическое возрастание скорости роста при больших R в постоянное значение, для
0
)1ln(
R
R
r
+Φ
=
(4.107)
289
В классической теории Гиваргизова-Чернова [186], которая получается из (4.106), если
поток на
вершину вискера) и ε=1 (нулевая скорость =1 отвечает
пренебречь линейным членом по ∆
µ
и положить R
*
=0 (нулевой диффузионный
роста на подложке), значение r
минимальному размеру капли, при котором пр керов. В терминах
переменной r уравнение (4.106) без логарифмической зависимости запишется в виде
екращается рост вис
)1(1)1ln(1
*
ε
−−+
⎟⎜
−+Φ−
⎟⎜
−=
rR
K
(4.108)
1)1ln(11
2
+Φ
⎠
⎞
⎝
⎛
⎠
⎞
⎝
⎛
R
rrdH
dL
где
0
aR )/)1(ln(
2
3
2/3
0
⎥
⎥
⎤
⎢
⎣
⎟
⎟
⎠
⎞
⎝
><
><−+Φ
давало правильную асимптотику dL/dH=ε-γ при r→∞. Для этого с
=1/(Φ+1) должно выполняться условие
R
R
R
a
K
)1(ln
ln
2
+Φ
⎦
⎢
⎡
⎜
⎜
⎛
=
. Далее, потребуем, чтобы
выражение (4.108)
учетом ∆
µ
→ln(Φ+1), R
*
/R→0 и γ
1
)1ln(
+Φ
Φ
++Φ=K
(4.109)
*
вискера, к которым приводит диффузионная теория роста п. 4.5 и 4.6: диффузионный
которых осуществляется
R
*
=R
**
2
/R, где R
**
=const, в зависимости от режима, и нормируем скорость роста на ее
значение при r→∞ v
∞
=ε-1/(Φ+1), а также учтем условие (4.109). В обоих случаях получим
квадратичную зависимость скорости роста от 1/r , но с разными коэффициентами:
Рассмотрим теперь два основных частных случая зависимости R
от радиуса
поток, пропорциональный 1/R и 1/R
2
. Перечень режимов, при
такая диффузия, приведен в п. 4.5 (см. формулу (4.81). Положим в (4.108) R
*
=const или
⎪
⎩
⎧
++
++
1//
1//
1
2
rprq
rprq
dH
dL
v
⎪
⎨
=
∞
2
2
2
11
(4.110)
В случае диффузии по закону 1/R коэффициенты q
1
и p
1
выражаются через пересыщение
газообразной фазы Φ и параметры R
*
и ε в виде
1)1(
)1ln()1(
1
−+Φ
Φ++
Φ
+Φ
=
ε
q
;
1)1
2)1/
0*
−
Φ
(
)(1ln()1(
1
+Φ
−
−
+
Φ
+
Φ
=
ε
p
RR
(4.111)
290
В случае диффузии по закону 1/R
2
соответствующие коэффициенты равны
(
)
[
]
1)1(
2
−+Φ
ε
;
/)1ln(1)1ln()1(
2
0**
Φ++Φ++Φ+Φ
=
RR
q
1)1(
2
−+Φ
2)1ln()1( Φ++Φ
+
Φ
−=p
а
1
при
ε
(4.112)
Элементарный анализ показывает, что функция
1//)(
2
++= rprqrf
при q>0 монотонно
убывает при r>0, если p>0 и имеет минимум при значении r
1
=-2q/p, если p<0. Этот
минимум сдвигается вправо по оси абсцисс и стремится к бесконечности при p=0.
Значение функции в точке минимум qprf 4/1)(
2
−= отрицательно qp 2> ,
положительно при
qp 2< , случай qp 2= соответствует касанию минимума f(r) оси
абсцисс. При f(r
1
)<0 правый ноль функции f(r) достигается при значении радиуса вискера
R
min
, равного
⎟
⎜
min
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+Φ
=
2
4
2)1ln(
2
0
qp
p
R
R
(4.113)
Для коэффициентов вида (4.111), (4.112) видно, что q
1
и q
2
всегда положительны, p
2
всегда
отрицателен, а p
1
меняет знак с отрицательного на положительный при увеличении
диффузионного радиуса R
*
до критического значения, равного
⎥
⎦
⎢
+Φ+Φ
)1ln()1(
0*
радиуса в случае 1/R диффузии минимум кривой L(R)
жки
соответствует случаю
K=
Φ
/(
Φ
+1) и коэффициентам
⎤
⎣
⎡
Φ
+=
2
1
RR
c
(4.114)
При этом значении диффузионного
исчезает. Формула (4.114) показывает, что величина R
*
c
уменьшается с увеличением
пересыщения газообразной фазы.
В применении уравнений (4.110) к анализу роста нановискеров естественно
отождествить обращение в ноль скорости роста при каком-либо радиусе капли с запретом
роста на каплях меньшего радиуса. Фактически именно это предполагается в теории
Гиваргизова-Чернова, которая в наших обозначениях при учете роста подло
291
21)1(
GC
GC
p
q −=
−+Φ
Φ
=
ε
(4.115)
Функция f(r) при таких коэффициентах имеет минимум в фиксированной точке r
1
=1, а ее
знак в точке минимума при ε<1 всегда отрицателен. При ε=1 q
в
анализ
от комбинированном
R=R
1 на обоих Рис. 84. В терминах безразмерного радиуса r значение r
<1 всегда
больше единицы. Чисто адсорбционный рост осуществляется обычно при очень высоких
температурах поверхности. При понижении T и постоянной скорости осаждения V
пересыщение газообразной фазы увеличивается поскольку, согласно (4.44), зависимость
Φ
0
=1, p
0
=-2 и f(1)=0, то есть в
отсутствие роста подложки функция f(r) касается оси абсцисс в точке минимума r
1
=1.
Поэтому мы отбрасываем положительные участки кривых f(r) области малых r при
обращении f(r) в ноль правее на оси абсцисс как нефизические. Тогда значение R
min
,
определенное формулой (4.113), является минимальным радиусом капли, при котором
возможен рост по механизму «пар-жидкость-кристалл» при данных условиях осаждения.
Приведенный качественный показывает, что зависимость скорости роста
вискера радиуса в режиме роста имеет вид, изображенный на Рис.
84. В отсутствие диффузии адатомов на вершину вискера (R
*
=R
**
=0) скорость роста равна
нулю при
min
и монотонно возрастает, что соответствует нижним сплошным кривым
min
при ε
от условий роста имеет вид
1exp −
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
+Λ
≅Φ
Tk
E
constV
B
Al
(4.116)
⎞⎛
l
Здесь E
l
есть энергия активация десорбции из капли и Λ – теплота кристаллизации
раствора. Одновременно, при понижении температуры увеличиваются диффузионные
длины адатомов, а следовательно – диффузионные радиусы R
и R . В простейшем
случае, когда значение диффузионного радиуса R
=2λ , температурная зависимость
диффузионной длины на боковой поверхности имеет вид аррениусовской экспоненты
A l
* **
* f
292
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Tk
EE
B
f
D
f
A
ff
2
⎜
≅
exp
σλ
(4.117)
де E
A
f
и E
D
f
– энергии активации десорбции и диффузии адатома, соответственно.
У
радиуса Гиваргизова-Чернова R
лишь степенная) уменьшает минимальный радиус капли
и елич скорость роста искер нно диус До , зна
фу ции
0, за мост орос ста диу до етс остается
возрастающей, то есть адсорбционный ру
кривым 2 Рис. а) и кривым 2 б и д ше рас
иффузионных радиусов минимум f(r) становится положительным и, в рамках нашей
модели мы
. Условия
«включения
г
величение значений
Φ
и R
*
/R
0
или R
**
/R
0
(напомним, что температурная зависимость
0
ув ивает в ов да го ра а R. тех пор пока чение
нк f(r
1
)< виси ь ск ти ро от ра са ви изменя я, но
рост домини ет. Эта ситуация соответствует
на 84 , 3 на Рис. 84 ). Пр альней м воз тании
д
, обязаны включить в рассмотрение возрастающий диффузионный участок
кривой длина
-радиус в области малых r. Это сразу же расширяет диапазон размеров
капель, в котором возможен рост по механизму «пар-жидкость-кристалл»
» диффузионного участка соответствуют равенству
q , откуда
нетрудно радиусов
R
*
D
, R
**
D
p 2=
получить выражения для соответствующих значений диффузионных
при 1/R и 1/R
2
диффузии:
⎥
⎦
⎤
+Φ+Φ+Φ−+Φ+Φ+Φ
Φ
+
)1ln()1(1)1()1ln()1(
ε
(4.118)
⎢
⎣
⎡
= 1
0*
RR
D
[][][]
1
1)1()1ln()1(42)1ln()1(
)1
2
0
+Φ
−+Φ+Φ+Φ+Φ−Φ++Φ+Φ
+Φ
ε
R
диффузии минимум зависимости длины от радиуса вискера
*
D
<R
*
<R
*
c
и исчезает при R
*
>R
*
c
, где R
*
c
определяется формулой
минимум имеется всегда. Для обоих случаев минимум зависимо
мере увеличения диффузионной составляющей скорости роста
ln(2
**
=R
D
(4.119)
Для 1/R наблюдается в
области R
(4.114). Для
1/R
2
диффузии сти длина-
радиус по сдвигается в
область больших радиусов, как это демонстрируется кривыми 3, 4 на Рис. 84 а) и 4, 5 на
Рис. 84 б). Поэтому в реальных условиях ростового эксперимента слабый минимум при
293
больших радиусах может и не наблюдаться. Кривая 5 на Рис. 84 а) соответствует чисто
диффузионному росту без минимума зависимости L(R).
Таблица 7. Значения Φ, R
*
/R
0
, R
**
/R
0
и соответствующие им коэффициенты q, p в модели
комбинированного роста (4.110) и в модели Гиваргизова-Чернова
№
Ф R
*
/R
0
R
**
/R
0
Q
1
p
1
q
2
p
2
q
GC
p
GC
1 0.75 0 0 4.32 -6.2 4.32 -6.2 1.875 -3.75
2 0.875 0.5 0.5 4.11 -4.68 4.48 -5.86 1.75 -3.5
3 1 1 1 3.98 -3.33 5.59 -5.64 1.67 -3.34
4 1.5 1.5 1.5 3.79 -1.85 8.51 -5.29 1.5 -3
5 2 1.43 -2.86 2.5 2.5 3.78 0.944 19.9 -5.21
Для модельного численного примера на Рис. 84 увеличивались как чения
к
зна
пересыщения Φ, так и значений R
*
/R
0
и R
**
/R
0
при постоянном значении ε=0.8, что
ачественно отвечает поведению параметров системы при снижении ростовой
2 4 6 8 10 12 14
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
5
4
3
Normalized growth rate
Whisker radius r
1
2
а
294
2.0
2 4 6 8 10 12 14
0.5
1.0
1.5
0.0
2
3
1
5
Normalized growth rate
Whisker radius r
4
Рис 84. Кривые зависимости скорости роста от радиуса вискера в координатах (1/V
∞
)dL/dt
и r, рассчитанные по формулам (4.110) при значениях параметров из Таблицы 7: а) – 1/R-
1/R
2
Гиваргизова-Чернова – пунктирные линии.
диффузия, б) –
диффузия, сплошные линии; соответствующие зависимости
температуры. При этом считалось, что для данного перес
б
ыщения R
*
/R
0
=R
**
/R
0
, поэтому
сначала медленнее, а потом быстрее, чем на Рис. 84
а). коэффициентов
q
GC
и p
GC
в модели Гиваргизова-Чернова
без диффузии адатомов и линейного
в
форма кривых на Рис. 84 б) меняется
Соответствующие значения q и p приведены в Таблице 7. Для
сравнения в Таблице 7 приведены коэффициенты
по
∆
µ члена в скорости роста, но с учетом роста
неактивиро анной поверхности. Видно, что кривые Гиваргизова-Чернова и, в частности,
предсказываемые ими значения минимального радиуса капли, являются менее
чувствительными к изменению пересыщения, чем в модели комбинированного роста,
даже в случае, когда адсорбционный рост доминирует.
295
Это различие связано с учетом линейного по
∆
µ члена в (4.108). Но даже без него
качественный характер изменения кривых длина-радиус при включении механизма
м
диффузии адатомов в каплю не измениться. Не измениться он и при сильной десорбции с
неактивированной поверхности подложки, когда никакого роста на подложке нет.
Действительно, рассмотрим упрощенную формулу (4.108) в чисто квадратичной по
∆
µ
одели
rRr
K
1
*
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
(4.120)
при
∆
µ
0
(
Φ
)/R
R
dL 1
)(
1
0
2
Φ∆
µ
dH
0
r=R
0
и
aR
Ra
2
[∆
⎤⎡
⎞
⎛
><
µ
RR
K
20
2/3
0
)](
)/)
ln
Φ
⎥
⎥
⎦
⎢
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
>−Φ
=
. Очевидно,
перв агаемое правой (4.120) соотве классической формуле
Гиваргизова-Черно второе описывает дифф ионный . Скор пр →∞
∞
=K. Для ься условие
K=1-γ=
Φ
/( энергетической
константы
1/R и 1/R
2
диффузии,
1
1
=q
;
3
0
((
⎢
⎣
∆
µ
<
о сле в части тствует
ва, а уз двкла ость роста и r
v
согласования асимптотики при r→∞ в случае ε=1 должно выполнят
Φ
+1), что, в принципе, дает возможность определить значение
a. Нормируя скорость роста на v
∞
и опять рассматривая случаи
получаем формулы (4.110) с коэффициентами
2
)()1(
0
*
0
−
Φ
Φ∆+Φ
=
R
R
1
p
µ
(4.121)
2
0
**0
)(
)1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ∆
Φ
+Φ
R
R
µ
;
2
2
2
(
1
+=
q
−
=
p
(4.122)
**
=0 отсюда получаются кривые Гиваргизова-Чернова c q=1 и p
адатомов в каплю сдвигает кривые зависимости f(r) вверх по оси
отрицательные значения скорости роста отсутствуют. Критический диффу
При R
*
=R =-2. Учет
диффузии ординат, то
есть зионный
р
оп
адиус исчезновения минимума скорости роста при 1/R диффузии в квадратичной модели
ределяется формулой
296
)()1(
2
Φ∆+Φ
Φ
µ
В случае 1/R
0
0*
=
RR
c
(4.123)
Таблица 8. Значения Φ, R
*
/R
0
, R
**
/R
0
и соответствующие им коэффициенты q, p в
p
2
диффузии такой минимум существует всегда, сдвигаясь вправо по оси r при
увеличении R
**
/R
0
. Коэффициенты квадратичной модели (4.121), (4.122) и
соответствующие им зависимости скорости роста от радиуса r при значениях параметров
Φ
, R
*
/R
0
, R
**
/R
0
из Таблицы 7 и
∆
µ
0
(
Φ
)=ln(
Φ
+1) приведены в Таблице 8 и на Рис. 85.
Нижняя кривая 1 на Рис. 85 при R
*
=R
**
=0 отвечает модели Гиваргизова-Чернова.
квадратичной модели комбинированного роста
Ф R
*
/R
0
R
**
/R
0
q
1
p
1
q
2 2
0.75 0 0 1 -2 1 -2
0.875 0.5 0.5 1 -1.33 1.21 -2
1 1 1 1 -0.614 1.96 -2
1.5 1.5 1.5 1 0.291 4.15 -2
2 2.5 2.5 1 2.11 12.3 -2
2468
2
3
10
0
1
Normalized growth rate
Whisker radius r
Рис.85. Зависимости нормированной скорости роста от радиуса вискера в квадратичной
модели при 5 значениях пересыщения и диффузионных радиусов и коэффициентов из
Таблицы 8: сплошные линии – 1/R диффузия, пунктирные линии - 1/R
2
диффузия
297
В рассмотренных м шенными два вопроса, окончательный
ответ на которые может дать ответ только эксперимент Во-первых, являются ли
минимум на кривых зависимости скорости роста от радиуса результатом
конкуренции диффузионного-стимулированного возрастания скорости и ее
что мы используем формулу Гиваргизова-Чернова в «неправильной» области малых
радиусов? Некоторые экспериментальные подтверждения данного эффекта будут
приведены в п. IV.10. Здесь же отметим, что с термодинамической точки зрения
абсолютно запрещенными должны считаться состояния системы
∆
µ( )=
∆
µ (ζ)(1-1/r)<0,
когда зародыши кристаллической фазы просто не могут возникать. Этого нет в
приведенных на Рис. 83 примерах, где всюду r>1 и поэтому
∆
µ>0. Во-вторых, можно ли
трактовать области с отрицательными скоростями роста на Рис.83, запрещенные выше как
нефизич
оделях остаются нере
.
ы реальным
роста
уменьшения за счет эффекта Гиббса-Томсона, или артефактом модели в результате того
,
с
ζ
0
еские, как области формирования нанопор, прорастающих вглубь подложки?
Иными ами, возможно ли создать такие условия роста, при которых капли одного
R , п
ln(
Φ
+1)→
∆
µ
0
(
Φ
). В разложении (4.101) под знаком экспоненты большой параметр
Γ
в
слов
размера активируют рост вискеров, а другого – образования пор? Здесь принципиально
возможны три ситуации: 1) образование пор
в области малых R при адсорбционном росте,
2) образование пор в области промежуточных R при комбинированном росте и 3)
образование пор в области больших R при диффузионном росте. Последний случай не
рассматривался выше, так как при анализе формулы (4.108) неявно предполагалось, что
при больших скорость роста положительна. Однако взятые по отдельности, араметры
ε и
Φ
отнюдь не обязаны удовлетворять условию ε-1/(
Φ
+1)>0 и вполне может оказаться,
что v
∞
<0, особенно при малых пересыщениях газообразной среды.
В заключение данного параграфа отметим три обстоятельства. Во-первых, для
перехода от частного случая разбавленного раствора к общему виду зависимости
∆
µ
0
(
Φ
)
во всех выражениях (4.107)-(4.114), (4.118), (4.119) нужно сделать замену
298