Долгая М.В. Конспект лекций по дисциплине Основы компьютерной графики
Подождите немного. Документ загружается.
11
X
R
cs
sc =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−0
0
001
Также матрица R
x
преобразуется в «последующую » матрицу R
y
:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
cs
scR
X
0
0
001
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
sc
cs
0
001
0
Y
R
cs
sc
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0
010
0
Суммируя сказанное, получим следующие матрицы:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
αα
αα
cossin0
sincos0
001
X
R
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
αα
αα
cos0sin
010
sin0cos
Y
R
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
αα
αα
Z
R
Для поворота точки вокруг оси x на угол α матрица R
x
используется следующим образом:
[x
/
y
/
z
/
] = [x y z] R
x
Матрицы R
y
и R
z
применяются аналогично.
Уравнения для преобразований могут интерпретироваться как изменения координат.
Перенос точки на определенное расстояние вправо описывается теми же уравнениями, как
перенос системы координат на такое же расстояние влево. На практике удобнее перемещать
координатную систему вместо точки, но для этого требуются инвертированные матрицы. К
счастью, инверсия матриц Т, R
x,
R
y
, R
z
может быть записана немедленно:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
−
1
0100
0010
0001
321
1
aaa
T
12
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−
αα
αα
cossin0
sincos0
001
1
X
R
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
αα
αα
cos0sin
010
sin0cos
1
Y
R
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
100
0cossin
0sincos
1
αα
αα
Z
R
Теперь можно найти матрицу R для поворота вокруг любой прямой линии, проходящей через
точку начала координат О. Для определенности будем полагать, что поворот осуществляется
вокруг вектора v, начало которого расположено в точке О. Тогда положительное направление
вращения соответствует направлению вектора по правилу винта с правой резьбой. Как и ранее,
поворот будем производить на уго
л α.
Если концевая точка вектора v задана в ортогональных координатах, то сначала вычислим его
сферические координаты ρ, θ, ϕ (см. рис.5)
2
3
2
2
2
1
vvvv ++==
ρ
Если ρ=0, то будем считать, что θ = ϕ = 0. В противном случае
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<=
≥=
<+
>
=
002/3
002/
0)/arctan(
0)/arctan(
21
21
112
112
vиvесли
vиvесли
vеслиvv
vеслиvv
π
π
π
θ
ϕ=arccos(v
3
/ρ)
Известно об
ратное вычисление
v
1
=ρsinϕcosθ, v
2
=ρsinϕsinθ, v
3
=ρcosϕ
Теперь стратегия заключается в таком изменении системы координат, чтобы вектор v (ось
вращения) совпадал с новым направлением положительной полуоси z. Начнем с поворота осей х и
y вокруг оси z на угол θ.
[x
/
y
/
z
/
]= [x y z ]R
-1
z
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
100
0cossin
0sincos
1
θθ
θθ
Z
R
Ось x
/
имеет положительное направление вектора (v
1
, v
2
, 0).
Теперь повернем оси x
/
и z
/
вокруг оси y
/
на угол ϕ до совпадения оси z
//
с вектором v
Это условие запишем как
[x
//
y
//
z
//
]= [x
/
y
/
z
/
]R
-1
y
13
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
αα
αα
cos0sin
010
sin0cos
1
Y
R
Фактический поворот вокруг вектора v на угол α теперь модно выполнить как поворот вокруг оси
z
//
.
[x
///
y
///
z
///
]= [x
//
y
//
z
//
]R
V
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
αα
αα
V
R
К этому моменту достигнуто выполнение соотношения
[x
///
y
///
z
///
]= [x y z ]R
z
-1
R
y
-1
R
v
ρ
θ
ϕ
v
v
1
v
2
v
3
z
y
x
Рисунок 5 -
Сферические координаты
К сожалению, координаты x
///
, y
///
, z
///
относятся к самой последней системе координат, тогда как их
необходимо выразить в исходной системе. Обозначим эти координаты в исходной системе через
x
*
, y
*
, z
*
. Переход к исходной системе инвертированных матриц R
z
-1
и R
y
-1
(которые будут
совпадать с матрицами R
z
и R
y
) в обратном порядке для преобразования точки x
///
, y
///
, z
///
:
[x
*
y
*
z
*
]=[x
///
y
///
z
///
]R
z
R
y
Это означает, что полный поворот вокруг вектора v на угол α вычисляется по следующей
формуле:
[x
*
y
*
z
*
]=[x
y z]R
z
-1
R
y
-1
R
v
R
y
R
z
где
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
100
0cossin
0sincos
1
θθ
θθ
Z
R
14
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
ϕϕ
ϕϕ
cos0sin
010
sin0cos
1
Y
R
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
αα
αα
V
R
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
ϕϕ
ϕϕ
cos0sin
010
sin0cos
Y
R
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
θθ
θθ
Z
R
Для последу
ющего применения запишем
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
−−
333231
232221
131211
11
rrr
rrr
rrr
RRRRRR
ZYVYZ
До сих пор обсуждалось решение задачи о повороте относительно вектора, привязанного к точке
начала системы координат О. Теперь нужно устранить это последнее ограничение и поставить
задачу определения поворота относительно вектора, начало которого расположено в любой
произвольной точке А (а
1
, а
2
, а
3
). Для этого будем использовать вектор v для вычисления матрицы
R таким же образом, как и ранее. Затем нужно выполнить три следующих шага:
1. Выполним перенос из заданной точки в точку начала координат О, используя однородные
координаты и следующую матрицу:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
−
1
0100
0010
0001
321
1
aaa
T
2. Теперь можем осуществить поворот относительно оси, проходящей через О, как и ранее, но
матрицу R необходимо расширить тривиальным образом, чтобы можно было использовать
однородные координаты
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
∗
1000
0
0
0
333231
232221
131211
rrr
rrr
rrr
R
15
3. Применить преобразование, обратное шагу 1, используя матрицу
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0100
0010
0001
321
aaa
T
После эт
ого матрица обобщенного поворота вычисляется как
R
GEN
=T
-1
R
*
T
и ее можно использовать следующим образом:
[x
*
y
*
z
*
1]=[x
y z 1]R
GEN
16
ЛЕКЦИЯ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Слово проекция в переводе с латинского означает «выбрасывание вперед».
Проекция объектов на картинную плоскость – это совокупность образов точек объекта
на картинной плоскости.
Образы точек на картинной плоскости представляют собой точки пересечения
проектирующих лучей с картинной плоскостью. Проектирующими лучами называют прямые,
выходящие из центра проекции, проходящие через точки объ
екта (прообразы) и пересекающие
картинную плоскость.
Центр проекции – произвольная точка в пространстве, из которой мы «смотрим», то есть,
проектируем объект. Центр проекции называют еще точкой наблюдения или точкой зрения.
Глобально все виды проектирования, а, следовательно, и проекций принято делить на два
вида - центральное и параллельное проектирование.
При центральном проектировании существует со
бственный центр проекции, то есть
точка с известными координатами в мировом объектном пространстве.
Параллельное проектирование является частным случаем центрального, с центром
проекции удаленным в бесконечность (несобственный центр проекции).
3.1 ВИДЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Как уже было сказано, существует два основных вида проектирования параллельное и
центральное.
а) б)
Рисунок 3.1 – Основные вид
а проектирования
а) параллельное проектирование, б) центральное проектирование
Виды параллельных проекций:
1. Ортографическая (ортогональная) – когда картинная плоскость
совпадает или параллельна одной из координатных плоскостей, а проектирующие
прямые перпендикулярны картинной плоскости. Матрица ортогонального
преобразования в случае, если картинная плоскость совпадает с плоскостью ZY, а,
следовательно, проектирование выполняется вдоль ос
и X, имеет вид:
1000
0100
0010
0000
=
zy
P
Матрицу именуют
zy
P
или P
x
, то есть либо по имени плоскости, на которую
проектируется объект, либо по имени оси, вдоль которой выполняется проектирование.
17
Если картинная плоскость параллельна плоскости ZY и располагается на расстоянии a от
плоскости ZY, то
100
0100
0010
0000
a
P
zy
=
2. Аксонометрическая проекция характерна тем, что все проектирующие
прямые перпендикулярны картинной плоскости, но картинная плоскость принимает различные
положения по отношению к системе координат.
Характеризуется положение картинной плоскости по отношению к системе координат
cos-ами углов между картинной плоскостью и осями X, Y, Z. Эти значения называют
коэффициентами искажения. Различают 3-и вида аксонометрических проекций:
- тримет
рию, когда все три коэффициента искажения различны;
- диметрию, когда два коэффициента искажения равны;
- изометрию, когда три коэффициента искажения одинаковы.
Преобразования в случае аксонометрических проекций сводится к следующим действиям:
- поворотам системы координат вокруг 2-х выбранных осей для получения
параллельности одной из координатных плоскостей картинной плоскости;
- реализация параллельного п
роектирования.
Рисунок 3.2 - Положение координатных осей и картинной плоскости
Для выполнения проектирования на картинную плоскость F, необходимо выполнить:
- поворот системы координат вокруг оси Y на угол ψ для совмещения
координатной оси x с осью X картинной плоскости;
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
ψψ
ψψ
−
- поворот системы координат вокруг оси X на угол φ;
x
y
z
ψ
φ
F
X
Y
18
1000
0cossin0
0sincos0
0001
ϕϕ
ϕϕ
−
- параллельное проектирование вдоль оси Z
1000
0000
0010
0001
=
z
P
3. Косоугольной называется проекция, при которой проектирующие прямые не
перпендикулярны картинной плоскости.
В общем виде матрица выглядит так:
1000
00
0010
0001
βα
,
где α и β показатели или коэффициенты искажения.
Существует две разновидности косоугольной проекции:
- свободная, когда проектирующие лучи пересекают картинную плоскость
под углом 45
0
(
)
4
cos
π
βα
==
- кабинетная, при которой масштаб по третьей оси вдвое меньше.
(
)
4
cos
2
1
π
βα
==
3.2 ВИДЫ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Центральная проекция называется еще перспективной, так как при центральном
проектировании получается эффект перспективы.
Для получения проекции объекта на картинную плоскость при центральном
проектировании выполняют следующие действия:
- выбирают произвольную точку S – центр проектирования (точку зрения);
- и из неё проводят лучи через все точки объекта до пер
есечения с
картинной плоскостью;
- получение точки являются образами точек объекта.
19
Рисунок 3.3 – Центральное проектирование отрезка на картинную плоскость
S - центр проекции, d - расстояние от центра проекции до картинной плоскости,
z
0
- Z-координата центра проекции, z - Z-координата проектируемого отрезка,
x - X-координата проектируемого отрезка, X – X-координата проекции отрезка на
картинной плоскости.
Из рисунка 3.3 легко вывести следующие пропорции:
zz
zz
y
Y
zz
zz
x
X
−
−
=
−
−
=
0
10
0
10
,
где z
1 =
z
0 -
d
Тогда значения X, Y координат отрезка на картинной плоскости определяются из
выражений
y
zz
zz
Y
x
zz
zz
X
−
−
=
−
−
=
0
10
0
10
Далее совмещаем картинную плоскость с плоскостью XY, тогда z
1
= 0 и делим на z
0
числитель и знаменатель. В результате получаем:
Y
Z
X
z
0
d
Ка
р
тинная плоскость
Проектируемый отрезок
Проекция отрезка
S
z
x
X
20
y
z
z
Y
x
z
z
X
0
0
1
1
1
1
−
=
−
=
В этом случае z
0
= d, т.е. расстоянию от центра проекции до картинной плоскости. Из этих
выражений видно, что при удалении точки зрения в бесконечность, z
0
стремится к бесконечности
X=x, Y=y, что соответствует параллельному проектированию.
В матричной форме перспективное или центральное преобразование записывается так:
1000
1
100
0010
0001
d
Q
−
=
Точка зрения или центр проекции называет ещё и точкой схода. В общем виде матрица
для трех точек схода по оси X, Y, Z имеет вид:
1000
1
100
1
010
1
001
c
b
a
−
−
−
При изображении проекции объекта на экранную плоскость через центр проектирования
вдоль оси Z
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
−
⋅
d
z
yx
d
zyx 1 0
1000
1
000
0010
0001
1
По свойствам однородных координат получаем экранные координаты X и Y делением на
однородные
d
z
−1
d
z
x
−1
,
d
z
y
−1
В конечном итоге построения и преобразования трехмерного объекта сводится к
определению его преобразованных (перенос, поворот, масштаб, отображение) координат в
мировом пространстве и дальнейшее преобразование этих координат в, так называемые, экранные
координаты с учетом расстояния до картинной плоскости, т.е. выполнение проективных
преобразований. Как же определяется расстояние до картинной плоскости. Известно, чт
о «эффект