Дипломная работа - Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного

Подождите немного. Документ загружается.

Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы

 

,ki

произвольный момент времени t в состояние

 

,ki

за бесконечно малый

интервал времени

t

1. Пусть система находится в состоянии

 

0,i

, то есть в ИПВ находится

i заявок и прибор свободен, за интервал времени

t

состояние системы

может измениться таким образом:

а) с вероятностью

   

totiN





из входящего потока требований поступит

новая заявка, которая немедленно займет прибор и начнет обслуживание,

тогда система в момент времени

tt 

будет находиться в состоянии

 

1,i

;

б) с вероятностью

 

tot 

к прибору обратится одна из i заявок,

находящихся в ИПВ и система перейдет в состояние

 

1,1i

;

в) с вероятностью

   

totiN



















1

состояние системы не изменится.

2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

 

1,i

, то

есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i требований, за

интервал времени

t

возможны следующие переходы:

а) с вероятностью

 

tot 

прибор успешно завершит обслуживание, и в

момент времени

tt 

система будет находиться в состоянии

 

0,i

;

б) с вероятностью

   

totiN





в систему поступит новое требование

из входящего потока, произойдет конфликт. Как вновь поступившая, так и

заявка с прибора перейдут в ИПВ, и начнется интервал оповещения о

конфликте, следовательно, система перейдет в состояние

 

2,2i

;

в) с вероятностью

 

tot 

к прибору обратится одна из заявок с ИПВ,

произойдет конфликт, и обе заявки переместятся в ИПВ, следовательно,

система в момент времени

tt 

будет находиться в состоянии

 

2,1i

;

г) с вероятностью

   

totiN



















 11

состояние системы не

изменится.

3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

 

2,i

Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины

t

а) с вероятностью

   

totiN





к прибору обратится заявка из

входящего потока, которая автоматически попадет в ИПВ. В момент времени

tt 

система будет в состоянии

 

2,1i

;

б) с вероятностью

 

tot 

интервал оповещения о конфликте завершится,

и система перейдет в состояние

 

0,i

;

в) с вероятностью

   

totiN





















состояние системы не изменится.

Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости

 

to 

Процесс

    

tkti ,

является марковским, распределение которого

      

...,1,0,2,0,,,  ikktkitiPtiP

в стационарном режиме удовлетворяет системе уравнений

       

         

             

iPiN

iPiPiN

iPiN

NiiPiPiN

iPiN

NiiPiPiPiN





































































,11121

10,11

12,

21121

001

2110

(4.1)

4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей

состояний сети

Систему уравнений (4.1) будем решать асимптотическим методом

марковизируемых систем [7] при

N

Первое приближение

В системе уравнений (4.1) сделаем следующие замены переменных:

   





 ,

xiPxi

. В результате такой замены производится переход

от дискретной переменной

Ni ,...,1,0

к непрерывной переменной

 

10 xx

. В новых обозначениях система (4.1) примет вид

 

 

     

 

 

       

             

.,1,,21,

,,,1,11

,,1

2112

001

210





















xxxxxx

xxxxx

xxx

(4.2)

Получим вид решения системы (4.2), которую будем решать в два

этапа.

1 этап. Устремим



к нулю и обозначим

   





,lim

. Тогда система

(4.2) перейдет в систему

 

 

     

 

 

   

 

 

   

 

 

,111

210

xxx

xxxx

xxx







(4.3)

решение которой имеет вид

   

GaG





















(4.4)

где

 

,1  xG

   







– асимптотическая плотность распределения

вероятностей нормированного числа заявок в ИПВ.

Осталось найти вид функции

 

x

, для этого перейдем ко второму

этапу.

2 этап. В системе (4.2) все функции с аргументом

 2, xx

разложим в ряд

по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка



получим

 

 

     

 

 

   

 

 

     

 

   

       

 

.,1,1

12,1,

,1,11

,,1

210

































xxxx

xxx

(4.5)

Сложив все уравнения системы, будем иметь

            

.0,1,,12,

2110

 xxxxxx

(4.6)

В полученном равенстве поделим левую и правую части на



lim



прейдем к такому равенству

   

 

      

.0112

210

 xxxxx

(4.7)

Подставим в (4.7) функции

     

xxx

210

,, 

в форме (4.4) и получим

 

 

 

 

 



















































GaG

(4.8)

следовательно

 

 

 

 

 

GaG































(4.9)

где С – некоторая постоянная.

Необходимо найти константу C. Нетрудно заметить, что при х=0

выражение в фигурных скобках не положительно, следовательно

0C 

, а при

х=1

0C 

. Итак,

0C

. Таким образом, произведение двух функций равно

нулю, следовательно,

 

x

может принимать какое-либо ненулевое значение

лишь в тех точках, в которых выражение в скобках равно нулю.

Получим функцию

 

x

, везде равную нулю, за исключением точек,

являющихся корнями уравнения

 

 

 

 

 

















GaG

после преобразований это выражение принимает вид

 





GaG

(4.10)

Так как

 

x

– плотность распределения вероятностей, то должно

выполняться условие нормировки

 





1dxx

. Этим условиям удовлетворяет

лишь функция вида

 







xxx

где

– корни уравнения (4.10), n – число корней,







1:0

Если уравнение (4.10) имеет единственный корень

, то эту точку

назовем точкой стабилизации, потому что она является модой распределения

вероятностей нормированного процесса заявок в ИПВ

   

titx 

, и в ее

окрестности достаточно долго флуктуируют значения этого процесса. В этом

случае назовем сеть моностабильной.

Второе приближение

Пусть уравнение (4.10) имеет единственный корень

xx 

, то есть

плотность распределения исследуемой сети сосредоточена около точки



Найдем плотность распределения отклонения от этой точки. Для этого в

системе (4.1) сделаем замену переменных:



uxi 

2

   





uHiP

В новых обозначениях система (4.1) примет вид

 

 

     

 

 

 

   

 

   

 

   

 

.,1

,,21,

,,,1,11

,,1

001

210



























uHux

uHuHuxuH

uHuHuxuHux

uHuHux

(4.11)

Систему (4.11) будем решать в три этапа.

1 этап. Устремим



к нулю и обозначим

   

uHuH





,lim

, тогда система

(4.11) перейдет в систему

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

,111

210

uHxuH

uHxuHx

uHuHx







(4.12)

решение которой имеет вид

   

*2*

GaG















(4.13)

где

 



1 xG

   





uHuH

– плотность распределения нормированной

величины

 

отклонения процесса

   

titx 

от значения

– корня

уравнения (4.10).

Найдем вид функции

 

2 этап. Неизвестные функции

 

2,0,,  kuH

будем искать в форме

       

,,  ouhuHRuH

kkk

(4.14)

где

*2*















GaG

(4.15)

– асимптотическая вероятность того, что состояние обслуживающего

канала равно

В системе уравнений (4.11) все функции с аргументом

 2, uu

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми

порядка



, получим

 

 

     

 

 

 

 

 

1,1

12,1,

,1,11

,,1

udH

xuHux

udH

xuHuxuH

udH

uHuxuHux

uHuHux



































(4.16)

В полученных формулах заменяем

 

,uH

по формуле (4.14), при этом

учитываем, что из системы (4.12) следуют равенства

 

210

RGR

RGRG

RRG









(4.17)

Получим неоднородную линейную систему алгебраических уравнений

относительно неизвестных функций

     

uhuhuh

210

(в предположении, что

 

известна) вида

       

 

     

 

     

 

   

 

121

0011

0210

udH

RxuHuRuh

uhG

udH

RuHuRuHuRuhGuhG

uHuRuh

uhuhG









(4.18)

Заметим, что ранг соответствующей однородной системы равен двум.

Следовательно, для того, чтобы решение системы (4.18) существовало,

необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы также равнялся

двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство

 

 

  

 

,0112



udH

RxRxR

(4.19)

откуда следует, что

 

 

 

.0112

 RxRxR

(4.20)

Чтобы показать равенство (4.20) воспользуемся определением для

свойствами констант

210

и, RRR

, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.01

1111

*2*

210









GaG

RRR

xRRGRxRxGRxG

(4.21)

Если предположить, что функция

 

известна, то решение системы

(4.18) примет вид

 

     

 

   

 

   

 

12)(

0011































udH

RxuHuRuhGauh

udH

RuHuRuHuRuhG

(4.22)

3 этап. В системе (4.11) все функции с аргументом

 2, uu

разложим в

ряд по приращению аргумента

, ограничиваясь слагаемыми порядка



будем иметь

 

 

     

,,1

210

 uH

uHuHux

 

 

 

,1,11

uHd

udH

uHuxuHux













(4.23)

 

   

 

   

 

 

 

,1,1

12,1,1

uHd

xuHux

uHux

uHd

udH

uHd

udH

uxuHuxuHux



















































Сложив левые и правые части системы уравнений (4.23) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

.0,1,14,

,1,12,







uHxuHxuH

uHuxuHuxuH

(4.24)

Чтобы сделать предельный переход в полученной формуле, нужно

чтобы все слагаемые имели порядок



. Заменим

 

,uH

по формуле (4.14),

подставив вместо

 

2,0, kuh

их выражения, полученные на втором этапе.

Для

 

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

вида

     

 uH

uuH

(4.25)

где

 

    

 

 

    

 

.112

1114

,12,

1021

RxRx

xaR

RxRxRB

RxaRR

RRA



























(4.26)

Решение уравнения (4.25) можно найти в виде

 

exp



















(4.27)

4.2. Численный метод анализа распределения вероятностей

В редких случаях удается получить численное решение системы

конечно-разностных уравнений для распределения случайного процесса

    

tkti ,

. В силу конечности числа АС это удается сделать.

Рассмотрим систему уравнений (4.1) и выпишем недостающие

граничные условия для

 

1. Рассмотрим варианты того, как в момент времени

tt 

можно

оказаться в состоянии

 

0,0

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии

 

1,0

, то есть

прибор обслуживает заявку и в ИПВ пусто. За время

t

с вероятностью

 

tot 

закончится обслуживание, и система окажется в состоянии

 

0,0

;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии

 

0,0

, то есть

прибор простаивает и в ИПВ пусто, с вероятностью

 

tot 1

за время

t

не поступят заявки, и состояние системы не изменится.

2. Рассмотрим варианты того, как в момент времени

tt 

можно

оказаться в состоянии

 

0,1

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии

 

1,1

, то есть

прибор обслуживает заявку и в ИПВ одна заявка. За время

t

вероятностью

 

tot 

закончится обслуживание, и система окажется в

состоянии

 

0,1

;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии

 

0,1

, то есть

прибор простаивает и в ИПВ одна заявка, с вероятностью

   

totN



















 11

за время

t

не поступят заявки из внешнего

источника и из ИПВ, и состояние системы не изменится.

3. Рассмотрим варианты того, как в момент времени

tt 

можно

оказаться в состоянии

 

0,N

а) пусть в момент времени

система находится в состоянии

 

2,N

, то есть

прибор оповещает о конфликте и в ИПВ N заявок. За время

t

вероятностью

 

tot 

этап оповещения о конфликте завершится, и

система перейдет в состояние

 

0,N

;

б) пусть в момент времени

система находится в состоянии

 

0,N

, то есть

прибор простаивает и в ИПВ N заявок, с вероятностью

 

tot 1

за время

t

ни одна из них не обратится к прибору и состояние системы не

изменится;

Теперь можно записать конечно-разностные уравнения

         

,,1,0,0

010

totiPtttPttP 

         

,,111,1,1

010

totPtN

ttPttP 

































(4.28)

         

totNPttNtPttNP  ,1,,

0210

которые в стационарном режиме принимают вид

   

PP 

     

111

PPN



















, (4.29)

   

NPNP

210



Таким образом, для исследуемой системы мы имеем

 

13 N

уравнения,

которые имеют вид

   

     

       

   



















































NPNP

NiiPiPiPiN

PPN

210

2110

1,2,

111

(4.30)

         

 



































1,0,11

001

NiiPiPiN

iPiN

(4.31)