Дипломная работа - Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного

Подождите немного. Документ загружается.

Просуммируем левые и правые части уравнений системы (2.7) и

получим равенство

 

           

 

 

2110













RRRR

. (2.8)

С учетом того, что

               

 

     

 

 

         

 

       

 

   





1210102

102110

RRRRRRGR

RGRGRRRR

равенство (2.8) принимает вид

 

   

 

 













. (2.9)

Уравнение (2.9) является однородным линейным уравнением с

частными производными первого порядка. Для того чтобы его решить

составим уравнение

   







1 R

dxd

его решение

   

 

dssRsCx







, тогда

   

 

dssRsxC







Общее решение уравнения (2.9) имеет вид

     

 



















dssRsxx

, (2.10)

где

 



- произвольная дифференцируемая функция, аналитическое

выражение которой найдем из начальных условий.

Пусть распределение в начальный момент времени

   

,xq 0,x

где

 

некоторая плотность распределения. Тогда

     

,0, xxx  q

следовательно

     

 



















dssRsxx

, q

. Возьмем в качестве начальной

плотности распределения

   

x-xxq 

, где

 



- дельта-функция Дирака, а



- число заявок в источнике повторных вызовов в начальный

момент времени.

Таким образом

     

 































dssRsxxx

, из свойств функции

Дирака следует, что

   

 

dssRsxx







То есть мы получили, что

 

xx

 

x

имеет смысл асимптотического

среднего.

Из приведенных рассуждений вытекает еще одно важное следствие, а

именно

10: 

имеет место

   



, тогда

 

0x

(отрицательная функция

 

x

противоречит смыслу задачи). В нашем случае

 



совпадает с

пропускной способностью системы.

Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать

распределение отклонения от асимптотического среднего.

Второе приближение

В исходной системе уравнений (2.1) сделаем замену переменных

     





 ,,,

,,,

222

ytiPyxit

Заметим, что в новых обозначениях производная по времени

 

tiP





равна

     

 

kkkk































 ,,,,,,,,

. С

учетом этого система (2.1) примет вид

 

       

,,,

,,,,

210

















 y

yyG

 

 

     

 

,,,

,,,,1

,,,,





















yyG

(2.11)

 

       

     

.,,,,

,,2,,

1,,,,



































Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2),

но проводится в три этапа.

1 этап . В системе дифференциальных уравнений (2.13) сделаем предельный

переход при

0

и предположим, что

   





,,,lim

, получим

       

210

 y

yyG

 

 

     

,,,1

 yGyG

(2.12)

     

 ,,

yGy

Решим эту систему аналогично тому, как решили систему уравнений

(2.3). Введем функцию

   







и выразим через нее

 

 ,y

получим

 

   

 







 y

GaG

 

   

 







 y

GaG

(2.13)

 

   

 







 y

GaG

где

 

 ,y

асимптотическая плотность распределения отклонения числа

заявок в источнике повторных вызовов от асимптотического среднего.

2 этап . Функции

 

 ,,y

будем искать с точностью до



в форме

         

.,,,,  oyhyRy

kkk

(2.14)

Найдем вид функций

 

,

 

,

 

,

. Для этого в системе

дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом

 2, yy

разложим в ряд по приращению аргумента

, ограничимся слагаемыми

порядка



. Получим

 

       

,,,

,,,,

210











 y

yyG

 

 

   

 

yGyG

















,,),,(1

(2.15)

 

         

 

     

 

2,,,,

1,,

yGy













































В уравнения (2.15) подставим

 

 ,,y

в форме (2.14), приведем

подобные и получим систему неоднородных линейных алгебраических

уравнений относительно

 

2,0,,  kyh

вида

           

 

Rxyh

yhyhG











0210

     

 

     

 

RxyhGyhG

















,1,

0110

, (2.16)

         

 

   

 

   

 

1221

Rxyh

yhG































Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть

зависимость и ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение

уравнений (2.16)существовало, необходимо выполнение равенства

     

 

 

 











(2.17)

Из однородного линейного уравнения с частными производными

первого порядка (2.9) мы знаем, что

     





. Таким образом, можно

сделать вывод, что система (2.16) разрешима. При условии, что функция

 

,

известна, решение можно записать в виде

 

 

     

 

































RxyhG

0110

         

 

   

 

   

 

1212











































RxyhGayh

(2.18)

Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию

 

 ,y

. Перейдем к

третьему этапу.

3 этап . В системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с

аргументом

 2, yy

разложим в ряд по приращению аргумента

ограничиваясь слагаемыми порядка



, получим

 

       

,,,

,,,,

210

















 y

yyG

 

 

     

   

,,,,1

,,,,

yGyG



































(2.19)

 

       

 

     

 

,,,,

4,,

,,,,

1,,,,

yGy



















































































Теперь подставим в уравнения (2.19)

 

 ,,y

в форме (2.14) и

просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь

 

            

                



 



 

,,,

2,,,,

10211

0210

RRyhyhyh

yhyhyh



























(2.20)

Подставляя вместо

 

,

 

,

их выражения, полученные на

втором этапе получим для

 

 ,y

уравнение Фоккера-Планка

     

yAу











, (2.21)

где

     

 

         

   



 

     

             

 

     

.42

0211

112

























































RRRRaRaRa

Rxa

xRa

RaRaRxa

xxA

Нормированным решением полученного одномерного уравнения

диффузии [8] является плотность нормального распределения вероятностей с

нулевым средним и дисперсией

   







dssA

. (2.22)

3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со

статическим протоколом в условиях большой задержки

Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе

1, в условиях большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать

случай, когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна



. Структура такой

СМО имеет вид рис. 3.1.

Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

Вероятности переходов из состояния системы

 

,ki

в произвольный

момент времени t в состояние

 

,ki

за бесконечно малый интервал времени

t

показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.

Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного

распределения процесса

    

tkti ,

, описывающего функционирование сети

 

 

     

210

tiP

tiPtiPi

tiP





 

 

       

,,11,,1

001

tiPitiPtiPi

tiP





(3.1)

 

         

,,1,11,2,

2112

tiPtiPitiPtiP

tiP



















где

.1,,,

















 a

 

tot 

 

0,i

 

1,i

 

toti 

   

toti 1

 

0,i

 

1,1i





Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния

 

0,i

Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния

 

1,i

Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния

 

2,i

 

tot 

 

1,i

 

2,2i

 

toti 

   

toti 1

 

1,i

 

2,1i

 

0,i

 

tot 

 

2,i

 

2,1i

 

tot 

 

tot 

   

tot 

 

2,i

 

0,i

Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически

невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой

задержки, то есть при

0

Первое приближение

Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену

переменных

   





 ,,,

,,, xtiPxit

. В результате замены

производится переход от дискретной переменной

...,2,1,0i

непрерывной переменной

 

0xx

В новых обозначениях

     



















,,,,,1 x

tiP

kkk

. Тогда

система (3.1) примет вид

 

 

     

,,,

,,,,

210







 x

xxx

 

 

       

,,,,,,,1

001







 xxxxx

(3.2)

 

       

 

.,,

,,,,2,,

1,,

112

























xxxx

Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два

этапа.

1 этап. Считая

0

и предполагая, что

   





,,,lim

, будем иметь

 

     

210

 x

xxx

 

 

 

 

,,,1

 xxxx

(3.3)

 

 

 

 ,,

xxx

Выразим

 

 ,x

через функцию

   







и получим

 

   

 







 x

xGxaG

 

   

 





 x

xGxaG

(3.4)

 

   

 





 x

xGxaG

xaG

где

 

,xxG 

 

 ,x

- асимптотическая плотность нормированного числа

заявок в источнике повторных вызовов.

Обозначим

 

   

 

   

 

   















xGxaG

xaG

xGxaG

(3.5)

Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства

     

 

xRxRxG 

 

 

     

xRxGxRxG 

(3.6)

 

   

xRxG



Осталось найти вид функции

 

 ,x

. Для этого перейдем ко второму

этапу.

2 этап . В системе (3.2) разложим функции по приращению аргумента

ограничиваясь слагаемыми порядка



, получим систему

 

       

,,,

,,,,

210







 x

xxxG

 

 

       

 

,,,,,,,1

001











 xx

xxGxxG

(3.7)

 

     

 

 

 

,,,,

2,,,,

1,,

xxx

xxGx







































Просуммируем полученные уравнения, поделим на



и перейдем

lim



. Тогда будем иметь

 

       

 

  











2110

xxRxxRxRxxR

. (3.8)

С учетом того, что